福建省福州市倉(cāng)山區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期校內(nèi)期中質(zhì)量檢查八年級(jí)數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，完卷時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，解題的關(guān)鍵是利用（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，滿足以上條件為最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、中被開方數(shù)含有分母，故該項(xiàng)不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；B、中被開方數(shù)含有分母，故該項(xiàng)不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；C、是最簡(jiǎn)二次根式，故符合題意；D、中被開方數(shù)含有因數(shù)4，故該項(xiàng)不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；故選：C．2.每年兩會(huì)，民生話題都牽動(dòng)人心．就業(yè)是最大的民生，2024年政府工作報(bào)告提出，城鎮(zhèn)新增就業(yè)12400000人左右．將數(shù)據(jù)12400000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要確定a的值以及n的值．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【詳解】解：，故選：B．3.下列各組長(zhǎng)度的線段中，首尾順次相接不能構(gòu)成直角三角形的是（）A.2，5，6 B.3，4，5 C.6，8，10 D.5，12，13【答案】A【解析】【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握已知的三邊滿足，則是直角三角形是解題關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理逆定理驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方即可判斷是否能組成直角三角形．【詳解】解：A、∵，∴2，5，6不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；B、∵，，∴，∴3，4，5能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、∵，∴6，8，10能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．D、∵，，∴，∴5，12，13能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．4.如圖，在菱形中，，交于點(diǎn)，若，，則菱形的周長(zhǎng)是（）A.12 B.16 C.20 D.24【答案】B【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，以及30度所對(duì)直角邊等于斜邊一半，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到，，利用30度所對(duì)直角邊等于斜邊一半，得到即可解題．【詳解】解：四邊形為菱形，，，，，，菱形的周長(zhǎng)是；故選：B．5.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式相關(guān)的運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.和不能合并，此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B.，此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C.，此選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；D.，此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選C．6.下列條件中，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）A.， B.C. D.，【答案】A【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的判定以及平行線的判定與性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的判定方法分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、由，，不能判定四邊形平行四邊形，故選項(xiàng)A符合題意；B、，，四邊形平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、，，四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、由，，四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．7.已知，滿足方程組，則無(wú)論取何值，，恒有的關(guān)系式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了解二元一次方程組的代入消元法，把②代入①即可得出x、y的關(guān)系．【詳解】解：把②代入①，得，∴，故選：A．8.如圖，兩平行線和的距離是4，點(diǎn)，分別在和上，且和的夾角，則的長(zhǎng)為（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】本題考查了勾股定理以及平行線的性質(zhì)，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)B作，垂足為D，根據(jù)垂直定義可得，根據(jù)題意可得：，再根據(jù)平角的定義可得，然后根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得：，根據(jù)等角對(duì)等邊得出，最后根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作，垂足為D，∴，由題意得：，∵，∴，∴，∴，∴，故選：B．9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定及性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．如圖，過(guò)點(diǎn)A作軸，交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作軸，交y軸于點(diǎn)M，根據(jù)垂線的定義得出，再根據(jù)余角的定義得出，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)及等量代換得出，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，最后根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作軸，交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)C作軸，交y軸于點(diǎn)M四邊形正方形，在和中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為故選C．10.如圖，在矩形中，，，點(diǎn)，分別在，上，，，若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，連接，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，利用【詳解】解：如圖，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，連接四邊形是矩形G是的中點(diǎn)在和中，，，，H是的中點(diǎn)，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形中位線定理以及勾股定理，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1.用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上相應(yīng)位置書寫作答，在試題卷上作答，答案無(wú)效．2.作圖可先用2B鉛筆畫出，確定后必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆描黑．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.11.若有意義，則x的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．根據(jù)二次根式的性質(zhì)意義，被開方數(shù)大于等于0，即可求得．【詳解】解：由題意得，解得：，故答案為：12.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的長(zhǎng)是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)的距離，直接根據(jù)勾股定理即可得出答案．【詳解】解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)O的坐標(biāo)為．故答案為：．13.若菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8，則該菱形的面積為________．【答案】24【解析】【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形的面積等于其對(duì)角線乘積的一半進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8，∴該菱形的面積為，故答案為：．14.如圖，在中，平分，，，則的長(zhǎng)為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)得，進(jìn)而可得，再根據(jù)即可求解，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，平分，，，，，，故答案為：．15.若，則的值為______．【答案】1【解析】【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值和完全平方公式將原式根據(jù)完全平方公式變形，再將值代入計(jì)算即可得出答案．【詳解】故答案為：．16.如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)D在線段上，過(guò)D作于E，于F，點(diǎn)G，H分別是的中點(diǎn)，若，則下列結(jié)論正確的是____．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①；②的最小值是；③的面積始終保持不變；④是等腰三角形．【答案】①④##④①【解析】【分析】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等．證明四邊形是矩形，可得，可判斷①；連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，即的最小值的長(zhǎng)，可判斷②；設(shè)，則，可得到的面積隨x的變化而變化，可判斷③；再由直角三角形的性質(zhì)可判斷④．【詳解】解：∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，即，故①正確；如圖，連接，∵點(diǎn)G，H分別是的中點(diǎn)，是等腰直角三角形，四邊形是矩形，∴點(diǎn)G，D，A三點(diǎn)共線，，且，∴，∴當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，即的最小值的長(zhǎng)，∵，∴，∴，∴的最小值是，故②錯(cuò)誤；∵四邊形是矩形，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，∴的面積為，∴的面積隨x的變化而變化，故③錯(cuò)誤；∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴是等腰三角形，故④正確．故答案為：①④三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.計(jì)算：．【答案】5【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，涉及到算術(shù)平方根、零次冪、完全平方公式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．依次計(jì)算算術(shù)平方根、零次冪、完全平方公式，再計(jì)算有理數(shù)的加減即可得出答案算術(shù)平方根、零次冪、完全平方公式．【詳解】解：18.解不等式組：【答案】【解析】【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元一次不等式的方法．先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)口訣“同大取大”即可確定不等式組的解集．【詳解】解不等式組：解：解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式組的解集為．19.如圖，在中，，于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．【答案】【解析】【分析】本題考查了垂線的定義以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂線的定義得出，在中，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)線段的和差求出，然后在中，利用勾股定理即可求出的值．【詳解】解：，中，，在中，．20.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先將括號(hào)里面的通分，再根據(jù)分式的除法法則把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約分，最后將值代入計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原式21.如圖，平行四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交于點(diǎn)．求證：．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，由平行線的性質(zhì)可得，證明，即可得證．【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，．22.如圖，在中，．（1）尺規(guī)作圖：在邊上找出點(diǎn)D，使得；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）條件下，連接，若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）5【解析】【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、垂直平分線的尺規(guī)作圖、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，理解垂直平分線的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．（1）作線段的垂直平分線，其于的交點(diǎn)即為所求；（2）設(shè)，由（1）知，進(jìn)而得到、，再根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，點(diǎn)即為所求；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，由（1）知，，，，，，，，解得，．23.【閱讀材料】我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)．使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)．使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值．例如，求代數(shù)式的最小值．可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．再例如，求代數(shù)式的最大值．．可知，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是15．【類比應(yīng)用】（1）求當(dāng)取何值時(shí)，代數(shù)式有最大或最小值？這個(gè)最大或最小值是多少？【遷移應(yīng)用】（2）如圖，在四邊形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，且，，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是7；（2）當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是8【解析】【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行解題是關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，由，再結(jié)合題干中的信息即可得出答案；（2）設(shè)，四邊形的面積為，得出，依據(jù)題意，由，根據(jù)完全平方公式變形為，進(jìn)而即可得出答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是7；（2）解：設(shè)，四邊形的面積為，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是8．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)，分別在軸，軸上．點(diǎn)在上，過(guò)作分別交軸，軸于，，過(guò)作交軸于，連接，且．（1）求證：四邊形是矩形；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為，且，滿足．連接交軸于．①求的長(zhǎng)；②求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①；②點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）根據(jù)垂線的定義及平行線的判定得出，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等即可證明四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)有一個(gè)角為直角的平行四邊形為矩形即可得證；（2）①法一：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)垂線的定義得出，根據(jù)非負(fù)性得出，，從而得出，再根據(jù)矩形的性質(zhì)利用證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；法二：根據(jù)非負(fù)性得出，，從而得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)得出，利用證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；②設(shè)，則，根據(jù)得出，再根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理即可求出的值，進(jìn)一步可得出的值，即可得出答案．【小問(wèn)1詳解】證明：，，，，，四邊形為平行四邊形，四邊形為矩形；【小問(wèn)2詳解】①解：法一：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)則，，，，，四邊形是矩形，四邊形是矩形，，，；法二：如圖：，，，，，四邊形為矩形，，，，，，，；②解：如圖設(shè)，則，，，，，四邊形為矩形，，四邊形為矩形，，，解得，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)、勾股定理、非負(fù)性、全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．25.如圖，是正方形外一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．連接，，且．（1）試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求證：平分；（3）如備用圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，，連接，若．求的值．【答案】（1）．理由見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及直