導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義

第五章《一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義[核心素養(yǎng)·學(xué)習(xí)目標(biāo)]學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，理解導(dǎo)數(shù)幾何意義，會(huì)求某點(diǎn)處的切線方程.課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)1.函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義：設(shè)PPn是曲線y＝f(x)的割線，當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為曲線y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線．(2)導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)f′(x0)表示曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(3)切線方程：曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3.導(dǎo)函數(shù)對(duì)為函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)),即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).知識(shí)講解知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一.割線的定義：函數(shù)y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均變化率為eq\f(Δy,Δx)，它是過A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))兩點(diǎn)的直線的斜率，這條直線稱為曲線y＝f(x)在點(diǎn)A處的一條割線．知識(shí)點(diǎn)二.切線的定義：切線的概念：如圖，對(duì)于割線PPn，當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線．知識(shí)點(diǎn)三.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率．也就是說，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0)．即k=lim?x→mfx0+?x-f(x0)?x曲線的切線并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可以有多個(gè)，甚至可以無窮多．與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線也不一定是曲線的切線．知識(shí)點(diǎn)四.割線斜率與切線斜率設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，直線AB是過點(diǎn)A(x0，f(x0))與點(diǎn)B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一條割線，此割線的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝fx0+?當(dāng)點(diǎn)B沿曲線趨近于點(diǎn)A時(shí)，割線AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，它的極限位置為直線AD，直線AD叫做此曲線在點(diǎn)A處的切線．于是，當(dāng)Δx→0時(shí)，割線AB的斜率無限趨近于過點(diǎn)A的切線AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))fx0+?知識(shí)點(diǎn)五.導(dǎo)函數(shù)的定義從求函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看出，當(dāng)x＝x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)．這樣，當(dāng)x變化時(shí)，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù))．y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作f′(x)或y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))fx0+?注意：區(qū)別聯(lián)系f′(x0)f′(x0)是具體的值，是數(shù)值在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)值【大招總結(jié)】大招1在點(diǎn)“P”處的切線【方法總結(jié)】求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟大招2過點(diǎn)“P”處的切線【方法總結(jié)】過點(diǎn)“P”處的切線：(1)過某點(diǎn)的含義，切線過某點(diǎn)，這點(diǎn)不一定是切點(diǎn)．(2)過曲線外的點(diǎn)P(x1，y1)求曲線的切線方程的步驟①設(shè)切點(diǎn)為Q(x0，y0)；②求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)；=3\*GB3③利用Q在曲線上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)；=4\*GB3④根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．大招3求切點(diǎn)坐標(biāo)【方法總結(jié)】求切點(diǎn)坐標(biāo)的一般步驟(1)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)．(2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率．(3)利用斜率關(guān)系列方程，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(4)把橫坐標(biāo)代入曲線或切線方程，求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)．大招4利用圖象理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義【方法總結(jié)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)大小的問題可以用數(shù)形結(jié)合思想來解決．(1)曲線f(x)在x0附近的變化情況可通過x0處的切線刻畫．f′(x0)>0說明曲線在x0處的切線的斜率為正值，從而得出在x0附近曲線是上升的；f′(x0)<0說明在x0附近曲線是下降的．(2)曲線在某點(diǎn)處的切線斜率的大小反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢．曲線的升降、切線的斜率與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系如下表：曲線f(x)在x＝x0附近切線的斜率k切線的傾斜角f′(x0)>0上升k>0銳角f′(x0)<0下降k<0鈍角f′(x0)＝0k＝0零角(切線與x軸平行)大招5函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系【方法總結(jié)】若f′（x0）=0，則函數(shù)在x=x0處切線斜率k=0；若f′（x0）>0，則函數(shù)在x=x0處切線斜率k≥0，且函數(shù)在x=x0附近單調(diào)遞增，且f′（x0）越大，說明函數(shù)圖象變化的越快；若f′（x0）<0，則函數(shù)在x=x0處切線斜率k≤0，且函數(shù)在x=x0附近單調(diào)遞減，且|f′（x0）|越大，說明函數(shù)圖象變化的越快.典型例題典型例題【例1】已知，則在處的導(dǎo)數(shù)（）A． B．1 C． D．3【答案】C【詳解】，．故選：C【例2】對(duì)于函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(1,x2)，其導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)值的點(diǎn)是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))【詳解】f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,x0＋Δx2)－\f(1,x\o\al(2,0)),Δx)＝－eq\f(2,x\o\al(3,0)).由題意知，f′(x0)＝f(x0)，即－eq\f(2,x\o\al(3,0))＝eq\f(1,x\o\al(2,0))，解得x0＝－2，從而y0＝eq\f(1,4).【例3】已知曲線方程為,求:（1）點(diǎn)處的切線方程（2）過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程.【答案】(1).(2)或.【詳解】(1).又點(diǎn)在曲線上,∴.故所求切線的斜率,故所求切線的方程為,即.(2)∵點(diǎn)不在曲線上,∴設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,由(1)知,∴切線的斜率,切線方程為.又∵點(diǎn)在切線上,∴解得或.∴切點(diǎn)坐標(biāo)為,.故所求切線方程為或,即或.【例4】已知函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】解：由函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，函數(shù)圖象切線斜率逐漸增大，單調(diào)遞增，，，，，故選：A．【例5】已知曲線y1＝2－eq\f(1,x)與y2＝x3－x2＋2x在x＝x0處的切線的斜率之積為3，則x0的值為()A．－2 B．1C.eq\f(1,2) D．2【答案】B【詳解】由題意知，y1′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy1,Δx)＝eq\f(1,x2)，y2′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy2,Δx)＝3x2－2x＋2，所以兩曲線在x＝x0處的切線的斜率分別為eq\f(1,x\o\al(2,0))，3xeq\o\al(2,0)－2x0＋2.由題意可知，eq\f(3x\o\al(2,0)－2x0＋2,x\o\al(2,0))＝3，所以x0＝1.【例6】若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象不可能是（）A．B．C．D．【答案】BCD【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，即在區(qū)間上，函數(shù)各點(diǎn)處的斜率k是遞增的，由圖知選BCD．故選：BCD.強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．過原點(diǎn)作曲線的切線，則切線的斜率為（

）A．e B． C．1 D．【答案】B【解析】先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)為，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率為，從而可得切線方程為，再將原點(diǎn)坐標(biāo)代入可得切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再將代入曲線方程中可求出的值，進(jìn)而可得切線的斜率【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以，得，因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上，所以，解得，所以切線的斜率為，故選：B2．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷選項(xiàng).【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷斜率大小，可知故選：C3．已知函數(shù)的圖象在處的切線為，則與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)解析式得且，，可求，進(jìn)而求與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.【詳解】由題意，且，，得，，∴的方程為，則與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,2)，，∴故與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．故選：B.4．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程；【詳解】解：由，得，所以，，所以切線方程為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.5．已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實(shí)數(shù)a＝（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，求解即可.【詳解】由且x不為0，得設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以，可得.故選：C6．曲線在點(diǎn)處的切線與直線和圍成的三角形的面積為A． B． C． D．1【答案】A【詳解】，所以在點(diǎn)處的切線方程為，它與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，所以三角形面積為故選：A7．曲線在處的切線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，再求切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)后可得面積．【詳解】由已知，，又，所以切線方程為，即，令得，令得，所以三角形面積為．故選：A．8．已知函數(shù)在處的切線方程為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】求得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得，得到，再求得切點(diǎn)代入函數(shù)的解析式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，則，可得，即切線的斜率，所以，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，即切點(diǎn)代入函數(shù)，可得，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點(diǎn)處的切線方程及其應(yīng)用，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，合理計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力.二、多選題9．在曲線上切線的傾斜角為的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到所求切點(diǎn)【詳解】切線的斜率，設(shè)切點(diǎn)為，則，又，所以，所以或，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為或．故選：AB．10．（多選題）下列函數(shù)在點(diǎn)處有切線的是（

）．A． B．C． D．【答案】ABD【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：，，此時(shí)切線的斜率為，故在點(diǎn)處有切線B：，，此時(shí)切線的斜率為，故在點(diǎn)處有切線C：，在處不可導(dǎo)，則在處沒有切線D：，，此時(shí)切線的斜率為，故在點(diǎn)處有切線.故選：ABD11．已知過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)的取值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)求切線斜率，然后由直線過得斜率，從而求，根據(jù)有兩解可得．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由題意，所以，整理得，此方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，或．故選：AD．12．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為為上一動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的值為4B．當(dāng)時(shí)，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為C．的最小值為3D．的最大值為【答案】ACD【分析】對(duì)于A，將代入拋物線方程可求出，然后利用拋物線的定義可求出的值，對(duì)于B，求出點(diǎn)的坐標(biāo)后，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線方程，對(duì)于C，過點(diǎn)作準(zhǔn)線于點(diǎn)，由拋物線的定義可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，對(duì)于D，連接并延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)，此點(diǎn)即取最大值的點(diǎn)，從而可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，由可得，所以，所以拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，整理得：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線于點(diǎn)，則由拋物線定義可知：，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，和最小，最小值為，故C正確；對(duì)于D，由題意得：，連接并延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)，此點(diǎn)即取最大值的點(diǎn)，此時(shí)，其他位置的點(diǎn)，由三角形兩邊之差小于第三邊得：，故的最大值為，故D正確.故選：ACD三、填空題13．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【分析】利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.【詳解】，故切點(diǎn)為.，所以切線方程為，即.故答案為：14．過原點(diǎn)作函數(shù)的切線，則切線方程為.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線為，由切點(diǎn)在切線上求，寫出切線方程即可.【詳解】∵，若切點(diǎn)為，則切線為，∴，可得，∴切線方程為.故答案為：15．若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用切線求最小值.【詳解】令，則的最小值為兩個(gè)函數(shù)與的圖像上的兩點(diǎn)之間的距離的最小值的平方，，設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點(diǎn)為，則，解得，可得切點(diǎn)，切點(diǎn)到直線的距離.的最小值為.故答案為：.16．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則．【答案】2．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，再利用切線的斜率的不同表示方法列出關(guān)于a，t的方程，求解即可得到結(jié)論．【詳解】函數(shù)f（x）＝ex+ax，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝ex+a，f′（0）＝1+a，f（0）＝1，∴切線方程為y=(1+a)x+1，又的導(dǎo)函數(shù)y′=，令切點(diǎn)坐標(biāo)為（t，lnt），則有，解得t=1，a=故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的斜率表示，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題17．如圖，已知直線l是曲線在處的切線，求．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在處的切線的斜率即可.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線斜率等于在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，所以的值等于在處的切線斜率，又切線過，；由圖可知；18．已知函數(shù)，求的解析式.【答案】.【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再利用條件解得參數(shù)，從而得到的解析式.【詳解】，，又，則有由①②解得：所以的解析式是19．已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若，證明不等式在上成立.【答案】（1）；（2