高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 6 第6講 數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)案-高三全冊(cè)數(shù)學(xué)教學(xué)案

第6講數(shù)學(xué)歸納法

i.數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：

(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n(nGN")時(shí)命題成立；

00

(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k》n,kGN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

0

2.明確數(shù)學(xué)歸納法的兩步證明

數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法，它們的表述嚴(yán)格而且規(guī)

范，兩個(gè)步驟缺一不可.第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，第二步中，歸納假設(shè)起

著“己知條件”的作用，在n=k+l時(shí)一定要運(yùn)用它，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.第二步的關(guān)鍵

是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”.

［疑誤辨析］

判斷正誤(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(D用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n=l時(shí)結(jié)論成立.()

(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.()

(3)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由！1=1<到11=1<+1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加

了一項(xiàng).()

(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，必須要用歸納假設(shè).()

答案：⑴X⑵X⑶X(4)V

［教材衍化］

1

nnn

1.他修22P99B組T1改編)在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸邊形的對(duì)角線為社-3)條時(shí)，

第一步檢驗(yàn)n等于()

A.1B.2C.3D.4

解析：選C.凸n邊形邊數(shù)最小時(shí)是三角形，故第一步檢驗(yàn)n=3.

2.(選修22P96A組T2改編)已知｛a｝滿足a=a2—na+1,n￡N?,且a=2,則a

nn+1nn12

=,a=,a=，猜想a=.

34n

答案：345n+1

［易錯(cuò)糾偏］

(1)誤認(rèn)為利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)第一步驗(yàn)證的初始值均為n=1：

(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，添加的項(xiàng)出錯(cuò)，或不利用歸納假設(shè).

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明"2?n2+l對(duì)于n2n的正整數(shù)n都成立"時(shí)，第一步證明中的起

0

始值n應(yīng)?。ǎ?/p>

0

A.2B.3C.5D.6

解析：選C.當(dāng)n=l時(shí)，21=2=12+1,

當(dāng)n=2時(shí)，22=402+1=5,

當(dāng)n=3時(shí)，23=802+1=10,

當(dāng)n=4時(shí)，2I=16<42+1=17,

當(dāng)n=5時(shí)，25=32>52+1=26,

當(dāng)n=6時(shí)，2B=64>62+1=37,故起始值n應(yīng)取5.

0

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí)，從n=k到n=k+l,

左邊需增添的代數(shù)式是.

解析：當(dāng)n=k時(shí)，待證等式左邊=1+2+3+…+(2k+l),

當(dāng)n=k+l時(shí)，待證等式左邊=1+2+3+…+(2k+l)+(2k+2)+(2k+3),

所以從n=k到n=k+l,左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).

答案：(2k+2)+(2k+3)

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

flT|用數(shù)學(xué)歸納法證明：\----=—/一(n￡N*).

2X44X66X82(2+2)4(T1)

【證明】(1)當(dāng)n=l時(shí)，左邊=________!________=1

2X1X(2X1+2)8’

]J

右邊=

4X(1+1)8

左邊=右邊，所以等式成立.

⑵假設(shè)n=k(k￡N*且k2l)時(shí)等式成立，即有

+…+k=,

2X44X66X82k(2k+2)4(斗1)

則當(dāng)n=k+l時(shí),

，+，+-J-+…+1____________1__________

2X44X66X82k(2k+2)2(4-1)[2(4-1)+2]

=———十—k——-----

4(+1)4(+1)(+2)

=K(k+2)J1

4(+1)(+2)

(k+1)2

=4(k+1)(k+2)

k+1

4(k+2)

k+1

4.+1+1)

所以當(dāng)n=k+l時(shí)，等式也成立，

由(1)(2)可知，對(duì)于一切ndN*等式都成立.

后1^

用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的注意事項(xiàng)

(1)明確初始值n的取值并驗(yàn)證n=n時(shí)等式成立.

00

(2)由n=k證明n=k+l時(shí)，弄清左邊增加的項(xiàng)，且明確變形目標(biāo).

(3)掌握恒等變形常用的方法：①因式分解；②添拆項(xiàng)；③配方法.

「入麥切E3(2020?溫州七校聯(lián)考)已知數(shù)列值｝的通項(xiàng)公式為a=l+L*i…+

nn23

SaaaaSnan

一，記=+++…+，用數(shù)學(xué)歸納法證明=(+1)一.

nn123nnn

證明：當(dāng)n=l時(shí)，a=1,S=a=1,滿足條件.

假設(shè)當(dāng)n=k(k2l,kcN,時(shí)，S=(k+l)a-k成立，

kk

則當(dāng)n=k+l時(shí)，

因?yàn)閍=1+，+J_+…+_L

k23k

=1+1+1+...+^+_L_lU=4.

23長

K+1

k+lk+1

所以S=S+a=(k+l)a—k+a

k+1kk+1kk+1

=(k+1)(a-k+a

k+Ik+1k+1

=(k+l)a—1—k+a

k+1k+1

=(k+2)a—(1+k).

k+1

從而S=(n+l)a—n成立.

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

碗川(2020?衢州模擬)在數(shù)列｛a｝中，已知a=a(a>2),且@=科(n￡N*).

6刀n1什12(a-1)

n

⑴用數(shù)學(xué)歸納法證明:a>2(n)N*)；

n

(2)求證a<a(neN*).

n+in

【證明】(1)①當(dāng)n=l時(shí)，a=a>2,命題成立.

i

②假設(shè)當(dāng)n=k(k《N*,k21)時(shí)，命題成立，BPa>2.

k

則當(dāng)n=k+l時(shí)，

a-2=_"、_2=Ja12)J)。.

k+i2(a-1)2(a-1)

kk

所以當(dāng)n=k+l時(shí)a>2也成立，

k+1

由①②得，對(duì)任意正整數(shù)n,都有a>2.

n

/c、a2a(2—a)

(2)a—a=n—a=1111,

n+ln2(3—1)n2(3—1)

nn

由(1)可知a>2>0,

n

所以a<a.

n+ln

因國回用

數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的注意事項(xiàng)

(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)

學(xué)歸納法；

⑵用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立，推證n=k+l時(shí)也成立，證明時(shí)用

上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明.

跟蹤訓(xùn)練已知數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，a=1,%—32=2.

n1n+ln

⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;

1111I------

(2)證明：7+r+r-1---對(duì)一切n￡N*恒成立.

aaaa

123n

解：(1)由我-w=2得ai=2n—L

n+ln

所以a=>/2n—1.

(2)證明：①當(dāng)n=l時(shí)，1=1成立；當(dāng)n=2時(shí)，左邊〈右邊.

1111I------

②假設(shè)當(dāng)n=k(k22,k￡N*)時(shí)，：+1+<+…+：V2k—1成立,

aaaa,

123k

那么當(dāng)n=k+l時(shí),

11111

2k+l

<j2k—IT--11

丫\/2k+l

2

〈L+________________

，2k+l+q2k—1

=*7T,不等式成立.

iiii_____

由①②可得7+丁+廣1—^7^也11-1對(duì)一切116股亙成立.

dd.dd

123n

歸納一猜想一證明

3a—4、

函[3]（2020?寧波效實(shí)中學(xué)高三期中）已知數(shù)列｛a｝,a=3,a:。(Zn￡N*).

nIn+1a—1

（1）求a,a,a的值，并猜想｛a｝的通項(xiàng)公式;

234n

⑵用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

【解】（1）因?yàn)閍=3,且a=*3a—?4

1n+1a-1

5

3X4

3X3-452-7

所次=3一1二

2

3x1-4

a=_3_=2,由此猜想a=2n+l

174nn

—一1

3

2X1+1

（2）證明：①當(dāng)n=l時(shí)，a=-.—=3,滿足要求，猜想成立;

11

②假設(shè)n=k（kNl且keN*）時(shí)，猜想成立,

即a=2k+1

kk

2k+l

3a-43X-r-4_2k+3_2(k+1)+1

那么當(dāng)n=k+l時(shí),a=k=八

k+1a-12k+lV+T1TFT

k--1

這就表明當(dāng)n=k+l時(shí),猜想成立,

2n+l

根據(jù)①②可以斷定,對(duì)所有的正整數(shù)該猜想成立,即ar—

國陶?qǐng)F(tuán)國

“歸納一一猜想一一證明”的模式

“歸納一一猜想一一證明”的模式是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模

式.其一般思路是：通過觀察有限個(gè)特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這種方

法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用，其關(guān)鍵是歸納、

猜想出公式.

婚跟蹤訓(xùn)練(2020?寧波市九校聯(lián)考)已知neN*,S=(n+1)?(n+2)???(n+n),

n

T=2?X1X3X-X(2n-l).

⑴求S,S,S,T,T,T；

123123

⑵猜想s與T的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

nn

解：(1)S=T=2,S=T=12,S=T=120.

112233

(2)猜想:S=T想￡N*).

證明：①當(dāng)n=l時(shí)，S=T；

ii

②假設(shè)當(dāng)n=k(k，l且kGN*)時(shí)，S=T,

kk

即(k+1)(k+2)—(k+k)=2kXlX3X—X(2k-l),

則當(dāng)n=k+l時(shí)，

S=(k+l+l)(k+1+2)…(k+l+k—1)(k+l+k)?(k+l+k+1)

k+l

=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+l)(2k+2)

2kxiX3X…X(2k-l)

=----------------------X(2k+l)(2k+2)

=2k+iXlX3X-X(2k-l)(2k+l)=T.

k+l

即n=k+l時(shí)也成立，

由①②可知，ndN*,S=T成立.

》G明演練，OO突破練好霸■突破m分瓶頸..

［基礎(chǔ)題組練］

1.凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸(n+1)邊形的對(duì)角線的條數(shù)儀11+1)為()

A.f(n)+n+lB.f(n)+n

C.f(n)+n—1D.f(n)+n—2

解析：選C.邊數(shù)增加1,頂點(diǎn)也相應(yīng)增加1個(gè)，它與和它不相鄰的n—2個(gè)頂點(diǎn)連接成

對(duì)角線，原來的一條邊也成為對(duì)角線，因此，對(duì)角線增加n—1條.

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明”當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，x0+yn能被x+y整除”的第二步是()

A.假設(shè)n=2k+l時(shí)正確，再推n=2k+3時(shí)正確(其中kWN*)

B.假設(shè)n=2k—1時(shí)正確，再推n=2k+1時(shí)正確(其中kGN?)

C.假設(shè)n=k時(shí)正確，再推n=k+l時(shí)正確（其中keN*）

D.假設(shè)n=k時(shí)正確，再推n=k+2時(shí)正確（其中keN*）

解析：選B.因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以n=2k—l（keN*）.

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+1+L+-+1<n(neN*,n>l)”時(shí),由n=k(k>l)不等

232n—1

式成立，推證n=k+l時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是

111<k；當(dāng)n=k+l時(shí)，要證的式子

解析：當(dāng)工及時(shí)，要證的式子為---------

232k1

為14+1+…+―_+上+_1-+…+_1_<k+l.左邊增加了2k項(xiàng).

232k—12k2^+12k+i—1

答案：2k

4.(2020?紹興模擬)已知f(n)=l+l+l+…+」(nWN?)，經(jīng)計(jì)算得f(4)>2,f(8)>￡

23n2

f7

(16)>3,(32)>-則其一般結(jié)論為--------.

解析：因?yàn)閒(2z)>3,f(23)>-,f(2，)>?f⑵)>乙所以當(dāng)n》2時(shí)，有f⑵)>2±￡.

22222

n+2

答案：f(2..)>-^—(n^2,n￡N*)

5.已知數(shù)列｛a｝滿足，a=1,a=J\

n1n22

n+1

2

(1)求證：-W^1；

3。

⑵求證：|a-a

n+ln3

,26

證明：(1)由已知得a=，計(jì)算a_a_a142

---r=，=T=一猜想Wl.

n+1

a+12337i193n

n2

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=l時(shí)，命題顯然成立；

2

nkanka=l〈l<i,

②假設(shè)=時(shí)，有產(chǎn)成立，則當(dāng)=+1時(shí)，-■—

3n+1a+__+_

k232

112.

a=2nk,八一

k+l[1>=?,即當(dāng)=+1時(shí)也成”，

a+11+1

k22

9

所以對(duì)任意neN*,都有2WaWl.

3n

1

(2)當(dāng)n=i時(shí)，a-a|=J

123

nr1、111113

當(dāng)》2時(shí)，因?yàn)?+_)(+-)=(a+-).-=1+—>1+-=-

?2n-.2"2a2a22

nn

所以|a—a|=

n+ln

I1_1I|a-a|2②11②

對(duì)廠a,」W?Y?Ia2-a%由I

n2n—I2

n—1

6.(2020?溫州高考模擬節(jié)選)已知數(shù)列{a},滿足a=2,b=4,且2b=a+a,

nn11nnn+l

僦=bb.

n+lnn+l

(1)求a,a,a及b,b,b的值；

234234

(2)猜想{a},的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論.

nn

解：(D因?yàn)?b=a+a，&=bb,

nnn+ln+lnn+l

且a=2,b=4.

ii

[8=2+a,

令n=l,得到〈2解得a=6,b=9；同理令n=2,3分別解得a=12,b=16,

a=20,b=25.

44

(2)證明：猜測(cè)a=n(n+l),b=(n+l)2.

用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=l時(shí)，由上可得結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即a=k(k+l),b=(k+l)2,

kk

那么當(dāng)n=k+l時(shí)，a=2b—a=2(k+l)2—k(k+l)=(k+1)(k+2),

k+lkk

b=.+i=(k+2)2.所以當(dāng)n=k+l時(shí),結(jié)論也成立.

k+lb

k

由①②，可知a=n(n+l),b=(n+l)2對(duì)一切正整數(shù)都成立.

nn

1

7.(2020?臺(tái)州市高三期末考試)在正項(xiàng)數(shù)列｛a｝中，已知a=l,且滿足a=2a-

n1n+lnS+1

(n￡N*).

(1)求a,a的值；

23

(2)證明：a.2@n1

1

解：(1)因?yàn)樵谡?xiàng)數(shù)列｛a｝中，a=1,且滿足a=2a-(nGNO,

nln+1na+1

所以a=2Xl—1_323113

2l+l"?3=2X2-

由已知a9)=1,不等式成立;

(2)證明：①當(dāng)n=l時(shí),

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即1

因?yàn)閒(x)=2x—在(0,+8)上是增函數(shù)，

x+1

砰招二卜心7

(J+】

⑶k-332X3-3=0,

因?yàn)閗》l,所以2X012

即當(dāng)n=k+l時(shí)，不等式也成立.

根據(jù)①②知不等式對(duì)任何ncN.都成立.

1

8.(2020?臺(tái)州市書生中學(xué)月考)已知數(shù)列｛'｝中，a=r'0,印該數(shù)列的前項(xiàng)n

n12n

和，且S=a(1—a)+S,nFN*.

n+lnn+ln

⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;

n

⑵若不等式a+a+a+-+a>3寸一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值,

n+1n+2

并證明結(jié)論.

解：(1)因?yàn)镾=a(1—a)+S,n￡N*,

n+lnn+1n

所以S—S=a(1—a),

n+Innn+1

所以a=a(1—a)=a—aa,

n+lnn+1nnn4-1

所以a—a=aa.又aWO,

n+1nn+1

所以構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列,

所以a=」_,neN?.

nn+l

(2)當(dāng)n=l時(shí)，1+1斗1即登￡

1+11+23+1242424

所以a<26.

而a是最大的正整數(shù)，

所以取a=25.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：2-+-l-+-+—L->—

nIfn?o0n?->?

+1”+2o

①當(dāng)n=l時(shí)，已證；

②假設(shè)當(dāng)n=k(k2l,keN*)時(shí)，不等式成立，即」_+」_+…+-—>巴

下午3k+l24

則當(dāng)n=k+l時(shí),

(八+1)+1(八+1)+23(八+1)+1

=k+1+k+2+…+3k+l+3k+2+3k+3+3k+4—肅7>24+

「1+1-2]

_3k+23k+43(k+1)JL

中為、

因?yàn)?T.-1=6(k+1)>6(k+1)=2

3k+23k+49k2+18k+89k?+18k+93(k+1)

112

即EWTTH

i19

所以西飛7IF>0.

所以當(dāng)n=k+l時(shí)不等式也成

立.由①②知，對(duì)一切正整數(shù)n,

都有

1+1,,1.25

Xi___n___H----F____>―

+1+23+124

所以a的最大值等于25.

［綜合題組練］

1.(2020?寧波市諾丁漢大學(xué)附中高三期中考試)已知數(shù)列｛a｝滿足a=3,a=a?+

n1n+in

2a,neNs設(shè)b=log(a+l).

nn2n

(1)求｛a｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)求證:i+l+l+-+_L_<n(n>2)；

23b-1

n

fcY

(3)若27=4，求證：2《(超即|<3.

n

解：(1)由a=a^+2a,

n+lnn

則a+l=a^+2a+1=(a+1)2,

n+lnnn

由a=3,則a>0,兩邊取對(duì)數(shù)得到

1n

log(a+1)=log(a+1)2=2log(a+1),

2n+l2n2n

即b=2b.

n+ln

又b=log(a+l)=2#0,

121

所以｛b｝是以2為公比的等比數(shù)列.

n

即b=2n.

n

又因?yàn)閎=log(a+1),

n2n

所以a=22n—1.

n

n1111

⑵證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)=2時(shí)，左邊為1tH-二<2=右邊，此時(shí)不

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等式成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k(k,2,keN*)時(shí)，不等式成立，

則當(dāng)門=卜+1時(shí)，左邊=1+1+1+…+1+1+1+…+1

232k—12k2k+l2k+l—1

Vk+11T----11Vk+1+1T---2k個(gè),Vk+1=右邊,

2k2k4~12k+l—12k2k2k

所以當(dāng)n=k+l時(shí)，不等