高中數(shù)學(xué)求函數(shù)值域的7類題型和16種方法

求函數(shù)值域的7類題型和16種方法

一、函數(shù)值域基本知識(shí)

1.定義：在函數(shù)y=/(x)中，與自變量x的值對(duì)應(yīng)的因變量y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫

做函數(shù)的值域(或函數(shù)值的集合)。

2.確定函數(shù)的值域的原則

①當(dāng)函數(shù)y=f(x)用表格給出時(shí)，函數(shù)的值域是指表格中實(shí)數(shù)》的集合；

②當(dāng)函數(shù)y=/(x)用圖象給出時(shí)，函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合；

③當(dāng)函數(shù)y=/(x)用解析式給出時(shí)，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定；

④當(dāng)函數(shù)y=/(x)由實(shí)際問題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問題的實(shí)際意義確定。

二、常見函數(shù)的值域，這是求其他復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。

函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，不論采用什么方法球函數(shù)的值域均應(yīng)考慮其定義域。

一般地，常見函數(shù)的值域：

1.一次函數(shù)y=Ax+/?(ZA0)的值域?yàn)镽.

2.二次函數(shù))=宙:2+笈+。(4。0),當(dāng)。>0時(shí)的值域?yàn)?-----,+oo,當(dāng)。<0時(shí)的值域?yàn)?/p>

_4a>

4ac-b~

I-oo,---4---a--.」，

3.反比例函數(shù)y=:(ZH0)的值域?yàn)閧yeR|yH0}.

4.指數(shù)函數(shù)y=a\a>0且aH1)的值域?yàn)閧y|y>0}.

5.對(duì)數(shù)函數(shù)y=log“x(a>0且a*1)的值域?yàn)镽.

6.正，余弦函數(shù)的值域?yàn)椋邸?,1］,正，余切函數(shù)的值域?yàn)镽.

三、求解函數(shù)值域的7種題型

題型一：一次函數(shù)y=4a+跳4。0)的值域(最值)

1、一次函數(shù)：)=幺+可。。0)當(dāng)其定義域?yàn)镽,其值域?yàn)镽；

2、一次函數(shù)y=ar+》(awO)在區(qū)間加,〃］上的最值，只需分別求出并比較它們的

大小即可。若區(qū)間的形式為(-00,〃］或［〃］,”)等時(shí)，需結(jié)合函數(shù)圖像來確定函數(shù)的值域。

題型二：二次函數(shù)/(x)=ax2+6x+c(a*0)的值域(最值)

4ac-b~

4。(。＞。)

1、二次函數(shù)/(》)=奴2+bx+c(a*O),當(dāng)其定義域?yàn)镽時(shí)，其值域?yàn)?

4ac-b2

("0)

4a

2、二次函數(shù)+6X+C(“H0)在區(qū)間上相〃］上的值域(最值)

首先判定其對(duì)稱軸X=-(與區(qū)間上耳〃］的位置關(guān)系

Ah

(1)若一一￡［根,可,則當(dāng)。＞0時(shí)，/(——)是函數(shù)的最小值，最大值為AMJ5)中較大者;

la2a

當(dāng)。＜0時(shí)，/(一2)是函數(shù)的最大值，最大值為了(加),/(〃)中較小者。

2a

(2)若—為五上〃,〃］,只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大(小)值。

特別提醒：

①若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大(小)值；

②若給定的區(qū)間形式是［a,+8),(F,句,(。,中功,(30⑼等時(shí)，要結(jié)合圖像來確函數(shù)的值域;

③當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是字母時(shí)，則應(yīng)根據(jù)其對(duì)應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論。

例1：已知/(一￡-2x)的定義域?yàn)椋郇D3,+00),則“X)的定義域?yàn)開(—

例2：已知4%—1)=1+1,且xe(—3,4),則/(x)的值域?yàn)?/p>

題型三：一次分式函數(shù)的值域

1、反比例函數(shù)＞=人(%。0)的定義域?yàn)閧止。0},值域?yàn)閧引"0}

ex-4-d

2、形如：y=的值域：

ax+h

(1)若定義域?yàn)闀r(shí)，其值域?yàn)?/p>

a

(2)若xe［人川時(shí)，我們把原函數(shù)變形為x='若，然后利用(即x的有界性)，便

可求出函數(shù)的值域。

2V-3(1

例3：函數(shù)y=---的值域?yàn)開-oo「U［3,+8)_；若xe［l,2］時(shí)，其值域?yàn)橐籘，'_。

3DT—1-I3

例4：當(dāng)xe(—3,—1］時(shí)，函數(shù)y==之的值域——4,—二(2)已知/(x+l)=上上，且

xe［-3,2),則/(x)的值域?yàn)椤獆^-oo,-1_。

例5：函數(shù)y='Sin'_L的值域?yàn)開1-oo,Lo［3,+oo)_；若尤e713萬12

，其值域?yàn)?

3sinx+2I5J2'22'3

題型四：二次分式函數(shù)了=竺之±的值域

ax+/zx+c

一般情況下，都可以用判別式法求其值域。但要注意以下三個(gè)問題：①檢驗(yàn)二次項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)，方

程是否有解，若無解或是函數(shù)無意義，都應(yīng)從值域中去掉該值；②閉區(qū)間的邊界值也要考查達(dá)到該值時(shí)

的X是否存在；③分子、分母必須是既約分式。

%2+x-1

(1,+8)口1-00,亍

例6：y二-7

x+x-6

%2+x—2

{yeR|"l}

例7：y~：-

%-1

3%__33-

例8：y=~~p

x+4一WZ

V*_1

例9：求函數(shù)y=J'——-xe(-l,+oo)的值域

解：由原函數(shù)變形、整理可得：yx2+（2y-l）x+y+l=0

求原函數(shù)在區(qū)間（-1,長。）上的值域，即求使上述方程在（-1,長0）有實(shí)數(shù)解時(shí)系數(shù)y的取值范圍

當(dāng)丁=0時(shí);解得：x=le（-l,+8）也就是說，＞=0是原函數(shù)值域中的一個(gè)值…①

當(dāng)y聲0時(shí)，上述方程要在區(qū)間（一1,”）上有解,

[□＞0

即要滿足/（一1）＜0或彳2y—1解得：……②

8

I2），

綜合①②得：原函數(shù)的值域?yàn)椋?,-

_8_

題型五:形如y=or+b±Jcx+d的值域這類題型都可以通過換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在某區(qū)間上求值域

問題，然后求其值域。

例10：求函數(shù)y=2x+4j匚7在xe[-8,l]時(shí)的值域[T4]

題型六：分段函數(shù)的值域：

一般分別求出每一分段上函數(shù)的值域，然后將各個(gè)分段上的值域進(jìn)行合并即可。如果各個(gè)分段上的函

數(shù)圖像都可以在同一坐標(biāo)系上畫出，從圖像上便可很容易地得到函數(shù)的值域。

例11：^=|x-l|+|x+2|[3,+oo)

例12：y=—x2+4兇+1(-oo,5]

題型七：復(fù)合函數(shù)的值域

對(duì)于求復(fù)合函數(shù)的值域的方法是：首先求出該函數(shù)的定義域，然后在定義域的范圍內(nèi)由內(nèi)層函數(shù)的

值域逐層向外遞推。

例13：y=J-----(―14x<1)

[0,2]

\2—x

例14：y=\J-x2+3x+40,-1

四、函數(shù)值域求解的十六種求法

（1）直接法（俗名分析觀察法）：

有的函數(shù)結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，可以通過基本函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)觀察出函數(shù)的值域。即從自變量

X的范圍出發(fā)，推出y=/（x）的取值范圍?；蛴珊瘮?shù)的定義域結(jié)合圖象，或直觀觀察，準(zhǔn)確判斷函數(shù)值

域的方法。注意此法關(guān)鍵是定義域。

例1：已知函數(shù)y=(x-l)2-l,xe{-l,O,U},求函數(shù)的值域。{-1,0,3)

例2：求函數(shù)y=J7+1的值域。[1,+8)

例3：求函數(shù)y=二1+「工口,(》二1)的值域。[J5,+OO)

例4：求函數(shù)y=Jr2+6x+10的值域。[1,+oo)

(2)配方法：

二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)常用此方法來還求解，但在轉(zhuǎn)化的過程中要注意等價(jià)性，特別

是不能改變定義域。對(duì)于形如y=加+bx+c(awO)或/(x)=a[.f⑴丁+歹(x)+c(a/0)類的函

數(shù)的值域問題，均可使用配方法。

例1.求函數(shù)y=7—2x-x2+3的值域。

分析與解答：因?yàn)椤?3N0,即一3WxWl,y=J_(x+1)2+4,于是：

0<-(^+1)2+4<4,0<y<2?

r2+2x+41

例2.求函數(shù)y=在區(qū)間xej,4]的值域。

尤4

分析與解答：由,=二+2.+4配方得:),=x+d+2=[?_-^]+6,

XXyjx)

141

當(dāng)一<x<2時(shí)<函數(shù)y=x+—+2是單調(diào)減函數(shù)，所以6Wy<18—；

4x4

4

當(dāng)2<x<4H寸，函數(shù)y=x+—+2是單調(diào)增函數(shù)，所以6<><7。

x

所以函數(shù)在區(qū)間xe[-,4]的值域是64y<18-?

44

(3)最值法：

對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，利用函數(shù)的最大值、最小值，求函數(shù)的值域的方法。

例1求函數(shù)y=3-2x-x2的值域。

解：由3-2尤-x2或，解出定義域?yàn)閇-3,1]。函數(shù)y在L-3,1]內(nèi)是連續(xù)的，在定義域內(nèi)由3-2x-x2

的最大值為4,最小值為0。

???函數(shù)的值域是[0,2]

例2：求函數(shù)>=2',n?—2,2]的值域。；,4

例3：求函數(shù)^=一2/+5%+6的值域。

(4)反函數(shù)法(逆求或反求法)：

利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。

即通過反解，用)，來表示x,再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍。對(duì)于形如

丫二三出儂二。）的值域，用函數(shù)和它的反函數(shù)定義域和值域關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域從而得到原函

ax^-b

數(shù)的值域。

1-2V

例1：求函數(shù)y的值域。

1-2(1—y

解：由y解得2*=」

l+2r1+y

?/2'>0,.?.±2>0,：.-\<y<l

1+y/

v

.?.函數(shù)y=Ll-三2的值域?yàn)閥e(-1,1)。

1+2

（5）分離常數(shù)法：

分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問題一般也可以利用反函數(shù)法。小結(jié)：

Z7V_1_A

已知分式函數(shù)y=——（cwO）,如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對(duì)變量的要求）內(nèi)，值域?yàn)?/p>

cx-^d

a卜；如果是條件定義域（對(duì)自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數(shù)化為

<yyw一

c

,ad

h——

ac

y=一+（ad*be）,用復(fù)合函數(shù)法來求值域。

ccx+d

土工的值域。

例1：求函數(shù)y

2x4-5

1八八77

解：；），=上上2_1?2

?-----2--------------------------1-------

-2x+52x+522x+5

7

71

,?*---------w0,「?yw—,

2x+52

.?.函數(shù)丁=上三的值域?yàn)椋锒」ひ?。

2x+52

（6）換元法（代數(shù)/三角去

對(duì)于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類函數(shù)，可以考慮運(yùn)用代數(shù)或三角代換，將所給

函數(shù)化成值域簡單的熟悉的容易確定的基本函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。當(dāng)根式里是一次式時(shí)，用代

數(shù)換元；當(dāng)根式里是二次式時(shí)，用三角換元。

對(duì)形如y=一二的函數(shù)，令形如y=ox+Z?土均為常數(shù),ac/O）的

-/（x）

函數(shù)，令Jex+d=t；形如含JeJ-f的結(jié)構(gòu)的函數(shù),可利用三角代換，令x=acosaee[0,司,

或令x=Qsine,6￡

22

例1：求函數(shù)y=2x+Jl-2x的值域。

____172

解：令t=1\一2x(r>0),則犬=-----,

2

y=-t2+t+l=-(t--)2+-

24

135

???當(dāng)，=±,即工=2時(shí)，v無最小值。

284

.?.函數(shù)y=2x+Vl-2x的值域?yàn)?-00,-]。

4

例2.求函數(shù)y=(x2—5x+12)(x2—5x+4)+21的值域。

(5Vog

分析與解答：令"，_5X+4=X--

I2；44

y=?/+8)+21=/+8/+21=(r+4)2+5,

當(dāng)時(shí),為加=|一\+4)+5=8上，值域?yàn)椋鹹|y28專｝

例3.求函數(shù)y=x+VlOx-x2—23的值域。

分析與解答：由.=%+加0%一日2一23=x+)2-(x-53，令x-5=J^cos。，

因?yàn)?-(x-5『20n2-2cos2。20n—1?cos。W1,0G[0,7r],則

72-(X-5)2=V2sin(9,

于是y=V2sin0+V2cos+5=2sin|^+—|+5,0+—e,

I4J444

——sin(。+—<1,所以5--JT.Wy<7。

(7)判別式法：

把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程尸(x,y)=0；通過方程有實(shí)數(shù)根，判別式A20,從而求得原函數(shù)

的值域。對(duì)形如y=qx：+」x+q(%、%不同時(shí)為零)的函數(shù)的值域，通常轉(zhuǎn)化成關(guān)于*的二次方

a2x+b2x+c2

程，由于方程有實(shí)根，即AN0從而求得y的范圍，叩值域。值得注意的是，要對(duì)方程的二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行

討論。

注意：主要適用于定義在/?上的分式函數(shù)，但定義在某區(qū)間上時(shí)，則需要另行討論。

f—*+3

例1：求函數(shù)y=,.、的值域。

x—x+1

.O

解：由y=~~:~變形得(y-l)Y-(y—l)x+y-3=0,

x—X2+I1

當(dāng)y=l時(shí)，此方程無解;

當(dāng)ywl時(shí),*.*x€/?,/.,A=(y-l)2-4(y-l)(y-3)>0

解得1Wy?—，又「.IvyW—

3.3

丫2_43ii

函數(shù)y=,的值域?yàn)閧y［l＜y?U}

x-x+13

（8）函數(shù)單調(diào)性法：

確定函數(shù)在定義域（或某個(gè)定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。例如，

/（x）=or+t（a＞0,0〉0）.當(dāng)利用不等式法等號(hào)不能成立時(shí)，可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性解題。

例I：求函數(shù)y=?￥-，-2x的值域。

解：?.?當(dāng)x增大時(shí)，1—2x隨x的增大而減少，—Jl—2x隨x的增大而增大,

函數(shù)y=x-Jl-2V在定義域（f°,g］上是增函數(shù)。

，函數(shù)y=x-\j\-2x的值域?yàn)椋?co,-J。

例2.求函數(shù)y=%+▲在區(qū)間xw（0,+o。）上的值域。

分析與解答：任取e（0,y）,且不＜龍2,則

/（%1）-/（%2）=—~~~,因?yàn)?＜內(nèi)＜*2，所以：X1—％2＜°，％1電〉0,

xtx2

當(dāng)14七＜%2時(shí)，XlX2-1＞0＞則/（*1）＞/（工2）；

當(dāng)0＜玉＜X2＜1時(shí)，玉工2—1＜0，則/（司）＜/（%2）；而當(dāng)x=l時(shí)，ymin=2

于是：函數(shù)y=x+，在區(qū)間xe（0,+。。）上的值域?yàn)椋?,+8）。

構(gòu)造相關(guān)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求值域。

例3：求函數(shù)/（x）=JTZ1+J匚1的值域。

分析與解答：因?yàn)?14x41,而護(hù)工與J匚1在定義域內(nèi)的單調(diào)性不一致?，F(xiàn)構(gòu)

1-%>0

造相關(guān)函數(shù)g(x)=JW-Ji二1,易知g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)增。gmax=g(l)=及，

gmin=g(T)=-&,=|g("<忘,04g2(X”2,

*2

又72(x)+g2(x)=4,所以：2</(X)<4,V2</(X)<2?

（9）基本不等式法

利用基本不等式求函數(shù)值域，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定

值。

利用基本不等式a+b22，茄，用此法求函數(shù)值域時(shí)，要注意條件“一正，二定，三相等”.如利用

。+822族求某些函數(shù)值域（或最值）時(shí)應(yīng)滿足三個(gè)條件①。＞0,人＞0;②a+—或出?）為定值；③

取等號(hào)成立的條件。=從三個(gè)條件缺一不可。此外，有時(shí)需要合理地添項(xiàng)和拆項(xiàng)和兩邊平方等技巧，添

k

項(xiàng)和拆項(xiàng)的原則是要使最終的乘積結(jié)果中不含自變量，比如求函數(shù)丁=%+下（麥＞0,〃6%）的值域。

x+2

例1求函數(shù)y=]常的值域.

解：）=爵=?71+焉？2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)"="成立.故函數(shù)的值域?yàn)閥e[2,+8）.

此法可以靈活運(yùn)用，對(duì)于分母為一次多項(xiàng)式的二次分式，當(dāng)然可以運(yùn)用判別式法求得其值域，但是

若能變通地運(yùn)用此法，可以省去判別式法中介二次不等式的過程.

2x2-x+1

例2：求函數(shù)的值域:y=

2x-l

1

2X2-X+\_x(2x-l)+l1121

解：y==x-\----X------F

2x-l2x-l212

2x-lx——

2

竽時(shí)等號(hào)成立,

當(dāng)且僅當(dāng)天——時(shí)，即x

2

X——

2

:.y＞42+~,所以元函數(shù)的值域?yàn)椤狥V2,+coI.

22J

例3.求函數(shù)y=(sinX+—1—)2+(COSX+―-—)2-4的值域。

sinxcosx

解：原函數(shù)變形為：

y=(sin*x+cos2x)+——+——

sinJxcos'x

=1+ces2x+sec2x

=3+tan2x+cot2x

>3vtan2xcot2x+2

=5

當(dāng)且僅當(dāng)tanx=cotx

即當(dāng)x=k兀±?時(shí)(kwz),等號(hào)成立

4

故原函數(shù)的值域?yàn)椋?+8)

例4.求函數(shù)y=2sinxsin2x的值域。

解：y=4sinxsinxcosx=4sin2xcosx

y=16sin4xcos2x

=8sin2xsin2x(2-2sin2x)

<8[(sin2x+sin2x+2-2sin2x)/3]3

64

=?7

當(dāng)且僅當(dāng)sin?x=2-2sir?x，即當(dāng)sin2x=士時(shí)，等號(hào)成立。

3

由y2?竺可得：-逋《￡辿

2799

故原函數(shù)的值域?yàn)椋?孚■，竽

(10)函數(shù)有界性法：

利用某些函數(shù)有界性求得原函數(shù)的值域。對(duì)于對(duì)形如y包.葉￡,由于正余弦函數(shù)都是有界函數(shù),

bcosx+d

值域?yàn)?1,1],利用這個(gè)性質(zhì)可求得其值域。

尤2-1

例1：求函數(shù)y=亍石的值域。

解：由函數(shù)的解析式可以知道，函數(shù)的定義域?yàn)镠,對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形可得

(y-l)/=-(y+l),

:y01,/.x2=—(xGR,y#l),

y-i

y+1

：?—------20,*,?-14yv1,s

y-i

x2—I

.,.函數(shù)y=———的值域?yàn)閧y|-1Vy<1}

x+\

形如sin。=/(y),/=g(y),因?yàn)閟in同W1,/20可解出Yr范圍，從而求出其值域或最值。

2V-1

例2.求函數(shù)y=W一的值域

2—1

解：由y=2-'--1得2'=^v—-1

-2A-1y-l

?/22>0,.-.-~->0ny>1或y<-1

y-i

例3：求函數(shù)y=2cosx+l的值域。f-oollu[3,+oo)

3cosx-215j

例4：求函數(shù)y=2-sin1的值域。1)3

2+sinx1_3_

(11)數(shù)型結(jié)合法：

如果所給函數(shù)有較明顯的幾何意義(如兩點(diǎn)間距離，直線的斜率、截距等)或當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象易

于作出時(shí)，可借助幾何圖形的直觀性來求函數(shù)的值域，如由？二紅可聯(lián)想到兩點(diǎn)(西,凹)與(與,%)連

線的斜率或距離。

例1：求函數(shù)y=|x+l|+|x-2|的值域。

解法1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：

—2x+l(x<—1)

y=<3(—lWx<2),畫出它的圖象，由圖象可知，函數(shù)的

2x-l(x>2)

{y|y>3}o

解法2(幾何法或圖象法)：?.?函數(shù)y=|x+l|+|x-2|表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x到兩定點(diǎn)-1,2的距離之和，

易見y的最小值是3,...函數(shù)的值域是［3,+8］。如圖

例2.求函數(shù)y=&+4X+5+&-4X+8的值域。

點(diǎn)撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形,

解：原函數(shù)變形為/(X)=7(X+2)2+1+

作一個(gè)長為4、寬為3的矩形ABC￡>,再切割成12

AB

個(gè)單位正方形。設(shè)〃K=x，則EK=2-x,KF=2+x,AK=7(X-2)2+22,

KC—Jx(+2)~+1o

由三角形三邊關(guān)系知，AK+KC>AC=5.當(dāng)A、K、C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)。

???原函數(shù)的知域?yàn)閧y\y>5}.

例3.求函數(shù)y=Jl+x+J1-元的值域。

解析：令〃=Jl+x,v=Vl-x,則w2+v2=2,〃+u=y,原問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)

直線〃+u=y與圓〃2+/=2在直角坐標(biāo)系uov的第一象限有公共點(diǎn)時(shí)，求直線的截距的取值范圍。

由圖1知：當(dāng)〃+u=y經(jīng)過點(diǎn)(0,、歷)時(shí)，ymm=V2；

2

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，ymax=OD=V2OC=(V2)=2o

所以，值域?yàn)楹骎yW2

例4.求函數(shù)y=-6x+13-\Jx2+4x+5的值域。

解：將函數(shù)變形為y="(X-3)2+(0-2)2-向+2)2+(0-1)2

上式可看成定點(diǎn)A(3,2)到點(diǎn)P(x,0)的距離與定點(diǎn)8(-2,1)到點(diǎn)P(x,0)的距離之差。即

二|陰-陽

由圖可知：(1)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線48與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)P',則構(gòu)成AA8P',根據(jù)三

角形兩邊之差小于第三邊，有||AP|-忸用<|明=J(3+2)2+(2-1)2=V26

即-J26<y<J26

(2)當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有||AP|-|BP||=|AB|=V

綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)?-，幅，而］

注：求兩距離之和時(shí)，通常需要將函數(shù)式變形，使A、8兩點(diǎn)在x軸的

兩側(cè)，而求兩距離之差時(shí)，則要使A,5兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)。

(12)復(fù)合函數(shù)法：

對(duì)函數(shù)y=/(“),“=g(x),先求”=g(x)的值域充當(dāng)y=/(葭)的定義域，從而求出y=/(a)的

值域的方法。

例1、求函數(shù)y=二3一*的值域

3+1

(復(fù)合函數(shù)法)設(shè)3、+1=，

3V+1-1,1,1/

則y=——------=1-----------=1一一/>1)

3r+l3V+1

Vt>\/.0<-<1/.0<y<1

.??原函數(shù)的值域?yàn)椋?1）

49

例2：求函數(shù)y=log|（—2/+5X+3）的值域。—,+00

28

（13）非負(fù)數(shù)法

根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可求出相關(guān)函數(shù)的值域。

!---------V-2-3

例1、（1）求函數(shù)y=J16-%2的值域。（2）求函數(shù)y=r——的值域。

X"+1

解析：⑴?.?0W16—/<16,,-.0<716-X2<4

故所求函數(shù)的值域?yàn)閥e[0,4]。

(2)VX2+1>0,二原函數(shù)可化為y(x2+Y)=x2-3,即%2(l-y)=y+3,當(dāng)y71時(shí),

x2=^^,v%2>0,>0,解得一

1-yI-y

又所以—3Wy<l,

故所求函數(shù)的值域?yàn)閥e[-3,1）。

（不等式性質(zhì)法）

例2：求下列函數(shù)的值域:

6,、2x2+4x+106

⑴產(chǎn)(2)-------------(3)產(chǎn)

x2+2-X2+2X+22sinx-l

21o

(4)>=10-V16-X；(2)y=-3(—)'4-4(x—1)；(3)y=log+>—

22

（14）導(dǎo)數(shù)法

若函數(shù)/在3,與內(nèi)可導(dǎo)，可以利用導(dǎo)數(shù)求得/在（。,份內(nèi)的極值，然后再計(jì)算了在。力點(diǎn)的極限

值.從而求得了的值域.

例1：求函數(shù)f（x）=x3-3x在（一5,1）內(nèi)的值域.

分析:顯然/在（一5,3）可導(dǎo)，且八x）=31—3.由/'（x）=0得/的極值點(diǎn)為x=l,x=—L

/(-I)=2,/(l-0)=-2./(-5+0)=140.

所以，函數(shù)/的值域?yàn)?一2,140).

(15)“平方開方法”

求函數(shù)值域的方法有很多種，如：“配方法”、"單調(diào)性法”、"換元法”、"判別式法”以及“平方開方法”

等等.每一種方法都適用于求某一類具有共同特征的函數(shù)的值域.本文將指出適合采用“平方開方法”的函

數(shù)有哪些共同的特征以及“平方開方法”的運(yùn)算步驟，并給出四道典型的例題.

1.適合函數(shù)特征

設(shè)/(x)(xeD)是待求值域的函數(shù)，若它能采用“平方開方法”，則它通常具有如下三個(gè)特征：

(1)/(x)的值總是非負(fù)，即對(duì)于任意的xe。，f(x)20恒成立；

(2)/")具有兩個(gè)函數(shù)加和的形式，即/(X)=.力(x)+啟x)(xeD)；

(3)/(x)的平方可以寫成一個(gè)常數(shù)與一個(gè)新函數(shù)加和的形式，即

2

f(x)=[ft(x)+f2(x)f=c+g(x)CxeD,c為常數(shù))，

其中，新函數(shù)g(x)(xe。)的值域比較容易求得.

2.運(yùn)算步驟

若函數(shù)Ax)(xe￡>)具備了上述的三個(gè)特征，則可以將f(x)先平方、再開方，從而得到

/(x)=Jc+g(x)(XGD,C為常數(shù)).然后，利用g(x)的值域便可輕易地求出f(x)的值域.例如

g(x)Gv],則顯然/(x)eWc+〃,Vc+v].

3.應(yīng)用四例

能夠應(yīng)用“平方開方法”求值域的函數(shù)不勝枚舉，這里僅以其中四道典型的例題來演示此法在解決具

體問題時(shí)的技巧.

例1求函數(shù)/(x)=Jb-x+v/x-a(xe[?,/>],a<h)的值域.

解：首先，當(dāng)歷時(shí)，/(x)>0；

其次，/(X)是函數(shù)J；(x)=j0-x與力⑶=丁-4的和;

最后，f2(x)-b-a+2yl(b-x)(x-a)=b-a+2+(a+b)x-ab

可見，函數(shù)人力滿足了采用“平方開方法”的三個(gè)特征.于是，對(duì)/(X)平方、開方得

f(x)=^b-a+2^-x2+(?+b)x-ab(xe[a,句).這里，g(x)=2^-x2+(a+b)x-ab().對(duì)g(x)

根號(hào)下面的二次函數(shù)采用“配方法”，即可求得g(x)的值域?yàn)橛谑?，f(x)的值域?yàn)?/p>

[\lb-a,y]2(b-a)].

例2求函數(shù)f(x)=<b-kx+<kx-a(XGa<b,k>0)的值域.

kk

解：顯然，該題就是例1的推廣，且此題的/(x)也滿足了采用“平方開方法”的三個(gè)特征.于是,對(duì)fM

平方、開方得/(x)=\lb-a+2y1-k2x2+k(a+b)x-ab().這里，g(x)=2^/-A:2x2+k(a+b)x-ab

(x咻，”對(duì)g(x)根號(hào)下面的二次函數(shù)采用“配方法”，即可求得g(x)的值域仍為IO,"].于是，f(x)

的值域也仍為[小工,J2S-.

例3求函數(shù)3%)=|sinx|+|cosx|(xeR)的值域.

解：參照例1的驗(yàn)證步驟，顯然，此題的/(X)也滿足了采用“平方開方法”的三個(gè)特征.于是，對(duì)/(x)

平方、開方得了(萬=J1+1sin2x|(xeR).這里，g(x)=|sin2x|(xwR).易知，g(x)的值域?yàn)閇0,1].

于是，f(x)的值域?yàn)榭?&].

例4求函數(shù)f(x)=kinx+cosx|+卜inx-cosx|(xeR)的值域.

解：參照例1的驗(yàn)證步驟，顯然，此題的/(X)也滿足了采用“平方開方法”的三個(gè)特征.于是，對(duì)/(x)

平方、開方得/(x)=j2+2|cos2x|(xeR).這里，g(x)=2|cos2x|(xeR).易知，g(x)的值域?yàn)閇0,2].

于是，f(x)的值域?yàn)閇也,2].

例5求函數(shù)y=Jx-3+yj5-x的值域

解：(平方法)函數(shù)定義域?yàn)椋篨G[3,5]

y2=(X_3)+(5—x)+2A/-X2+8X-15

由xw[3,5],W-x2+8x-15e[0,l]

：?y%[2,4]

.?.原函數(shù)值域?yàn)榫?2〕

平方法)函數(shù)定義域?yàn)椋簒e[3,5]

y~=(x-3)+(5-x)+2J-+8x-15

由xw[3,5],W-x2+8x-15e[0,l]

二./e[2,4]

原函數(shù)值域?yàn)閇、3,2]

(16)一一映射法

原理：因?yàn)閥=出土B(c*0)在定義域上X與y是一一對(duì)應(yīng)的。故兩個(gè)變量中，若知道一個(gè)變量范

cx+d

圍，就可以求另一個(gè)變量范圍。

例1.求函數(shù)y=>3x的值域。

2x4-1

解：:定義域?yàn)閧xIX<一(或X>—g}

_l-3xi-y

由得X=

2x4-12y+3

㈠]_

故X=

2y+322

解得y<__1或y>一,

故函數(shù)的值域?yàn)?一8,-1)U]-|,+℃)

(17)其他方法

其實(shí)，求解函數(shù)值域的方法，只不過是從解題過程中，對(duì)關(guān)鍵環(huán)節(jié)或典型步驟的一種稱呼。實(shí)際上,

其解法也遠(yuǎn)非上面總結(jié)的16種方法，還有倒數(shù)法等。此外我們還要明白：多種方法的配合使用，以及

一題采用多種方法，在不斷積累過程中，體會(huì)不同方法的長短，和練就根據(jù)實(shí)際問題選擇較為簡捷方法

的能力。

例1.求函數(shù)y=YK三的值域。

x+3

解：令1=Jx+2(tN0)，則x+3=t?+i

(1)當(dāng)t>0時(shí)，y=7Tl=-r-2>當(dāng)且僅當(dāng)仁1，即x=—l時(shí)取等號(hào)，所以0<y4,

t

(2)當(dāng)r=0時(shí)，y=0o

綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋翰?‘

_2_

注：先換元，后用不等式法

例2.求函數(shù)y=1+X-2X?+X3+X4的值域。

l+2x24-X4

2+x432

l-2x+x+x-xVx

解:

l+2x2+x4l+2x2+x4-I1+x2J+l+x2

々x=tan2，則=cos2p

2

2U+xJ

—^-r-=—sinp

1+x22H

/.y=cos2p+-^sinp=-sin2p+-^sinp+l=一卜皿口一：）+.

???當(dāng)sinB=:時(shí)，ymax=^

當(dāng)sinB=T時(shí)，ymin=-2

此時(shí)tanB都存在，故函數(shù)的值域?yàn)?2二

216

注：此題先用換元法，后用配方法，然后再運(yùn)用sinB的有界性。

例3.求函數(shù)y=T（x<0）的值域

解：（圖象法）如圖，值域?yàn)椋?,1］

例4.求函數(shù)）=的值域

解（復(fù)合函數(shù)法）：令「=一一+2%=-0：-1）2+1,則y=（r<l）

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，原函數(shù)的值域?yàn)間,+oo）

例5.求函數(shù)y=x+y/l-x2的值域

解（三角代換法）：??,-1<X<1，設(shè)x=cos。。^［。，）］

y=cos。+|sin=cos。+sin。=V2sin(^+—)6|j-1,V2］

???原函數(shù)的值域?yàn)椋?1,痣］

小結(jié):

（1）若題目中含有時(shí)W1,則可設(shè)

a-sinG<0<—(或設(shè)a=cos。,0<0<7T)

22

（2）若題目中含有/+。2=1

則可設(shè)a=cos。力=sing,其中04夕<2〃

（3）若題目中含有J1—爐，則可設(shè)x=cos6,其中乃

（4）若題目中含有Jl+爐,則可設(shè)x=tan。，其中—5<夕<5

(5)若題目中含有x+y=r(x>0,y>0,r>0),則可設(shè)x=五以刀？6,y=J7sin?。。其中

尤2—1

例6、求函數(shù)丁=二一的值域

X+1

解法一：（逆求法）???》2=1±2之0y<\

i-y

原函數(shù)的值域?yàn)閇-11)

解法二：(復(fù)合函數(shù)法)設(shè)/+1=，

22

貝|Jy=1—z—=1—(z>1)

%2+1t

2

?/r>1/.0<—<2/.-1<y<1

原函數(shù)值域?yàn)?-1,1]

解法三：(判別式法)原函數(shù)可化為(y—1)/+O-x+y+i=O

1)y=l時(shí)不成立

2)了工1時(shí)，A>0=>0—4(y—l)(y+1)>0=>-1<y<1

綜合I)、2)值域{y|—

解法四：(三角代換法).,.設(shè)x=tan6G,貝！1

y=--~tan,=-cos20,/23cos2^e(-1,1]

1+tarr。

.?.原函數(shù)的值域?yàn)?-lWy<l}

小結(jié)：

已知分式函數(shù)y="/陵+￡(/+1270),如果在其自然定義域內(nèi)可采用判別式法求值域；

dx「+ex+/

一次式一*次式

如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可以化為丁=二^(或y=-^Sr)

一次式二次式

的形式，采用部分分式法，進(jìn)而用基本不等式法求出函數(shù)的最大最小值；如果不滿足用基本不等式的條

件，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)),=犬+@(XH0)的單調(diào)性去解。

X

注：此題先用換元法，后用配方法，然后再運(yùn)用sin夕的有界性。

總之，在具體求某個(gè)函數(shù)的值域時(shí)，首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察其題型特征，然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/p>

一般優(yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。

五、與函數(shù)值域有關(guān)的綜合題

例