2024八年級數(shù)學上冊專題突破第01講三角形基礎知識之三角形的邊角“三線”專題探究含解析新版浙教版

Page1第1講三角形的邊、角、三線專題探究考點一三角形的邊角關系【學問點睛】邊：三角形任何兩邊的和大于第三邊，任何兩邊的差小于第三邊角：三角形三個內(nèi)角的和等于180°，三角形的一個外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角的和應用：1.推斷三條線段能否構成三角形的方法：①找出最長的線段，然后把最長的線段與較短的兩條線段之和作比較；②若較短的兩條線段之和＞最長線段，則能構成三角形若較短的兩條線段之和≤最長線段，則不能構成三角形ABCABCD如圖，有：2.三角形求角度問題常和角平分線、高線等結合考察，另外，有折疊，亦有角相等飛鏢模型：【類題訓練】1．一個三角形的兩邊長分別為2和5，且第三邊長為整數(shù)，這樣的三角形的周長最大值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】先依據(jù)三角形的三邊關系定理求得第三邊的取值范圍；再依據(jù)第三邊是整數(shù)，從而求得周長最大時，對應的第三邊的長．【解答】解：設第三邊為a，依據(jù)三角形的三邊關系，得：5﹣2＜a＜5+2，即3＜a＜7，∵a為整數(shù)，∴a的最大值為6，則三角形的最大周長為6+2+5＝13．故選：D．2．為了估計池塘兩岸A、B間的距離，小明在池塘的一側選取了一點P，測得PA＝12m，PB＝13m，那么AB間的距離不行能是（）A．6m B．18m C．26m D．20m【分析】由PA＝12m，PB＝13m，干脆利用三角形的三邊關系求解即可求得AB的取值范圍，繼而求得答案．【解答】解：∵PA＝12m，PB＝13m，∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即1m＜AB＜25m，∴AB間的距離不行能是：26m．故選：C．3．已知一個三角形的兩邊長分別為3和4第三邊的長為整數(shù)，則該三角形的周長為（）A．7 B．8 C．13 D．14【分析】依據(jù)三角形三邊關系得出，隨意兩邊之和大于第三邊以及隨意兩邊之差小于第三邊，即可得出第三邊的取值范圍．【解答】解：∵此三角形且兩邊為3和4，∴第三邊的取值范圍是：1＜x＜7，∵第三邊為整數(shù)，∴周長為13這個范圍內(nèi)，符合要求．故選：C．4．下列長度的三條線段能構成三角形的是（）A．1，2，3 B．4，5，10 C．5，10，13 D．2a，3a，6a（a＞0）【分析】依據(jù)三角形的三邊關系計算，推斷即可．【解答】解：A．∵1+2＝3，∴不能構成三角形，本選項不符合題意；B．∵4+5＜10，∴不能構成三角形，本選項不符合題意；C．∵13﹣5＜10＜5+13，∴長度為5，10，13的三條線段能構成三角形，本選項符合題意；D．∵2a+3a＜6a（a＞0），∴不能構成三角形，本選項不符合題意．故選：C．5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于點E，則∠ADB的度數(shù)為（）A．100° B．90° C．80° D．50°【分析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求出∠B與∠BAD的度數(shù)即可求解．【解答】解：∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故選：A．6．依據(jù)下列條件能判定△ABC是直角三角形的有（）①∠A+∠B＝∠C，②，③∠A：∠B：∠C＝5：2：3，④∠A＝2∠B＝3∠C．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】利用三角形內(nèi)角和定理，進行計算求解即可．【解答】解：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①符合題意；∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故②符合題意；∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°×＝90°，∠B＝180°×＝36°，∠C＝180°×＝54°，∴△ABC是直角三角形，故③符合題意；∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°，∴∠A＝，∴∠B＝，∠C＝，∴△ABC不是直角三角形，故④不符合題意；綜上，符合題意得有3個，故選：C．7．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，將△ADE沿DE折疊至△FDE位置，點A的對應點為F．若∠A＝15°，∠BDF＝120°，則∠CEF的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【分析】由折疊性質可得∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，由鄰補角可求得∠ADF＝60°，則∠ADE＝30°，由三角形的內(nèi)角和可求得∠AED＝135°，由三角形的外角求得∠DEG＝45°，則可求∠CEF的度數(shù)．【解答】解：由題意得：∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，∵∠BDF＝120°，∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝60°，∴∠ADE＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝135°，∠DEG＝∠A+∠ADE＝45°，∴∠DEF＝135°，∴∠CEF＝∠DEF﹣∠DEG＝90°．故選：A．8．（秦淮區(qū)期中）如圖，在△CFF中，∠E＝80°，∠F＝60°，AB∥CF，AD∥CE，連接BC、CD，則∠A的度數(shù)是40°．【分析】先利用三角形的內(nèi)角和求出∠FCE，再利用平行線的性質說明∠A與∠FCE的關系得結論．【解答】解：延長FC交AD于點G．∵∠E＝80°，∠F＝60°，∴∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣60°＝40°．∵AB∥CF，AD∥CE∴∠A＝∠FGD，∠FCE＝∠FGD．∴∠A＝∠FCE＝40°．故答案為：40．9．（棗莊）將一副直角三角板按如圖所示的位置放置，使含30°角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊放在同一條直線上，則∠α的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．75° D．85°【分析】先依據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB可得答案．【解答】解：如圖，∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，∴∠CGF＝∠DGB＝45°，則∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，故選：C．10．（吉林）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．85° B．75° C．65° D．60°【分析】利用三角形外角的性質解答即可．【解答】解：如圖所示，∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，故選：B．11．已知：如圖，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交點，則∠BHC＝度．【分析】依據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，可求得∠ABD．再依據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和，進而求出∠BHC．【解答】解：在△ABD中，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝35°，∴∠BHC＝90°+35°＝125°．12．（和平區(qū)校級期中）已知a，b，c是一個三角形的三邊長，化簡|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a﹣3b+c．【分析】依據(jù)三角形三邊關系得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，再去確定值，合并同類項即可求解．【解答】解：∵a，b，c是一個三角形的三條邊長，∴a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a+c﹣b﹣b+c﹣a+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c，故答案為：a﹣3b+c．13．（東湖區(qū)期末）已知三角形的兩條邊長分別為3cm和2cm，假如這個三角形的第三條邊長為奇數(shù)，則這個三角形的周長為8cm．【分析】可先求出第三邊的取值范圍，找出其中為奇數(shù)的數(shù)，即為第三邊的長，從而求得周長．【解答】解：設第三邊長為x．依據(jù)三角形的三邊關系，則有3﹣2＜x＜2+3，即1＜x＜5，因為第三邊的長為奇數(shù)，所以x＝3，所以周長＝3+3+2＝8．故答案為：8；14．三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”，假如一個“特征三角形”的“特征角”為110°，那么這個“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為．【分析】依據(jù)已知一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的兩倍得出β的度數(shù)，進而求出最小內(nèi)角即可．【解答】解：由題意得：α＝2β，α＝110°，則β＝55°，180°﹣110°﹣55°＝15°，故答案為：15°．15．已知△ABC的三邊長分別為a，b，c．（1）若a，b，c滿足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，試推斷△ABC的形態(tài)；（2）若a＝5，b＝2，且c為整數(shù)，求△ABC的周長的最大值及最小值．【分析】（1）干脆依據(jù)非負數(shù)的性質即可得出結論；（2）依據(jù)三角形的三邊關系可得出c的取值范圍，進而可得出結論．【解答】解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形；（2）∵a＝5，b＝2，且c為整數(shù)，∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7，∴c＝4，5，6，∴當c＝4時，△ABC周長的最小值＝5+2+4＝11；當c＝6時，△ABC周長的最大值＝5+2+6＝13．16．（建湖縣期中）如圖，CD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．（1）若∠A＝42°，∠BDC＝75°，求∠CED的度數(shù)；（2）若∠A﹣∠ACD＝17°，∠EDB＝95°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，再求出∠ECD，∠EDC即可求解；（2）設∠A＝x°，則∠ACD＝x°﹣17°，依據(jù)∠EDB＝∠A+∠AED，構建方程求解即可．【解答】解：（1）∵∠CDB＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝75°﹣42°＝33°，∵CD是△ABC的角平分線，∴∠DCB＝∠ACD＝33°，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB＝33°，∴∠CED＝180°﹣33°﹣33°＝114°；（2）設∠A＝x°，則∠ACD＝x°﹣17°，∵CD是△ABC的角平分線，∴∠ACB＝2（x°﹣17°），∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝2（x°﹣17°），∵∠EDB＝∠A+∠AED，∴95°＝x°+2（x°﹣17°），∴x＝43°，∴∠A＝43°．考點二三角形的“三線”及其作用【學問點睛】類型所在位置作用三角形的中線線段△內(nèi)部△的中線能把原△分成面積相等的兩部分，同比三等分線可以三等分原△的面積2.△三條中線的交點叫重心，重心將中線分為2:1兩部分三角形的高線線段△內(nèi)部、外部、邊上△中，有⊥時→求長度，想高線→有高線，想面積→有面積，想等積法；有⊥時→求角度，想90°→△中，直角外的兩個小角互余三角形的角平分線線段△內(nèi)部△的角平分線出現(xiàn)時，可得角相等，亦可得∠1=?∠2類結論三角形角平分線夾角模型：角的“8”字模型：AACBOD變型：△高線與角平分線夾角模型：【類題訓練】1．下列推斷錯誤的是（）A．三角形的三條高的交點在三角形內(nèi) B．三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點 C．直角三角形的三條高的交點在直角頂點 D．三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點【分析】依據(jù)三角形的角平分線，中線，高的定義一一推斷即可．【解答】解：A、銳角三角形的三條高的交點在三角形內(nèi)，故本選項說法錯誤，符合題意；B、三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點，故本選項說法正確，不符合題意；C、直角三角形的三條高的交點在直角頂點，故本選項說法正確，不符合題意；D、三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點，故本選項說法正確，不符合題意．故選：A．2．如圖，已知D、E分別是△ABC的邊BC、AC的中點，AG是△ABE的中線，連接BE、AD、GD，若△ABC的面積為40，則陰影部分△ADG的面積為（）A．10 B．5 C．8 D．4【分析】連接DE，如圖，先推斷DG為△BCE的中位線，則DG∥AC，依據(jù)平行線之間的距離和三角形面積公式得到S△ADG＝S△EDG，然后利用三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，則S△BCE＝S△ABC＝20，S△BDE＝S△EBC＝10，S△EDG＝S△BDE＝5．【解答】解：連接DE，如圖，∵D為BC的中點，G為BE的中點，∴DG為△BCE的中位線，∴DG∥AC，∴S△ADG＝S△EDG，∵E點為AC的中點，∴S△BCE＝S△ABC＝×40＝20，∵D點為BC的中點，∴S△BDE＝S△EBC＝×20＝10，∵G點為BE的中點，∴S△EDG＝S△BDE＝×10＝5．故選：B．3．如圖，在△ABC中，已知點D、E、F分別是BC、AD、CE的中點，且S△ABC＝10cm2，則陰影部分的面積為cm2．【分析】依據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答．【解答】解：∵點E是AD的中點，∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×10＝5cm2，∴S△BCE＝S△ABC＝5cm2，∵點F是CE的中點，∴S△BEF＝S△BCE＝×5＝cm2．故答案為：．4．如圖，在△ABC中，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若∠M＝117°，則∠A為（）A．44° B．54° C．58° D．64°【分析】先利用角平分線的性質得到∠MBC＝∠ABC，∠MCB＝∠ACB，再依據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠MBC+∠MCB+∠M＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，則∠M＝90°+∠A，然后把∠M＝117°代入可計算出∠A的度數(shù)．【解答】解：∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，∴∠MBC＝∠ABC，∠MCB＝∠ACB，∴∠MBC+∠MCB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠MBC+∠MCB+∠M＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠M＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，∵∠M＝117°，∴90°+∠A＝117°，∴∠A＝54°．故選：B．5．如圖，△ABC的中線AD、BE相交于點F，下列結論正確的有（）①S△ABD＝S△DCA；②S△AEF＝S△BDF；③S四邊形EFDC＝2S△AEF；④S△ABC＝3S△ABFA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】依據(jù)三角形面積公式，利用BD＝CD，AE＝CE得到S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△ABE＝S△BCE＝S△ABC，所以S△ABD＝S△ABE，則可對①進行推斷；利用面積的和差得到S△AEF＝S△BDF，則可對②進行推斷；連接CF，如圖，利用三角形面積公式得到S△FBD＝S△FCD，S△FAE＝S△FCE，則可對③進行推斷；先推斷S△ABF＝S四邊形EFDC，再利用S四邊形EFDC＝2S△AEF，則可對④進行推斷．【解答】解：∵△ABC的中線AD、BE相交于點F，∴BD＝CD，AE＝CE，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△ABE＝S△BCE＝S△ABC，所以①正確；∴S△ABD＝S△ABE，∴S△AEF＝S△BDF；所以②正確；連接CF，如圖，∴S△FBD＝S△FCD，S△FAE＝S△FCE，而S△AEF＝S△BDF，∴S四邊形EFDC＝2S△AEF；所以③正確；∵S△ABE＝S△ADC＝S△ABC，∴S△ABF＝S四邊形EFDC，而S四邊形EFDC＝2S△AEF；∴S△ABF＝S△AEF+S△BDF＝S四邊形EFDC，∴S△ABC＝3S△ABF，所以④正確．故選：D．6．如圖，∠AOB＝60°，點M、N分別在OA、OB上運動（不與點O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延長線與∠MNO的平分線交于點F，在M、N的運動過程中，∠F的度數(shù)（）A．變大 B．變小 C．等于45° D．等于30°【分析】由∠AMN是△OMN的外角，∠EMN是△FMN的外角，得到∠AMN＝∠O+∠ONM，∠EMN＝∠F+∠FNM，再由角平分線，得到∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，從而得到∠F＝∠O．【解答】解：∵∠AMN是△OMN的外角，∴∠AMN＝∠O+∠ONM，∵∠EMN是△FMN的外角，∴∠EMN＝∠F+∠FNM，∵ME平分∠AMN，F(xiàn)N平分∠MNO，∴∠AMN＝2∠EMN，∠ONM＝2∠FNM，∴∠O＝2∠F，∴∠F＝30°．故選：D．7．（碑林區(qū)校級期中）如圖，已知AM是△ABC的中線，點P是AC邊上一動點，若△ABC的面積為10，AC＝4，則MP的最小值為（）A．5 B．2.5 C．1.4 D．1.25【分析】依據(jù)AM是△ABC的中線，求出三角形AMC的面積，依據(jù)垂線段最短及三角形面積公式，求出MP的最小值．【解答】解：∵AM是△ABC的中線，∴S△AMC＝＝5，當MP⊥AC時，MP有最小值，×MP＝5，∴MP＝2.5，故選：B．8．如圖，在△ABC中，AD、AE分別是△ABC的角平分線和高線．（1）若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度數(shù)；（2）若∠DAE＝15°，求∠C﹣∠B的大?。痉治觥浚?）利用三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的性質先求出∠BAD，再利三角形外角與內(nèi)角的關系求出∠ADE，最終利用三角形外角與內(nèi)角的關系求出∠DAE；（2）在Rt△ABE和Rt△ACE中表示出∠B、∠C，兩式相減得結論．【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．∵AD、AE分別是△ABC的角平分線和高線，∴∠BAD＝∠BAC＝40°，∠AEC＝90°．∵∠ADE＝∠B+∠BAD＝80°，∠AEC＝∠ADE+∠DAE，∴∠DAE＝90°﹣80°＝10°．（2）在Rt△ABE和Rt△ACE中，∵∠B+∠BAE＝90°，∠C+∠CAE＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BAE，∠C＝90°﹣∠CAE．∴∠C﹣∠B＝90°﹣∠CAE﹣（90°﹣∠BAE）＝∠BAE﹣∠CAE＝∠BAD+∠DAE﹣（∠CAD﹣∠DAE）＝2∠DAE＝30°．9．我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形．例如，在圖1中，△AOB的內(nèi)角∠AOB與△COD的內(nèi)角∠COD互為對頂角，則△AOB與△COD為對頂三角形，依據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質：∠A+∠B＝∠C+∠D．（1）【性質理解】如圖2，在“對頂三角形”△AOB與△COD中，∠EAO＝∠C，∠D＝2∠B，求證：∠EAB＝∠B；（2）【性質應用】如圖3，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC上的點，∠BOD＝∠A，若∠ECD比∠DBE大20°，求∠BDO的度數(shù)．【分析】（1）依據(jù)對頂三角形可得∠OAB+∠B＝∠C+∠D，再依據(jù)角的和差即可得解；（2）依據(jù)對頂三角形的性質及四邊形內(nèi)角和求解即可．【解答】（1）證明：由對頂三角形可得∠OAB+∠B＝∠C+∠D，∴∠OAB﹣∠C＝∠D﹣∠B，∵∠EAO＝∠C，∠D＝2∠B，∴∠OAB﹣∠EAO＝∠B，即∠EAB＝∠B；（2）解：由題意得，∠ECD﹣∠DBE＝20°，由（1）得，∠DBE+∠BDO＝∠ECD+∠OEC，∵∠BDO﹣∠OEC＝∠ECD﹣∠DBE＝20°，∵∠BOD＝∠A，∠BOD+∠DOE＝180°，∴∠A+∠DOE＝180°，∴∠ADO+∠AEO＝180°，∵∠AEO+∠OEC＝∠BDO+∠ADO＝180°，∴∠BDO＝∠AEO，∴∠BDO+∠OEC＝180°，∵∠BDO﹣∠OEC＝20°，∴∠BDO＝100°．10．在△ABC中，（1）如圖（1），∠ABC、∠ACB的平分線相交于點P．若∠A＝60°，求∠BPC的度數(shù)．若∠A＝n°，則∠BPC＝．（2）如圖（2），在△ABC中的外角平分線相交于點Q，∠A＝n°，求∠BQC的度數(shù)．（3）如圖（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分線相交于點P，它們的外角平分線相交于點Q．干脆回答：∠BPC與∠BQC具有怎樣的數(shù)量關系？（4）如圖（4），△ABC中的內(nèi)角平分線相交于點P，外角平分線相交于點Q，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）利用角平分線性質和三角形內(nèi)角和定理計算．（2）利用三角形內(nèi)、外角和定理及角平分線性質求解．（3）利用（1）（2）題結論得出．（4）利用（3）題結論列方程求解．【解答】解：（1）∵∠A＝60°∴∠ABC+∠ACB＝120°∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點P∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝60°∴∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°．故答案為：90°+n°．（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠ABC+∠A，∠A＝n°∴∠DBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A＝180°+n°．∵△ABC的外角平分線相交于點Q．∴∠QBC＝∠DBC，∠QCB＝∠FCB．∴∠QBC+∠QCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°+n°）＝90°+n°．∴∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+n°）＝90°﹣n°．（3）由（1）知，∠BPC＝90°+n°，由（2）知：∠BQC＝90°+n°，∴∠BPC+∠BQC＝180°．（4）∵BQ，BE分別是△ABC的外角平分線和內(nèi)角平分線，∴∠EBQ＝90°．當∠EBQ＝2∠BQC時，90°＝2×（90°﹣n°）．∴n＝90．∴∠A＝90°．當∠BQC＝2∠E時，∵∠BQC+∠E＝90°．∴∠BQC＝60°．∴90°﹣n°＝60°．∴n＝60．∴∠A＝60°．當∠EBQ＝2∠E時，2∠E＝90°，∴∠E＝45°．∴∠BQC＝90°﹣n°＝45°∴n＝90．∴∠A＝90°．當∠E＝2∠BQC時，∵∠E+∠BQC＝90°．∴∠BQC＝30°．∴90°﹣n°＝30°．∴n＝120．∴∠A＝120°．綜上：∠A＝90°，60°，120°11．∠MON＝90°，點A，B分別在OM、ON上運動（不與點O重合）．（1）如圖①，