2025屆北京市中學關村中學九年級數(shù)學第一學期期末調(diào)研試題含解析

2025屆北京市中學關村中學九年級數(shù)學第一學期期末調(diào)研試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．的值為（）A．2 B． C． D．2．若反比例函數(shù)的圖像在第二、四象限，則它的解析式可能是（）A． B． C． D．3．如果零上2℃記作＋2℃，那么零下3℃記作（）A．－3℃ B．－2℃ C．＋3℃ D．＋2℃4．某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內(nèi)一斜坡的坡度，則這個斜坡坡角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（）A．圖象經(jīng)過點(1,-3) B．圖象位于第二、四象限C．圖象關于直線y=x對稱 D．y隨x的增大而增大6．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點A落在BC上的點F處，折痕為BE，若沿EF剪下，則折疊部分是一個正方形，其數(shù)學原理是（）A．鄰邊相等的矩形是正方形B．對角線相等的菱形是正方形C．兩個全等的直角三角形構成正方形D．軸對稱圖形是正方形7．如圖所示，在矩形ABCD中，點F是BC的中點，DF的延長線與AB的延長線相交于點E，DE與AC相交于點O，若，則（）A．4 B．6 C．8 D．108．將拋物線y=3x2﹣3向右平移3個單位長度，得到新拋物線的表達式為（）A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2 C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣69．如圖，點E、F是邊長為4的正方形ABCD邊AD、AB上的動點，且AF＝DE，BE交CF于點P，在點E、F運動的過程中，PA的最小值為（）A．2 B．2 C．4﹣2 D．2﹣210．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝8，DB＝4，AE＝6，則EC的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題(每小題3分,共24分)11．某電視臺招聘一名記者，甲應聘參加了采訪寫作、計算機操作和創(chuàng)意設計的三項素質(zhì)測試得分分別為70、60、90，三項成績依次按照5:2:3計算出最后成績，那么甲的成績?yōu)開_．12．已知x＝﹣1是方程x2﹣2mx﹣3＝0的一個根，則該方程的另一個根為_____．13．使代數(shù)式有意義的實數(shù)x的取值范圍為_____．14．在正方形網(wǎng)格中,△ABC的位置如圖所示,則sinB的值為______________15．如圖，點E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點，當四邊形ABCD的邊至少滿足條件時，四邊形EFGH是矩形．16．一個暗箱里放有a個除顏色外完全相同的球，這a個球中紅球只有3個．若每次將球攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回暗箱．通過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%附近，那么可以推算出a的值大約是_______．17．已知A（-4，2），B（2，-4）是一次函數(shù)的圖像和反比例函數(shù)圖像的兩個交點．則關于的方程的解是__________________．18．關于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，對角線AC、BD交于點O，AC平分∠BAD．求證：四邊形ABCD為菱形．20．（6分）先化簡，再求值：，其中21．（6分）已知：平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD的長是關于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的兩個實數(shù)根．（1）m為何值時，四邊形ABCD是菱形？求出這時菱形的邊長；（2）若AB的長為2，那么?ABCD的周長是多少？22．（8分）如圖1.正方形的邊長為，點在上，且.如圖2.將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，設旋轉(zhuǎn)角為，并以為邊作正方形，連接試問隨著線段的旋轉(zhuǎn)，與有怎樣的數(shù)量關系？說明理由；如圖3，在的條件下，若點恰好落在線段上，求點走過的路徑長(保留).23．（8分）已知關于x的方程：（m﹣2）x2+x﹣2＝0（1）若方程有實數(shù)根，求m的取值范圍．（2）若方程的兩實數(shù)根為x1、x2，且x12+x22＝5，求m的值．24．（8分）如圖，是的直徑，，，連接交于點．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長．25．（10分）如圖，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，點B，A，E在同一條直線上．求證：△ABD∽△CAE26．（10分）如圖，為的直徑，點為延長線上的一點，過點作的切線，切點為，過兩點分別作的垂線，垂足分別為，連接．求證：（1）平分；（2）若，求的長．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值及負指數(shù)冪的定義求解即可.【詳解】故選：D【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及負指數(shù)冪的定義，比較簡單，掌握定義仔細計算即可.2、A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義及圖象經(jīng)過第二、四象限時，判斷即可．【詳解】解：、對于函數(shù)，是反比例函數(shù)，其，圖象位于第二、四象限；、對于函數(shù)，是正比例函數(shù)，不是反比例函數(shù)；、對于函數(shù)，是反比例函數(shù)，圖象位于一、三象限；、對于函數(shù)，是二次函數(shù)，不是反比例函數(shù)；故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)、反比例的圖象和性質(zhì)，可以采用排除法，直接法得出答案．3、A【分析】一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示.【詳解】∵“正”和“負”相對，∴如果零上2℃記作＋2℃，那么零下3℃記作－3℃.故選A.4、A【分析】根據(jù)坡度可以求得該坡角的正切值，根據(jù)正切值即可求得坡角的角度．【詳解】∵坡度為，

∴，

∵，且α為銳角，

∴．

故選：A．【點睛】本題考查了坡度的定義，考查了特殊角的三角函數(shù)值，考查了三角函數(shù)值在直角三角形中的應用．5、D【解析】通過反比例圖象上的點的坐標特征，可對A選項做出判斷；通過反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)、增減性、對稱性可對其它選項做出判斷，得出答案．【詳解】解：由點的坐標滿足反比例函數(shù)，故A是正確的；由，雙曲線位于二、四象限，故B也是正確的；由反比例函數(shù)的對稱性，可知反比例函數(shù)關于對稱是正確的，故C也是正確的，由反比例函數(shù)的性質(zhì)，，在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大，不在同一象限，不具有此性質(zhì)，故D是不正確的，故選：D．【點睛】考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，當時，在每個象限內(nèi)隨的增大而增大的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖象，和是它的對稱軸，同時也是中心對稱圖形；熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征和反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)是解答此題的關鍵.6、A【解析】∵將長方形紙片折疊，A落在BC上的F處，∴BA=BF，∵折痕為BE，沿EF剪下，∴四邊形ABFE為矩形，∴四邊形ABEF為正方形．故用的判定定理是；鄰邊相等的矩形是正方形．故選A．7、C【解析】由矩形的性質(zhì)得出AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，由ASA證明△BEF≌△CDF，得出BE=CD=AB，則AE=2AB=2CD，再根據(jù)AOECOD,面積比等于相似比的平方即可?！驹斀狻俊咚倪呅蜛BCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EBF=90°，

∵F為BC的中點，

∴BF=CF，

在△BEF和△CDF中，，

∴△BEF≌△CDF（ASA），

∴BE=CD=AB，

∴AE=2AB=2CD，

∵AB∥CD，∴AOECOD,∴=4:1∵∴=8故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握有關的性質(zhì)與判定是解決問題的關鍵．8、A【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象平移規(guī)律：左加右減，上加下減，即可得出.【詳解】拋物線向右平移3個單位,得到的拋物線的解析式是故選A.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象平移規(guī)律：左加右減，上加下減.9、D【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，取BC的中點O，連接OP、OA，然后求出OP＝CB＝1，利用勾股定理列式求出OA，然后根據(jù)三角形的三邊關系可知當O、P、A三點共線時，AP的長度最?。驹斀狻拷猓涸谡叫蜛BCD中，∴AB＝BC，∠BAE＝∠ABC＝90°，在△ABE和△BCF中，∵，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠ABE＝∠BCF，∵∠ABE+∠CBP＝90°∴∠BCF+∠CBP＝90°∴∠BPC＝90°如圖，取BC的中點O，連接OP、OA，則OP＝BC＝1，在Rt△AOB中，OA＝，根據(jù)三角形的三邊關系，OP+AP≥OA，∴當O、P、A三點共線時，AP的長度最小，AP的最小值＝OA﹣OP＝﹣1．故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關系.確定出AP最小值時點P的位置是解題關鍵，也是本題的難點.10、C【分析】根據(jù)平行線所截的直線形成的線段的比例關系,可得,代數(shù)解答即可.【詳解】解:由題意得,,,解得.【點睛】本題考查了平行線截取直線所得的對應線段的比例關系,理解掌握該比例關系列出比例式是解答關鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、74【分析】利用加權平均數(shù)公式計算.【詳解】甲的成績=，故答案為：74.【點睛】此題考查加權平均數(shù)，正確理解各數(shù)所占的權重是解題的關鍵.12、1【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求出答案．【詳解】解：設另外一個根為x，由根與系數(shù)的關系可知：﹣x＝﹣1，∴x＝1，故答案為：1．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟知根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．13、【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出即可求解.【詳解】若代數(shù)式有意義，則，解得：，即實數(shù)x的取值范圍為.故填：【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義即根號內(nèi)的式子要大于等于零是關鍵.14、【分析】延長BC至D，使BD=4個小正方形的邊長，連接AD，先證出△ADB是等腰直角三角形，從而求出∠B=45°，即可求出sinB的值.【詳解】解：延長BC至D，使BD=4個小正方形的邊長，連接AD由圖可知：AD=4個小正方形的邊長，且∠ADB=90°∴△ADB是等腰直角三角形∴∠B=45°∴sinB=故答案為：.【點睛】此題考查的是求格點中角的正弦值，掌握等腰直角三角形的定義和45°的正弦值是解決此題的關鍵.15、AB⊥CD【解析】解：需添加條件AB⊥DC，∵、、、分別為四邊形中、、、中點，∴，∴，．∴四邊形為平行四邊形．∵E、H是AD、AC中點，

∴EH∥CD，

∵AB⊥DC，EF∥HG

∴EF⊥EH，

∴四邊形EFGH是矩形．

故答案為：AB⊥DC．16、15個．【解析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關系入手，列出方程求解：由題意可得，，解得，a=15（個）．17、x1=-4，x1=1【分析】利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可．【詳解】∵A(﹣4，1)，B(1，﹣4)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y圖象的兩個交點，∴關于x的方程kx+b的解是x1=﹣4，x1=1．故答案為：x1=﹣4，x1=1．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解答本題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．18、a＞1．【解析】試題分析：∵方程沒有實數(shù)根，∴△=﹣4a＜1，解得：a＞1，故答案為a＞1．考點：根的判別式．三、解答題(共66分)19、詳見解析．【分析】先判斷出∠OAB＝∠DCA，進而判斷出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，證出四邊形ABCD是平行四邊形，再由AD＝AB，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC平分∠BAD．∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD＝AB，∴四邊形ABCD是菱形．【點睛】本題考查了菱形的判定，能夠了解菱形的幾種判定方法是解答本題的關鍵，難度不大．20、【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再利用特殊銳角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪與零指數(shù)冪得到a的值，繼而將a的值代入計算可得．【詳解】原式=[]?（a+1）

=?（a+1）

=，

當a=2cos30°+（）-1-（π-3）0=2×+2-1=+1時，

原式=．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則及特殊銳角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪與零指數(shù)冪．21、（1）當m為1時，四邊形ABCD是菱形，邊長是；（2）?ABCD的周長是1．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出AB＝AD，結(jié)合根的判別式，即可得出關于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，將其代入原方程，解之即可得出菱形的邊長；（2）將x＝2代入原方程可求出m的值，將m的值代入原方程結(jié)合根與系數(shù)的關系可求出方程的另一根AD的長，再根據(jù)平行四邊形的周長公式即可求出?ABCD的周長．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD．又∵AB、AD的長是關于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的兩個實數(shù)根，∴△＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，∴m＝1，∴當m為1時，四邊形ABCD是菱形．當m＝1時，原方程為x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，解得：x1＝x2＝，∴菱形ABCD的邊長是．（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，解得：m＝．將m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，∴方程的另一根AD＝1÷2＝，∴?ABCD的周長是2×（2+）＝1．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系、根的判別式、平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合根的判別式，找出關于m的一元二次方程；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系結(jié)合方程的一根求出方程的另一根．22、（1）；（2）【分析】(1)利用已知條件得出，從而可得出結(jié)論(2)連接，交于連接，可得出CG=AG，接著可證明是等邊三角形.，再找出，最后利用弧長公式求解即可.【詳解】解：.理由如下：由題意，可知.又，..如圖，連接，交于連接.四邊形是正方形，與互相垂直平分.點在線段上，垂直平分..由題意，知，.又正方形的邊長為，.，即是等邊三角形...則點走過的路徑長就是以為圓心，長為半徑，且圓心角為105°的一段弧的弧長.即所以點走過的路徑長是.【點睛】本題是一道利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來求解的題目，考查到的知識點有全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及求弧長的公式.綜合性較強.23、（1）m≥；（2）m＝3【分析】（1）根據(jù)判別式即可求出答案；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求出答案．【詳解】解：（1）當m﹣2≠0時，△＝1+8（m﹣2）≥0，∴m≥且m≠2，當m﹣2＝0時，x﹣2＝0，符合題意，綜上所述，m≥（2）由根與系數(shù)的關系可知：x1+x2＝，x1x2＝，∵x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，∴+＝5，∴＝1或＝﹣5，∴m＝3或m＝（舍去）．【點睛】本題考查一元二次