湖南省長沙青竹湖湘一外國語學(xué)校2025屆九上數(shù)學(xué)期末達標檢測模擬試題含解析

湖南省長沙青竹湖湘一外國語學(xué)校2025屆九上數(shù)學(xué)期末達標檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何?”譯文大致是：“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺?”如果設(shè)木條長尺，繩子長尺，根據(jù)題意列方程組正確的是（）A． B． C． D．2．下列圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．給出下列函數(shù)，其中y隨x的增大而減小的函數(shù)是（）①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝（x＜0）；④y＝x2（x＜1）．A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②③4．將一副學(xué)生常用的三角板如下圖擺放在一起，組成一個四邊形，連接，則的值為（）A． B． C． D．5．如圖，半徑為3的⊙O內(nèi)有一點A，OA=，點P在⊙O上，當∠OPA最大時，PA的長等于（）A． B． C．3 D．26．如圖，是半圓的直徑，點在的延長線上，切半圓于點，連接.若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．7．為了解我市居民用水情況，在某小區(qū)隨機抽查了20戶家庭，并將這些家庭的月用水量進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：月用水量（噸）456813戶數(shù)45731則關(guān)于這20戶家庭的月用水量，下列說法正確的是（）A．中位數(shù)是5 B．平均數(shù)是5 C．眾數(shù)是6 D．方差是68．如圖是某個幾何體的三視圖，則該幾何體是（

）A．長方體 B．圓錐 C．圓柱 D．三棱柱9．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m=0的一個實數(shù)根為1，那么它的另一個實數(shù)根是()A．－2 B．0 C．1 D．210．若氣象部門預(yù)報明天下雨的概率是，下列說法正確的是（）A．明天一定會下雨 B．明天一定不會下雨C．明天下雨的可能性較大 D．明天下雨的可能性較小二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖所示，在寬為，長為的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六塊試驗田，要使試驗田的面積為，道路的寬為_______12．請寫出一個符合以下兩個條件的反比例函數(shù)的表達式：___________________．①圖象位于第二、四象限；②如果過圖象上任意一點A作AB⊥x軸于點B，作AC⊥y軸于點C，那么得到的矩形ABOC的面積小于1．13．已知⊙半徑為，點在⊙上，，則線段的最大值為_____．14．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，OC交⊙O于點D，若∠C=40°，OA=9，則BD的長為．（結(jié)果保留π）15．如圖，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至正方形，邊交于點，若正方形的邊長為，則的長為________．16．如圖，練習(xí)本中的橫格線都平行，且相鄰兩條橫格線間的距離都相等，同一條直線上的三個點A、B、C都在橫格線上．若線段AB＝6cm，則線段BC＝____cm．17．如果關(guān)于x的方程x2-5x+a=0有兩個相等的實數(shù)根，那么a=_____.18．如圖，在平面直角坐標系中，，則經(jīng)過三點的圓弧所在圓的圓心的坐標為__________；點坐標為，連接，直線與的位置關(guān)系是___________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖：在平面直角坐標系中，直線：與軸交于點，經(jīng)過點的拋物線的對稱軸是．（1）求拋物線的解析式．（2）平移直線經(jīng)過原點，得到直線，點是直線上任意一點，軸于點，軸于點，若點在線段上，點在線段的延長線上，連接，，且．求證：．（3）若（2）中的點坐標為，點是軸上的點，點是軸上的點，當時，拋物線上是否存在點，使四邊形是矩形？若存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由．20．（6分）如圖，己知是的直徑，切于點，過點作于點，交于點，連接、.（1）求證：是的切線：（2）若，，求陰影部分面積.21．（6分）為測量觀光塔高度，如圖，一人先在附近一樓房的底端A點處觀測觀光塔頂端C處的仰角是60°，然后爬到該樓房頂端B點處觀測觀光塔底部D處的俯角是30°．已知樓房高AB約是45m，請根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)求觀光塔的高．22．（8分）如圖，、交于點，，且平分．（1）求證：；（2）若，，，求的長．23．（8分）如圖，已知MN是⊙O的直徑，直線PQ與⊙O相切于P點，NP平分∠MNQ．（1）求證：NQ⊥PQ；（2）若⊙O的半徑R=3，NP=，求NQ的長．24．（8分）如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸為直線，將直線繞著點順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)后與該拋物線交于兩點（點在點的左側(cè)），點是該拋物線上一點（1）若，求直線的函數(shù)表達式（2）若點將線段分成的兩部分，求點的坐標（3）如圖②，在（1）的條件下，若點在軸左側(cè)，過點作直線軸，點是直線上一點，且位于軸左側(cè)，當以，，為頂點的三角形與相似時，求的坐標25．（10分）正面標有數(shù)字，,3,4背面完全相同的4張卡片，洗勻后背面向上放置在桌面上.甲同學(xué)抽取一張卡片，正面的數(shù)字記為a，然后將卡片背面向上放回桌面，洗勻后，乙同學(xué)再抽取一張卡片，正面的數(shù)字記為b.（1）請用列表或畫樹狀圖的方法把所有結(jié)果表示出來；（2）求出點在函數(shù)圖象上的概率.26．（10分）一艘漁船在A處觀測到東北方向有一小島C，已知小島C周圍4.8海里范圍內(nèi)是水產(chǎn)養(yǎng)殖場.漁船沿北偏東30°方向航行10海里到達B處，在B處測得小島C在北偏東60°方向，這時漁船改變航線向正東(即BD)方向航行，這艘漁船是否有進入養(yǎng)殖場的危險？

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【解析】本題的等量關(guān)系是：木長繩長，繩長木長，據(jù)此可列方程組即可.【詳解】設(shè)木條長為尺，繩子長為尺，根據(jù)題意可得：.故選：.【點睛】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的二元一次方程組.2、B【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念和各圖的性質(zhì)求解．【詳解】A、是軸對稱圖形，故此選項錯誤；B、是中心對稱圖形，故此選項正確；C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．故選：B．【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形的概念．要注意，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．3、D【解析】分別根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的增減性進行解答即可【詳解】解：①∵y=2x中k=2＞0，∴y隨x的增大而增大，故本小題錯誤；

②∵y=-2x+1中k=-2＜0，∴y隨x的增大而減小，故本小題正確；

③∵y=（x＜0）中k=2＞0，∴x＜0時，y隨x的增大而減小，故本小題正確；

④∵y=x2（x＜1）中x＜1，∴當0＜x＜1時，y隨x的增大而增大，故本小題錯誤．

故選D．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．4、B【分析】設(shè)AC、BD交于點E，過點C作CF⊥BD于點F，過點E作EG⊥CD于點G，則CF∥AB，△CDF和△DEG都是等腰直角三角形，設(shè)AB=2，則易求出CF=，由△CEF∽△AEB，可得，于是設(shè)EF=，則，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)可依次用x的代數(shù)式表示出CF、CD、DE、DG、EG的長，進而可得CG的長，然后利用正切的定義計算即得答案.【詳解】解：設(shè)AC、BD交于點E，過點C作CF⊥BD于點F，過點E作EG⊥CD于點G，則CF∥AB，△CDF和△DEG都是等腰直角三角形，∴△CEF∽△AEB，設(shè)AB=2，∵∠ADB=30°，∴BD=，∵∠BDC=∠CBD=45°，CF⊥BD，∴CF=DF=BF==，∴，設(shè)EF=，則，∴，∴，，∴，∴，∴.故選：B.【點睛】本題以學(xué)生常見的三角板為載體，考查了銳角三角函數(shù)和特殊角的三角函數(shù)值、30°角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，構(gòu)圖簡潔，但有相當?shù)碾y度，正確添加輔助線、熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的知識是解題的關(guān)鍵.5、B【解析】如圖所示：∵OA、OP是定值，∴在△OPA中，當∠OPA取最大值時，PA取最小值，∴PA⊥OA時，PA取最小值；在直角三角形OPA中,OA=3√，OP=3，∴PA=故選B.點睛：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理的應(yīng)用.解答此題的關(guān)鍵是找出“PA⊥OA時，∠OPA最大”這一隱含條件.當PA⊥OA時，PA取最小值，∠OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．6、D【分析】根據(jù)題意，連接OC，由切線的性質(zhì)可知，再由圓周角定理即可得解.【詳解】依題意，如下圖，連接OC，∵切半圓于點，∴OC⊥CP，即∠OCP=90°，∵，∴，∴，故選：D.【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)及圓周角定理，熟練掌握相關(guān)知識是解決本題的關(guān)鍵.7、C【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義、平均數(shù)的公式、眾數(shù)的定義和方差公式計算即可.【詳解】解：A、按大小排列這組數(shù)據(jù)，第10，11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)，（6+6）÷2＝6，故本選項錯誤；B、平均數(shù)＝（4×4+5×5+6×7+8×3+13×1）÷20＝6，故本選項錯誤；C、6出現(xiàn)了7次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是6，故本選項正確；D、方差是：S2＝[4×（4﹣6）2+5×（5﹣6）2+7×（6﹣6）2+3×（8﹣6）2+（13﹣6）2]＝4.1，故本選項錯誤；故選C．【點睛】此題考查的是中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)和方差的算法，掌握中位數(shù)的定義、平均數(shù)的公式、眾數(shù)的定義和方差公式是解決此題的關(guān)鍵.8、B【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，可判斷出幾何體.【詳解】解：∵主視圖和左視圖是等腰三角形∴此幾何體是錐體∵俯視圖是圓形∴這個幾何體是圓錐故選B.【點睛】此題主要考查了幾何體的三視圖，關(guān)鍵是利用主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀．9、A【解析】設(shè)方程的另一個實數(shù)根為x，則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x＋1=－1，解得x=－1．故選A．10、C【分析】根據(jù)概率的意義找到正確選項即可．【詳解】解：氣象部門預(yù)報明天下雨的概率是，說明明天下雨的可能性比較大，所以只有C合題意．故選：C．【點睛】此題主要考查了概率的意義，關(guān)鍵是理解概率表示隨機事件發(fā)生的可能性大小：可能發(fā)生，也可能不發(fā)生．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【分析】設(shè)道路寬為x米，根據(jù)耕地的面積-道路的面積=試驗田的面積，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)道路寬為x米，

根據(jù)耕地的面積-道路的面積=試驗田的面積得：，

解得：x1=1，x2=1．

∵1＞20，

∴x=1舍去．

答：道路寬為1米．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)耕地的面積-道路的面積=試驗田的面積，列出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12、，答案不唯一【解析】設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=，根據(jù)題意得k<0，|k|<1，當k取?5時,反比例函數(shù)解析式為y=?.故答案為y=?.答案不唯一.13、【分析】過點A作AE⊥AO,并使∠AEO＝∠ABC,先證明，由三角函數(shù)可得出，進而求得，再通過證明，可得出，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得:,由勾股定理可得，求出BE的最大值，則答案即可求出.【詳解】解:過點A作AE⊥AO,并使∠AEO＝∠ABC,∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴，又∵,∴,∵，∴，又∵，∴,∴,∴,在△OEB中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得:,∵，∴,∴BE的最大值為：，∴OC的最大值為：.【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理及三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.14、132【解析】試題解析：∵AC是⊙O的切線，∴∠OAC=90°，∵∠C=40°，∴∠AOD=50°，∴AD的長為50π×9180∴BD的長為π×9-52π=考點：1.切線的性質(zhì)；2.弧長的計算．15、【分析】連接AE，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AD＝AB′＝3、∠BAB′＝30°、∠B′AD＝60°，證Rt△ADE≌Rt△AB′E得∠DAE＝∠B′AD＝30°，由DE＝ADtan∠DAE可得答案．【詳解】解：如圖，連接AE，∵將邊長為3的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形AB'C′D′，∴AD＝AB′＝3，∠BAB′＝30°，∠DAB＝90°∴∠B′AD＝60°，在Rt△ADE和Rt△AB′E中，，∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），∴∠DAE＝∠B′AE＝∠B′AD＝30°，∴DE＝ADtan∠DAE＝3×＝，故答案為．【點睛】此題主要考查全等、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定定理．16、18【分析】根據(jù)已知圖形構(gòu)造相似三角形，進而得出，即可求得答案.【詳解】如圖所示：過點A作平行線的垂線，交點分別為D、E，可得：，∴，即，解得：，∴，故答案為：.【點睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得出是解答本題的關(guān)鍵.17、【分析】若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則方程的根的判別式等于0，由此可列出關(guān)于a的等式，求出a的值．【詳解】∵關(guān)于x的方程x2-5x+a=0有兩個相等的實數(shù)根，∴△=25-4a=0，即a=．故答案為：.【點睛】一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．18、（2，0）相切【分析】由網(wǎng)格容易得出AB的垂直平分線和BC的垂直平分線，它們的交點即為點M，根據(jù)圖形即可得出點M的坐標；由于C在⊙M上，如果CD與⊙M相切，那么C點必為切點；因此可連接MC，證MC是否與CD垂直即可．可根據(jù)C、M、D三點坐標，分別表示出△CMD三邊的長，然后用勾股定理來判斷∠MCD是否為直角．【詳解】解：如圖，作線段AB，CD的垂直平分線交點即為M，由圖可知經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的坐標為（2，0）．

連接MC，MD，

∵MC2=42+22=20，CD2=42+22=20，MD2=62+22=40，∴MD2=MC2+CD2，∴∠MCD=90°，

又∵MC為半徑，

∴直線CD是⊙M的切線．故答案為：（2，0）；相切．【點睛】本題考查的直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線的判定等知識，在網(wǎng)格和坐標系中巧妙地與圓的幾何證明有機結(jié)合，較新穎．三、解答題(共66分)19、（1）；（2）證明見解析；（3）存在，點的坐標為或.【分析】（1）先求得點A的坐標，然后依據(jù)拋物線過點A，對稱軸是，列出關(guān)于a、c的方程組求解即可；

（2）設(shè)P（3n，n），則PC=3n，PB=n，然后再證明∠FPC=∠EPB，最后通過等量代換進行證明即可；

（3）設(shè)，然后用含t的式子表示BE的長，從而可得到CF的長，于是可得到點F的坐標，然后依據(jù)中點坐標公式可得到，，從而可求得點Q的坐標（用含t的式子表示），最后，將點Q的坐標代入拋物線的解析式求得t的值即可．【詳解】解：（1）當時，，解得，即，拋物線過點，對稱軸是，得，解得，拋物線的解析式為；（2）∵平移直線經(jīng)過原點，得到直線，∴直線的解析式為.∵點是直線上任意一點，∴，則，.又∵，∴.∵軸，軸∴∴∵，∴，∴.（3）設(shè)，點在點的左側(cè)時，如圖所示，則.∵，∴.∴.∵四邊形為矩形，∴，，∴，，∴，.將點的坐標代入拋物線的解析式得：，解得：或（舍去）.∴.當點在點的右側(cè)時，如下圖所示，則.∵，∴.∴.∵四邊形為矩形，∴，，∴，，∴，.將點的坐標代入拋物線的解析式得：，解得：或（舍去）.∴.綜上所述，點的坐標為或.【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、中點坐標公式，用含t的式子表示點Q的坐標是解題的關(guān)鍵．20、（1）證明見解析；（2）【分析】（1）連結(jié)，由半徑相等得到∠OBC=∠OCB，由垂徑定理可知是的垂直平分線，得到PB=PC，因此∠PBC=∠PCB，從而可以得到∠PCO=90°，即可得證；（2）陰影部分的面積即為扇形OAC的面積減去△OAC的面積，通過，，利用扇形面積公式和三角形計算公式計算即可.【詳解】（1）證明：連結(jié)，如圖∵∴又∵為圓的直徑，切圓于點∴，又∵∴∴是的垂直平分線∴，，即∴是圓的切線（2）由（1）知、為圓的切線∴∵，∴，又∵為圓的直徑∴∴，∴，∴【點睛】本題考查了切線的判定和扇形面積公式的應(yīng)用，理解弓形面積為扇形面積與三角形面積之差是解題的關(guān)鍵.21、135【分析】根據(jù)“爬到該樓房頂端B點處觀測觀光塔底部D處的俯角是30°”可以求出AD的長，然后根據(jù)“在附近一樓房的底端A點處觀測觀光塔頂端C處的仰角是60°”求出CD的長即可.【詳解】∵爬到該樓房頂端B點處觀測觀光塔底部D處的俯角是30°，∴∠ADB=30°，在Rt△ABD中，AD=，∴AD=45m，∵在一樓房的底端A點處觀測觀光塔頂端C處的仰角是60°，∴在Rt△ACD中，CD=AD?tan60°=45×=135m.故觀光塔高度為135m．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.22、（1）見解析；（2）【分析】⑴根據(jù)題意依據(jù)(AA)公理證明即可．⑵根據(jù)相似三角形性質(zhì)對應(yīng)邊成比例求解即可．【詳解】證明：（1），平分，又（2）又，，，【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．23、（1）見解析；（2）．【分析】（1）連接OP，則OP⊥PQ，然后證明OP//NQ即可．（2）連接MP，在Rt△MNP中，利用三角函數(shù)求得∠MNP的度數(shù)，即可求得∠PNQ的值，然后在Rt△PNQ中利用三角函數(shù)即可求解．【詳解】（1）證明：連接OP，∵直線PQ與⊙O相切于P點，∴OP⊥PQ，即∠OPQ=90°，∵OP=ON，∴∠OPN=∠ONP．又∵NP平分∠MNQ，∴∠OPN=∠PNQ．∴OP//NQ．∴∠NQP=180°-∠OPQ=90°，∴NQ⊥PQ．（2）連接MP，∵MN是直徑，∴∠MPN=90°．∴，∴∠MNP=30°．∴∠PNQ=30°．∴在Rt△PNQ中，NQ=NP?cos30°=．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，正確添加輔助線，靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．24、（1）；（2）或；（3），，，【分析】（1）根據(jù)題意易得點M、P的坐標，利用待定系數(shù)法來求直線AB的解析式；（2）分和兩種情況根據(jù)點A、點B在直線y=x+2上列式求解即可；（3）分和兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)列式求解即可.【詳解】（1）如圖①，設(shè)直線AB與x軸的交點為M．

∵∠OPA=45°，

∴O