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文檔簡介
第6講數(shù)學(xué)歸納法
i.數(shù)學(xué)歸納法
一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:
(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n(nGN")時(shí)命題成立;
00
(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k》n,kGN*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.
0
2.明確數(shù)學(xué)歸納法的兩步證明
數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法,它們的表述嚴(yán)格而且規(guī)
范,兩個(gè)步驟缺一不可.第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),第二步中,歸納假設(shè)起
著“己知條件”的作用,在n=k+l時(shí)一定要運(yùn)用它,否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.第二步的關(guān)鍵
是“一湊假設(shè),二湊結(jié)論”.
[疑誤辨析]
判斷正誤(正確的打“J”,錯(cuò)誤的打“X”)
(D用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),第一步是驗(yàn)證當(dāng)n=l時(shí)結(jié)論成立.()
(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.()
(3)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),由!1=1<到11=1<+1時(shí),項(xiàng)數(shù)都增加
了一項(xiàng).()
(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),必須要用歸納假設(shè).()
答案:⑴X⑵X⑶X(4)V
[教材衍化]
1
nnn
1.他修22P99B組T1改編)在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸邊形的對(duì)角線為社-3)條時(shí),
第一步檢驗(yàn)n等于()
A.1B.2C.3D.4
解析:選C.凸n邊形邊數(shù)最小時(shí)是三角形,故第一步檢驗(yàn)n=3.
2.(選修22P96A組T2改編)已知{a}滿足a=a2—na+1,n£N?,且a=2,則a
nn+1nn12
=,a=,a=,猜想a=.
34n
答案:345n+1
[易錯(cuò)糾偏]
(1)誤認(rèn)為利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)第一步驗(yàn)證的初始值均為n=1:
(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),添加的項(xiàng)出錯(cuò),或不利用歸納假設(shè).
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明"2?n2+l對(duì)于n2n的正整數(shù)n都成立"時(shí),第一步證明中的起
0
始值n應(yīng)?。ǎ?/p>
0
A.2B.3C.5D.6
解析:選C.當(dāng)n=l時(shí),21=2=12+1,
當(dāng)n=2時(shí),22=402+1=5,
當(dāng)n=3時(shí),23=802+1=10,
當(dāng)n=4時(shí),2I=16<42+1=17,
當(dāng)n=5時(shí),25=32>52+1=26,
當(dāng)n=6時(shí),2B=64>62+1=37,故起始值n應(yīng)取5.
0
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),從n=k到n=k+l,
左邊需增添的代數(shù)式是.
解析:當(dāng)n=k時(shí),待證等式左邊=1+2+3+…+(2k+l),
當(dāng)n=k+l時(shí),待證等式左邊=1+2+3+…+(2k+l)+(2k+2)+(2k+3),
所以從n=k到n=k+l,左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).
答案:(2k+2)+(2k+3)
用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
flT|用數(shù)學(xué)歸納法證明:\----=—/一(n£N*).
2X44X66X82(2+2)4(T1)
【證明】(1)當(dāng)n=l時(shí),左邊=________!________=1
2X1X(2X1+2)8’
]J
右邊=
4X(1+1)8
左邊=右邊,所以等式成立.
⑵假設(shè)n=k(k£N*且k2l)時(shí)等式成立,即有
+…+k=,
2X44X66X82k(2k+2)4(斗1)
則當(dāng)n=k+l時(shí),
,+,+-J-+…+1____________1__________
2X44X66X82k(2k+2)2(4-1)[2(4-1)+2]
=———十—k——-----
4(+1)4(+1)(+2)
=K(k+2)J1
4(+1)(+2)
(k+1)2
=4(k+1)(k+2)
k+1
4(k+2)
k+1
4.+1+1)
所以當(dāng)n=k+l時(shí),等式也成立,
由(1)(2)可知,對(duì)于一切ndN*等式都成立.
后1^
用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的注意事項(xiàng)
(1)明確初始值n的取值并驗(yàn)證n=n時(shí)等式成立.
00
(2)由n=k證明n=k+l時(shí),弄清左邊增加的項(xiàng),且明確變形目標(biāo).
(3)掌握恒等變形常用的方法:①因式分解;②添拆項(xiàng);③配方法.
「入麥切E3(2020?溫州七校聯(lián)考)已知數(shù)列值}的通項(xiàng)公式為a=l+L*i…+
nn23
SaaaaSnan
一,記=+++…+,用數(shù)學(xué)歸納法證明=(+1)一.
nn123nnn
證明:當(dāng)n=l時(shí),a=1,S=a=1,滿足條件.
假設(shè)當(dāng)n=k(k2l,kcN,時(shí),S=(k+l)a-k成立,
kk
則當(dāng)n=k+l時(shí),
因?yàn)閍=1+,+J_+…+_L
k23k
=1+1+1+...+^+_L_lU=4.
23長
K+1
k+lk+1
所以S=S+a=(k+l)a—k+a
k+1kk+1kk+1
=(k+1)(a-k+a
k+Ik+1k+1
=(k+l)a—1—k+a
k+1k+1
=(k+2)a—(1+k).
k+1
從而S=(n+l)a—n成立.
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
碗川(2020?衢州模擬)在數(shù)列{a}中,已知a=a(a>2),且@=科(n£N*).
6刀n1什12(a-1)
n
⑴用數(shù)學(xué)歸納法證明:a>2(n)N*);
n
(2)求證a<a(neN*).
n+in
【證明】(1)①當(dāng)n=l時(shí),a=a>2,命題成立.
i
②假設(shè)當(dāng)n=k(k《N*,k21)時(shí),命題成立,BPa>2.
k
則當(dāng)n=k+l時(shí),
a-2=_"、_2=Ja12)J)。.
k+i2(a-1)2(a-1)
kk
所以當(dāng)n=k+l時(shí)a>2也成立,
k+1
由①②得,對(duì)任意正整數(shù)n,都有a>2.
n
/c、a2a(2—a)
(2)a—a=n—a=1111,
n+ln2(3—1)n2(3—1)
nn
由(1)可知a>2>0,
n
所以a<a.
n+ln
因國回用
數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的注意事項(xiàng)
(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí),應(yīng)用其他辦法不容易證,則可考慮應(yīng)用數(shù)
學(xué)歸納法;
⑵用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立,推證n=k+l時(shí)也成立,證明時(shí)用
上歸納假設(shè)后,可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明.
跟蹤訓(xùn)練已知數(shù)列{a}的各項(xiàng)均為正數(shù),a=1,%—32=2.
n1n+ln
⑴求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式;
1111I------
(2)證明:7+r+r-1---對(duì)一切n£N*恒成立.
aaaa
123n
解:(1)由我-w=2得ai=2n—L
n+ln
所以a=>/2n—1.
(2)證明:①當(dāng)n=l時(shí),1=1成立;當(dāng)n=2時(shí),左邊〈右邊.
1111I------
②假設(shè)當(dāng)n=k(k22,k£N*)時(shí),:+1+<+…+:V2k—1成立,
aaaa,
123k
那么當(dāng)n=k+l時(shí),
11111
2k+l
<j2k—IT--11
丫\/2k+l
2
〈L+________________
,2k+l+q2k—1
=*7T,不等式成立.
iiii_____
由①②可得7+丁+廣1—^7^也11-1對(duì)一切116股亙成立.
dd.dd
123n
歸納一猜想一證明
3a—4、
函[3](2020?寧波效實(shí)中學(xué)高三期中)已知數(shù)列{a},a=3,a:。(Zn£N*).
nIn+1a—1
(1)求a,a,a的值,并猜想{a}的通項(xiàng)公式;
234n
⑵用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
【解】(1)因?yàn)閍=3,且a=*3a—?4
1n+1a-1
5
3X4
3X3-452-7
所次=3一1二
2
3x1-4
a=_3_=2,由此猜想a=2n+l
174nn
—一1
3
2X1+1
(2)證明:①當(dāng)n=l時(shí),a=-.—=3,滿足要求,猜想成立;
11
②假設(shè)n=k(kNl且keN*)時(shí),猜想成立,
即a=2k+1
kk
2k+l
3a-43X-r-4_2k+3_2(k+1)+1
那么當(dāng)n=k+l時(shí),a=k=八
k+1a-12k+lV+T1TFT
k--1
這就表明當(dāng)n=k+l時(shí),猜想成立,
2n+l
根據(jù)①②可以斷定,對(duì)所有的正整數(shù)該猜想成立,即ar—
國陶?qǐng)F(tuán)國
“歸納一一猜想一一證明”的模式
“歸納一一猜想一一證明”的模式是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模
式.其一般思路是:通過觀察有限個(gè)特例,猜想出一般性的結(jié)論,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這種方
法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用,其關(guān)鍵是歸納、
猜想出公式.
婚跟蹤訓(xùn)練(2020?寧波市九校聯(lián)考)已知neN*,S=(n+1)?(n+2)???(n+n),
n
T=2?X1X3X-X(2n-l).
⑴求S,S,S,T,T,T;
123123
⑵猜想s與T的關(guān)系,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
nn
解:(1)S=T=2,S=T=12,S=T=120.
112233
(2)猜想:S=T想£N*).
證明:①當(dāng)n=l時(shí),S=T;
ii
②假設(shè)當(dāng)n=k(k,l且kGN*)時(shí),S=T,
kk
即(k+1)(k+2)—(k+k)=2kXlX3X—X(2k-l),
則當(dāng)n=k+l時(shí),
S=(k+l+l)(k+1+2)…(k+l+k—1)(k+l+k)?(k+l+k+1)
k+l
=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+l)(2k+2)
2kxiX3X…X(2k-l)
=----------------------X(2k+l)(2k+2)
=2k+iXlX3X-X(2k-l)(2k+l)=T.
k+l
即n=k+l時(shí)也成立,
由①②可知,ndN*,S=T成立.
》G明演練,OO突破練好霸■突破m分瓶頸..
[基礎(chǔ)題組練]
1.凸n邊形有f(n)條對(duì)角線,則凸(n+1)邊形的對(duì)角線的條數(shù)儀11+1)為()
A.f(n)+n+lB.f(n)+n
C.f(n)+n—1D.f(n)+n—2
解析:選C.邊數(shù)增加1,頂點(diǎn)也相應(yīng)增加1個(gè),它與和它不相鄰的n—2個(gè)頂點(diǎn)連接成
對(duì)角線,原來的一條邊也成為對(duì)角線,因此,對(duì)角線增加n—1條.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明”當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),x0+yn能被x+y整除”的第二步是()
A.假設(shè)n=2k+l時(shí)正確,再推n=2k+3時(shí)正確(其中kWN*)
B.假設(shè)n=2k—1時(shí)正確,再推n=2k+1時(shí)正確(其中kGN?)
C.假設(shè)n=k時(shí)正確,再推n=k+l時(shí)正確(其中keN*)
D.假設(shè)n=k時(shí)正確,再推n=k+2時(shí)正確(其中keN*)
解析:選B.因?yàn)閚為正奇數(shù),所以n=2k—l(keN*).
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明:“1+1+L+-+1<n(neN*,n>l)”時(shí),由n=k(k>l)不等
232n—1
式成立,推證n=k+l時(shí),左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是
111<k;當(dāng)n=k+l時(shí),要證的式子
解析:當(dāng)工及時(shí),要證的式子為---------
232k1
為14+1+…+―_+上+_1-+…+_1_<k+l.左邊增加了2k項(xiàng).
232k—12k2^+12k+i—1
答案:2k
4.(2020?紹興模擬)已知f(n)=l+l+l+…+」(nWN?),經(jīng)計(jì)算得f(4)>2,f(8)>£
23n2
f7
(16)>3,(32)>-則其一般結(jié)論為--------.
解析:因?yàn)閒(2z)>3,f(23)>-,f(2,)>?f⑵)>乙所以當(dāng)n》2時(shí),有f⑵)>2±£.
22222
n+2
答案:f(2..)>-^—(n^2,n£N*)
5.已知數(shù)列{a}滿足,a=1,a=J\
n1n22
n+1
2
(1)求證:-W^1;
3。
⑵求證:|a-a
n+ln3
,26
證明:(1)由已知得a=,計(jì)算a_a_a142
---r=,=T=一猜想Wl.
n+1
a+12337i193n
n2
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)n=l時(shí),命題顯然成立;
2
nkanka=l〈l<i,
②假設(shè)=時(shí),有產(chǎn)成立,則當(dāng)=+1時(shí),-■—
3n+1a+__+_
k232
112.
a=2nk,八一
k+l[1>=?,即當(dāng)=+1時(shí)也成”,
a+11+1
k22
9
所以對(duì)任意neN*,都有2WaWl.
3n
1
(2)當(dāng)n=i時(shí),a-a|=J
123
nr1、111113
當(dāng)》2時(shí),因?yàn)?+_)(+-)=(a+-).-=1+—>1+-=-
?2n-.2"2a2a22
nn
所以|a—a|=
n+ln
I1_1I|a-a|2②11②
對(duì)廠a,」W?Y?Ia2-a%由I
n2n—I2
n—1
6.(2020?溫州高考模擬節(jié)選)已知數(shù)列{a},滿足a=2,b=4,且2b=a+a,
nn11nnn+l
僦=bb.
n+lnn+l
(1)求a,a,a及b,b,b的值;
234234
(2)猜想{a},的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論.
nn
解:(D因?yàn)?b=a+a,&=bb,
nnn+ln+lnn+l
且a=2,b=4.
ii
[8=2+a,
令n=l,得到〈2解得a=6,b=9;同理令n=2,3分別解得a=12,b=16,
a=20,b=25.
44
(2)證明:猜測(cè)a=n(n+l),b=(n+l)2.
用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=l時(shí),由上可得結(jié)論成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即a=k(k+l),b=(k+l)2,
kk
那么當(dāng)n=k+l時(shí),a=2b—a=2(k+l)2—k(k+l)=(k+1)(k+2),
k+lkk
b=.+i=(k+2)2.所以當(dāng)n=k+l時(shí),結(jié)論也成立.
k+lb
k
由①②,可知a=n(n+l),b=(n+l)2對(duì)一切正整數(shù)都成立.
nn
1
7.(2020?臺(tái)州市高三期末考試)在正項(xiàng)數(shù)列{a}中,已知a=l,且滿足a=2a-
n1n+lnS+1
(n£N*).
(1)求a,a的值;
23
(2)證明:a.2@n1
1
解:(1)因?yàn)樵谡?xiàng)數(shù)列{a}中,a=1,且滿足a=2a-(nGNO,
nln+1na+1
所以a=2Xl—1_323113
2l+l"?3=2X2-
由已知a9)=1,不等式成立;
(2)證明:①當(dāng)n=l時(shí),
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,即1
因?yàn)閒(x)=2x—在(0,+8)上是增函數(shù),
x+1
砰招二卜心7
(J+】
⑶k-332X3-3=0,
因?yàn)閗》l,所以2X012
即當(dāng)n=k+l時(shí),不等式也成立.
根據(jù)①②知不等式對(duì)任何ncN.都成立.
1
8.(2020?臺(tái)州市書生中學(xué)月考)已知數(shù)列{'}中,a=r'0,印該數(shù)列的前項(xiàng)n
n12n
和,且S=a(1—a)+S,nFN*.
n+lnn+ln
⑴求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式;
n
⑵若不等式a+a+a+-+a>3寸一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,
n+1n+2
并證明結(jié)論.
解:(1)因?yàn)镾=a(1—a)+S,n£N*,
n+lnn+1n
所以S—S=a(1—a),
n+Innn+1
所以a=a(1—a)=a—aa,
n+lnn+1nnn4-1
所以a—a=aa.又aWO,
n+1nn+1
所以構(gòu)成以2為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列,
所以a=」_,neN?.
nn+l
(2)當(dāng)n=l時(shí),1+1斗1即登£
1+11+23+1242424
所以a<26.
而a是最大的正整數(shù),
所以取a=25.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:2-+-l-+-+—L->—
nIfn?o0n?->?
+1”+2o
①當(dāng)n=l時(shí),已證;
②假設(shè)當(dāng)n=k(k2l,keN*)時(shí),不等式成立,即」_+」_+…+-—>巴
下午3k+l24
則當(dāng)n=k+l時(shí),
(八+1)+1(八+1)+23(八+1)+1
=k+1+k+2+…+3k+l+3k+2+3k+3+3k+4—肅7>24+
「1+1-2]
_3k+23k+43(k+1)JL
中為、
因?yàn)?T.-1=6(k+1)>6(k+1)=2
3k+23k+49k2+18k+89k?+18k+93(k+1)
112
即EWTTH
i19
所以西飛7IF>0.
所以當(dāng)n=k+l時(shí)不等式也成
立.由①②知,對(duì)一切正整數(shù)n,
都有
1+1,,1.25
Xi___n___H----F____>―
+1+23+124
所以a的最大值等于25.
[綜合題組練]
1.(2020?寧波市諾丁漢大學(xué)附中高三期中考試)已知數(shù)列{a}滿足a=3,a=a?+
n1n+in
2a,neNs設(shè)b=log(a+l).
nn2n
(1)求{a}的通項(xiàng)公式;
n
(2)求證:i+l+l+-+_L_<n(n>2);
23b-1
n
fcY
(3)若27=4,求證:2《(超即|<3.
n
解:(1)由a=a^+2a,
n+lnn
則a+l=a^+2a+1=(a+1)2,
n+lnnn
由a=3,則a>0,兩邊取對(duì)數(shù)得到
1n
log(a+1)=log(a+1)2=2log(a+1),
2n+l2n2n
即b=2b.
n+ln
又b=log(a+l)=2#0,
121
所以{b}是以2為公比的等比數(shù)列.
n
即b=2n.
n
又因?yàn)閎=log(a+1),
n2n
所以a=22n—1.
n
n1111
⑵證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)=2時(shí),左邊為1tH-二<2=右邊,此時(shí)不
Zoo
等式成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k(k,2,keN*)時(shí),不等式成立,
則當(dāng)門=卜+1時(shí),左邊=1+1+1+…+1+1+1+…+1
232k—12k2k+l2k+l—1
Vk+11T----11Vk+1+1T---2k個(gè),Vk+1=右邊,
2k2k4~12k+l—12k2k2k
所以當(dāng)n=k+l時(shí),不等
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