初中數(shù)學(xué)-勾股定理

聚智堂學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

年級(jí)：課時(shí)數(shù)：學(xué)科教師：

學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)輔導(dǎo)時(shí)間：

課題勾股定理

1、勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。(即：a2+b2=c2)

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c有關(guān)系a2+b?=c2,那么這個(gè)三角形是

教學(xué)目的直角三角形。

3、滿足/+/=°2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

教學(xué)內(nèi)容

、日?；仡?/p>

二、知識(shí)回顧

1.勾股定理

如圖所示，在正方形網(wǎng)絡(luò)里有一個(gè)直角三角形和三個(gè)分別以它的三條邊為邊的正方形，通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)正方形

面積之間存在這樣的關(guān)系：即C的面積=B的面積+A的面積，現(xiàn)將面積問題轉(zhuǎn)化為直角三角形邊的問題，于是得到直

角三角形三邊之間的重要關(guān)系，即勾股定理。

勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么

222

a+1b7=c

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

說明：

(1)勾股定理只有在直角三角形中才適用，如果不是直角三角形，那么三條邊之間就沒有這種關(guān)系了。

A

勾\

B~~c

(2)我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦。在沒有特殊說明的情況下,

直角三角形中，a,b是直角邊，c是斜邊，但有時(shí)也要考慮特殊情況。

(3)除了利用a,b,c表示三邊的關(guān)系外，還應(yīng)會(huì)利用AB,BC,CA表示三邊的關(guān)系，在AABC中，/B=90°,利

用勾股定理有AB-+BC2=AC2.

2.利用勾股定理的變式進(jìn)行計(jì)算

由/+/=。2,可推出如下變形公式：

(1)a2=c22；

(2)b2=c2-a2

(3)a=Vc2-b2

(4)b=Vc2-a2

(5)c=^a2+b2(平方根將在下一章學(xué)到)

說明：上述幾個(gè)公式用哪一個(gè)，取決于已知條件給了哪些邊，求哪條邊，要判斷準(zhǔn)確。

三、知識(shí)梳理

1、勾股定理的應(yīng)用

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用有：

(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊

(2)已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系。求直角三角形的另兩邊

(3)利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題

2、如何判定一個(gè)三角形是直角三角形

(1)先確定最大邊(如c)

(2)驗(yàn)證與+〃是否具有相等關(guān)系

(3)若。2=/+",則AABC是以NC為直角的直角三角形；若c2￥a2+〃

則4ABC不是直角三角形。

3、勾股數(shù)滿足。2+/=02的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)

如(1)3,4,5；(2)5,12,13；(3)6,8,10；(4)8,15,17

(5)7,24,25(6)9,40,41

四、例題講解

（一）基本知識(shí)

勾股定理求邊長(zhǎng)

例1、如圖所示，已知Rt/XABC中，ZACB=90°,CD±AB,若AC=4,BC=3,求CD的長(zhǎng)。

c

例2、如圖所示，一棵36米高的樹被風(fēng)刮斷了，樹頂落在離樹根24米處，求折斷處的高度AB。

A

例3、如圖所示，在高為3米，斜坡長(zhǎng)為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少需要多少米？若樓梯寬2米,

每平、方米地毯需50元，那么這塊地毯需花多少元?

B

AC

例4、如圖,在△ABC中,ZACB=90°,CD±AB,D為垂足,AC=6cm,BC=8cm.

求①4ABC的面積；②斜邊AB的長(zhǎng)；③斜邊AB上的高CD的長(zhǎng)。

A

D

B

練習(xí)C

1.若一直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為12和5,則第三邊長(zhǎng)的平方為（）

A.169B.169或ngC.169或225D.225

2.直角三角形的周長(zhǎng)為12,斜邊長(zhǎng)為5,則面積為（）

A.12B.10C.8D.6

3.如果一個(gè)等腰直角三角形的面積是2,則斜邊長(zhǎng)的平方為（）

A.2B.4C.8D.472

4.若直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為5cm,12cm,則斜邊上的高為（）

8060

A.6cmB.——cmC.8cmD.——cm

1313

5.等腰三角形底邊長(zhǎng)10,腰長(zhǎng)為13,則此三角形的面積為（）

A.40B.50C.60D.70

6.直角三角形中兩條直角邊之比為3：4,且斜邊為20cm,求（1）兩直角邊的長(zhǎng)（2）斜邊上的高線長(zhǎng)

直角三角形的判定

例1、滿足下列條件的△ABC,不是直角三角形的是（）

A.b2=c2—a2

B.a：b：c=3：4：5

C.ZC=ZA-ZB

D.ZA：ZB：ZC=12：13：15

例2、三角形的三邊長(zhǎng)為（〃+b）2=/+2〃~,則這個(gè)三角形是（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形

例3、一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中的NA和NBDC都應(yīng)為直角，將量得的這個(gè)零件的各邊尺寸標(biāo)注

在圖中，由此可知（）

A.NA符合要求

B.NBDC符合要求

C.ZA和ZBDC都符合要求

D.NA和/BDC都不符合要求

例4、如圖己知AB±BC,A3=3,3C=4,CD=12,AD=13求四邊形ABCD的面積

練習(xí)

1.下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.3,4,6C.5,12,13D.4,6,7

2.三角形的三邊為a、b、c,由下列條件不能判斷它是直角三角形的是（）

A.a:b:c=8：16：17B.a2-b2=c2

C.a=（b+c）（b-c）D.a:b:c=13：5：12

3.三角形的三邊長(zhǎng)為伍+0）2=c?+2",則這個(gè)三角形是（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形.

4、已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,ZB=90°,求證：ZA+ZC=180°。

簡(jiǎn)單應(yīng)用

例1、一根旗桿在離地面4.5米的地方折斷，旗桿頂端落在離旗桿底部6米處，則旗桿折斷前高（）

A.10.5米B.7.5米C.12米D.8米

例2、如圖，一架25分米的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯子距墻底端7分米，如果梯子的頂端沿墻下滑4分

米，那么梯子將平滑（）

A.9分米B.15分米C.5分米D.8分米

例3.、一根旗桿在離地9米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處，旗桿折斷之前有多高為

（一）類型題目

題型1、求最短距離。（折疊與展開）

例1、如圖，一只螞蟻從點(diǎn)A沿圓柱表面爬到點(diǎn)8,如果圓

柱的高為8cS，圓柱的底面半徑為色cm,那么最短

的路線長(zhǎng)是（）

第19題

A.6cmB.8cmC.10cmD.lOzrcm

例2、如圖，已知長(zhǎng)方體的三條棱AB、BC、BD分別為4,5,2,螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿長(zhǎng)方體的表面爬行到M的最短路程

的干方是______________

練習(xí)

1、一只螞蟻從棱長(zhǎng)為1的正方體紙箱的B，點(diǎn)沿紙箱爬到D點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是.

2、如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6,BC=8,現(xiàn)將直角邊AC沿

直線AD折疊，使其落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長(zhǎng)

為。

題2圖

3、如圖，在矩形A5CD中，43=6,將矩形458折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)口重合，C落在C'處，若AE：BE=1：2,

則折痕AD的長(zhǎng)為o

4、如圖，CD是RtAABC的斜邊AB上的高，若AB=17,AC=15,求CD的長(zhǎng)（

120123

A、VB、"17C、17D、7

（二）主要數(shù)學(xué)思想。

1、方程思想

例3、如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E,將4ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)

F,求CE的長(zhǎng).A_____________________八

例4、已知：如圖，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13.求△ABC的面積.

A

練習(xí)

1、如圖，把矩形ABCD紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，點(diǎn)C落在C處，折痕EF

與BD交于點(diǎn)0,已知AB=16,AD=12,求折痕EF的長(zhǎng)。

B

2、已知：如圖，△ABC中，ZC=90°,是角平分線，CD=15,BD=25.求AC的長(zhǎng).

2、分類討論思想（易錯(cuò)題）

例題5、在RtZkABC中，已知兩邊長(zhǎng)為3、4,則第三邊的長(zhǎng)為

例題6、已知在△ABC中，AB=17,AC=10,BC邊上的高等于8,則△ABC的周長(zhǎng)為

練習(xí)

1、在RtaABC中，已知兩邊長(zhǎng)為5、12,則第三邊的長(zhǎng)為

2、等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為10和12,則周長(zhǎng)為,底邊上的高是,面積是o

（三）勾股定理的應(yīng)用

1、如圖，將一根長(zhǎng)24cm的筷子，置于底面直徑為5cm,高為12cm的圓形水杯中，設(shè)筷子露在外面的長(zhǎng)度為hem,

則h的取值范圍是

2、如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,CD=12cm,DA=13cm,且NABC=90。，則四邊形ABCD的面積是

cm2?

五、課堂小結(jié)

知識(shí)結(jié)構(gòu)

定理：a2+6,=c

直角三角形的性質(zhì):勾股定理//

\\直角三角形的判別方法::若三角形的三邊滿足a?+萬2=。2則

它是一個(gè)直角三角形.

六、家庭作業(yè)

一.選擇題

1.已知一個(gè)Rt△的兩邊長(zhǎng)分別為3和4,則第三邊長(zhǎng)的平方是（）

A.25B.14C.7D.7或25

2.若線段a,b,c組成雙△,則它們的比為（）

A.2：3：4B3：4：6C.5：12：13D.4：6：7

3.Rt△一直角邊的長(zhǎng)為11,另兩邊為自然數(shù)，則Rt△的周長(zhǎng)為（）

A.121B.120C.132D.不能確定

4.如果Rt△的兩直角邊長(zhǎng)分別為r?—1,2n（n>l）,那么它的斜邊長(zhǎng)是（）

A.2nB.n+1C.n2—1D.n2+l

5.已知Rt^ABC中，NC=90°,若a+b=14cm,c=10cm,則RtZ\ABC的面積是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

6.三角形的三邊長(zhǎng)為（a+b）2=c2+2ab,則這個(gè)三角形是（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.銳角三角形

7.已知，如圖長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF,則△ABE的面

積為（）

A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm2

8.已知，如圖，一輪船以16海里/時(shí)的速度從港DA出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港

口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時(shí)后，則兩船相距（）

A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里

---------A東

IW

二.填空題

1.在RtZXABC中，/C=90°