湖北省咸寧市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

咸寧市2023—2024學(xué)年度下學(xué)期高中期末考試高二數(shù)學(xué)試卷本試卷共6頁(yè)，時(shí)長(zhǎng)120分鐘，滿分150分．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知i為虛數(shù)單位，若，則（）A．B．C．2D．2．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.73．已知向量滿足．若,則實(shí)數(shù)（）A．B．C．3D．4．已知函數(shù),則不等式的解集為（）A．B．C．D．5．一個(gè)容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1,2,2，3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,則該組數(shù)據(jù)的的上四分位數(shù)為（）A．5B．5.5C．14D．14.56．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量與關(guān)于x軸對(duì)稱，向量若滿足的點(diǎn)A的軌跡為E,則（）A．E是一條垂直于x軸的直線B．E是一個(gè)半徑為1的圓C．E是兩條平行直線D．E是橢圓7．由0,2,4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成的數(shù)列記為,即,若,則（）A．34B．33C．32D．308．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線E的右支交于A,B兩點(diǎn)，若,且雙曲線E的離心率為，則（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知A,B為隨機(jī)事件，,則下列結(jié)論正確的有（）A．若A,B為互斥事件，則B．若,則C．若A,B為互斥事件，則D．若A,B相互獨(dú)立，則10．牛頓在《流數(shù)法》一書(shū)中，給出了高次代數(shù)方程根的一種數(shù)值解法——牛頓法，用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)．如圖，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為;用代替重復(fù)上面的過(guò)程得到;一直下去，得到數(shù)列,叫作牛頓數(shù)列．若函數(shù)且,數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．11．把底面為橢圓且母線與底面都垂直的柱體稱為“橢圓柱”．如圖，橢圓柱中橢圓長(zhǎng)軸,短軸為下底面橢圓的左右焦點(diǎn)，為上底面橢圓的右焦點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為過(guò)點(diǎn)的下底面的一條動(dòng)弦（不與重合），則下列選項(xiàng)正確的是（）A．當(dāng)平面時(shí)，P為的中點(diǎn)B．三棱錐外接球的表面積為C．若點(diǎn)Q是下底面橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是點(diǎn)Q在上底面的射影，且與下底面所成的角分別為,則的最大值為D．三棱錐體積的最大值為8三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________．13．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍為_(kāi)_________．14．2024年奧運(yùn)會(huì)將于7月26日~8月11日在法國(guó)巴黎舉行，而承辦2024巴黎奧運(yùn)會(huì)足球項(xiàng)目的是著名的巴黎王子公園球場(chǎng)（如圖），足球場(chǎng)的B底線寬碼，球門(mén)寬碼，球門(mén)位于底線的正中位置．在比賽過(guò)程中，攻方球員帶球運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往需要找到一點(diǎn)P,使得最大，這時(shí)候點(diǎn)P就是最佳射門(mén)位置．當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點(diǎn)O處時(shí)，根據(jù)場(chǎng)上形勢(shì)判斷，有兩條進(jìn)攻線路可供選擇，若選擇線路,則甲帶球__________碼時(shí)，到達(dá)最佳射門(mén)位置；若選擇線路,則甲帶球__________碼時(shí)，到達(dá)最佳射門(mén)位置．（第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在中，角A,B,C所對(duì)的邊為,角A的平分線交邊于點(diǎn)D,且．（1）求A的值；（2）若，求的面積．16．（本小題滿分15分）如圖，在四棱柱中，底面為直角梯形，．（1）證明：平面;（2）若平面,求二面角的正弦值．17．（本小題滿分15分）三月“與輝同行”攜手湖北文旅，云游湖北省博物館、賞東湖櫻花園、夜上黃鶴樓……一路走來(lái)，講述關(guān)于湖北的歷史人文、詩(shī)詞歌賦，為廣大網(wǎng)友帶來(lái)一場(chǎng)荊楚文化的饕餮盛宴．湖北文旅因此火爆出圈，湖北各地相繼迎來(lái)了旅游熱潮．咸寧的大幕東源花谷，向陽(yáng)湖花海的美景、美食、文化和人情也吸引了大批游客紛至沓來(lái)，現(xiàn)對(duì)3月中下旬至4月上旬的大幕東源花谷賞花節(jié)會(huì)部分游客做問(wèn)卷調(diào)查，其中75%的游客計(jì)劃只游覽大幕東源花谷，另外25%的游客計(jì)劃既游覽大幕東源花谷又參加“向陽(yáng)花田”音樂(lè)會(huì)．每位游客若只游覽大幕東源花谷，則得到1份文旅紀(jì)念品；若既游覽大幕東源花谷又參加“向陽(yáng)花田”音樂(lè)會(huì)，則獲得2份文旅紀(jì)念品．假設(shè)每位來(lái)大幕東源花谷游覽的游客與是否參加“向陽(yáng)花田”音樂(lè)會(huì)是相互獨(dú)立的，用頻率估計(jì)概率．（1）從大幕東源花谷的游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人獲得文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）記n個(gè)游客得到文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為個(gè)的概率為,求的前n項(xiàng)和．18．（本小題滿分17分）已知為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．設(shè)直線的斜率分別為，且滿足．記P的軌跡為曲線．（1）求的軌跡方程；（2）直線分別交動(dòng)直線于點(diǎn)C、D,過(guò)點(diǎn)C作的垂線交x軸于點(diǎn)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說(shuō)明理由．19．（本小題滿分17分）羅爾定理是高等代數(shù)中微積分的三大定理之一，它與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)，是由法國(guó)數(shù)學(xué)家米歇爾·羅爾于1691年提出的．它的表達(dá)如下：如果函數(shù)滿足在閉區(qū)間連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且,那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)m,使得．（1）運(yùn)用羅爾定理證明：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，在區(qū)間上可導(dǎo)，則存在,使得；（2）已知函數(shù),若對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）證明：當(dāng)時(shí)，有．

咸寧市2023—2024學(xué)年度下學(xué)期高中期末考試高二數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．題號(hào)12345678答案CABADBBD8．D【解析】因?yàn)殡p曲線E的離心率為，所以,因?yàn)?所以,由雙曲線的定義可得,所以,在中，由余弦定理得，在中，,設(shè),則，由得,解得,所以，所以．故選D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．題號(hào)91011答案ABDACACD10．AC【解析】，所以在點(diǎn)處的切線方程，令,得，故A正確．，故，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤，C正確，所以,故D錯(cuò)誤．故選AC．11．ACD【解析】方法1：對(duì)于A:由題設(shè)，長(zhǎng)軸長(zhǎng),短軸長(zhǎng)，則,得分別是中點(diǎn)，而柱體中為矩形，連接,由,∴四邊形為平行四邊形，,當(dāng)平面時(shí)，平面,平面平面,則,有,中，是中點(diǎn)，則P為的中點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B:,則中，，外接圓半徑為,,則平面,三棱錐外接球的半徑為,所以外接球的表面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C:點(diǎn)Q是下底面橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是點(diǎn)Q在上底面的射影，且與下底面所成的角分別為,令,則,又,則，，由橢圓性質(zhì)知，則當(dāng)或時(shí)，的最大值為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D:由,要使三棱錐體積最大，只需的面積和M,N到平面距離之和都最大，,令,且，則,，當(dāng)時(shí)，有最大值,在下底面內(nèi)以O(shè)為原點(diǎn)，構(gòu)建如上圖的直角坐標(biāo)系，且,則橢圓方程為，設(shè),聯(lián)立橢圓得，，令，由對(duì)勾函教性質(zhì)可知在上遞增，，綜上，三棱錐體積的最大值為,D選項(xiàng)正確．故選ACD．方法2：對(duì)于A:連接,因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,所以,因?yàn)?所以,因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以P為中點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B:設(shè)球心為Q,則,所以,所以,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C:，所以，故C正確；對(duì)于D,設(shè)，則，所以，設(shè),所以（時(shí)），所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確，故選ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．1013．【解析】方法1：法一：換元法令．方法2：目標(biāo)函數(shù)+伸縮變換令．14．【解析】方法1：米勒?qǐng)A選擇線路,以為弦的圓與相切于,連最大．所以甲帶球至?xí)r，到達(dá)最佳射門(mén)位置．由切割線定理，得,即,所以甲帶球碼時(shí)，到達(dá)最佳射門(mén)位置．選擇線路,以為弦的圓與相切于,連最大．所以甲帶球至?xí)r，到達(dá)最佳射門(mén)位置，由切割線定理，得,即，所以甲帶球碼時(shí)，到達(dá)最佳射門(mén)位置．方法2：代數(shù)方法若選擇線路，設(shè)，其中,則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí),所以，若選擇線路,則甲帶球碼時(shí)，到達(dá)最佳射門(mén)位置；若選擇線路,以線段的中點(diǎn)N為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x、y軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，其中，所以，，令，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，,所以，若選擇線路,則甲帶球碼時(shí)，到達(dá)最佳射門(mén)位置．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．【解析】（1）因?yàn)?由正弦定理可得,3分，所以,故，5分又．6分（2）由題意可知,7分即,化簡(jiǎn)得,9分在中，由余弦定理推論得，10分從而，11分解得或（舍）．12分所以．13分16．【解析】方法一：（1）如圖，取中點(diǎn)中點(diǎn)N,連接．因?yàn)?所以,所以四邊形是平行四邊形，所以．1分又,所以,所以四邊形是平行四邊形．2分因?yàn)?所以四邊形是平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面．3分同理可得平面．5分又平面平面,所以平面平面．6分又平面,所以平面．7分（2）如圖，以A為原點(diǎn)，以的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以．8分設(shè)是平面的法向量，則，所以，所以．9分取,則,所以是平面的一個(gè)法向量．10分設(shè)是平面的法向量，則，所以，所以．11分取，則,所以是平面的一個(gè)法向量．12分設(shè)二面角的大小為,則，13分．14分所以，即二面角的正弦值為．15分方法二：（1）證明：如圖，取中，點(diǎn)M,連接．因?yàn)?所以,所以四邊形是平行四邊形，所以．2分又,所以,所以四邊形是平行四邊形．3分因?yàn)?所以,4分所以四邊形是平行四邊形，所以．5分又平面平面,6分所以平面,即平面．（2）如圖，以A為原點(diǎn)，以的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則,7分所以8分所以，9分所以是平面的一個(gè)法向量．10分設(shè)是平面的法向量，則,所以，11分取,則,所以是平面的一個(gè)法向量．12分設(shè)二面角的大小為，則13分，14分所以,即二面角的正弦值為．15分17．【解析】（1）據(jù)題意，每位游客只游覽大幕東源花谷的概率為，得到1份文旅紀(jì)念品；既游覽大幕東源花谷又參加“向陽(yáng)花田”音樂(lè)會(huì)的概率為，獲得2份文旅紀(jì)念品，則X的可能取值為3,4,5,6，2分其中，3分，4分，5分，6分所以X的分布列為X3456P．7分（2）因?yàn)閚個(gè)游客得到文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為個(gè)，則只有1人既游覽大幕東源花谷又參加“向陽(yáng)花田”音樂(lè)會(huì)，于是,10分則．12分于是，13分兩式相減，得，14分所以．15分18．【解析】（1）設(shè)點(diǎn),則，因?yàn)?，所以?分整理得，5分所以的方程為．6分（2）方法一：設(shè)，則，故直線的斜率存在且不為0，則直線，即，則點(diǎn)．8分又直線，即，則點(diǎn)．10分又直線的斜率為，故直線，令,得．12分又在橢圓上，則，整理得，所以，則．