高中數(shù)學(xué)學(xué)案1：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第二冊(cè) 《向量的加法運(yùn)算》

6.2.1向量的加法運(yùn)算

【新知初探】

要點(diǎn)一向量的加法

1.向量加法的定義

定義：求的運(yùn)算，叫做向量的加法.

對(duì)于零向量與任一向量a,規(guī)定O+a=a+O=&

2.向量求和的法則

如圖，已知非零向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)4作法=a,

BC=b,則向量左叫做a與人的和，記作a+b,即a+b=AB

三角形法

1+BC=AC

c

a+仁、^

AaB

如圖，已知兩個(gè)不共線向量a,b,作拔=a,~AD=b,以荔，

位為鄰邊作0/次力，

平行四邊

形法則

ANa4

則對(duì)角線上的向量衣=a+b

思考如圖，已知向量a,b,分別利用三角形法則和平行四邊形

法則作出向量a+A

要點(diǎn)二向量的加法和向量的模

(1)當(dāng)向量a與，不共線時(shí)，a+力的方向與a,b，且|a+b<a

+1^1;

(2)當(dāng)a與，同向時(shí)，a+b,a,b的方向，且|a+引=|a|+|引；

⑶當(dāng)a與6反向時(shí)，若a|'b,則a+，與a的方向相同，且Ia+6=|a

~\b\.

若則a+6與6的方向相同,且|a+b=|引一|a.

要點(diǎn)三向量加法的運(yùn)算律

交換律a+b=b+a

結(jié)合律(a+b)+c=a+(6+c)

思考1根據(jù)下圖中的平行四邊形ABCD,驗(yàn)證向量加法的交換律：a+b=b+

a.(注：AB=a,宓=6)

思考2根據(jù)下圖中的四邊形/四，驗(yàn)證向量加法的結(jié)合律：(a+，)+c=a+

(6+c).

【題型通關(guān)】

題型一向量加法及其運(yùn)算律

跟蹤訓(xùn)練1如圖，在平行四邊形力叫9中，。是/C和劭的交點(diǎn).

⑴花+森=；⑵而+宓+沆=

(3)花+筋+劭=；(4)AC+BA+DA=.

題型二向量加法在平面幾何中的應(yīng)用

例2已知四邊形/靦的對(duì)角線力。與切相交于點(diǎn)。，且"宓質(zhì)=南

求證：四邊形力靦是平行四邊形.

D

跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在四邊形/四中，AC=AB+AD,試判

斷四邊形的形狀.

AB

題型三向量加法的實(shí)際應(yīng)用

例3在水流速度為4小km/h的河中，如果要船以12km/h的實(shí)際航速與河

岸垂直行駛，求船航行速度的大小和方向.

跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，一架飛機(jī)從［地按北偏東35°的方向北,一9

飛行800km到達(dá)8地接到受傷人員，然后又從5地按南偏東/

55°的方向飛行800km送往。地醫(yī)院，求這架飛機(jī)飛行的路

程及兩次位移的和.

DE

例4在正六邊形ABCDEF中,AC+BD+CE+DF+EA+FB=c

【課堂達(dá)標(biāo)】

1.作用在同一物體上的兩個(gè)力￡=60N,￡=60N,當(dāng)它們的夾角為120°時(shí),

則這兩個(gè)力的合力大小為（）

A.30NB.60NC.90ND.120N

2.如圖，D、E、產(chǎn)分別是△4?。的邊48、BC、。的中點(diǎn)，則下列等式中錯(cuò)誤的

是（）

A.劭+9+龍=0B.阪+詼+序'=0入

C.FD+DE+Ab=AB\).AD+EC+Fb=Bb

ADB

3.已知在矩形口中，AB=2,BC=3,則質(zhì)+反+近的模等于―

4.化簡(jiǎn)：（1）池+近+充

⑵（而+就）+（苑+函；

（3）加?麗+游）+比

5.如圖所示，P,0是的邊比'上兩點(diǎn)，魚(yú)BP=QC.

求證：AB+AC=AP+AQ.

【札記】

參考答案

【新知初探】

要點(diǎn)一：

兩個(gè)向量和

思考答案作法1：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作湯=a,AB=b,則布=a+6.

0:

作法2：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作湯=a,0B=b,以0A,仍為鄰邊作口十”,連

接0C,則走=^+^=a+b.

QA

BC

要點(diǎn)二：

都不相同

相同

思考1答案-：AC=AB+BC,：.~AC=a^b.

,：A(^Ab+~DC,：.AC=b+a.

.\a+b=b+a.

思考2答案'：AD=AC+Cb=(AB+B<^+CD,

AD=(a+6)+c,

又?松森+應(yīng)H瀛+(BC+Cb),

.\AD=a+(6+c),

{a+b)+c=a+(b+c).

【題型通關(guān)】

例1化簡(jiǎn)：

⑴反斗施⑵麗多+宛

(3)AB+DF+CD+BC+FA.

例1解{V)BC+AB=AB+BC=AC.

(2)DB+CD+BC=BC+CD+DB

=(BC+Cb)+DB=BD+DB=Q.

(3)AB+DF+CD+BC+FA

=AB+BC+CD+DF+FA

=AC+CEPrDF+FA

=AD+DF+FA

=AF+FA=Q.

反思與感悟解決該類(lèi)題目要靈活應(yīng)用向量加法運(yùn)算律，注意各向量的起、終

點(diǎn)及向量起、終點(diǎn)字母排列順序.

跟蹤訓(xùn)練1答案⑴丸(2)助⑶血(4)0

例2證明AB=Ab+OB,DC=DO+OC,

又,:訕=&,~OB=DO,：.AB=DC.

：.AB=CDRAB〃DC.

四邊形口為平行四邊形.

反思與感悟利用向量的加、減法證明平面幾作

(1)要注意法則的應(yīng)用；

(2)要注意有向線段表示的向量相等，說(shuō)明有向線段所在直線平行或重合旦長(zhǎng)度

相等.

解答本題，即證明四邊形力時(shí)為平行四邊形，只需證宓=龍

跟蹤訓(xùn)練2解'：AC=AB+AD,

：.DC=DA+AC=DA+AB+AD=DA+AD+AB=AB,即比=施

，四邊形力交9為平行四邊形.

一一DC

例3解如圖，設(shè)4糜示水流速度，則力榮示船航行的實(shí)際速\

度，作條夾式；則應(yīng)即表示船航行的速度.

因?yàn)閨宓1=4,,|而|=12,/。8=90°,所以tanN4c8=^^=坐,

■L乙O

即N/%=30°,ZCAD=30°.

所以|91=8m，ZBAD=12Q°.

即船航行的速度為8小km/h,方向與水流方向所成角為120°.

反思與感悟速度、位移等物理量均為向量，因此此類(lèi)問(wèn)題可以通過(guò)建模，轉(zhuǎn)

化為數(shù)學(xué)中的向量問(wèn)題解決.

跟蹤訓(xùn)練3解設(shè)而，反分別表示飛機(jī)從/地按北偏東35°的方向飛行800km,

從8地按南偏東55°的方向飛行800km,

則飛機(jī)飛行的路程指的是I福+1反1；

兩次飛行的位移的和指的是宓+反三而

依題意,^\AB\+\BC\=800+800=1600(km),

又a=35°,￡=55°,ZABC=35°+55°=90°,

所以|淚=V走「+|而2=-\/8002+8002=80(hj2(km).

其中N物。=45°,所以方向?yàn)楸逼珫|35°+45°=80°.

從而飛機(jī)飛行的路程是1600km,兩次飛行的位移和的大小為800^2km,方

向?yàn)楸逼珫|80°.

例4解析AC+BD+CE+DF+EA+FB

DE

=(荔+及)+(比+應(yīng)+(而+應(yīng))+(應(yīng)'+詼)+(礪+瓦I)+/\

(FA+A^)\/

BA

=(AB+BC+CD+EF++(BC+CD+DE+EF+FA+A^)

0+0=0,

答案0

【課堂達(dá)標(biāo)】

1.答案B

2.答案D

解析FEPrDA+DE=FA+DE=Q,

Ab+BE+CF^AD+DF+FA=O,

FD+DE+AD=FE+AD=AD+DB=AB,

A/)+EC+Fb=Ab+O=Ab=DB^Bb.

故選D.

3.答案2713

解析|A