中考數(shù)學沖刺復(fù)習第1章有理數(shù)05有理數(shù)的乘方及混合運算

有理數(shù)的乘方及混合運算

一、概念

1.有理數(shù)乘方的概念

a-a--a

n個相同的因數(shù)a相乘，即n個，記作a”；

求幾個相同因數(shù)的積的運算，叫做；叫做事;

單獨一個數(shù)a也可看成是指數(shù)為1的幕，即"=a。

當n為正整數(shù)時，表示的意義是

a,(n=1)

axaxaxxa,(n>2)

在a中，。叫作,n叫做指數(shù)，a

a”看作是a的n次方的結(jié)果時，也可讀作a的n次幕.

2.乘方的性質(zhì)：

正數(shù)的任何次幕都是—數(shù)；負數(shù)的奇次幕是—數(shù)，負數(shù)的偶次事

是—數(shù)；0的任何非零次哥都是—o任何一個數(shù)的偶數(shù)次暴都是o

3.有理數(shù)的混合運算

(1)先算乘方，再算乘除，最后算；

(2)同級運算，按照的順序進行；(加法和減法叫做第一級運算；

乘法和除法叫做第二級運算；乘方和今后將會學到的開方叫做第三

級運算)

(3)如果有括號，先算—里的，再算中括號里的，最后算大括號里的。

(4)可以應(yīng)用運算律，適當改變運算順序，使運算簡便

設(shè)。、°為有理數(shù)，

現(xiàn)對匕運算作定義如下：a*b=axb+a+bt

對a'b運算作定義如下：aAb=2a+36.

(1)試說明”這種運算是否滿足交換律?

（2）試說明“△”運算對“*”運算是否滿足分配律?

典型例題：

例1：計算

(1)l-^l-0.5x1^x[2-(-3)2-

(2)-l4-1x[2-(-3)1*3]

(3)(1-+--2.75)X(-24)+(-l)2011-

38

(4)-—-+1-23-3|

(-0.I)3(-0.2)2

例2：選擇

（1）下列說法中，正確的個數(shù)為（）.

①對于任何有理數(shù)m,都有勿'AO;

②對于任何有理數(shù)m,都有病=（—4z；

③對于任何有理數(shù)“、〃(〃￥〃)，都有(加一A)?》。；

④對于任何有理數(shù)如都有■=(一43.

(A)1(B)2(C)3(D)0

(2)(-2)2003+(-2)2004=()

(A)-2(B)(-2)4007

(C)22003(D)-22003

例3：觀察下面三行數(shù)：

-3-11357

1357911

28321285122048

（1）第一行數(shù)是按什么規(guī)律排列的？

（2）第二、三行數(shù)與第一行數(shù)有什么關(guān)系？

（3）計算第三行中的第八個數(shù)是多少？

例4：觀察下列等式：2=2,2?=4,23=8,24=16,25=32,

26=64,2,=128,2=256,……，通過觀察,用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律

確定22°11的個位數(shù)字是什么，并說明理由.

2019-2020學年中考數(shù)學模擬試卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.）

1.如圖，在正五邊形ABCDE中，連接BE,則NABE的度數(shù)為（）

A.30°B.36°C.54°D.72°

2.二次函數(shù)y=a（x--n的圖象如圖，則一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限D(zhuǎn).第一、三、四象限

3.一個正比例函數(shù)的圖象過點（2,-3）,它的表達式為（）

3232

A.V=——XB.y=-xC.y=—xD.y=——x

2323

4.二次函數(shù)y=ax2+6尤+c（a#0）的圖像如圖所示，下列結(jié)論正確是（）

A.abc>0B.2a+b<GC.3〃+c<0D.ox?+法+c—3=0有兩個不相等

的實數(shù)根

5.在同一平面內(nèi)，下列說法：①過兩點有且只有一條直線；②兩條不相同的直線有且只有一個公共點；

③經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直；④經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平

行，其中正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A(2,2)、B(3,1),以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)

將線段AB擴大為原來的2倍后得到線段CD,則端點C的坐標分別為()

A.(4,4)B.(3,3)C.(3,1)D.(4,1)

7.下列計算正確的是()

A.x2+x2=x4B.x8-i-x2=x4C.x2*x3=x6D.(-x)2-x2=0

8.全球芯片制造已經(jīng)進入10納米到7納米器件的量產(chǎn)時代.中國自主研發(fā)的第一臺7納米刻蝕機，是芯

片制造和微觀加工最核心的設(shè)備之一，7納米就是0.000000007米.數(shù)據(jù)0.000000007用科學記數(shù)法表示為

()

A.0.7x108B.7x10-8C.7xl0-9D.7xlO-10

9.某種商品每件的標價是270元，按標價的八折銷售時，仍可獲利20%,則這種商品每件的進價為()

A.180元B.200元C.225元D.259.2元

10.如圖，下列四個圖形是由已知的四個立體圖形展開得到的，則對應(yīng)的標號是(

①圓柱②正方體③三棱柱④四棱錐

A.①②③④B.②①③④C.③②①④D.④②①③

11.下列選項中，可以用來證明命題“若a?>b2,則a>b"是假命題的反例是()

A.a=-2,b=lB.a=3,b=-2C.a=0,b=lD.a=2,b=l

12.如圖，在△ABC中，點D在BC上，DE〃AC,DF〃AB,下列四個判斷中不正確的是()

A.四邊形AEDF是平行四邊形

B.若NBAC=90。，則四邊形AEDF是矩形

C.若AD平分NBAC,則四邊形AEDF是矩形

D.若AD_LBC且AB=AC,則四邊形AEDF是菱形

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.菱形的兩條對角線長分別是方程％2-14尤+48=0的兩實根，則菱形的面積為.

14.如圖，為了測量某棵樹的高度，小明用長為2m的竹竿做測量工具，移動竹竿，使竹竿、樹的頂端的

影子恰好落在地面的同一點.此時，竹竿與這一點距離相距6m,與樹相距15m,則樹的高度為

15.已知Xi，X2是方程x2+6x+3=0的兩實數(shù)根，則迤+上的值為___.

xlx2

16.甲、乙兩個搬運工搬運某種貨物.已知乙比甲每小時多搬運600kg,甲搬運5000kg所用的時間與乙

搬運，8000kg所用的時間相等.設(shè)甲每小時搬運xkg貨物，則可列方程為.

17.金；的相反數(shù)是___.

2019

18.已知1,/是關(guān)于x的一元二次方程x?+（2m+3）x+n/R的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足,+]=

af3

-1,則m的值是.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AD平分NBAC交BC于點D,O為AB上一點，經(jīng)過點

A,D的。O分別交AB,AC于點E,F,連接OF交AD于點G.求證：BC是。O的切線；設(shè)AB=x,

AF=y,試用含x,y的代數(shù)式表示線段AD的長；若BE=8,sinB=V，求DG的長，

20.（6分）如圖，以AB邊為直徑的。O經(jīng)過點P,C是。O上一點，連結(jié)PC交AB于點E,且NACP=60。,

PA=PD.試判斷PD與。O的位置關(guān)系，并說明理由；若點C是弧AB的中點，已知AB=4,求CE?CP

的值.

p

\rD

Jyc

21.（6分）清朝數(shù)學家梅文鼎的《方程論》中有這樣一題：山田三畝，場地六畝，共折實田四畝七分；

又山田五畝，場地三畝，共折實田五畝五分，問每畝山田折實田多少，每畝場地折實田多少？

譯文為：若有山田3畝，場地6畝，其產(chǎn)糧相當于實田4.7畝；若有山田5畝，場地3畝，其產(chǎn)糧相當于

實田5.5畝，問每畝山田和每畝場地產(chǎn)糧各相當于實田多少畝？

22.（8分）某省為解決農(nóng)村飲用水問題，省財政部門共投資20億元對各市的農(nóng)村飲用水的“改水工程”予

以一定比例的補助.2008年，A市在省財政補助的基礎(chǔ)上投入600萬元用于“改水工程”，計劃以后每年以

相同的增長率投資，2010年該市計劃投資“改水工程”1176萬元.求A市投資“改水工程”的年平均增長率;

從2008年到2010年，A市三年共投資“改水工程”多少萬元？

23.（8分）我市計劃將某村的居民自來水管道進行改造.該工程若由甲隊單獨施工恰好在規(guī)定時間內(nèi)完

成；若由乙隊單獨施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的1.5倍.如果由甲、乙兩隊先合做10天，那

么余下的工程由乙隊單獨完成還需5天.這項工程的規(guī)定時間是多少天？已知甲隊每天的施工費用為6500

元，乙隊每天的施工費用為3500元.為了縮短工期以減少對居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工

程由甲、乙兩隊合做來完成.則該工程施工費用是多少？

24.（10分）學校為了提高學生跳遠科目的成績，對全校500名九年級學生開展了為期一個月的跳遠科目強

化訓練。王老師為了了解學生的訓練情況，強化訓練前，隨機抽取了該年級部分學生進行跳遠測試，經(jīng)過一個

月的強化訓練后，再次測得這部分學生的跳遠成績，將兩次測得的成績制作成圖所示的統(tǒng)計圖和不完整的統(tǒng)

計表（滿分10分，得分均為整數(shù)）.

根據(jù)以上信息回答下列問題:訓練后學生成績統(tǒng)計表中二，并補充完成下表:

到優(yōu)秀的人數(shù)增加了多少?經(jīng)調(diào)查，經(jīng)過訓練后得到9分的五名同學中，有三名男生和兩名女生，王老師要從

這五名同學中隨機抽取兩名同學寫出訓練報告,請用列表或畫樹狀圖的方法，求所抽取的兩名同學恰好是一

男一女的概率.

25.（10分）如圖，點A在NMON的邊ON上,AB1OM于B,AE=OB,DE±ON于E,AD=AO,DC±OM

于C.求證：四邊形ABCD是矩形；若DE=3,OE=9,求AB、AD的長.

26.（12分）某學校八、九兩個年級各有學生180人，為了解這兩個年級學生的體質(zhì)健康情況，進行了抽

樣調(diào)查，具體過程如下：

收集數(shù)據(jù)

從八、九兩個年級各隨機抽取20名學生進行體質(zhì)健康測試，測試成績（百分制）如下：

78867481757687707590

八年級

75798170748086698377

93738881728194837783

九年級

80817081737882807040

整理、描述數(shù)據(jù)

將成績按如下分段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):

成績（X）40<x<4950<x<5960<x<6970<x<7980<x<8990<x<100

八年級人數(shù)0011171

九年級人數(shù)1007102

（說明：成績80分及以上為體質(zhì)健康優(yōu)秀，70?79分為體質(zhì)健康良好，60?69分為體質(zhì)健康合格，60

分以下為體質(zhì)健康不合格）

分析數(shù)據(jù)

兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如表所示:

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

八年級78.377.57533.6

九年級7880.5a52.1

（1）表格中a的值為；請你估計該校九年級體質(zhì)健康優(yōu)秀的學生人數(shù)為多少？根據(jù)以上信息，你

認為哪個年級學生的體質(zhì)健康情況更好一些？請說明理由.（請從兩個不同的角度說明推斷的合理性）

27.（12分）為鼓勵大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺了相關(guān)政策:由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)

品給大學畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔.李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)

的一種新型節(jié)能燈.已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元,出廠價為每件12元，每月銷售量（件）與銷售

單價x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù):y=-10x+500.李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個月將銷售單價定

為20元，那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元?設(shè)李明獲得的利潤為不（元），當銷售單價定為多少

元時，每月可獲得最大利潤?物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元.如果李明想要每月獲得

的利潤不低于3000元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.）

1.B

【解析】

【分析】

在等腰三角形AABE中，求出NA的度數(shù)即可解決問題.

【詳解】

解：在正五邊形ABCDE中，ZA=1x（5-2）xl80=108°

A

又知△ABE是等腰三角形，

；.AB=AE,

/.ZABE=-(180°-108°)=36°.

2

故選B.

【點睛】

本題主要考查多邊形內(nèi)角與外角的知識點，解答本題的關(guān)鍵是求出正五邊形的內(nèi)角，此題基礎(chǔ)題，比較簡

單.

2.A

【解析】

【分析】

由拋物線的頂點坐標在第四象限可得出m>0,n>0,再利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，即可得出一次

函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過第一、二、三象限.

【詳解】

解：觀察函數(shù)圖象，可知：m>0,n>0,

...一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過第一、二、三象限.

故選A.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，牢記“k>0,b>O^=kx+b的圖象在一、

二、三象限”是解題的關(guān)鍵.

3.A

【解析】

【分析】

利用待定系數(shù)法即可求解.

【詳解】

設(shè)函數(shù)的解析式是y=kx,

3

根據(jù)題意得：2k=-3,解得：k=--.

2

3

二.函數(shù)的解析式是：y=

故選A.

4.C

【解析】

【分析】觀察圖象：開口向下得到a<0；對稱軸在y軸的右側(cè)得到a、b異號，則b>0；拋物線與y軸的

b

交點在X軸的上方得到c>0,所以abcVO；由對稱軸為x=------=1,可得2a+b=0；當x=-l時圖象在x

2a

軸下方得到y(tǒng)=a-b+c<0,結(jié)合b=-2a可得3a+c<0；觀察圖象可知拋物線的頂點為（1,3）,可得方程

ax2+bx+c-3=0有兩個相等的實數(shù)根，據(jù)此對各選項進行判斷即可.

【詳解】觀察圖象：開口向下得到a<0；對稱軸在y軸的右側(cè)得到a、b異號，則b>0；拋物線

與y軸的交點在x軸的上方得到c>0,所以abc<0,故A選項錯誤；

b,

,對稱軸*=----=1,.*.b=-2a,即2a+b=0,故B選項錯誤；

2a

當x=-l時，y=a-b+c<0,又?.飛=-2@,3a+c<0,故C選項正確；

???拋物線的頂點為（1,3）,

???奴2+陵+。一3=。的解為Xi=X2=l,即方程有兩個相等的實數(shù)根，故D選項錯誤，

故選C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax?+bx+c（a邦）的圖象，當

b

a>0,開口向上，函數(shù)有最小值，a<0,開口向下，函數(shù)有最大值；對稱軸為直線x=-丁，a

2a

與b同號，對稱軸在y軸的左側(cè)，a與b異號，對稱軸在y軸的右側(cè)；當c>0,拋物線與y軸的

交點在x軸的上方；當A=b2-4ac>0,拋物線與x軸有兩個交點.

5.C

【解析】

【分析】

根據(jù)直線的性質(zhì)公理，相交線的定義，垂線的性質(zhì)，平行公理對各小題分析判斷后即可得解.

【詳解】

解:在同一平面內(nèi)，

①過兩點有且只有一條直線，故①正確；

②兩條不相同的直線相交有且只有一個公共點，平行沒有公共點，故②錯誤；

③在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故③正確；

④經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故④正確，

綜上所述，正確的有①③④共3個，

故選C.

【點睛】

本題考查了平行公理，直線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，以及相交線的定義，是基礎(chǔ)概念題，熟記概念是解題的

關(guān)鍵.

6.A

【解析】

【分析】

利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合對應(yīng)點坐標與位似比的關(guān)系得出C點坐標.

【詳解】

■:以原點o為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴大為原來的2倍后得到線段CD,

...A點與C點是對應(yīng)點，

點的對應(yīng)點A的坐標為（2,2）,位似比為1：2,

.?.點C的坐標為：（4,4）

故選A.

【點睛】

本題考查了位似變換，正確把握位似比與對應(yīng)點坐標的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

7.D

【解析】

試題解析：A原式=2x\故A不正確；

B原式=x,，故B不正確；

C原式=x,故C不正確；

D原式=*12=0,故D正確；

故選D

考點：1.同底數(shù)塞的除法；2.合并同類項；3.同底數(shù)塞的乘法；4.塞的乘方與積的乘方.

8.C

【解析】

【分析】

本題根據(jù)科學記數(shù)法進行計算.

【詳解】

因為科學記數(shù)法的標準形式為ax10"（l<|a|<10且n為整數(shù)），因此0.000000007用科學記數(shù)法法可表示為

7x10%

故選C.

【點睛】

本題主要考察了科學記數(shù)法，熟練掌握科學記數(shù)法是本題解題的關(guān)鍵.

9.A

【解析】

【分析】

設(shè)這種商品每件進價為x元，根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程求解.

【詳解】

設(shè)這種商品每件進價為x元，則根據(jù)題意可列方程270x0.8—x=0.2x,解得x=180.故選A.

【點睛】

本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定未知數(shù)，根據(jù)題中的等量關(guān)系列出正確的方程.

10.B

【解析】

【分析】

根據(jù)常見幾何體的展開圖即可得.

【詳解】

由展開圖可知第一個圖形是②正方體的展開圖，

第2個圖形是①圓柱體的展開圖，

第3個圖形是③三棱柱的展開圖，

第4個圖形是④四棱錐的展開圖，

故選B

【點睛】

本題考查的是幾何體，熟練掌握幾何體的展開面是解題的關(guān)鍵.

11.A

【解析】

【分析】

根據(jù)要證明一個結(jié)論不成立，可以通過舉反例的方法來證明一個命題是假命題.由此即可解答.

【詳解】

?.,當a=-2,b=l時，(-2)2>12,但是-2VL

.".a=-2,b=l是假命題的反例.

故選A.

【點睛】

本題考查了命題與定理，要說明數(shù)學命題的錯誤，只需舉出一個反例即可，這是數(shù)學中常用的一種方法.

12.C

【解析】

A選項，,在AABC中，點D在BC上，DE/7AC,DF/7AB,

，DE〃AF,DF/7AE,

二四邊形AEDF是平行四邊形；即A正確；

B選項，?.,四邊形AEDF是平行四邊形，ZBAC=90°,

二四邊形AEDF是矩形；即B正確；

C選項，因為添加條件“AD平分NBAC”結(jié)合四邊形AEDF是平行四邊形只能證明四邊形AEDF是菱形,

而不能證明四邊形AEDF是矩形；所以C錯誤；

D選項，因為由添加的條件“AB=AC,ADLBC”可證明AD平分NBAC,從而可通過證

NEAD=NCAD=NEDA證得AE=DE,結(jié)合四邊形AEDF是平行四邊形即可得到四邊形AEDF是菱形，

所以D正確.

故選C.

二、填空題：(本大題共6個小題，每小題4分，共24分.)

13.2

【解析】

【詳解】

解：x2-14x+41=0,則有(x-6)(x-l)=0解得：x=6或x=l.所以菱形的面積為：(6x1)4-2=2.菱形的面

積為：2.故答案為2.

點睛：本題考查菱形的性質(zhì).菱形的對角線互相垂直，以及對角線互相垂直的四邊形的面積的特點和根與

系數(shù)的關(guān)系.

14.7

【解析】

設(shè)樹的高度為xm,由相似可得;="”=二，解得％=7,所以樹的高度為7m

262

15.1.

【解析】

試題分析：；不，無2是方程x:+6x+3=0的兩實數(shù)根，二由韋達定理，知石+%=—6，不巧=3,

咤+/值是L故答案為L

考點：根與系數(shù)的關(guān)系.

50008000

16.=-------------------

xx+600

【解析】

【分析】

設(shè)甲每小時搬運x千克，則乙每小時搬運(x+600)千克，根據(jù)甲搬運5000kg所用時間與乙搬運8000kg

所用時間相等建立方程求出其解就可以得出結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)甲每小時搬運X千克，則乙每小時搬運(x+600)千克,

5000_8000

由題意得：

Xx+600

5000_8000

故答案是：

Xx+600

【點睛】

本題考查了由實際問題抽象出分式方程，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是關(guān)鍵.

1

17.

2019

【解析】

【分析】

根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得答案.

【詳解】

1的相反數(shù)是-』.

20192019

故答案為-圣.

【點睛】

本題考查的知識點是相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握相反數(shù).

18.3.

【解析】

【分析】

可以先由韋達定理得出兩個關(guān)于1、內(nèi)的式子，題目中的式子變形即可得出相應(yīng)的與韋達定理相關(guān)的式

子，即可求解.

【詳解】

,cc,,11oc+/3-2m-3.,一

得a+[=-2m-3,CC(3=m2,又因為一+~-=”=---;-=1,所以m2-2m-3=0,得m=3或m=-l,因

，apapm

為一元二次方程尤2+(2加+3)X+蘇=0的兩個不相等的實數(shù)根，所以△>0,得(2m+3)2-4xm2=12m+9>0,

一4

所以m>-§,所以m=-l舍去，綜上m=3.

【點睛】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式相結(jié)合解題是解決本題的關(guān)鍵.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.⑴證明見解析；(2)AD=而；(3)DG=3^^.

【解析】

【分析】

(1)連接OD,由AD為角平分線得到一對角相等，再由等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到內(nèi)錯

角相等，進而得到OD與AC平行，得到OD與BC垂直，即可得證；

(2)連接DF,由(1)得到BC為圓O的切線，由弦切角等于夾弧所對的圓周角，進而得到三角形ABD

與三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；

(3)連接EF,設(shè)圓的半徑為r,由sinB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出r的值，由直徑所對的圓周角

為直角，得到EF與BC平行，得至I]sinNAEF=sinB,進而求出DG的長即可.

【詳解】

(1)如圖，連接OD,

TAD為NBAC的角平分線，

.?.NBAD=NCAD,

VOA=OD,

，NODA=NOAD,

AZODA=ZCAD,

.,.OD/7AC,

VZC=90°,

AZODC=90°,

.*.OD±BC,

???BC為圓O的切線；

⑵連接DF,由⑴知BC為圓O的切線,

/.ZFDC=ZDAF,

.\ZCDA=ZCFD,

/.ZAFD=ZADB,

VZBAD=ZDAF,

/.△ABD^AADF,

:.ABAD，即AD2=AB*AF=xy,

AD-AF

貝!)AD=yjxy；

__..OD5

⑶連接EF,在RtABOD中，sinB=——=—

OB13

r5

設(shè)圓的半徑為r,可得--=—,

r+813

解得：r=5,

/.AE=10,AB=18,

VAE是直徑，

/.ZAFE=ZC=90°,

???EF〃BC,

.\ZAEF=ZB,

AF5

.\sinZAEF=-----=——,

AE13

,550

:.AF=AE*sinZAEF=10x—=——,

1313

VAF//OD,

”13

:.AG_A/_13_I。，即DG二——AD,

===23

DGOD513

；.AD=JABAF=J18x—=3。屈,

V1313

【點睛】

圓的綜合題，涉及的知識有：切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定

理，以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

20.（1）PD是。。的切線.證明見解析.（2）1.

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)OP,根據(jù)圓周角定理可得NAOP=2NACP=120。，然后計算出NPAD和ND的度數(shù),

進而可得/OPD=90。，從而證明PD是。O的切線；

（2）連結(jié)BC,首先求出NCAB=NABC=NAPC=45。，然后可得AC長，再證明△CAEsaCPA,進而

可得C上4.==CE,然后可得CE?CP的值.

CPCA

試題解析：（1）如圖，PD是。O的切線.

證明如下：

連結(jié)OP,VZACP=60°,/.ZAOP=120°,VOA=OP,AZOAP=ZOPA=30°,VPA=PD,

.,.ZPAO=ZD=30°,/.ZOPD=90°,；.PD是。O的切線.

（2）連結(jié)BC,TAB是。O的直徑，，NACB=90。,又為弧AB的中點，,NCAB=NABC=NAPC=45。,

CACE

VAB=4,AC=Absin45°=葭".VZC=ZC,NCAB=NAPC,/.ACAE^ACPA,

WCPCA

/.CP?CE=CA2=（2石）2=1.

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；直線與圓的位置關(guān)系；探究型.

21.每畝山田產(chǎn)糧相當于實田0.9畝，每畝場地產(chǎn)糧相當于實田g畝.

【解析】

【分析】

設(shè)每畝山田產(chǎn)糧相當于實田X畝，每畝場地產(chǎn)糧相當于實田y畝，根據(jù)山田3畝，場地6畝，其產(chǎn)糧相當

于實田4.7畝;又山田5畝，場地3畝，其產(chǎn)糧相當于實田5.5畝，列二元一次方程組求解.

【詳解】

解：設(shè)每畝山田產(chǎn)糧相當于實田x畝，每畝場地產(chǎn)糧相當于實田y畝.

3x+6y=4.7

可列方程組為

5x+3y=5.5

x=0.9

解得11

1?y=一3

答：每畝山田相當于實田0.9畝，每畝場地相當于實田g畝.

22.(1)40%;(2)2616.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)A市投資“改水工程”的年平均增長率是x.根據(jù)：2008年，A市投入600萬元用于“改水工程”,

2010年該市計劃投資“改水工程”1176萬元，列方程求解；

(2)根據(jù)(1)中求得的增長率，分別求得2009年和2010年的投資，最后求和即可.

【詳解】

解：(1)設(shè)A市投資“改水工程”年平均增長率是x,則

600(1+%)2=1176.解之，得x=0.4或x=—2.4(不合題意，舍去).

所以，A市投資“改水工程”年平均增長率為40%.

(2)600+600x1.4+1176=2616(萬元).

A市三年共投資“改水工程”2616萬元.

23.(1)這項工程規(guī)定的時間是20天；(2)該工程施工費用是120000元

【解析】

【分析】

(1)設(shè)這項工程的規(guī)定時間是x天，根據(jù)甲、乙隊先合做10天，余下的工程由甲隊單獨需要5天完成,

可得出方程，解出即可.

(2)先計算甲、乙合作需要的時間，然后計算費用即可.

【詳解】

解：(1)設(shè)這項工程規(guī)定的時間是X天

根據(jù)題意，得竺+羋*=1

x1.5x

解得x=20

經(jīng)檢驗，x=20是原方程的根

答：這項工程規(guī)定的時間是20天

(2)合作完成所需時間1+(」+-^)=12(天)

201.5x20

(6500+3500)xl2=120000(元)

答：該工程施工費用是120000元

【點睛】

本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答此類工程問題，經(jīng)常設(shè)工作量為“單位1”，注意仔細審題，運用方程思

想解答.

24.(1)二=￡,見解析；(2)125人；(3)_

【解析】

【分析】

(1)利用強化訓練前后人數(shù)不變計算n的值；利用中位數(shù)對應(yīng)計算強化訓練前的中位數(shù)；利用平均數(shù)的

計算方法計算強化訓練后的平均分；利用眾數(shù)的定義確定強化訓練后的眾數(shù)；

(2)用500分別乘以樣本中訓練前后優(yōu)秀的人數(shù)的百分比，然后求差即可；

(3)畫樹狀圖展示所有20種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出所抽取的兩名同學恰好是一男一女的結(jié)果數(shù)，然后

根據(jù)概率公式求解.

【詳解】

(1)解：(1)n=20-l-3-8-5=3；

強化訓練前的中位數(shù)一.，

+5--

-=7,J

強化訓練后的平均分為.(1x6+3x7+8x8+9x5+10x3)=8.3；

強化訓練后的眾數(shù)為8,

故答案為3；7.5；8.3；8；

平均分中位數(shù)眾數(shù)

訓練前7.57.58

訓練后8.388

(2)

500x缺x/OO%Tx100%)=:廠

(3)(3)畫樹狀圖為:

更

男宇女女

4女缶44

男男男女

共有20種等可能的結(jié)果數(shù)，其中所抽取的兩名同學恰好是一男一女的結(jié)果數(shù)為12,

所以所抽取的兩名同學恰好是一男一女的概率P=「..

20=S

【點睛】

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件

A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后根據(jù)概率公式計算事件A或事件B的概率.也考查了統(tǒng)計圖.

2