專(zhuān)題04 完全平方公式七種壓軸題型全攻略（解析版） 四川成都七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)-

專(zhuān)題04完全平方公式七種壓軸題型全攻略【知識(shí)點(diǎn)梳理】完全平方和（差）公式：注：=1\*GB3①a、b僅是一個(gè)符號(hào)，可以表示數(shù)、字母、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；=2\*GB3②使用公式時(shí)，一定要先變形成符合公式的形式拓展：利用可推導(dǎo)除一些變式=1\*GB3①=2\*GB3②注：變式無(wú)需記憶。在完全平方公式中，主要有、、、等模塊，都可以通過(guò)與相結(jié)合推導(dǎo)出來(lái)。類(lèi)型一、公式的變形與逆運(yùn)用例1．（2023下·四川成都·七年級(jí)成都市樹(shù)德實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）若．則．【答案】【分析】先利用完全平方公式求出，再由進(jìn)行代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，正確得到是解題的關(guān)鍵．例2．運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）本題考查整式的乘法公式，把看成一個(gè)整體，然后根據(jù)乘法公式：，即可；（2）本題考查整式的乘法公式，把看成一個(gè)整體，然后根據(jù)乘法公式：，即可．【詳解】（1）；（2）．【變式訓(xùn)練1】．已知，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】本題考查了完全平方公式、代數(shù)式求值，先將原式根據(jù)完全平方公式變形，再整體代入即可得出答案．【詳解】，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】計(jì)算(1)(2)【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：，（2）．類(lèi)型二、知二求二例．（2023下·四川成都·七年級(jí)成都七中?？计谥校┤?，，則的值為．【答案】90【分析】將變形得到，再把，代入進(jìn)行計(jì)算求解．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：90．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，完全平方公式的應(yīng)用，靈活運(yùn)用完全平方公式是解答關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．已知，，則．【答案】【分析】本題考查完全平方公式的展開(kāi)，兩式相加消去兩字母積即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴，，兩式相加得，，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】．已知,,則．【答案】5【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用,利用公式,將本題條件代入公式即可求得結(jié)果．【詳解】∵,,∴,∴．答案：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，完全平方公式的應(yīng)用，靈活運(yùn)用完全平方公式是解答關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．已知，，則的值是．【答案】1或/或1【分析】本題主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．由已知條件入手，把兩邊同時(shí)平方，就可以出現(xiàn)的形式，再結(jié)合，求出的值后，再求的值即可;【詳解】解：∵，，∴，∴，當(dāng)時(shí)：，當(dāng)時(shí)：．故答案為：1或．類(lèi)型三、求參數(shù)值例．（2023下·四川成都·七年級(jí)校考期中）若關(guān)于x的多項(xiàng)式是完全平方式，則a的值是．【答案】5或/或5【分析】根據(jù)完全平方公式的變形進(jìn)行求解即可．【詳解】∵，∴，解得或，故答案為：5或．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的變形，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．若關(guān)于的二次三項(xiàng)式是完全平方式，則常數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】本題考查了完全平方式，根據(jù)完全平方式的形式即可求解，熟記完全平方式的形式：“”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意得：，解得：，故選C．【變式訓(xùn)練2】．若是完全平方式，則（

）A．2 B．7 C． D．或7【答案】D【分析】本題主要考查了完全平方公式，完全平方公式的特征為：兩數(shù)的平方和再加上或減去它們積的2倍．根據(jù)解答即可．【詳解】解：∵多項(xiàng)式是完全平方式，∴，∴，解得：或，故選：D．【變式訓(xùn)練3】．如果關(guān)于的二次三項(xiàng)式是完全平方式，那么的值是.【答案】【分析】先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式(完全平方和、差公式)乘積二倍項(xiàng)即可確定m的值.【詳解】解：∵是完全平方式，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練4】．已知是一個(gè)完全平方式，則【答案】【分析】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，求k的值即可．【詳解】解：∵是一個(gè)完全平方式，∴故答案為．類(lèi)型四、與幾何圖形綜合例．（2023下·四川成都·七年級(jí)?？计谥校?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了圖1中三種不同大小的正方形與長(zhǎng)方形，拼成了一個(gè)如圖2所示的正方形．(1)請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積和．方法1：_________；方法2：__________．(2)請(qǐng)你直接寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系．(3)根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：①已知，，求和的值．②已知，求的值．【答案】(1)；(2)(3)①15；②16【分析】（1）利用陰影兩部分直接求和與用總面積減去空白部分面積兩種方法即可求解；（2）由圖2中陰影部分面積的表示即可得到答案；（3）①由（2）的關(guān)系可得，進(jìn)而求解即可；②設(shè)，則，，依題意，得，∴，利用整體思想求解即可．【詳解】（1）陰影兩部分求和為：；用總面積減去空白部分面積為：，故答案為：；；（2）由題意得，；（3）①由（2）得，∴，解得，∴，②設(shè)，則，，依題意，得，∴，可求得.由整體思想，得．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能根據(jù)完全平方公式的幾何背景準(zhǔn)確列式，并能運(yùn)用公式解決相關(guān)問(wèn)題．【變式訓(xùn)練1】．（2023下·四川成都·七年級(jí)成都市樹(shù)德實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校?）已知a﹣b＝4，ab＝5，求a2+b2和（a+b）2的值；（2）若x滿(mǎn)足（x﹣2023）2+（x﹣2010）2＝189，求（x﹣2023）（x﹣2010）的值；（3）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝11cm，點(diǎn)E，F(xiàn)是邊BC，CD上的點(diǎn)，EC＝6cm，且BE＝DF＝x，分別以FC，CB為邊在長(zhǎng)方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CBMN，若長(zhǎng)方形CBQF的面積為80cm2，求圖中陰影部分的面積和．

【答案】（1）26，36；（2）10；（3）129【分析】先把完全平方公式進(jìn)行變形，再整體代入求解，設(shè)，，再把完全平方公式進(jìn)行變形，再整體代入求解，設(shè)，，再把完全平方公式進(jìn)行變形，再整體代入求解．【詳解】（1），，，；（2）設(shè)，，則：，，；（3）設(shè)，，則：，，，，∴陰影部分的面積和為：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．（2023下·四川成都·七年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┰S多數(shù)學(xué)定理都是從圖形的面積關(guān)系中發(fā)現(xiàn)的．

(1)如圖1，用兩種不同的方法表示陰影圖形的面積，可以得到一個(gè)等量關(guān)系為；(2)若數(shù)m，n滿(mǎn)足，，求與的值；(3)如圖2，點(diǎn)E、G分別是正方形的邊上的點(diǎn)，分別以為邊作正方形和正方形，若線段的長(zhǎng)度為，長(zhǎng)方形的面積為，求陰影部分的面積．【答案】(1)；(2)，；(3)【分析】（1）分別用代數(shù)式表示圖1中各個(gè)部分的面積，再根據(jù)各個(gè)部分面積之間的關(guān)系即可得出答案；（2）利用（1）中的結(jié)論直接進(jìn)行計(jì)算即可；（3）設(shè)正方形和正方形的邊長(zhǎng)分別為x、y，由題意得出，，求出x、y的值，再代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：圖1中陰影部分的面積為兩個(gè)正方形的面積和，即，也可以看作從邊長(zhǎng)為的正方形面積減去兩個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形面積，即，因此有，故答案為：；（2）由（1）可得，∵，，∴，即，∴，∴或，答：，；（3）設(shè)正方形和正方形的邊長(zhǎng)分別為x、y，∵的長(zhǎng)度為，長(zhǎng)方形的面積為，∴，，解得，，∴陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提，用代數(shù)式表示各個(gè)部分的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．（2022下·四川成都·七年級(jí)?？计谥校知識(shí)生成]通常，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)恒等式．例如：如圖是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖的形狀拼成一個(gè)正方形．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）觀察圖，請(qǐng)你寫(xiě)出、、之間的等量關(guān)系是______；（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系解決如下問(wèn)題：若，，求的值；[知識(shí)遷移]類(lèi)似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一幾何體的體積，也可以得到一個(gè)恒等式．（3）根據(jù)圖，寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式：______；（4）已知，，利用上面的規(guī)律求的值．【答案】[知識(shí)生成]（1）；[知識(shí)遷移]（2）14（3）（4）9【分析】[知識(shí)生成]（1）觀察圖大正方形面積減中間小正方形面積等于個(gè)長(zhǎng)方形面積；（2）靈活利用上題得出的結(jié)論，靈活計(jì)算求解．[知識(shí)遷移]（3）利用兩種方式求解長(zhǎng)方體的體積，得出關(guān)系式．（4）利用上題得出得關(guān)系式，進(jìn)行變換，最終求出答案．【詳解】解：[知識(shí)生成]（1）用兩種方法表示出個(gè)長(zhǎng)方形的面積：即大正方形面積減中間小正方形面積等于個(gè)長(zhǎng)方形面積，可得：，（2）由題（1）知：，．[知識(shí)遷移]（3）根據(jù)題意得：．（4）由（3）可知，把，代入得：．．【點(diǎn)睛】考查了完全平方式的應(yīng)用，以及對(duì)完全平方式進(jìn)行了知識(shí)擴(kuò)展，考查了學(xué)生靈活應(yīng)變得能力．類(lèi)型五、配湊完全平方式例．（2022下·四川成都·七年級(jí)四川省成都市第七中學(xué)初中學(xué)校?？计谥校┮阎?，則=．【答案】-2【分析】本題利用拆常數(shù)項(xiàng)湊完全平方的方法進(jìn)行求解．【詳解】解：即根據(jù)非負(fù)數(shù)的非負(fù)性可得：解得:所以故答案為：-2【變式訓(xùn)練1】．若，則．【答案】9【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求代數(shù)式的值．先利用完全平方公式分解因式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：9．【變式訓(xùn)練2】．已知，求的值．【答案】4【分析】本題考查了運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算、求代數(shù)式的值，將式子變形為，根據(jù)偶次方非負(fù)的性質(zhì)得出，求出的值，代入進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握完全平方公式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，．【變式訓(xùn)練3】．已知，滿(mǎn)足，則．【答案】0【分析】本題主要考查了完全平方公式“”，熟記完全平方公式是解題關(guān)鍵．先將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性求解即可得．【詳解】解：，，，又，，故答案為：0．類(lèi)型六、負(fù)指數(shù)冪形式例．若，則的值為．【答案】【分析】本題看考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練1】．若正數(shù)滿(mǎn)足，則的值是．【答案】8【分析】本題考查了完全平方公式，能正確根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，求出，再求出答案即可．【詳解】解：，，，為正數(shù)，，故答案為：8．【變式訓(xùn)練2】．已知，那么．【答案】32【分析】本題考查了求代數(shù)式的值、利用完全平方公式的變形進(jìn)行計(jì)算，由題意可得：，兩邊同時(shí)除以并整理得，再利用完全平方公式的變形將式子變?yōu)椋霐?shù)值進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握完全平方公式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得：，，，，，故答案為：．類(lèi)型七、整體法求值例．若x滿(mǎn)足，求的值．解：設(shè)，，則，．∴．(1)若x滿(mǎn)足，求的值．(2)若x滿(mǎn)足，求的值．友情提示（2）中的可通過(guò)逆用積的乘方公式變成．(3)若x滿(mǎn)足，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用．（1）根據(jù)例題的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）將轉(zhuǎn)化為，即，再根據(jù)例題的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（3）根據(jù)例題的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)，則，，；（2）解：，，即，設(shè)，則，，；（3）解：設(shè)，則，，，．【變式訓(xùn)練1】．已知，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）(1)觀察圖2請(qǐng)你寫(xiě)出、、之間的等量關(guān)系是______；(2)根據(jù)（1）中的結(jié)論，若，，則______；(3)拓展應(yīng)用：若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：由圖2可知，大正方形的邊長(zhǎng)為，內(nèi)部小正方形的邊長(zhǎng)為，∴大正方形的面積為，小正方形的面積為，小長(zhǎng)方形的面積為，由題可知，大正方形面積等于小正方形與4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和，即．故答案為：；（2）解：∵，，∴．故答案為：；（3）解：∵，又∵，∴，∴．【課后訓(xùn)練】1．已知，則的值為（

）A．10 B．14 C．16 D．18【答案】A【分析】本題考查了代數(shù)式求值、完全平方公式，熟記完全平方公式是解題關(guān)鍵．將所求式子利用完全平方公式轉(zhuǎn)化為，代入計(jì)算即可得．【詳解】解：，．故選：A．2．若多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，那么．【答案】【分析】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)首末兩項(xiàng)是和3的平方可得，中間一項(xiàng)為加上或減去它們乘積的2倍，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，∴，∴，故答案為：．3．已，，求與的值．【答案】，【分析】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．先利用完全平方公式變形求得，再利用完全平方公式求得即可．【詳解】解：，，即，，，，．4．（1）已知，則的值為．（2）已知，則的值為．（3）已知滿(mǎn)足，則代數(shù)式的值為．【答案】395【分析】本題主要考查了完全平方公式整體思想，靈活應(yīng)用即可解題，【詳解】解：（1）∵∴；故答案為：39．（2）∵，∴，即：，∴，∴故答案為：5．（3）設(shè)為a，為b，則，，∴，，故答案為：．5．（2022下·四川成都·七年級(jí)四川省成都市第七中學(xué)初中學(xué)校?？计谥校﹥蓚€(gè)邊長(zhǎng)分別為和的正方形如圖放置，已知，．(1)求圖中陰影部分的面積；(2)求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）圖中陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積和減去兩個(gè)空白三角形的面積，再代入計(jì)算即可；（2）圖中陰影部分的面積是兩個(gè)正方形的面積差，求出的值，再利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：圖中陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積和減去兩個(gè)空白三角形的面積，即，∵，，∴；（2）圖中陰影部分的面積是兩個(gè)正方形的面積差，即，∵，，∴，∴或（不舍題意，舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式、平方差公式的幾何背景，用代數(shù)式表示陰影部分的面積是解決問(wèn)題的前提，理解圖形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系是得出正確答案的關(guān)鍵．6．利用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)解決以下問(wèn)題：(1)計(jì)算：(2)若，，，你能很快求出的值嗎？【答案】(1)(2)3【分析】本題主要考查完全平方公式與整式運(yùn)算的綜合，掌握完全平方公式的運(yùn)用，整式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式展開(kāi)，整式的加減混合運(yùn)算即可求解；（2）將變形為，再將式子的值代入，根據(jù)整式的混合運(yùn)算即可求解．【詳解】（1