高中數(shù)學(xué) 極限的四則運(yùn)算素材 新人教版

分類討論求極限

例已知數(shù)列｛%｝、物,｝都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p,q,其中p>q,

q

且p制,qxl,設(shè)c“=%+”,S”為數(shù)列仁,｝的前〃項(xiàng)和，求

"T8S?-1

（1997年全國(guó)高考試題，理科難度0.33）

S”二ai(q「)(pfl_1)+仿(0一］期“-1)、

S"-1%(4_1)(婷T)+b|(p-］)(q“T-1)

分兩種情況討論；

(1)當(dāng)p>l時(shí)，；p>q>0,故0<且<1,

P

.s?

..rhm——

=+伉(“T)x0

-。)+4("i)xo

“E=P

(2)當(dāng)p<l時(shí)，0<q<p<\,

lim—

n->oo°￡n-\

Hm%(4-1)(〃“-］)+4(〃-［址一］)

EaG_l)(p"T_0+“/?_而1-1)

q(q-l)x(0-1)+4(p-l)x(0—1)

_ai（qT）4（pT）「］

說(shuō)明：該題綜合考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、恒等變形的能力，分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和

求極限的方法.

自變量趨向無(wú)窮時(shí)函數(shù)的極限

例求下列極限:

%4—5%2+1

(1)lim

XT81一X2-2X4

x3

(2)lim

42x9-1

00

分析：第（1）題中，當(dāng)X700時(shí)，分子、分母都趨于無(wú)窮大，屬于“一”型，變形

00

的一般方法是分子、分母同除以X的最高次幕，再應(yīng)用極限的運(yùn)算法則.

r'X

第（2）題中，當(dāng)X-8時(shí)，分式「一與-----都趨向于8,這種形式叫“8-8”

2X2-12X+1

型，變形的一般方法是先通分，變成“藝”型或“9”型，再求極限.

GO0

?51

一￥十不

行..x4—5x~4-11

解：⑴lim--------------7lim[x[x

—12―2/J____

X4X2

lim1-lim—+limi

XT8XT8X。X->8X1-nU十nU1

11rl-0-0-2-2

lim—T--lim丁-rlim32

X->00XX—>oc/A->OC

X3(2X+1)-X2(2X2-1)

(2)limlim--------------------------------

x->x2X2-12x+"…(2X2-1)(2X+1)

lim-------j-^―7-

一(2X2-1)(2X+1)

XX

眄1+f_1+01

Hm(2一)1而(2+1)一(2一°)(2+0)方

28X18X

說(shuō)明：“吃”型的式子求極限類似于數(shù)列極限的求法.

無(wú)窮減無(wú)窮型極限求解

例求極限：

(1)lim(V1+x+x~—y/1—x+x~)

x—>-oo

(2)lim(J1+x+廠-Jl—x+廠)

X->+8

分析：含根式的函數(shù)求極限，一般要先進(jìn)行變形，進(jìn)行分子、分母有理化，再求極限.

解：(1)原式=lim/_'I---

…J1+X+尤2+V1-X+X2

lim-j=----------------

?V1+X+X2+V1-X+X2

-2

lim=-l.

XT-00!+■+

XX

2x

(2)原式=lim//

…J1+X+/+V1-X+X2

=lim.=----.—=1.

ini,ni,

、-亍+-+1+、-y--+l

VxxV%x

說(shuō)明：當(dāng)x<0時(shí)，因此

Ji+x+/+Ji+i/K+i+i+K-i+i

VxxVxx

利用運(yùn)算法則求極限

例計(jì)算下列極限:

473〃—2)

(1)lim——+——+——+■■?+—：——

…雙〃+1W+1n~+1n'+\)

11+…+(一］)”」?

(2)lim--1---

003927

(1992年全國(guó)高考試題，文科難度0.63)

；〃(3〃T)

解：(1)原式=lim

n->ocn2+1

說(shuō)明：該題計(jì)算時(shí)，要先求和，再求所得代數(shù)式的極限，不能將只適用有限個(gè)數(shù)列的加、

減、乘、除的數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則，照搬到無(wú)限個(gè)數(shù)列的加、減、乘、除，超出了法則

的適用范圍，下面的計(jì)算是錯(cuò)誤的：

143/1-2

(1)原式=lim^——+lim———H—+lim-----

〃-8n+J"18n+]〃T8n+J

(2)原式

1

lim--lim-+lim'+???+lim(-])〃I—=———+-^―+???+()=

3=1

〃T83”T89n—>0027”TOO3"39274

用二項(xiàng)式定理展開(kāi)或逆用等比數(shù)列和公式化簡(jiǎn)求極限

、.(用:

例設(shè)p￡N,求lim-------，-------.

〃->8]

n

分析：把用二項(xiàng)式定理展開(kāi)或逆用等比數(shù)列和公式即可求得.

211

解：vfl+-Y=l+C；+|l+C；+l(-)+-+C；：I(-)^

nJnnn

n

1Y+I

1+--1

n

n

或：逆用等比數(shù)列求和公式：

原式=liml+fl+-Lfl+->|+…++

〃-8(n)n)\n)

=!+1+---F]=p+1

P+1個(gè)

說(shuō)明：要注意P是與“無(wú)關(guān)的正整數(shù)，(1+)J不是無(wú)限項(xiàng)，對(duì)某些分式求極限應(yīng)先

對(duì)式子進(jìn)行必要的變形，使之成為便于求極限的形式，以利問(wèn)題的解決，經(jīng)常用到的技巧是

分母、分子有理化或按二項(xiàng)式定理展開(kāi)等等.

零乘無(wú)窮型轉(zhuǎn)化為無(wú)窮除無(wú)窮型

例求lim(力+1-y/n)〃.

00

分析：當(dāng)〃―8時(shí)，所求極限相當(dāng)于0?8型，需要設(shè)法化為我們熟悉的一型.

00

解：lim(J〃+1-&)品

"->8

(yjn+l+1+4n)4n

=lim

〃T8(VH+T+VH)

，吧J"+l+〃

]_

2

說(shuō)明：對(duì)于這種含有根號(hào)的0-8型的極限，可采取分子有理化或分母有理化來(lái)實(shí)現(xiàn).如

本題是通過(guò)分子有理化，從而化為即為方型，也可以將分子、分母同除以〃

J/2+1+&00

的最高次幕即正，完成極限的計(jì)算.

根據(jù)極限確定字母的范圍

4"1

例已知lim--------=」-,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

fo4"+2+(〃？+2)“16

分析：這是一個(gè)已知極限的值求參數(shù)的范圍問(wèn)題，我們?nèi)匀粡那髽O限入手來(lái)解決.

4"11

解：lim——z------------=lim-----------------=—

284"+-+(m+2)""T8(機(jī)+2Y16

于是空2＜1,即一4＜加+2＜4,-6＜加＜2.

4

說(shuō)明：在解題過(guò)程中，運(yùn)用了逆向思維，由lim-----------------=」-可知I,f-+2>|的

…⑹［加+2)"16(4J

極限必為0,而q"f0的充要條件是同<1,于是解不等式“寧<1?

零比零型的極限

加|ru也+X—1

例求lim------------.

x

()HVI?_i

分析：這是一個(gè)V型的極限，顯然當(dāng)Xf0時(shí).，直接從函數(shù)”r分子、分母中

0x

約去X有困難，但是標(biāo)當(dāng)x-0時(shí)也趨近于0,此時(shí)X化為(叫工尸-1,這就啟

發(fā)我們通過(guò)換元來(lái)解決這一難題，即設(shè)》=標(biāo)工，則》=>|°-1.

解：設(shè)^=必10，則》=f°一1,于是，當(dāng)x->0時(shí)，y31.

原式=limnm-------------------=—

)T)Ty4-y+-??+y+110

說(shuō)明：本題采用的換元法是把xf0化為y-lf0,這是一種變量代換.靈活地運(yùn)用

這種代換，可以解決一些9型的極限問(wèn)題.

o

2-l

例如對(duì)于lim-x------,我們一般采用因式分解，然后約去x—l,德ijlim(x+l)=2.其

XT】X—1X->1

實(shí)也可以采用這種代換，即設(shè)f=x-l,則當(dāng)Xf1時(shí)，ff0,這樣就有

lim^—

=lim(r+2)=2.

slx-l/-?0t

組合與極限的綜合題

Cn

例lim—^=()

H->00C〃+l\

Jn+2

1

A.0B.2C.-D.

24

分析：將組合項(xiàng)展開(kāi)后化簡(jiǎn)再求極限.

Cn

解：limf-

-r"+i

(2〃)!Q+l)!?5+l)!

=lim

n—>oon\n\(2〃+2)!

hm5+0

〃T°°(2〃+1X2及+2)

..〃~+2〃+l1

=lim-z------------=—.

+6〃+24

故應(yīng)選D.

說(shuō)明：本題考查組合的運(yùn)算和數(shù)列極限的概念.

高考填空題

n

1.計(jì)算

28n+2

2

2.若數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式是an=--—(neN*),則lim?+nan)

n[n+1)00

3.計(jì)算：lim("L+^3)”=

〃+1

n2

1.解析limlim1-

n—xcl〃+27?->ool〃+2

說(shuō)明：利用數(shù)列極限公式lim1+—e,把原題的代數(shù)式稍加變形即可獲解.本題

〃一>ocln

主要考查靈活運(yùn)用數(shù)列極限公式的能力.

1

2.解析

〃(〃+1)2

??JimL/，

"_>呻2〃(〃+l)

vZ11、3

…2"2

說(shuō)明：本題的思考障礙點(diǎn)是如何求功?——只要懂得在通項(xiàng)公式中令〃=1,可立得％

的具體值，本題考查數(shù)列極限的基本知識(shí).

3.解析

n+1

2n

2四n+l

=lim(1+——)2=e2

8n+J

說(shuō)明：本題考查數(shù)列極限公式的應(yīng)用.

根據(jù)已知極限和四則運(yùn)算求其它極限

例若lim2mz〃=l,且lima〃存在，貝Ulim(l=

H—>00M—>00”—>8

A.0B.-C.--D.不存在

22

分析：根據(jù)題設(shè)知〃明和凡均存在極限，這是進(jìn)行極限運(yùn)算的前提，然后相減即可求

得結(jié)論.

解：?.?口1112〃%=1,1加〃4“存在，

〃一>8

lim%i

——=lim—=0liman=0

lim2吟nfg2nnT8

n->oo

又lim2nait=l,limnan=—

〃T8A〃fOO”2

lim(l-n)an=lim(a〃-nan)=liman-limnan=0——=—

n—>oon—X?H—>oo/：—>oo22

即lim(l一〃)〃〃=.

〃T82

選C.

說(shuō)明：lim可是關(guān)鍵，不能錯(cuò)誤地認(rèn)為lim〃“=0,lim(l-=0.

M—>00〃一?8ns

兩個(gè)數(shù)列｛4｝、物，｝的極限存在是兩個(gè)數(shù)列的和.差、積存在極限的充分條件.但,

b?

的極限不一定存在.

化簡(jiǎn)表達(dá)式再求數(shù)列的極限

例求下列極限

572714-1

(1)H—5---1—O---+???+

…入〃+1〃~+1+1n2+1

(2)lim393"

1+卓+.??+】

242"

111

(3)limn\1

345

分析：先運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式求和，或運(yùn)用其他方式化簡(jiǎn)所給表達(dá)

式，再進(jìn)行極限的四則運(yùn)算.

3+5+7+…+(2〃+1)

解：(1)原式=lim

n—>00+1

i+2

〃(〃+2)

hm-------=lim1

〃一>8"n->oo~~~r

14--2

幾

3

24

(2)原式=lim—=—lVim

n—>oc3〃廿

21-

12

4〃-><?〃->認(rèn)3)41-03

"liml—limpQ31-04

n—>ooM—>ool2J

34n+1=而2=2.

(3)原式=

“Tool345n+2"f8n+2

說(shuō)明：先化簡(jiǎn)，再求極限是求極限經(jīng)常用到的方法，不能認(rèn)為

'35=0,…,lim絲4=0而得到(1)的結(jié)果是0.

lim=0,lim

/?->oc+1”->81n~+\“T8n+1

無(wú)窮比無(wú)窮和字母討論的數(shù)列極限

例求下列極限:

2M+1-5-3,i+1I-a"

(1)lim(2)lim-5-^-(a>0)

〃一>83-2n+4-3rt

00

分析：第（1）題屬“一”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幕的值最大的式子.第

00

（2）題中當(dāng)a的值在不同范圍內(nèi)變化時(shí)，分子，分母的極限或變化趨勢(shì)）不同，因此要分

各種情形進(jìn)行討論.

22-53”

解:(1)原式=lim

3-2"+4-3"

21im|j-lim15

n—3JM—>oo2x0-1515

3x0+4一一I

3lim+lim4

3j?->oo

(2)當(dāng)0<a<l時(shí),lim—^-=lim—=0,

“T8]+a"“T8]+]

?fiT-ilimf—j-liml

Qjn—>oo0-1

當(dāng)a>l時(shí),

“Too(U1\n+1limf—+liml0+1

〃—>8(aj〃->8

說(shuō)明：含參數(shù)的式子求極限，經(jīng)常要進(jìn)行討論，容易出現(xiàn)的問(wèn)題是錯(cuò)誤地認(rèn)為

limo,,=0.

H—>00

根據(jù)極限確定等比數(shù)列首項(xiàng)的取值范圍

例已知等比數(shù)列｛為｝的首項(xiàng)為佝，公比為g,且有――“"]=!，求為的取

—1+qJ2

值范圍.

分析：由已知條件及所給式子的極限存在，可知limq"存在，因此可得口的取值范圍，

從而確定出外的取值范圍.

解：由lim|—q〃得limq〃存在.

2/i->oo

1+q7

，同<1且q。0或q=1..

當(dāng)同<1時(shí)，有，

111+q2

??q=—1,

/.\la-1|<1解得0<%<1,

又q。0,因此qwg.

當(dāng)4=1時(shí)，這時(shí)有l(wèi)im(a-l)=',=3.

〃-42)2

綜上可得：Ovavl,且劣。,或〃]=3.

112

說(shuō)明：在解決與數(shù)列有關(guān)的問(wèn)題時(shí).，應(yīng)充分注意相關(guān)知識(shí)的性質(zhì)，僅從極限的角度出

發(fā)來(lái)考慮q的特點(diǎn)，容易將qWO這一條件忽視，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

求函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限

例求下列極限:

3x+22x3)

(1)lim

x~+4+2,

5生吐35

(2)

“I%2+13x+40

..sin2x

(3)lim-------

1-cosx

1

(4)lim

13(X-3總

分析：第(1)題中，x=2在函數(shù)的定義域內(nèi)，可直接用極限的四則運(yùn)算法則求極限;

(2)、(3)兩個(gè)極限分子、分母都趨近于0,屬“9”型，必須先對(duì)函數(shù)變形，然后施行四

0

則運(yùn)算；(4)為“00-8”型，也應(yīng)先對(duì)函數(shù)作適當(dāng)?shù)淖冃?，再進(jìn)行極限的運(yùn)算.

(3x4-22x3

解：(1)lim.+3

X+223

2[X+412X+4TX+2

lim(3x+2)lim

x->2XT2

04

lim(x2+4)lim(x3+2)

xf2x->2

31imx+lim221imx3

x-?2x->2.XT2

limx3+lim4limx3+lim2

Xf2Xf2x->2.rr2

3x2+22x22,813

22+423+255.

..2x~+17x+35(x+5)(2x+7)2x+72x(-5)+7

(2)hm--------l-i-m---------------=lim------

7x+13x+40Xf5(X+5)(X+8)XT5X+8(-5)+8

/、、sin2x1-cos2X1+cos

(3)hm------r—limlim,

101-COSXxf0(1-cosx)(l+cosx+cos2x)1+cosx+cosX

1+1_2

1+1+1-3

1