2023-2024學(xué)年上海市第四中學(xué)高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題：（1-6每題3分，7-12每題4分，共42分）1.用描述法表示所有正奇數(shù)集______．〖答案〗〖解析〗正奇數(shù)可表示為，故對應(yīng)集合為.故〖答案〗為：.2設(shè)集合，，則___________.〖答案〗〖解析〗由題意，根據(jù)交集的定義，故〖答案〗為：.3.滿足的集合M共有______個(gè)．〖答案〗4〖解析〗根據(jù)可得可以為，故共有4個(gè)符合條件的集合，故〖答案〗為：4.4.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗由于，所以，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.5.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則______．〖答案〗-5〖解析〗因關(guān)于x的不等式的解集為，則是方程的二根，則有，解得，所以.故〖答案〗為：-5.6.設(shè)全集，，，則實(shí)數(shù)______．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)知：，所以或，顯然時(shí)中元素不滿足互異性，而滿足題設(shè)，所以.故〖答案〗為：.7.不等式的解集為，則a的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題意.故〖答案〗為：.8.“”是關(guān)于x的方程的解集為的______條件．〖答案〗必要不充分〖解析〗，則，當(dāng)則無解，當(dāng)則解集為，充分性不成立；關(guān)于x的方程解集為，則，必要性成立；所以“”是關(guān)于x的方程的解集為的必要不充分條件.故〖答案〗為：必要不充分.9.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，又，若，則；若，則，則，或；綜上，.故〖答案〗為：.10.已知集合，，則___________．〖答案〗〖解析〗，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此，由得：，解得：，因此，所以.故〖答案〗為：.11.已知為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗由題意，，又，∴．，，，∴．故〖答案〗為：．12.若且，則的最大值是____________．〖答案〗7〖解析〗，則，解得：，即，因?yàn)榍?，所以，故，故的最大值?，故〖答案〗為：7.二、選擇題：（每小題4分，共16分）13.“關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.非充分非必要條件〖答案〗B〖解析〗若方程有實(shí)數(shù)根，則，即，但不一定有，充分性不成立；若，則，即方程有實(shí)數(shù)根，必要性成立；所以“關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根”是“”的必要非充分條件.故選：B.14.十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a，b，，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗C〖解析〗A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：，因?yàn)榈姆柌淮_定，所以的符號也不能確定，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：，因?yàn)?，所以，，，即，則，故C正確；D選項(xiàng)：，因?yàn)?，所以，，即，，故D錯(cuò).故選：C.15.若集合有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2，18 B.2 C.18 D.0，2，18〖答案〗D〖解析〗由題意，集合A中只有一個(gè)元素，即方程僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，，可得或；當(dāng)時(shí)，方程為僅有一解，滿足題設(shè)；綜上，實(shí)數(shù)a的值為0，2，18.故選：D.16.設(shè)數(shù)集，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“長度”，那么集合M∩N的“長度”的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，M的長度為，N的長度為，當(dāng)集合M∩N的長度的最小值時(shí)，M與N應(yīng)分別在區(qū)間[0，1]的左右兩端，故M∩N的長度的最小值是，故選C．三、解答題：（總分42分6+8+8+10+10）17.證明：．解：由，故，得證.18.設(shè)m、k均為實(shí)數(shù)，求關(guān)于x的方程的解集．解：由題設(shè)，討論如下：若，即時(shí)，則：當(dāng)，此時(shí)方程的解集為；當(dāng)，此時(shí)方程無解，故解集為；若，即時(shí)，則，此時(shí)方程解集為.19.若集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）由，則，而，所以，.（2）由，而，若，顯然不成立，即，所以，m的取值范圍為.20.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，且，求p的值．解：（1）因?yàn)?，所?即1是方程的根，所以，解得，所以由方程解得或，所以,又由解得或，所以,所以.（2）由題可知是方程的兩個(gè)根，因?yàn)?，所以，解得或，由韋達(dá)定理得，因?yàn)?，即解得或，又因?yàn)榛?，所?21.已知關(guān)于x的不等式．（1）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：（1）由題設(shè)知：是方程的兩個(gè)根，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題設(shè)，所以.（2）令，則在上恒成立，而開口向上且對稱軸，故，即，所以，此時(shí)對稱軸，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，只需，此時(shí)；綜上，.四、附加題：（本大題共5+5+5+5=20分）22.設(shè)，是方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則______．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)且，所以.故〖答案〗為：.23.已知等式對恒成立，則_________〖答案〗〖解析〗因?yàn)閷愠闪?，所以對恒成立，所以，解得，所以，故〖答案〗為?24.設(shè)集合A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對于任意的，如果且，則稱k為集合A的一個(gè)“孤立元”，給定集合，由M中的3個(gè)元素組成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有______個(gè)．〖答案〗7〖解析〗由題意，若是由M中的3個(gè)元素組成的集合，當(dāng)且1為孤立元，則；當(dāng)且2為孤立元，則；當(dāng)且3為孤立元，則；當(dāng)且4為孤立元，則；當(dāng)且5為孤立元，則；當(dāng)且6為孤立元，則；當(dāng)且7為孤立元，則；當(dāng)且8為孤立元，則；當(dāng)且9為孤立元，則；要使不含有“孤立元”：若，則，進(jìn)而有，即滿足；若且，則，進(jìn)而有，即滿足；若且，則，進(jìn)而有，即滿足；依次類推，都滿足，綜上，由M中的3個(gè)元素組成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有7個(gè).故〖答案〗為：7.25.設(shè)A是集合的非空子集，稱A中的元素之和為A的“容量”，則S的所有非空子集的“容量”之和為______．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，的非空子集有，含一個(gè)元素的子集“容量”之和為，含兩個(gè)元素的子集“容量”之和為，含三個(gè)元素的子集“容量”之和為，含四個(gè)元素的子集“容量”之和為，含五個(gè)元素的子集“容量”之和為，所以S的所有非空子集的“容量”之和為.故〖答案〗為：.上海市第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題：（1-6每題3分，7-12每題4分，共42分）1.用描述法表示所有正奇數(shù)集______．〖答案〗〖解析〗正奇數(shù)可表示為，故對應(yīng)集合為.故〖答案〗為：.2設(shè)集合，，則___________.〖答案〗〖解析〗由題意，根據(jù)交集的定義，故〖答案〗為：.3.滿足的集合M共有______個(gè)．〖答案〗4〖解析〗根據(jù)可得可以為，故共有4個(gè)符合條件的集合，故〖答案〗為：4.4.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗由于，所以，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.5.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則______．〖答案〗-5〖解析〗因關(guān)于x的不等式的解集為，則是方程的二根，則有，解得，所以.故〖答案〗為：-5.6.設(shè)全集，，，則實(shí)數(shù)______．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)知：，所以或，顯然時(shí)中元素不滿足互異性，而滿足題設(shè)，所以.故〖答案〗為：.7.不等式的解集為，則a的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題意.故〖答案〗為：.8.“”是關(guān)于x的方程的解集為的______條件．〖答案〗必要不充分〖解析〗，則，當(dāng)則無解，當(dāng)則解集為，充分性不成立；關(guān)于x的方程解集為，則，必要性成立；所以“”是關(guān)于x的方程的解集為的必要不充分條件.故〖答案〗為：必要不充分.9.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，又，若，則；若，則，則，或；綜上，.故〖答案〗為：.10.已知集合，，則___________．〖答案〗〖解析〗，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此，由得：，解得：，因此，所以.故〖答案〗為：.11.已知為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗由題意，，又，∴．，，，∴．故〖答案〗為：．12.若且，則的最大值是____________．〖答案〗7〖解析〗，則，解得：，即，因?yàn)榍?，所以，故，故的最大值?，故〖答案〗為：7.二、選擇題：（每小題4分，共16分）13.“關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.非充分非必要條件〖答案〗B〖解析〗若方程有實(shí)數(shù)根，則，即，但不一定有，充分性不成立；若，則，即方程有實(shí)數(shù)根，必要性成立；所以“關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根”是“”的必要非充分條件.故選：B.14.十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a，b，，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗C〖解析〗A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：，因?yàn)榈姆柌淮_定，所以的符號也不能確定，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：，因?yàn)?，所以，，，即，則，故C正確；D選項(xiàng)：，因?yàn)?，所以，，即，，故D錯(cuò).故選：C.15.若集合有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2，18 B.2 C.18 D.0，2，18〖答案〗D〖解析〗由題意，集合A中只有一個(gè)元素，即方程僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，，可得或；當(dāng)時(shí)，方程為僅有一解，滿足題設(shè)；綜上，實(shí)數(shù)a的值為0，2，18.故選：D.16.設(shè)數(shù)集，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“長度”，那么集合M∩N的“長度”的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，M的長度為，N的長度為，當(dāng)集合M∩N的長度的最小值時(shí)，M與N應(yīng)分別在區(qū)間[0，1]的左右兩端，故M∩N的長度的最小值是，故選C．三、解答題：（總分42分6+8+8+10+10）17.證明：．解：由，故，得證.18.設(shè)m、k均為實(shí)數(shù)，求關(guān)于x的方程的解集．解：由題設(shè)，討論如下：若，即時(shí)，則：當(dāng)，此時(shí)方程的解集為；當(dāng)，此時(shí)方程無解，故解集為；若，即時(shí)，則，此時(shí)方程解集為.19.若集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）由，則，而，所以，.（2）由，而，若，顯然不成立，即，所以，m的取值范圍為.20.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，且，求p的值．解：（1）因?yàn)?，所?即1是方程的根，所以，解得，所以由方程解得或，所以,又由解得或，所以,所以.（2）由題可知是方程的兩個(gè)根，因?yàn)?，所以，解得或，由韋達(dá)定理得，因?yàn)?，即解得或，又因?yàn)榛?，所?21.已知關(guān)于x的不等式．（1）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：（1）由題設(shè)知：是方程的兩個(gè)根，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題設(shè)，所以.（2）令，則在上恒成立，而開口向上且對稱軸，故，即，所以，此時(shí)對稱軸，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，只需，此時(shí)；綜上，.四、附加題：（本大題共5+5+5+5=20分）22.設(shè)，是方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則______．〖答案〗〖解析〗由題設(shè)且，所以.故〖答案〗為：.23.已知等式對恒成立，則_________〖答案〗〖解析〗因?yàn)閷愠闪?，所以對恒成立，所以，解得，所以，故〖答案〗為?24.設(shè)集合A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對于任意的，如果且，則稱k為集合A的一個(gè)“孤立元”，給定集合，由M中的3個(gè)元素組成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有______個(gè)．〖答案〗7〖解析〗由題意，若是由M中的3個(gè)元素組成的集合，當(dāng)且1為孤立元，則；當(dāng)且2為孤立元，則；當(dāng)且3為孤立元，則；當(dāng)且4為孤立元，則；當(dāng)且5為孤立元，則；當(dāng)且6為孤立元，則；當(dāng)且7為孤立元，則；當(dāng)且8為孤立元，則；當(dāng)且9為孤立元，則；要使不含有“孤立元”：若，則，進(jìn)