冪函數完整版本

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標

要

求熱

點

提

示學習本節(jié)內容時，(1)應類比指數函數，對數函數來學習；(2)關鍵是作出五個常用冪函數的圖象，由此概括出它們的共性；(3)重點是熟練掌握五個常用冪函數的圖象與性質；(4)要辨析指數函數與冪函數.冪函數(1)定義：一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．●想一想：冪函數與指數函數有什么區(qū)別與聯(lián)系？提示：函數表達式相同點不同點指數函數y＝ax(a>0且a≠1)右邊都是冪的形式指數是自變量，底數是常數冪函數y＝xα(α∈R)底數是自變量，指數是常數溫馨提示：冪函數在第一象限內指數變化規(guī)律：在第一象限內直線x＝1的右側，圖象從上到下，相應的指數由大變?。?4)五種常見冪函數的性質，列表如下：定義域值域奇偶性單調性公共點y＝xRR奇在R上是增函數(1,1)y＝x2R[0，＋∞)偶在(－∞，0)上是減函數；在[0，＋∞)上是增函數y＝x3RR奇在R上是增函數y＝x[0，＋∞)[0，＋∞)非奇非偶在[0，＋∞)上是增函數y＝x－1(－∞，0)∪(0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是減函數解析：本題考查了冪函數y＝xα(α∈R)的概念，自變量x為冪的底數，指數α為常數，而函數y＝2x中的自變量x為指數，所以A錯誤．答案：A答案：D類型一

冪函數的概念思路分析：根據冪函數的概念進行判斷．答案：B判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為形如y＝xα(α為常數)的形式，函數的解析式為一個冪的形式，且需滿足：(1)指數為常數；(2)底數為自變量；(3)系數為1.反過來，若一個函數為冪函數，則該函數也具備了這一形式——這是我們解決某些問題的隱含條件．1

類型二冪函數的圖象【例2】已知函數y＝xa，y＝xb，y＝xc的圖象如下圖，則a，b，c的大小關系為(

)A．c<b<a

B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b思路分析：利用冪函數在第一象限內的圖象特征進行判斷．解析：由冪函數的圖象特征可知，c<0，a>0，b>0；由冪函數的性質知，當自變量x>1，冪指數大的冪函數的函數值就大，故c<b<a.答案：A溫馨提示：本題也可采用特殊值法，如取x＝2，結合圖象可知2a>2b>2c，又函數y＝2x是增函數，于是a>b>c.2如下圖，C1，C2分別是冪函數y＝xm，y＝xn在第一象限內的圖象，則下列結論正確的是(

)A．n<m<0

B．m<n<0C．n>m>0 D．m>n>0解析：由冪函數的圖象特征知m，n均小于0，又取a>1，由圖象知am>an，此時函數y＝ax為增函數，所以m>n，所以n<m<0.答案：A

類型三冪函數的性質應用【例3】

(1)比較(a＋1)3，a3的大?。?2)比較(2＋a2)－1,2－1的大小．思路分析：分別構造函數y＝x3和y＝x－1，利用函數的單調性進行比較．解：(1)考查冪函數y＝x3，因為它在區(qū)間(－∞，＋∞)上是增函數，且a＋1>a，所以(a＋1)3>a3.(2)考查冪函數y＝x－1，因為它在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上是減函數，且a2＋2≥2>0，所以(2＋a2)－1≤2－1.溫馨提示：利用冪函數y＝xα在第一象限的圖象特征，可作出冪函數的圖象，圖象的形象性、直觀性使冪函數的性質(特別是單調性)一目了然，利用冪函數的性質使有些問題順利地得到解決(如本例的大小比較問題)．因此，我們必須準確把握冪函數在第一象限的圖象特征，熟練掌握作圖方法，并靈活地利用圖象解題．

1．若指數相同而底數不同，則考慮冪函數；2．若指數不同，底數相同，則考慮指數函數；3．若指數與底數都不同，則考慮插入中間數，使這個數的底數與所比較的一個底數相同，指數與另一個指數相同，那么這個數就介于所比較的兩數之間，進而比較出大?。?比較下列各組數中兩個數的大小：類型四冪函數的綜合應用思路分析：先利用冪函數的定義、奇偶性、單調性確定m的值，再利用冪函數的單調性求解關于a的不等式．溫馨提示：解決與冪函數有關的綜合問題時，一定要考慮冪函數的定義；冪函數y＝xα，由于α值不同，所以單調性和奇偶性就不同．

求解冪函數的解析式常見的思路是：利用函數的性