femch3彈性力學(xué)平面問題的求解簡介

第三章平面問題的求解第一節(jié)按位移求解平面問題第二節(jié)按應(yīng)力求解平面問題相容方程第三節(jié)常體力下的簡化，應(yīng)力函數(shù)第四節(jié)用逆法、半逆法求解平面問題第五節(jié)用差分法求解平面問題第六節(jié)彈性力學(xué)中的能量原理，變分法簡介第一節(jié)按位移求解平面問題（1）平衡微分方程：（2）幾何方程：（3）物理方程：（4）邊界條件：三組方程+兩組邊界條件偏微分方程邊值問題上章小結(jié)1.按位移求解（位移法）以u、v

為基本未知函數(shù)2.按應(yīng)力求解（應(yīng)力法，力法）以應(yīng)力分量

為基本未知函數(shù)消元法基本未知量：將平衡微分方程和邊界條件都用u、v表示，并求解由幾何方程、物理方程求出形變與應(yīng)力分量。以平衡微分方程為基本方程，補(bǔ)充以應(yīng)力分量表示的第三個方程，并求出應(yīng)力分量，再由物理方程、幾何方程求出形變與位移分量。第三章平面問題的求解1將平衡微分方程用位移表示由物理方程：將幾何方程代入，有將式(a)代入平衡微分方程，化簡有（a）………..(1)三套方程第一節(jié)按位移求解平面問題（1）平衡微分方程：（2）幾何方程：（3）物理方程：三大方程2將邊界條件用位移表示位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：將式（a）代入，得式（1）、（2）、（3）構(gòu)成按位移求解平面問題的基本方程（a）…(2)…….(3)第一節(jié)按位移求解平面問題3按位移求解平面問題的基本方程（1）平衡微分方程：（2）邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：說明：（1）對平面應(yīng)變問題，只需將式中的E、μ作相替換即可。（2）一般不用于解析求解，作為數(shù)值求解的基本方程。第一節(jié)按位移求解平面問題第二節(jié)按應(yīng)力求解平面問題

相容方程1.變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）按應(yīng)力求解平面問題的未知函數(shù)：平衡微分方程：2個方程，3個未知量，為超靜定問題。需尋求補(bǔ)充方程，從幾何方程、物理方程建立補(bǔ)充方程。將幾何方程作如下運(yùn)算：第二節(jié)按應(yīng)力求解平面問題相容方程顯然有：——形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）必須滿足上式才能保證位移分量u、v的存在與協(xié)調(diào)。例：其中：C為常數(shù)。由幾何方程得：積分得：由幾何方程的第三式得：顯然，此方程是不可能的，因而不可能求出滿足幾何方程的解。結(jié)論:第二節(jié)按應(yīng)力求解平面問題相容方程2.形變協(xié)調(diào)方程的應(yīng)力表示（1）平面應(yīng)力情形將物理方程代入相容方程，得：利用平衡微分方程將上式化簡：………..(a)………..(b)第二節(jié)按應(yīng)力求解平面問題相容方程將(b)式代入(a)式，得：將上式整理得：------應(yīng)力相容方程（平面應(yīng)力）（2）平面應(yīng)變情形將上式中的泊松比μ代為：，得當(dāng)體力fx、fy

為常數(shù)時，兩種平面問題的相容方程相同，即------應(yīng)力相容方程（平面應(yīng)變）------常體力情況下應(yīng)力相容方程第二節(jié)按應(yīng)力求解平面問題相容方程…..(b)….(a)3.按應(yīng)力求解平面問題的基本方程（1）平衡微分方程（2）應(yīng)力相容方程（3）邊界條件：說明：（1）對位移邊界問題，不易按應(yīng)力求解。（2）對應(yīng)力邊界問題，且為單連通問題，滿足上述方程的解是唯一正確解。第二節(jié)按應(yīng)力求解平面問題相容方程例:下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場和應(yīng)變場，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場與應(yīng)變場（不計體力）。（1）（2）解:（a）（b）（1）將式（a）代入平衡方程：——滿足將式（a）代入相容方程：∴式（a）不是一組可能的應(yīng)力場。第二節(jié)按應(yīng)力求解平面問題相容方程（2）解:將式（b）代入應(yīng)變表示的相容方程：式（b）滿足相容方程，∴（b）為可能的應(yīng)變分量。例:下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場和應(yīng)變場，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場與應(yīng)變場（不計體力）。（1）（2）（a）（b）第二節(jié)按應(yīng)力求解平面問題相容方程第三節(jié)常體力下的簡化，應(yīng)力函數(shù)1.常體力下平面問題的相容方程令：——拉普拉斯（Laplace）算子則應(yīng)力相容方程可表示為：——平面應(yīng)力問題——平面應(yīng)變問題或當(dāng)體力

為常數(shù)時，兩種平面問題的相容方程相同，即第三節(jié)常體力下的簡化，應(yīng)力函數(shù)2.常體力下應(yīng)力法的基本方程（1）平衡微分方程（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（3）邊界條件討論：（1）——Laplace方程，或稱調(diào)和方程。（2）常體力下，方程中不含E、μ（a）兩種平面問題，計算結(jié)果相同不同。)（但（b）不同材料，具有相同外力和邊界條件時，其計算結(jié)果相同。（3）用平面應(yīng)力試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，代替平面?yīng)變試驗(yàn)?zāi)Ｐ?用便于測量材料代替不便于測量材料，為實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析提供理論基礎(chǔ)。滿足：的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)（解析函數(shù)）。第三節(jié)常體力下的簡化，應(yīng)力函數(shù)常體力下平衡微分方程：式(a)為非齊次方程，其解：全解

=齊次方程通解3.常體力下平衡微分方程解的形式(1)特解常體力下特解形式：+非齊次方程的特解。……….(a)

第三節(jié)常體力下的簡化，應(yīng)力函數(shù)將第一式改寫為則一定存在一函數(shù)A(x,y)，使得：同理，將第二式改寫為(1)(2)比較式(2)式與(4)式，有：(3)(4)則一定存在一函數(shù)B(x,y)，使得：(2)通解式(a)

對應(yīng)的齊次方程：則一定存在一函數(shù)Φ(x,y)，使得：

知識點(diǎn)回顧(5)(6)…….(a)第三節(jié)常體力下的簡化，應(yīng)力函數(shù)(5)(6)將式(5)、(6)代入(1)、(2)、(3)、(4)，得：(1)(2)(3)(4)——對應(yīng)于平衡微分方程的齊次方程通解。第三節(jié)常體力下的簡化，應(yīng)力函數(shù)(3)全解取特解為：——常體力下平衡微分方程的全解。通解：說明：（1）上式是從平衡微分方程導(dǎo)出的,必然滿足平衡微分方程；（2）推導(dǎo)的過程，證明Φ的存在性；（3）常體力下平面問題的求解得到大大簡化，從求3個未知函數(shù)變?yōu)榍笠粋€未知函數(shù)Φ。第三節(jié)常體力下的簡化，應(yīng)力函數(shù)Φ(x,y)——平面問題的應(yīng)力函數(shù)Airy應(yīng)力函數(shù)4.相容方程的應(yīng)力函數(shù)表示將平衡微分方程的通解代入常體力下的相容方程：將上式展開，有:——

應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程體力

為常量，有:第三節(jié)常體力下的簡化，應(yīng)力函數(shù)——

應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程可簡記為：或：式中：結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)Φ應(yīng)為一重調(diào)和函數(shù)。滿足相容方程的函數(shù)Φ(x,y)

稱為重調(diào)和函數(shù)（或雙調(diào)和函數(shù)）第三節(jié)常體力下的簡化，應(yīng)力函數(shù)按應(yīng)力求解平面問題（fx=常量、fy=常量）的歸結(jié)為：（1）（2）然后將代入式平衡微分方程通解求出應(yīng)力分量：先由相容方程求出應(yīng)力函數(shù)：（無體力情形）（3）檢驗(yàn)邊界條件（4）由物理方程和幾何方程求應(yīng)變和位移分量第三節(jié)常體力下的簡化，應(yīng)力函數(shù)若函數(shù)則:令：思考：逆命題？若：則一定存在一函數(shù)：，使得：知識點(diǎn)回顧位移法思路：由物理方程：將幾何方程代入，有將式(a)代入平衡微分方程，化簡有………..(1)（a）小結(jié):——位移邊界條件——應(yīng)力邊界條件位移求解基本方程:——平衡微分方程小結(jié):應(yīng)力法思路：-------平衡微分方程相容方程尋求第三個補(bǔ)充方程小結(jié):——形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）相容方程：（平面應(yīng)力情形）應(yīng)力表示的相容方程（平面應(yīng)變情形）（常體力下）小結(jié):常體力下應(yīng)力法的基本方程:（1）平衡方程（2）相容方程（3）邊界條件——

應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程小結(jié):按應(yīng)力求解平面問題（fx=常量、fy=常量）的歸結(jié)為：（1）（2）然后將代入式平衡微分方程通解求出應(yīng)力分量：先由相容方程求出應(yīng)力函數(shù)：（無體力情形）（3）檢驗(yàn)邊界條件（4）由物理方程和幾何方程求應(yīng)變和位移分量小結(jié):第四節(jié)用逆法、半逆法

求解平面問題第四節(jié)用逆解法、半逆解法求解平面問題1應(yīng)力函數(shù)求解方法(1)逆解法假設(shè)函數(shù)形式滿足相容方程求代入邊界條件，反推應(yīng)滿足的邊界條件。滿足上述應(yīng)力邊界的問題，應(yīng)力函數(shù)解就是假設(shè)的(2)半逆解法假設(shè)函數(shù)形式相容方程求應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)關(guān)系式求，使其滿足邊界條件，確定待定系數(shù)。求得部分或全部第四節(jié)用逆解法、半逆解法求解平面問題2多項式解答適用性：由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。目的：考察一些簡單多項式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)Φ(x,y)

，能解決什么樣的力學(xué)問題。積累彈性力學(xué)的基本解答?！娼夥?a、b、c

為待定系數(shù))----------滿足相容方程(1)一次多項式對應(yīng)的應(yīng)力分量：若體力：fx

=fy

=0，則有：結(jié)論：一次多項式對應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；(2)平面問題應(yīng)力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，不影響其應(yīng)力分布第四節(jié)用逆解法、半逆解法求解平面問題（a、b、c

為待定系數(shù)）設(shè)：fx=fy

=0;a>0,b>0,c>0(可作為應(yīng)力函數(shù)

)xy2c2c2a2a結(jié)論：二次多項式對應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。(2)二次多項式xy例：xy第四節(jié)用逆解法、半逆解法求解平面問題(a、b、c

、d為待定系數(shù))檢驗(yàn)Φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有(可作為應(yīng)力函數(shù)

)假定：fx

=fy

=0結(jié)論：三次多項式對應(yīng)于線性應(yīng)力分布。(3)三次多項式說明：四次或四次以上多項式系數(shù)必須滿足一定條件，才能滿足相容方程。第四節(jié)用逆解法、半逆解法求解平面問題討論：可算得：xy1ll圖示梁對應(yīng)的邊界條件：MM可見：——對應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問題應(yīng)力函數(shù)。常數(shù)d與彎矩M的關(guān)系：由梁端部的邊界條件：與材力中結(jié)果相同第四節(jié)用逆解法、半逆解法求解平面問題xy1ll說明：組成梁端力偶M

的面力須線性分布，且中心處為零，結(jié)果才是精確的。(2)若按其它形式分布,則此結(jié)果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。(3)當(dāng)l

遠(yuǎn)大于h

時，誤差較??；反之誤差較大。MM第四節(jié)用逆解法、半逆解法求解平面問題作業(yè)：習(xí)題：P.493-6,3-7第五節(jié)用差分法求解平面問題第五節(jié)用差分法求解平面問題內(nèi)力與外力之間的靜力平衡條件形變與位移之間的幾何條件形變與應(yīng)力之間的物理條件1差分法基本思想對于工程實(shí)際問題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，大多數(shù)情況下求精確解很困難，甚至不可能。建立微分方程和邊界條件偏微分方程的邊值問題數(shù)學(xué)上2）避開求精確解，探討各種近似解法，主要有差分法，變分法和有限單元法

？1)簡化方程和邊界;差分法基本思想差分微分差分方程基本微分方程邊界條件求解代數(shù)方程代替轉(zhuǎn)換代替求解偏微分方程什么是差分？什么是差分？差分法是微分方程的一種數(shù)值解，它不是去求函數(shù)

而是求函數(shù)在一些結(jié)點(diǎn)上的值xo微分：若將連續(xù)空間用多個離散點(diǎn)取代，即將上述極限以離散點(diǎn)的方式計算，即是差分-----前向差分-----后向差分第五節(jié)用差分法求解平面問題2差分公式用結(jié)點(diǎn)的函數(shù)值代替函數(shù)考慮結(jié)點(diǎn)1，3：第五節(jié)用差分法求解平面問題考慮結(jié)點(diǎn)2，4,同理可得：中心差分公式四階差分公式：第五節(jié)用差分法求解平面問題(1)應(yīng)力分量的差分表示：將求各點(diǎn)應(yīng)力分量歸結(jié)為一個目標(biāo)：求各點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)值3應(yīng)力函數(shù)的差分解第五節(jié)用差分法求解平面問題將四階差分公式代入，整理，得：一點(diǎn)相容方程方程涉及此點(diǎn)周圍兩倍網(wǎng)格間距的結(jié)點(diǎn)值。如:第9點(diǎn)，涉及到邊界點(diǎn)及邊界外一點(diǎn)------虛結(jié)點(diǎn)，怎么辦？？(2)應(yīng)力函數(shù)相容方程的差分表示如何求邊界各點(diǎn)及虛結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)值？第五節(jié)用差分法求解平面問題(2)求邊界上各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)值：第五節(jié)用差分法求解平面問題從固定的基點(diǎn)A到邊界任一點(diǎn)B全微分逆運(yùn)算對s積分應(yīng)力邊界條件微分形式應(yīng)力邊界條件積分形式第五節(jié)用差分法求解平面問題的全微分：從固定的基點(diǎn)A到邊界任一點(diǎn)B對s

積分第五節(jié)用差分法求解平面問題結(jié)論：一次多項式對應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；平面問題應(yīng)力函數(shù)加上一個線性函數(shù),不影響其應(yīng)力分布。假想：把應(yīng)力函數(shù)加上a+bx+cy并調(diào)整系數(shù)a,b,c

三個系數(shù)，使得：則：A到B邊界上x向面力的主矢量

A到B邊界上y向面力的主矢量相反數(shù)

從A到B邊界上面力對B點(diǎn)的力距(順時針為正)可以按物理意義直接求解第五節(jié)用差分法求解平面問題各虛節(jié)點(diǎn)的值一階差分公式(3)求虛結(jié)點(diǎn)處應(yīng)力函數(shù)的值：用邊界結(jié)點(diǎn)值和邊界內(nèi)一行結(jié)點(diǎn)值表示第五節(jié)用差分法求解平面問題(4)應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟：在邊界上選定基點(diǎn)A，使得，由面力

之和分量及力矩算出邊界各點(diǎn)的值；將邊界外一行各虛結(jié)點(diǎn)的值用邊界結(jié)點(diǎn)值及邊界內(nèi)一行值表示;對邊界內(nèi)各點(diǎn)建立用差分表示的相容方程，聯(lián)立求解出各點(diǎn)的值;計算邊界外一行各虛結(jié)點(diǎn)處的值；計算各點(diǎn)應(yīng)力分量。第五節(jié)用差分法求解平面問題差分法是解微分方程邊值問題和彈性力學(xué)問題的有效方法。差分法簡便易行，且總能求出解答。差分法可配合材料力學(xué)，結(jié)構(gòu)力學(xué)解法，精確地分析結(jié)構(gòu)的局部應(yīng)力狀態(tài)。差分法優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：

(1)對于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計算較麻煩。

(2)差分法比較適用于平面問題或二維問題。

(3)凡是近似解，在求導(dǎo)運(yùn)算時會降低精度。如Φ

的誤為，則應(yīng)力的誤差為。第六節(jié)彈性力學(xué)中的能量原理，

變分法第六節(jié)彈性力學(xué)中的能量原理，變分法泛函相關(guān)知識普及：泛函：函數(shù)的函數(shù)。函數(shù)()泛函()自變量自變函數(shù)或狀態(tài)函數(shù)或宗量因變量因變量自變量微分自變函數(shù)變分函數(shù)微分泛函變分如果：則：可能為y極值點(diǎn)如果：則：可能為極值點(diǎn)函數(shù)

泛函微分：同一狀態(tài)下由于坐標(biāo)改變而引起的函數(shù)改變。變分：同一位置上由于狀態(tài)改變而引起的泛函改變。變分法則：第六節(jié)彈性力學(xué)中的能量原理，變分法1彈性體的外力功和外力勢能外力功：外力（面力和體力）在位移上所做的功外力勢能：外力做了多少功，就消耗了多少外力勢能。(1)外力功與外力勢能(2)應(yīng)力功與形變勢能彈性體內(nèi)部應(yīng)力會在相應(yīng)產(chǎn)生的應(yīng)變上做功：

因?yàn)閼?yīng)力和應(yīng)變均從0增長到，故單位體積上，應(yīng)力所做的功是:泛函及變分假設(shè)：時外力勢能為0，則：第六節(jié)彈性力學(xué)中的能量原理，變分法對于平面應(yīng)力或平面應(yīng)變問題：單位體積上應(yīng)力所做的功為：靜力平衡無速度變化動能不變恒溫?zé)o熱能變化應(yīng)力所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的內(nèi)力勢能，或形變勢能，或應(yīng)變能,存貯于彈性體內(nèi)部。單位體積的形變勢能，或稱形變勢能密度。整個彈性體的形變勢能(z向取單位長度)：第六節(jié)彈性力學(xué)中的能量原理，變分法用形變表示的應(yīng)變能密度：用位移表示的應(yīng)變能密度：平面應(yīng)變的相應(yīng)公式第六節(jié)彈性力學(xué)中的能量原理，變分法形變勢能U的性質(zhì)：

U是形變或位移的二次泛函，不能用疊加原理；應(yīng)變或位移發(fā)生時，U總是正的，即；

U的大小與受力次序無關(guān)；對應(yīng)變的導(dǎo)數(shù)等于對應(yīng)的應(yīng)力。彈性體的總勢能：第六節(jié)彈性力學(xué)中的能量原理，變分法2位移變分方程取泛函為彈性體總勢能，宗量為位移函數(shù)。

實(shí)際平衡狀態(tài)的位移，必須滿足：

用位移表示的平衡微分方程（在A中）;

第三條是求解實(shí)際位移的必要條件，而前兩條是充分條件(1)實(shí)際位移靜力平衡條件約束條件

用位移表示的應(yīng)力邊界條件（在上);

位移邊界條件（在上）。第六節(jié)彈性力學(xué)中的能量原理，變分法(2)虛位移狀態(tài)數(shù)學(xué)意義：位移函數(shù)變分

虛位移：在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量。虛位移應(yīng)滿足上的約束邊界條件，即：（在上）虛位移不是實(shí)際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產(chǎn)生的。當(dāng)發(fā)生虛位移時，彈性體從實(shí)際位移狀態(tài)進(jìn)入虛位移狀態(tài)：實(shí)際平衡狀態(tài)附近的一種鄰近狀態(tài)第六節(jié)彈性力學(xué)中的能量原理，變分法(3)在虛位移上彈性體的功和能平衡狀態(tài)：設(shè)有平面問題的任一厚度的彈性體，邊界條件：,在外力作用下處于平衡狀態(tài)。這時，彈性體內(nèi)已存在：和應(yīng)變能虛位移狀態(tài)：外力虛功：外力在虛位移上所做的功。虛位移虛應(yīng)變第六節(jié)彈性力學(xué)中的能量原理，變分法應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功:應(yīng)變能變分:外力虛功就等于外力功的變分，即外力功的增量。外力功變分：應(yīng)力虛功就等于應(yīng)變能的變分，即應(yīng)變能的增量。第六節(jié)彈性力學(xué)中的能量原理，變分法(4)彈性力學(xué)中的變分方程

在封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒有非機(jī)械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢能的增加(形變勢能增量)應(yīng)等于外力勢能的減少（外力功增量）。位移變分方程

在實(shí)際平衡位置發(fā)生位移變分時，所引起的形變勢能變分，等于外力功的變分。位移變分方程物理意義第六節(jié)彈性力學(xué)中的能量原理，變分法虛功方程

在實(shí)際平衡位置發(fā)生虛位移時，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。即外力虛功等于內(nèi)力虛功。虛功方程第六節(jié)彈性力學(xué)中的能量原理，變分法最小勢能原理彈性體的總勢能為:

在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實(shí)際存在的一組位移對應(yīng)的總勢能為極小值。最小勢能原理uu（實(shí)際位移）數(shù)學(xué)表示物理意義第六節(jié)彈性力學(xué)中的能量原理，變分法分部積分格林公式(在A內(nèi))（在邊界上）位移變分方程應(yīng)力邊界條件平衡微分方程等價!結(jié)論

位移變分方程可以等價地代替靜力條件b,c；由此得出一種變分解法:即先假設(shè)位移函數(shù)，使其滿足上位移邊界條件，再代入位移變分方程，必然可以找出對應(yīng)于實(shí)際平衡狀態(tài)的位移解答。位移變分方程的等價形式

實(shí)際平衡狀態(tài)的位移必須滿足:a.上的