離散數(shù)學(xué) 課件 第5章 函數(shù)

第四章函數(shù)第一節(jié)函數(shù)的基本概念第二節(jié)函數(shù)的合成和合成函數(shù)的性質(zhì)第一節(jié)函數(shù)的基本概念一、函數(shù)的定義二、特種函數(shù)一、函數(shù)的定義1、函數(shù)2、函數(shù)的定義域3、函數(shù)的值域4、陪域1、函數(shù)函數(shù)是滿足任意性和唯一性的二元關(guān)系。f:X→Y對任意的x

X都存在唯一的y

Y<x，y>

fy=f(x)，任意性唯一性函數(shù)映射原像像點函數(shù)舉例設(shè)X={x1,x2,x3,x4},Y={y1,y2,y3}判斷下列關(guān)系是否是函數(shù)？f1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x2,y3>,<x3,y1>,<x4,y3>}f2={<x1,y1>,<x2,y1>,<x3,y1>,<x4,y2>}f3={<x1,y1>,<x3,y2>,<x4,y3>}解答f1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x2,y3>,<x3,y1>,<x4,y3>}不是函數(shù)?！選2對應(yīng)兩個不同的像點y2和y3∴不滿足唯一性。解答f2={<x1,y1>,<x2,y1>,<x3,y1>,<x4,y2>}是函數(shù)滿足任意性和唯一性。解答f3={<x1,y1>,<x3,y2>,<x4,y3>}不是函數(shù)?！咴駒2沒有像點∴不滿足任意性。2、函數(shù)的定義域函數(shù)f:X→Y定義域Df3、函數(shù)的值域函數(shù)f:X→Yf(X)是f的值域由像點組成的集合Rf＝f(X)

Y4、陪域函數(shù)f:X→Y陪域定義域、值域及陪域舉例f:X→YX={x1,x2,x3,x4},Y={y1,y2,y3,y4,y5,y6}舉例X={a,b,c}Y={0,1}問：存在多少個從X到Y(jié)的二元關(guān)系？存在多少個從X到Y(jié)的函數(shù)？解答X

Y={<a,0>,<a,1>,<b,0>,<b,1>,<c,0>,<c,1>}|X

Y|=6關(guān)系是笛卡爾乘積的子集|ρ(X

Y)|=26結(jié)論：存在26個從X到Y(jié)的二元關(guān)系解答函數(shù)是滿足任意性和唯一性的二元關(guān)系結(jié)論：存在|Y||X|=23個從X到Y(jié)的函數(shù)。二、特種關(guān)系1、滿射函數(shù)2、內(nèi)射函數(shù)3、單射函數(shù)4、雙射函數(shù)5、恒等函數(shù)1、滿射函數(shù)函數(shù)f:X→Y若f(X)=Rf=Y值域＝陪域f是滿射函數(shù)映滿的映射f是滿射函數(shù)對任意的y

Y，在X中必有原像x與之對應(yīng)f(x)=y像點的集合滿射舉例A={a,b,c,d}B={1,2,3}f:A→Bf(a)=f(b)=1,f(c)=3,f(d)=2∵Rf={1,2,3}=B∴f是滿射函數(shù)。2、內(nèi)射函數(shù)函數(shù)f:X→Y若Rf

Yf是內(nèi)射函數(shù)映入的映射3、單射函數(shù)函數(shù)f:X→Y對任意x1，x2∈Xx1≠x2f(x1)≠f(x2)如果原像不同,則像點不同或f(x1)=f(x2)X1=x2如果像點相同,則原像相同則f是單射函數(shù)一對一的映射內(nèi)射、單射舉例A={a,b}B={2,4,6}f:A→Bf(a)=2,f(b)=4∵Rf={2,4}

B∴f是內(nèi)射函數(shù)且f也是單射函數(shù)。4、雙射函數(shù)函數(shù)f:X→Yf是滿射的f是單射的f是雙射函數(shù)一對一映滿的映射5、恒等函數(shù)函數(shù)Ix:X→X對于所有的x∈X:Ix={<x,x>|x∈X}恒等函數(shù)雙射函數(shù)特種函數(shù)舉例(1)f1(x)=x2(2)f2(x)=2x(3)f3(x)=x3(4)f4(x)=x3-x2-5x+6問以上4個函數(shù)各是什么函數(shù)？解答(1)f1(x)=x2∴f1不是滿射函數(shù)；∵f1(x)=f1(–x)=x2∴f1不是單射函數(shù)；∵Rf1為正實數(shù)集合，不是實數(shù)集合解答(2)f2(x)=2x不是滿射函數(shù)。是單射函數(shù)解答(3)f3(x)=x3是單射函數(shù)是滿射函數(shù)是雙射函數(shù)解答(4)f4(x)=x3-x2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3)是滿射函數(shù)不是單射函數(shù)第二節(jié)函數(shù)的合成和合成函數(shù)的性質(zhì)一、合成函數(shù)的定義二、反函數(shù)一、合成函數(shù)的定義函數(shù)f:X→Y函數(shù)g:Y→Zg?f={<x,z>|x∈X∧z∈Z∧(

y)(y∈Y∧y=f(x)∧z=g(y))}f和g的合成函數(shù)復(fù)合函數(shù)函數(shù)f和g合成的書寫格式:關(guān)系R和S合成的書寫格式:R?Sg?f從左到右從右到左<x,y>∈f<y,z>∈g定理函數(shù)f:X→Y函數(shù)g:Y→Zg?f:X→Z是函數(shù)(g?f)(x)=g(f(x))x

X合成函數(shù)舉例設(shè)X={1,2,3},Y={p,q},Z={a,b},f={<1,p>,<2,p>,<3,q>},g={<p,b>,<q,b>}求g?f。g?f={<1,b>,<2,b>,<3,b>}定理函數(shù)的合成運算是可結(jié)合的，即：h?(g?f)=(h?g)?ff:X→Yg:Y→Zh:Z→W合成函數(shù)滿足結(jié)合律的圖解表示fghg?fh?gh?(g?f)(h?g)?f合成函數(shù)舉例設(shè)R為實數(shù)集合,對x∈R有：f(x)=x+2,g(x)=2x,h(x)=3x;求g?f，h?(g?f)，f?f，g?g，f?g，(h?g)?f解答合成函數(shù)不滿足交換律g?f(x)=g(f(x))=g(x+2)=2(x+2)h?(g?f)(x)=h(g?f(x))=h(2(x+2))=6(x+2)f?f(x)=f(f(x))=f(x+2)=(x+2)+2=x+4g?g(x)=g(g(x))=g(2x)=4xf?g(x)=f(g(x))=f(2x)=2x+2=2(x+1)(h?g)?f(x)=(h?g)(f(x))=(h?g)(x+2)=6(x+2)h?g(x)=h(g(x))=h(2x)=6x合成函數(shù)滿足結(jié)合律函數(shù)合成運算結(jié)合律的推廣f1:X1→X2,f2:X2→X3,…,fn:Xn→Xn+1fn?fn-1?…?f2?f1:X1→Xn+1若：f1=f2=…=fn

X1=X2=…=Xn+1，則：fn=f?f?f?…?f:X→X等冪函數(shù)函數(shù)f:X→Xf2=ff?f等冪函數(shù)定理 設(shè)函數(shù)f:X→Y,g:Y→Z,g?f是一個復(fù)合函數(shù)，則：(1)若g和f是滿射的,則g?f是滿射的.(2)若g和f是單射的,則g?f是單射的.(3)若g和f是雙射的,則g?f是雙射的.證明（1）對于任意的z∈Z存在x∈X,使得：<x,z>∈g?f對于任意的z∈Zg是滿射的存在一個y∈Y，使得g(y)=zf是滿射的對于y∈Y，必有x∈X，使得f(x)=yz=g(y)=g(f(x))=g?f(x)<x,z>∈g?fg?f是滿射函數(shù)證明（2）x1≠x2

g?f(x1)≠g?f(x2)x1≠x2

f是單射的f(x1)≠f(x2)y1≠y2g是單射的g(y1)≠g(y2)g(f(x1))≠g(f(x2))g?f(x1)≠g?f(x2)g?f是單射的定理 設(shè)函數(shù)f:X→Y,g:Y→Z,g?f是一個復(fù)合函數(shù)，則：(1)若g?f是滿射的,則g是滿射的.(2)若g?f是單射的,則f是單射的.(3)若g?f是雙射的,則g是滿射的，f是單射的.證明（2）x1≠x2

f(x1)≠f(x2)x1≠x2

g?f是單射的g?f(x1)≠g?f(x2)g(f(x1))≠g(f(x2))g(y1)≠g(y2)函數(shù)的唯一性y1≠y2f(x1)≠f(x2)f是單射的定理設(shè)函數(shù)f:X→Y,IX是X上的恒等函數(shù)，IY是Y上的恒等函數(shù)，則

f=f?IX=IY?f證明設(shè):x

Xy

YIX(x)=xIY(y)=yf?IX

(x)=f(IX

(x))=f(x)f?IX=fIY?f(x)=IY

(f(x))=f(x)IY?f=f定理函數(shù)f:X→Y

f-1:f的逆關(guān)系，則：f-1是從Y到X的函數(shù)

f是雙射函數(shù)舉例:f不是滿射函數(shù)設(shè)函數(shù)f:X→YX={a,b,c}Y={1,2,3,4}f={<a,1>,<b,2>,<c,3>}f的逆關(guān)系f-1={<1,a>,<2,b>,<3,c>}，不滿足函數(shù)的任意性不是函數(shù)舉例:f不是單射函數(shù)設(shè)函數(shù)f:X→YX={a,b,c}Y={1,2}f={<a,1>,<b,1>,<c,2>}f的逆關(guān)系f-1={<1,a>,<1,b>,<2,c>}，不滿足唯一性不是函數(shù)2、反函數(shù) 設(shè)f:X→Y是雙射函數(shù)，則:f的逆關(guān)系稱f的反函數(shù)注意：只有雙射函數(shù)才有反函數(shù)。f-1定理設(shè)f:X→Y是一雙射函數(shù),則:f的反函數(shù)f-1:

Y→X也是一個雙射函數(shù)。定理若f:X→Y是雙射函數(shù),則(f-1)-1=f。證明：對任意的<x,y>

(f-1)-1

<y,x>

f-1

<x,y>

f∴(f-1)-1=f定理函數(shù)f:X→Y反函數(shù)f-1:Y→Xf-1?f=IXf?f-1=IY證明：設(shè)f(x)=yf-1(y)=xf-1?f(x)=f-1(f(x))=f-1(y)=x∴f-1?f=IXf?f-1

(y)=f(f-1

(y))=f(x)=y∴

f?f-1=IY舉例f:X→YX={0,1,2}Y={a,b,c}f={<0,c>,<1,a>,<2,b>}求：f-1?f，f?f-1解答f-1={<c,0>,<a,1>,<b,2>}(f-1?f)(0)=f-1(f(0))=f-1(c)=0(f-1?f)(1)=f-1(f(1))=f-1(a)=1(f-1?f)(2)=f-1(f(2))=f-1(b)=2∴

f-1?f={<0,0>,<1,1>,<2,2>}=IX

解答(f?f-1)(a)=f

(f-1