貴州省貴陽(yáng)2024-2025高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題

貴州省貴陽(yáng)2024-2025高三上學(xué)期10月月考試卷數(shù)學(xué)試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè).時(shí)間120分鐘，滿分150分.第Ⅰ卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【分析】令，可知的元素個(gè)數(shù)即為的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：的元素個(gè)數(shù)即為函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，令，則函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)單調(diào)遞增，且，可知在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，所以的元素個(gè)數(shù)為1.故選：A.2.若，其中是虛數(shù)單位，且，設(shè)，則為（）A.2 B. C.6 D.【答案】D【分析】化簡(jiǎn)可得，然后依據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件列出關(guān)系式，求出的值，依據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的求模運(yùn)算，即可得出答案.【詳解】由得，，所以且，解得，，所以，，所以.故選：D.3.的監(jiān)測(cè)值是用來評(píng)價(jià)環(huán)境空氣質(zhì)量的指標(biāo)之一.劃分等級(jí)為：日均值在以下，空氣質(zhì)量為一級(jí)；日均值在，空氣質(zhì)量為二級(jí)；日均值超過為超標(biāo).如圖是某地8月1日至日的日均值（單位：）變更的折線圖，下列關(guān)于日均值說法正確的是（）A.這10天日均值的70百分位數(shù)為60B.前4天的日均值的極差小于后4天的日均值的極差C.前4天的日均值的方差大于后4天的日均值的方差D.這10天的日均值的中位數(shù)為45【答案】B【詳解】解：對(duì)于A，將10天中日均值按從小到大排列為，，，，，，，，，，依據(jù)百分位數(shù)的定義可得，這10天中日均值的百分位數(shù)是，故選A錯(cuò)誤；對(duì)于B，前4天的日均值的極差為，后4天的日均值的極差為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由折線圖和方差的定義可知，前4天的日均值波動(dòng)性小，所以前4天的日均值的方差小于后4天日均值的方差，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，這天中日均值的中位數(shù)為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B4.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】A【分析】依據(jù)以及充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行推斷即可【詳解】由題意得數(shù)列為遞增數(shù)列等價(jià)于對(duì)隨意恒成立，即對(duì)隨意恒成立，故，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選：A5.若方程所表示的曲線為，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若曲線為雙曲線，則或B.若曲線橢圓，則C.曲線可能是圓D.若曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則【答案】B【分析】利用方程表示雙曲線求解的取值范圍可推斷A；方程表示橢圓求解可推斷B；方程是否表示圓可推斷C；方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓求解可推斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：方程表示雙曲線，則，解得或，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：方程表示橢圓，則，解得且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，方程表示圓，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故D正確；故選：B.6.兩個(gè)單位向量與滿意，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由題意可得，，依據(jù)可得，設(shè)與的夾角為，利用即可求解.【詳解】由題意可得，，且，所以.設(shè)與的夾角為，，則,所以.故選；D.7.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】利用倍角公式化簡(jiǎn)可得，代入結(jié)合誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.【詳解】∵，所以．故選：A．8.若對(duì)隨意正實(shí)數(shù)都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【分析】運(yùn)用分別參數(shù)求最值，即將原不等式化為，再構(gòu)造函數(shù)（），求其最大值，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】化簡(jiǎn)不等式可得，即：，令（），則對(duì)隨意的，，所以，設(shè)，，則，令，所以，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得：，即：的取值范圍為.故選：A.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，且，則（）A.B.C.D.【答案】BD【分析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合作差法逐一推斷即可.【詳解】因?yàn)?，且，則，所以，即，故A錯(cuò)誤；則，所以，故B正確；則，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確.故選：BD.10.如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以下說法正確的是（）A.當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變B.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C.若點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，則使直線與平面所成的角為的點(diǎn)的軌跡為橢圓D.若是的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，不存在點(diǎn)滿意平面【答案】AB【分析】依據(jù)體積公式，即可推斷A，建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)線線角，線面角，以及利用法向量推斷線面關(guān)系，即可推斷BCD.【詳解】A.當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為2，所以四棱錐的體積，故A正確；B.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，,，,，設(shè)與所成角為，則當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，所以，，故B正確；C.若點(diǎn)在底面上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，，平面的法向量為，則直線與平面所成的角為時(shí)，，化簡(jiǎn)為，則點(diǎn)的軌跡為圓，故C錯(cuò)誤；D.如圖，，，，，，，，，，，且，且平面，所以平面，即向量是平面的法向量，，，，若平面，則，即，直線與底面有公共點(diǎn)，即存在點(diǎn)滿意平面，故D錯(cuò)誤.故選：AB11.阿波羅尼斯是古希臘聞名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)覺：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值，且的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿意.設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（）A.的方程為B.點(diǎn)都在曲線內(nèi)部C.當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，則D.若，則的最小值為【答案】ACD【分析】對(duì)于A，通過干脆法求出點(diǎn)的軌跡方程即可推斷；對(duì)于B，利用點(diǎn)到圓心的距離，推斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；對(duì)于C，由題意，結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理進(jìn)行推斷即可；對(duì)于D，將轉(zhuǎn)化為進(jìn)行推斷即可．【詳解】設(shè)，不與，重合），由，，有，，，即，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡曲線是以為圓心，半徑的圓，如圖所示，對(duì)于A選項(xiàng)，由曲線方程為，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，點(diǎn)在曲線外，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由，，有，則當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形內(nèi)角平分線定理知，是內(nèi)角的角平分線，所以，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為，選項(xiàng)D正確．故選：ACD．12.定義在的函數(shù)滿意，且，都有，若方程的解構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，則下列說法中正確的是（）A.B.若數(shù)列為等差數(shù)列，則公差為6C.若，則D.若，則【答案】ABD【分析】對(duì)于A：依據(jù)題意結(jié)合周期性運(yùn)算求解；對(duì)于B：依據(jù)題意結(jié)合圖象分析推斷；對(duì)于B：整理可得，結(jié)合圖象分析推斷；對(duì)于D：依據(jù)圖象結(jié)合對(duì)稱性分析可得數(shù)列是以首項(xiàng)為7，公差為12的等差數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列學(xué)問運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)槎加?，即的圖象關(guān)于對(duì)稱，令，則，即，可知在內(nèi)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，依據(jù)題意作出在內(nèi)的圖象，如圖所示：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)槎x在的函數(shù)滿意，則，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由圖象可知：若數(shù)列為等差數(shù)列，則，此時(shí)與在內(nèi)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t，所以公差為6，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，可得，則，即與在內(nèi)有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則與在內(nèi)有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，且，因?yàn)?，則，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為7，公差為12的等差數(shù)列，可得，所以，故D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)用函數(shù)思想確定方程解的個(gè)數(shù)的兩種方法（1）轉(zhuǎn)化為兩熟識(shí)的函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)建不等式(方程)求解；（2）分別參數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題求解．第II卷三?填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知一個(gè)扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為________．【答案】【分析】利用扇形面積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)扇形半徑為，由題意可知，所以該扇形的面積為．故答案為：.14.分別為內(nèi)角的對(duì)邊．已知，則的最小值為________．【答案】##0.6【分析】因?yàn)?，所以代入，得到，并結(jié)合基本不等式，得到的最小值.【詳解】由余弦定理得．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).所以的最小值為故答案為：15.已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，列出不等式即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，依題意，不等式在上有解，等價(jià)于在上有解，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：．16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為______.【答案】##【分析】利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，以及橢圓的定義，利用齊次化方法求離心率.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，所?設(shè)，則，所以，由得，所以，所以，在中，由，得，所以.故答案為:.四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程及演算步驟.17.已知函數(shù)（，，）的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為．函數(shù)的最大值為2，且______．請(qǐng)從以下3個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線上，①為奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)；③是函數(shù)的一條對(duì)稱軸．并解答下列問題：（1）求函數(shù)的解析式；（2）在中，、，分別是角，，的對(duì)邊，若，，的面積，求的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）由最大值確定A，依據(jù)相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為確定最小正周期，從而確定，選①，可得，求解即可；選②，，求解即可；選③，整體思想，求解即可.（2）利用面積公式求出，結(jié)合余弦定理即可求解.【小問1詳解】由題意得，∴最小正周期，則，∴.若選①，為奇函數(shù)，則，∴，即∵，即，∴即，∴.若選②，當(dāng)時(shí)，∴即，∵，∴，∴.若選③，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，∴即∵，∴，∴.【小問2詳解】∵，∴,即，∵即，∴，即，又∵，的面積，∴得，在中，由余弦定理得：，解得.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿意，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)隨意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）由與的關(guān)系即可求解；（2）先用錯(cuò)位相減法求出，再由不等式恒成立問題的解法即可求解.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，∵，∴，兩式相減得，.∵，，所以，∴，∵，∴，∴數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．∴【小問2詳解】∵，∴，∴，∴，∴∴，∵對(duì)隨意恒成立，∴，∴，∴恒成立，∵，∴，∴的取值范圍是．19.如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，為中點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由勾股定理證明，再由，可證平面，即得，由，可證平面；（2）由題意證明得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)，求解平面的法向量，設(shè)，再由向量夾角的公式代入計(jì)算得，依據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式代入計(jì)算，可得答案.【小問1詳解】證明：由題知，，又，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，在正中，為中點(diǎn)，于是，又，平面，所以平面【小問2詳解】取中點(diǎn)為中點(diǎn)為，則，由（1）知，平面，且平面，所以，又，所以，平面所以平面，于是兩兩垂直.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，于是.設(shè)，則.由于直線與平面所成角的正弦值為，，即，整理得，由于，所以于是.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20.第22屆亞運(yùn)會(huì)將于2024年9月23日至10月8日在我國(guó)杭州實(shí)行，這是我國(guó)繼北京后其次次舉辦亞運(yùn)會(huì)，為迎接這場(chǎng)體育盛會(huì)，浙江某市確定舉辦一次亞運(yùn)會(huì)學(xué)問競(jìng)賽，該市A社區(qū)舉辦了一場(chǎng)選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參與決賽，決賽通過后將代表A社區(qū)參與市亞運(yùn)學(xué)問競(jìng)賽．已知A社區(qū)甲、乙、丙3位選手都參與了初賽且通過初賽的概率依次為，，，通過初賽后再通過決賽的概率均為，假設(shè)他們之間通過與否互不影響．（1）求這3人中至少有1人參與市學(xué)問競(jìng)賽的概率．（2）某品牌商贊助了A社區(qū)的這次學(xué)問競(jìng)賽，給參與選拔賽的選手供應(yīng)了兩種嘉獎(jiǎng)方案：方案一：參與了選拔賽的選手都可參與抽獎(jiǎng)，每人抽獎(jiǎng)1次，每次中獎(jiǎng)的概率均為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次嘉獎(jiǎng)600元：方案二：只參與了初賽的選手嘉獎(jiǎng)100元，參與了決賽的選手嘉獎(jiǎng)400元（包含參與初賽的100元），若品牌商希望賜予選手更多的嘉獎(jiǎng)，試從三人獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇哪種方案更好．【答案】（1）（2）從三人獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案二更好【分析】（1）依據(jù)獨(dú)立事務(wù)的概率，先分別求出甲乙丙三人參與市賽的概率，即可求出至少有1人參與市學(xué)問競(jìng)賽的概率．（2）分別求出兩個(gè)方案的嘉獎(jiǎng)期望，比較大小即可.【小問1詳解】甲參與市賽的概率為，乙參與市賽的概率為，丙參與市賽的概率為，至少1人參與市賽的概率為：．【小問2詳解】方案一：設(shè)三人中獎(jiǎng)人數(shù)為，所獲獎(jiǎng)金總額為元，則，且．所以元，方案二：記甲、乙、丙三人獲得獎(jiǎng)金之和為元，則的全部可能取值為300、600、900、1200，則，，，，所以，．所以，，所以從三人獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案二更好．21.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，若，且雙曲線焦距為4．（1）求雙曲線的方程；（2）假如為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，在軸負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）存在，坐標(biāo)為【分析】（1）利用雙曲線的定義求解即可；（2）在軸負(fù)半軸上假設(shè)存在點(diǎn)滿意題意，當(dāng)垂直于軸時(shí)，易得，當(dāng)不垂直于軸時(shí)，由斜率公式和二倍角正切公式也可解得.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以由雙