第12節(jié) 指數(shù)函數(shù)及指數(shù)型函數(shù) 教學(xué)案- 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

指數(shù)函數(shù)及指數(shù)型函數(shù)(講案)

【教學(xué)目標(biāo)】

本節(jié)內(nèi)容目標(biāo)層級(jí)是否掌握

★☆☆☆☆☆

指數(shù)函數(shù)概念

★★☆☆☆☆

指數(shù)函數(shù)定義域

指數(shù)函數(shù)值域、最值

★★★★☆☆

指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

★★★★☆☆

指數(shù)比較大小、方程與不等式

★★★★☆☆

指數(shù)函數(shù)奇偶性

一、指數(shù)函數(shù)概念

【知識(shí)點(diǎn)】

1.定義：一般地，形如y=a\a>0月々中1)形式的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中a是底數(shù)，指數(shù)x是自變量。

2.指數(shù)函數(shù)形式上的嚴(yán)格性：在指數(shù)函數(shù)的定義表達(dá)式中，優(yōu)的系數(shù)必須是1,指數(shù)必須是x,而且不等

含有其它項(xiàng)。其它形式都不是指數(shù)函數(shù)，例如：y=2ax,y=?'+,,y=ax+i都不是指數(shù)函數(shù)。

3.指數(shù)函數(shù),y=ax(a>0且a*1)過(guò)定點(diǎn)(1,0),因?yàn)閍°=1(?*0)。

4.指數(shù)函數(shù)y=a\a>0且a豐1)的單調(diào)性由底數(shù)a決定，a>1時(shí)單調(diào)遞增；0<a<1時(shí)，單調(diào)遞減。

【例題講解】

★☆☆例題1.下列一定是指數(shù)函數(shù)的是()

A.y=a"B.y=x"(a>0,aw1)C.(；)"D.y={a-1)ax

答案：C

解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義即可

★☆☆練習(xí)1.下列函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)的是()

A.)’=2"'B.丫=3一"Qy=4"Dy=23A

答案：A

解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義即可

★☆☆練習(xí)2.下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是()

A,y=(-3)、B.尸3川c,j=-3v+,D.>=3-'

答案：D

解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義即可

★☆☆例題2.函數(shù)y=(a-2)2優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則a=.

答案：3

解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可得a=3

★☆☆練習(xí)1.函數(shù)/(九)=(2。-1)、是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案：(1,l)u(l,+a))

解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義即可

★☆☆練習(xí)2.函數(shù)y=/(x)是指數(shù)函數(shù)，且/⑵=9,則/(無(wú))=.

答案：3工

解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義設(shè)/(x)=ax(a>0),/(2)=a2=9,a=3

★☆☆例題3.函數(shù)/(%)=-2(a>0,a*1)的圖象恒過(guò)的點(diǎn)為()

A.(-1,-DB.(-1,0)C.(0,-1)D.(-1,-2)

答案A

【解答】解：令*+1=。.貝！|x=T,/(-D=-l,

所以函數(shù)/(X)=優(yōu)"-2(。＞0,ax1)的圖象恒過(guò)的點(diǎn)為(T，-D

★☆☆練習(xí)1.函數(shù)/*)=優(yōu)t(a＞0,a71)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A,下列函數(shù)圖像不過(guò)點(diǎn)A的是()

A.y—A/1—xB.y=|無(wú)一21C.y—2'—1D.y=2—x

答案：A

解析：定點(diǎn)為(1,1)帶入驗(yàn)證即可

★☆☆練習(xí)2.函數(shù)y=ax+5+1(。＞0,ar1)中，不論a取何值，函數(shù)圖像均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)P,則定點(diǎn)P的

坐標(biāo)為.

答案：(-5,2)

解析：x=-5帶入可將a約掉可得過(guò)定點(diǎn)(-5,2)

★☆☆例題4.若函數(shù)/(x)=/+27+機(jī)(。＞1)過(guò)點(diǎn)(1,10),貝即=.

答案：9

解析：將點(diǎn)?！?帶入函數(shù)即得,所以加=9

★★☆練習(xí)1.函數(shù)＞=小(。＞°且"I)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A若點(diǎn)A在直線，“+股」1=。，(，"＞0,"＞。)上貝*+:

的最小值為.

答案：4

解析：由題知，…=L(心。，〃＞。).

11(11Azm

—F-=—I"一?(/??+/?)=2d----1—＞24-2./-------=4

所以mnnJmnn當(dāng)且僅當(dāng)〃？=〃時(shí)取〃一〃

知識(shí)點(diǎn)要點(diǎn)總結(jié):

1.判斷一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法

指數(shù)函數(shù)具有形式上的嚴(yán)格性，在指數(shù)函數(shù)定義的表達(dá)式中，要牢牢抓住四點(diǎn)：

(I)底數(shù)是大于0且不等于I的常數(shù)；

(2)指數(shù)函數(shù)的自變量必須位于指數(shù)的位置上；

(3)a'的系數(shù)必須為1；

⑷指數(shù)函數(shù)不會(huì)是多項(xiàng)式，如y=優(yōu)+1不是指數(shù)函數(shù).

2.已知某函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)值的方法

(1)令底數(shù)大于0且不等于1,系數(shù)等于1列出不等式與方程.

(2)解不等式與方程求出參數(shù)的值.

3.求指數(shù)型函數(shù)過(guò)頂點(diǎn)時(shí)，;將旨數(shù)看作一個(gè)整體，令其等于0即可。

提醒：要特別注意底數(shù)大于0且不等于1這一隱含條件.

二、指數(shù)函數(shù)的定義域

【知識(shí)點(diǎn)】

1.定義：函數(shù)y=a\a>。且a+1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R,a是底數(shù).

2.單調(diào)性：指數(shù)函數(shù)y=a'(a>0且a豐1)的單調(diào)性由底數(shù)”決定，a>1時(shí)單調(diào)遞增；0<a<1時(shí)，單調(diào)

遞減。

【例題講解】

★☆☆例題1.已知集合A/={九|x<l},N={x|3'>l}，則/cN=

A.0B.(0,1)C,(-8,0)D.

答案：B

解析：解不等式取交集即可

★☆☆練習(xí)1.已知集合4={已3'<1},5=3%+1>0},則AcS=

A.(Y,DB.(-oo,0)C.(-1,0)D.(-1,1)

答案：C

解析：解不等式取交集即可

★☆☆例題2.函數(shù)y=J1—(；)'的定義域是()

A.(0,+oo)B.(-oo,0)C.[0,+oo)D.(-oo,0]

答案：C

解析：解不等式取交集即可

★☆☆練習(xí)1.函數(shù)外幻=2'+與三的定義域?yàn)?)

A.[-2,2]B.[-2,0)u(0,2]C.(-oo,-2]u[2,+oo)D.(-2,0)u(0,2)

答案：A

解析：解不等式取交集即可

★☆☆練習(xí)2.設(shè)函數(shù)/(x)=34-4*,則函數(shù)/(?的定義域?yàn)?)

A.(-oo,4]B.(-°°，；]C.(0,4]D.(0,；]

答案：A

X

解析：f(x)的定義域?yàn)?-8,1]所以7W1,xW4

4

★☆☆例題3,求函數(shù)f(x)=>/4X3V+1-27-32X的定義域.

答案：[1,2]

解析：4x3t+l-27-32jr>0，令r=3',則一/+12/-2720，即尸-⑵+2720，解得3W/W9,

所以1WXW2

★☆☆練習(xí)1.函數(shù)/(x)=上一，的定義域是()

A.(-2，+°°)B.[-1,+<?)C.(-00,-1]D.(-<?,-2]

答案：B

解析：解不等式即可

三、指數(shù)函數(shù)的值域、最值

【例題講解】

★☆☆例題1.集合4={幻丁=7^7^},3={>|〉=2'/>0},則4門8=()

A.O2]B.d,2]C,[1,2]D.d,4w)

答案：B

解析：A集合為[0,2],B集合為(1,+8)取交集即可

★☆☆練習(xí)1.已知集合4={劃丁=7^1},3={m^=2*},則Ac3=()

A.(l,+oo)B.[l,+?)C,(0,+co)D.(0,1)

答案：B

解析：A集合為n,yo),B集合為(0,+8)取交集即可

X|

★☆☆練習(xí)2.設(shè)集合用={幻'；—20},N={y|y=(；)x,xN0},則MDN=()

\-x2

A.[0,1]B.{0}C,(0,1)D.[0,1)

答案：C

解析：A集合為[(),1),B集合為((),1]取交集即可

★☆☆例題2.函數(shù)y=的值域?yàn)?)

A.I-,+°°)B.(-℃>,—]C.(-oo,2]D.(0,2]

答案：D

y=(J)，％

解析：y=f—2A-的值域?yàn)閇-l,+00)，所以.2的值域?yàn)?°，2]

★☆☆練習(xí)1.已知函數(shù)/(x)={''：<、八，則/(-2)=_______函數(shù)/W的值域?yàn)橐?/p>

x+l,x>0

答案：—(0,+oo)

4

解析：第一空帶入即可，第二空畫(huà)圖可得

★★☆練習(xí)2.函數(shù)y=9'-2?3、+2(-14x41)的最小值是()

13

A.65B.—C.-1D.1

答案：D

解析：令f=3"則卜仁3,y="-2f+2,外加=武1)=1

★★☆練習(xí)3.已知函數(shù)/O)=(^)v+l,-2<x<2,則函數(shù)y=/(%)+的最大值是(

A.7B.8C.21D.22

答案：B

解析:由題意得，y=/(x)+〃2x)=(；產(chǎn)+(；),+2,

因?yàn)橐?X)的定義域?yàn)?2,2],所以丁=/(幻+/(2尤)的定義域?yàn)閇一1」，

令"(J],則fe[g,2],y=/+f+2,當(dāng)，=2時(shí),Wax=8

★★☆例題3.已知函數(shù)/(x)=，，若必促凡加eR,使得/(加)+2〃2_3〃=2忘，則實(shí)數(shù)

(1)\x<0

〃的取值范圍為()

A.(一8,一；)52,+8)B.(-00,-2)u(g,+G0)

C.［一(,2］D,-2,；

乙乙_

答案:C

解析：當(dāng)xNO時(shí)，y(x)=x+l+-^--2>2V2-2,

x+1

而當(dāng)尤<0時(shí)，/U)>1,

故函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋?/-2,+8);

而/(M+2"-3〃=2后，所以/。")=-2〃2+3〃+2行22夜-2,

故2〃2—3〃―240,解得-

★★☆練習(xí)1.設(shè)函數(shù)f(x)=\'-,若互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c滿足f(a)=f(b)=f(c),則

-x+5,x>2

2"+2"+2’的取值范圍是()

A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)

答案：B

解析：畫(huà)出函數(shù)/(x)的圖象如圖所示.

結(jié)合圖像可得4<c<5，故16<2'<32.

所以18<2"+2"+2,<34.選B.

...1

★☆☆例題4.函數(shù)/⑴=二一的定義域?yàn)橹涤驗(yàn)?

3'-1-1

答案：（―00,0）50,1）51,?。╢,-1）50,；）5；,?。?/p>

解析：略

★☆☆練習(xí)1.已知函數(shù)/（x）=2'+2川6-2,—1,求函數(shù)的定義域與值域.

答案：定義域（-8,4],值域（7[6]。

解析：略

四、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

【知識(shí)點(diǎn)】

與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

形如函數(shù)y=的單調(diào)性，它的單調(diào)區(qū)間與/（幻的單調(diào)區(qū)間有關(guān)：

⑴若。>1,函數(shù)/（x）的單調(diào)增（減）區(qū)間即函數(shù)y=的單調(diào)增（減）區(qū)間；

（2）若0<。<1,函數(shù)/（%）的單調(diào)增（減）區(qū)間即函數(shù)y=的單調(diào)減（增）區(qū)間.即洞增異減".

【例題講解】

★☆☆例題1.求函數(shù)/（用=3廬姿4的定義域、值域及單調(diào)區(qū)間.

答案：定義域是（-8,1]54,心）.值域是[1,+00）；單調(diào)減區(qū)間是（-00,1],單調(diào)增區(qū)間是[4,小）.

解析：定義域解不等式即可，值域根據(jù)復(fù)合函數(shù)求值域，單調(diào)區(qū)間同增異減

z[\x2+2x+5

★☆☆練習(xí)1.已知函數(shù)y=g,求其單調(diào)區(qū)間及值域.

答案：在（一8'-1）上是增函數(shù)，在（-L”）上是減函數(shù)，值域?yàn)椤病?1_

解析：值域根據(jù)復(fù)合函數(shù)求值域，單調(diào)區(qū)間同增異減

/1、-F+2X

★☆☆練習(xí)2.函數(shù)y=上為增函數(shù)的區(qū)間是（）

A.[-1,-K>o）B.（―℃,—1]C.[l,+oo）D.（—oo,l]

答案：C

解析：復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間同增異減

★☆式例題2.若函數(shù)y=|3、-11在（-oo?]上單調(diào)遞減，則k的取值范圍為.

答案：（-8,0]

解析：畫(huà)圖即可

★☆☆練習(xí)1.設(shè),XGR,那么/a）是

A.奇函數(shù)目在（0,+oc）上是增函數(shù)B.偶函數(shù)且在（0,+oc）上是增函數(shù)

C.奇函數(shù)且在（（）,+8）上是減函數(shù)D.偶函數(shù)且在（o,+8）上是減函數(shù)

答案：D

解析：通過(guò)圖像，x帶絕對(duì)值為右翻左，畫(huà)圖即可

Y-1

★★☆練習(xí)2.已知函數(shù)/（%）=j-,下面說(shuō)法正確的有（）

A.的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B./(x)的圖像關(guān)于)‘軸對(duì)稱

C./(x)的值域?yàn)?T1)

D.V%,%eR,且x產(chǎn)馬,''——口"<0恒成立

玉一工2

答案：AC

解析：對(duì)于選項(xiàng)A,〃x)=Fl,定義域?yàn)镽,則丹=-"x),則/(x)是奇函數(shù)，

圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

對(duì)于選項(xiàng)B,計(jì)算/(1)=星=§,/(-1)=^—=--*/(!)，故/*)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱；

-----1-1

2

*—172

對(duì)于選項(xiàng)C,/(x)=^j=l--，令l+2x=fje(l,+oo),y=f(x)=l--,

2

易知，故/*)的值域?yàn)?T1)；

1——tw(—1,1)

2*_]22

對(duì)于選項(xiàng)D,/(%)=—^-=1--—，令1+2*=/,/€(1,”),y=f(x)=l—,

2+11+2t

2

函數(shù)f=l+2'在R上單調(diào)遞增，且y=l-:在re。,”)上單調(diào)遞增，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知/(幻=1-在R上單調(diào)遞增，

1+2

fM-fM<0

故V%，/SR,且犬戶*2,王一/不成立.

2X_i3

★☆☆例題3.已知函數(shù)/(%)=菽石(加>0),且/(2)=,

(1)求加的值，并指出函數(shù)y=/(力在R上的單調(diào)性(只需寫出結(jié)論即可)；

(2)證明:函數(shù)”X)是奇函數(shù)；

(3)若/(4)+/(2加一3)<(),求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

答案：（1）2,“X）在R上為增函數(shù)；（2）證明見(jiàn)解析；（3）（-3,1）.

302—13

解析：（1）因?yàn)椤?）=w，所以1—=-,即蘇=4,

5nt'+\5

因?yàn)榧樱?,所以m=2.

2X-]2

函數(shù)/（X）=77—7=1-在R上為增函數(shù)?

2+12+1

2X—1

（2）由（1）知/（x）=VJ?定義域?yàn)椋ā挥茫?

，一%-11_7~x—1

對(duì)任意）,都有/（一力；^K（X）?

乙7ILrXI乙=5乙^TI71=—/

所以函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，

（3）不等式/（/叫+/（2加-3）＜0割介于

/（叫＜-/（2帆-3）,

因?yàn)楹瘮?shù)“X）是奇函數(shù)，

所以/（/叫＜/（3-2加），

又因?yàn)楹瘮?shù)“X）在R上為增函數(shù)，

所以〃/＜3—2加，BPm2+2m-3＜0.

解得-3＜m2＜1.

所以實(shí)數(shù)〃2的取值范圍為（-3,1）.

★☆☆練習(xí)L已知〃x）=a"（aX）且"1）的值域?yàn)閁+s）則〃T）與/⑴的關(guān)系是

A./（-4）=/（I）B./（-4）＞/（1）C.D,不能確定

答案：B

解析：+，函數(shù)的值域?yàn)榭?十°°）'二?！礭由于函數(shù)/（x）=/T在（T,+8）上是增函數(shù)，

且它的圖象關(guān)于直線》=-1對(duì)稱，可得函數(shù)在（一°°，一1）上是減函數(shù).

再由川)=/(-3)，可得/(-4)>/(1)

1\ax2-4x+3

-

(3)

(1)若4=1,求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若“X)的最大值為3,求實(shí)數(shù)"的值；

答案：(1)單調(diào)遞減區(qū)間是(2,例),單調(diào)遞增區(qū)間是(F,2);(2)1.

1,

解析：(1)當(dāng)。=1時(shí)/(尤)=(§)1川，

令g(x)=A?-4x+3,

由于g(x)在(F，2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)單調(diào)遞增，

而y=《)'在R上為減函數(shù)，

所以在(-8,2)上單調(diào)遞增，在(2,+。。)上單調(diào)遞減，

即函數(shù)fM的單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+oo),單調(diào)遞增區(qū)間是(-00,2).

(2)令/i(x)=-4x+3,貝!]/(%)=,

因?yàn)榈淖畲笾禐?,所以〃(x)的最小值為-1,

當(dāng)。=()時(shí)，/(x)=《尸*3,無(wú)最大值；

a>0

當(dāng)〃w()時(shí)，有3。一4?,解得〃=1,

、a

所以當(dāng)。=1的最大值為3時(shí).

z[xttr2-4x4-3

★★☆練習(xí)1.已知函數(shù)

(1)若4=1,求/(*)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(X)的最大值為3,求實(shí)數(shù)"的值；

(3)若/(x)的值域是((),+8),求實(shí)數(shù)。的值

答案：(1)函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+8),單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,2)(2)a=l(3)0

解析：(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=g),

令g(x)=爐―4尤+3,

由于g(x)在(-8,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

而丫=(3)為減函數(shù)，

所以/(X)在(-8,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，

即函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+8),單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,2)。

/]、力(X)

(2)令h(x)=ax2-4x+3,則/(x)=—,

為/(x)的最大值為3,所以/7。)的最小值為-1,

當(dāng)aWO時(shí)，〃(x)無(wú)最小值；

當(dāng)a>()時(shí)，力(%)有最小值，在對(duì)稱軸處取得，解得a=1,

所以當(dāng)/&)的最大值為3時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為1。

[xax2-4JT+3

[-的值域?yàn)?0,+00),

應(yīng)使〃(x)=--4x+3的值域?yàn)镽。

當(dāng)a=()時(shí)，值域?yàn)镽,符合題意；。。()時(shí)，不符合題意。

故當(dāng)/(x)的值域是(0,4w)時(shí),實(shí)數(shù)a的值為0.

五、指數(shù)比較大小、方程與不等式

【知識(shí)點(diǎn)】

指數(shù)比較大小，底數(shù)相同時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；指數(shù)相同時(shí)，利用幕函數(shù)單調(diào)性。

【例題講解】

★☆☆例題1.已知。=己產(chǎn),》=（1嚴(yán)，則。_"（填或">"）

33

答案：〉

解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)>=（1）*

3為減函數(shù)求得

☆練習(xí)1.已知a=0.4°3,b=0.3°3,c=O.304,則（）

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】解析：0.3。3>0.3°<,即b>c>0,而且=（絲）。即〃>>，

b0.33

：.a>b>c

故選：B.

★☆☆練習(xí)2.若a=0.5°6,6=0.6°5,c=2°5,則下列結(jié)論正確的是（）

A.b>oaB.oa>bC.a>b>cD.c>b>a

【答案】D

【解析】ft?：0<O,506<0.5°5<O,605<0.6°=1,

：.0<a<b<\,

又?.?2°s>2°=1,:.c>\,

:.c>b>a,

故選：D.

42

★★☆例題2.已知a=2*。=43c=25?貝（J（）

A.h<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

答案A

解析因?yàn)閍=2,為=4'=2工，所以q>b；又因?yàn)閍=2^=4^,c=25*=5、，所以。<c

★★☆練習(xí)1.已知。=21〃=3"。=5F，則()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<h

【答案】D

32

【解析】解：???蘇=(2“5=23=8,〃=(3^5=32=9,

:.b>a>\,

1

?.?0<5-3<5°=1,..Ovcvl,

:.c<a<h,

故選：D.

★★☆練習(xí)2.設(shè)4=(2)。5,b=(-)M,C=(-)M,則(

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【答案】A

【解析】解：???0<(3嚴(yán)<(3。=1,.?.o<a<l，

:.c>b>ay

故選：A.

★☆☆例題3.若偶函數(shù)/(x)滿足/(x)=2V-4(%>0),則不等式于(x-2)>0的解集為

答案：(—8,0)u(4,田)

解析：利用偶函數(shù)/(x)=/(Ix|)已經(jīng)指數(shù)函數(shù)性質(zhì).

★☆☆練習(xí)1.已知函數(shù)/(x)=(J—+-)x3(?>0且a01).

ax-\2

(1)討論/(x)的奇偶性;

(2)求a的取值范圍，使/(X)>0在定義域上恒成立.

答案：(1)偶函數(shù)；(2)(l,^o)

解析：(1)略(2)函數(shù)為偶函數(shù)，只需要x>0時(shí)/(x)>0，即一^+:〉。在x>0時(shí)成立。

ci—12

★☆☆練習(xí)2.不等式<4的解集為.

處案?GL2)

口東?

解析：解不等式即可

★★刈列題4:已知函數(shù)/(x)=a'+b(a>Q,a^1)的定義域和值域都是[-1,0],則a+。=.

3

獨(dú)崇——

口菜?,2

解析：討論a與1的大小關(guān)系，解得a=g/=-2

★★☆練習(xí)L已知函數(shù)f(x)=(g)",a為常數(shù)，且函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,2).

⑴求a的值；

(2)若g(x)=4-*—2,且g(x)=f(x),求滿足條件的x的值.

答案：(1)1;(2)-1

解：(1)略.(2)-1

(2)解方程47-2=27,令『=2-*,/一，-2=0,解得f=2或1=一1(舍去)

所以f=2T=2,x=-l

六、指數(shù)函數(shù)奇偶性

【知識(shí)點(diǎn)】

1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論

⑴如果函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，那么/(x)=/(|x|).

(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

⑶在公共定義域內(nèi)有：奇士奇=奇，偶±偶=偶，奇、奇=偶，偶、偶=偶，奇、偶=奇.

2.掌握以下兩個(gè)結(jié)論，會(huì)給解題帶來(lái)方便：

(1)若/(X)是偶函數(shù)，那么/(x)=/(|x|).

(2)若奇函數(shù)在x=()處有意義，則/(())=0.

3.指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的奇偶函數(shù)

奇函數(shù)：/(%)==^4,/(%)^

a+\a-1

偶函數(shù)：f(x)=a'+ax

【例題講解】

★☆☆例題1.已知函數(shù)/(力=3'-可，貝!|/(x)()

A.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

B.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

C.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

D.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

答案：B

f(-6=3-，--3'=-/(%)口］

解析：，所以函數(shù)是奇函數(shù)，且3'是增函數(shù)，<31是減函數(shù)，

根據(jù)增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，故選B.

，、2，、

☆練習(xí)1.設(shè)aeR,〃x)=a-萬(wàn)v(xeR)，若"X)為奇函數(shù)，則。=.

【答案】1

解析：0屬于定義域，奇函數(shù)/(())=0。

☆例題2.已知定義在R上的奇函數(shù)/(%)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=屋-a-*+2(a>0,“r1).若

g(2)=a，則/(2)=.

15

【答案】-

4

【解析】f(2)+g(2)=a2-a-2+2,f(-2)+g(-2)=a2-a2+2,-f(2)+g(2)=a2-a2+2，貝[]

15

28(2)=4=2〃所以。=2,"(2)=為2-2<尸=8、=]1，所以/(2)=了

★★☆練習(xí)1.已知奇函數(shù)y=如果/(x)=/(a>0,且。Hl)對(duì)應(yīng)的圖像如圖所示，

lg(x),%<0

答案：D

解析：根據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，補(bǔ)出負(fù)半軸圖像，再根據(jù)圖像翻折得到答案D

一2"+h

★★★例題3.定義域?yàn)镽的函數(shù)AM=西工是奇函數(shù).

(1)求岫的值.

(2)若對(duì)任意的reR,不等式，(產(chǎn)-〃)+/(2/_汴0恒成立，求左的取值范圍.

答案：(1)?=2,h=\(2)3

/(x)=Z^1A〃0)=H=0

解析：(1)?二*+”是奇函數(shù)，2+a，解得6=1.

11

⑴二2+1-2+1--耳+1

從而有i+a,又由〃1)=-4-1)知777一不7,解得”=2.

小)=羋,+，

(2)由(1)知'2*222』，

由上式易知/("在(f，2)上為減函數(shù)，又因/("是奇函數(shù)，

從而不等式/心小心一卜。等價(jià)于/*2,卜一心

因f(X)是減函數(shù)，由上式推得r-2t>-^+kt

,k<-L

即對(duì)一切YR有3產(chǎn)從而判別式解得3.

★★☆練習(xí)1.已知f(x-)=-^-(a'-a-^(a>0,awl)。

Cl—1

(1)判斷/(X)的奇偶性；

(2)討論的單調(diào)性；

(3)當(dāng)xw[-L1]時(shí)，?恒成立，求匕的取值范圍。

答案：(1)奇函數(shù)(2)單調(diào)遞增(3)(fT

解析：(1)函數(shù)定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又以-x)=-f(x)

故/*)為奇函數(shù)

(2)當(dāng)?>1時(shí)，。2-1>°，產(chǎn)出為增函數(shù)，產(chǎn)小為減函數(shù),

從而產(chǎn)'為增函數(shù)，故/*)為增函數(shù)；

當(dāng)0<"1時(shí)，/T<°，產(chǎn)優(yōu)為減函數(shù)，尸小為增函數(shù)，

從而產(chǎn)為減函數(shù)，故/⑴為增函數(shù)。

綜上，時(shí)，/⑶在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

(3)由⑵知/(*)在犬上為增函數(shù)，，在區(qū)間ER上為增函數(shù)。

../(-1)</?</(1),/(xU=/(-1)=-1

二要使/(x)泌在H』上恒成立，只需任一1

即。的取值范圍為(FT.

【課后練習(xí)】

【鞏固練習(xí)】

★☆☆1.求下列函數(shù)的定義域、值域.

y

(1)y=--；(2)y=4v-2'+l.

1+3

3

答案：(1)定義域?yàn)镽；值域?yàn)?0,1)；(2)定義域?yàn)镽;值域?yàn)椋?,+<?).

4

解析：(1)分離常數(shù)(2)換元法

742

★☆☆2.已知。=45,b=23c=53,則a,b,e的大小關(guān)系為（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】C

7422

【解析】解：va=4^>43=64,8=2%（1,2）,c=53>5i>2,

又cv5，

故。>c>b.

故選：C.

★☆☆3.已知a=2%b=2°",c=（夕2,則“，b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b

【答案】D

【解析】解：?.?已知a=2°L6=2°",c=（；產(chǎn)=2七，而函數(shù)y=2*是R上的增函數(shù)，—1.2<0.2<0.4,

則c<a<by

故選：。.

★☆☆4.設(shè)函數(shù)“加十,若作)為奇函數(shù)’則不等式企曰的解集為()

A(0,l)8(—,ln3)C.(O,ln3)D.(0,2)

答案：C

解析：0不屬于定義域，奇函數(shù)，(-幻=-/(%)。解得“=!"(x)=:(1+二二)

22(e—1)2e—1

★★☆5.定義在R上的奇函數(shù)/(x)與偶函數(shù)g(x)滿足/(x)+g(x)=2'-2,則函數(shù)〃(x)=g(x>2、的最

小值為.

_3

答案：2

解析：因?yàn)椤?g(x)=2'_2,所以/(-x)+g(r)=2一'-2,又因?yàn)?(%)為奇函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

,、2"+2T八,71小\21

、/\r-rcg(x)=--------2h(x\x——x(2)—2x2H—、

所以-/(x)+g(x)=2-2,求得一2，所以<2>2,令，=x2/(，>o),

113

y=-t2-2t+--—

'22,當(dāng)"2時(shí)取得最小值2

★☆☆6.7(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x2()時(shí)，fix)=2x+2x+b(b為常數(shù)),則/(-1)=.

答案-3

解析：略

★★☆7.設(shè)偶函數(shù)g(x)=在(0,+8)上單調(diào)遞增，則g(a)與g(b-1)的大小關(guān)系是_______.

答案g(a)>g3—l)

解析：由偶函數(shù)得8=0,由增函數(shù)得。〉1,所以g(a)>g⑴，所以g(a)〉g(。-1)

★★☆8.若/。)=空當(dāng)工是R上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為/(x)的值域?yàn)?

2—1

答案1(-1,1)

?-12

解析由./?(())=()得。=1,/?=--=1---，值域?yàn)?-1,1).

2+12+1

★☆☆9.已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)且當(dāng)xZO時(shí)，/(?=-4+],則此函數(shù)的值域?yàn)?/p>

42

11

答案I'；,；]

44

解析：換元法求值域

【拔高練習(xí)】

★☆☆1.已知指數(shù)函數(shù)y=a\a>(),“H1)的圖象過(guò)點(diǎn)(1g).

(/)求函數(shù)y=/。)的解析式；

(〃)若不等式滿足/(2x+l)>l,求x的取值范圍.

答案：(1)”=g…(2)卜》<一?

解：(I)因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=a'(a>O，aHl)的圖象過(guò)點(diǎn)(L?,

所以。弓…

所以指數(shù)函數(shù)的解析式為y=(》*.…

(H)由(I)得，f(2x+l)>l等價(jià)于g嚴(yán)>1…

因?yàn)楹瘮?shù)y=(；)'在/?上單調(diào)遞減，

所以2r+l<0,解得

綜上，X的取值范圍是“卜<一?.…

★★☆2.(2020?陜西安康?高一期末)定義在R上的函數(shù)/(幻滿足/(x+D=2/(x)+l,當(dāng)xe[0,l)時(shí),

/。)=(2=1)(2匚2),若/(%)在+上的最小值為23,則〃=()

A.4B.5C.6D.7

答案：B

解析:①當(dāng)xw[。,1)時(shí)，fix)=(2t-l)(2l-2)

=22x-3.2J+2=(2X-|)2-1,

-.-Q,x<l,.-.1,,2'<2,

當(dāng)2"=g時(shí)，fMmin=-；；

②當(dāng)〃=1,即xeU,2)時(shí)，有x-le[O,I],/(x-l)=(2r-'-1)2-1

t12

/(x)=2/(x-l)+l=2(2--1)+l,當(dāng)2-=|時(shí)，,

③當(dāng)〃=2,即x[2,3],有x—2e[0,1J,/(x-2)=(2-2-1)2-1,

f{x-1)=2/(x-2)+1=2(2'-2-^)2+,

3

f{x)=2/(x-1)+1=4(2--2--)2+2,

則2i=T時(shí)，/(x)取得最小值2；

同理可得當(dāng)〃=3,即xe[3,4),/(x)的最小值為2x2+1=5,

當(dāng)〃=4,即xel4,5),/(x)的最小值為2x5+1=11,

當(dāng)〃=5,即XG[5,6),/(尤)的最小值為2x11+1=23.

★★★3.(2020?江蘇揚(yáng)州中學(xué)高一月考)已知/(%)=m(x—2間(x+m+3),g(x)=4'-2,若對(duì)任意

xeR,/(x)<0或g(x)<0,則枕的取值范圍是()

B.f)J—。)D.0

答案：c

解析：因?yàn)間(x)=4”-2,當(dāng)x<；時(shí),g(x)<。恒成立，

當(dāng)xN；時(shí)，g(^)>0,

又對(duì)任意xwR,/("<?；騡(x)<。,

所以f(x)=加(x-2㈤(x+m+3)<0在x2；時(shí)恒成立，

則二次函數(shù)y=Mx-2M(x+m+3)圖象開(kāi)口只能向下，且與x軸交點(diǎn)都在(；，0)的左側(cè)，

m<0

2，

2m<—

12

t