平面向量的數(shù)量積（精練）

6.2.2平面向量的數(shù)量積（精練）

【題組一向量的數(shù)量積】

1.（2020?天水市第一中學高一期末）已知等邊..ABC的邊長為2,若BC=3BE，AO=￡>C，則BDAE

等于（）

1010

A.—B.----C.2D.—2

33

【答案】D

【解析】等邊△4比1的邊長為2,BC=3BE，AD^DC'

二BD=-(BA+BC],AE=AB+BE=AB+-BC=-BC-BA,

2V'33

Qg(…心*=仁BC

=—xf—x4—4——x2x2x—j,——2.故選：D.

2(332

UIWUUU

2.（2020?陜西渭南市?高一期末）在4A5。中,O為線段BC的中點，AO=1，BC=3,則AB.AC

()

15

A.—B.---C.3D.4

34

【答案】B

【解析】?在八A6c中，。為線段的中點

-1

AD=-(AB+AC\11

2、/，可得A8=AO--8C,AC=AD+-BC,

BC=AC-AB/2”2

uunuum(uumiuim\Uim1UUl\uu?i2iuun25

ABAC^\AD——BCAD+-BC=AD—BC=—.故選：B.

I2)2J44

3.（2020?湖南益陽市?高一期末）在AABC中，AB=2立,AC=而,G為ABC的重心，則

AG?BC=

【答案】6

【解析】如圖，點。是BC的中點,

221/--\1/-\

G為，A6C的重心，「.AG=qAZ)=3X5(AB+AC)=q(AB+AC),BC=AC-AB?

所以AG.8C=g(AB+AC)?(AC-AB)=g(Ac2—A8]

故答案為：6

4.（2020?黑龍江大慶市?大慶一中高一期末）如圖，在工ABC中，。是的中點，E,尸是AO上

ULUULU

的兩個三等分點&bC4=5，BF-CF=-2>則8ECE的值是

【答案】-

-2-2-2-2

【解析】因為C4=(-BC-AD)C--BC-Aiy)=4AD~BC=兆陽-BC=5，

2244

11114FD-BC

BFCF=Q—BC——A￡?-(——BC——AD)=------------------=—2,

23234

27223

因此=-,BC=—,

82

2222

114￡n-BC16FD-BC_5

BECE=(-BC-ED)(——BC—ED)=------------------

2244"8,

故答案為：一.

8

5.（2020?四川內(nèi)江市）在等腰RrABC中，斜邊BC=J5，AB=c^BC=a，CA=b，那么

ab+b-c+c-a=?

【答案】-2

【解析】由題可知在等腰RjABC中，斜邊BC=J5,\AB=AC=1,A=g,B=C=g

6.（2020?北京101中學高一期末）如圖，在矩形A8CD中，AB=0，BC=2,點《為的中點,

點尸在邊CD上，若AB-AF=亞，則尸的值是______.

【答案】V2

【解析】VAF=AD+DF>

ABAF=AB-^AD+DF)=ABAD+ABDF=ABDF=s/2\DF\=yf2,

.?.|DF|=1,|CF|=X/2-1,

AEBF=^AB+BE^BC+CF)=ABCF+BEBC

故答案為：夜.

7.（2020?陜西咸陽市?高一期末）己知兩個單位向量”，b的夾角為120°，c=必+(，-1)人.若a?6=1,

則實數(shù)f=

【答案】1

【解析】兩個單位向量。，。的夾角為120。,

]_

=1x1x

2

又C="/+?-1)匕，a?c=\,

.1

ci?[tci+(f—1)Z?]—tci~+(，一\)ci?b—t—(/—1)=1,

2

解得f=l.

故答案為：L

；滿足4H=311

8.（2020?長沙縣實驗中學高一期末）已知非零向量力，COS〈M，，〉=1,若

tm+n,則實數(shù)/的值為

【答案】-4

【解析】非零向量7，；；滿足4卜卜—>

3m+

n,COS?！?±tn,

->2

幾?tm+n-tin-n+n=t\m^n\cos<m,n>+\n\

=彳7*23|f〃|2+|〃T|2=0,解得f=y,故答案為：_4

34

【題組二向量的夾角】

1.（2020?山東臨沂市?高一期末）已知非零向量q,b，若|a|=0|切，且。，9一2匕），則a與。的

夾角為（)

冗K3兀

AA.-B..D.—

644

【答案】B

【解析】因為〃_L（〃一2b）,所以4?（4-2/7）=同2-2。2=同2-2同忖85（。1）0,

因為|a|=0g|，所以cos(a,h)=\!h=#|=￥，(a力)?0"].小/)=/.故選：11

-TT

2.(2020?鎮(zhèn)原中學高一期末)已知a,b,c為單位向量，且滿足3a+勸+7C=O,a與〃的夾角為

則實數(shù)2=.

【答案】2=—8或2=5

【解析】由3a+\+7c=0,可得7c=—(3a+4)，則49c2=9疝++64a?.

由a,bc為單位向量，a=b~=c=11則49=9+4~+64。05彳，即幾？+32—40=0，

解得a=—8或4=5.

3.(2020?浙江溫州市?高一期末)已知平面向a,b,c,滿足忖=2,忖=G,忖=1,且(a—c)?僅—c)=5,

a—b與a+8夾角余弦值的最小值等于.

【答案】叵

15

【解析】平面向a,A,c,滿足卜|=2,忖=J5，H=1,則J=4"=3,)=’[=1

因為(a-c>僅-c)=5

展開化簡可得a6-c(a+b)+c2=5,

因為/=1,代入化簡可得a?。-c(a+0)=4

設(;與a+人的夾角為，,eq。,司

則由上式可得a?匕-卜,a+,，cose=4

而k+Z?|=J(a+Z?)=\]a~+2a-b+b~=yjl+2a-b

ci,b—4

代入上式化簡可得cos0=/

y]：+2a,b

令機=a6設?與5的夾角為a,aw[0,司，則由平面向量數(shù)量積定義可得

m-a-bcosa=26cosa,而一1<cosaW1

所以—264加《26

a-b-4m-4

由余弦函數(shù)的值域可得|cosqW1,即|cose\=<1

\I1+2a-by/l4-2m

將不等式化簡可得加2_1（）機+940,解不等式可得14加W9

綜上可得14〃242百，^l<a-b<2y/3

而由平面向量數(shù)量積的運算可知，設￡—彼與a+b夾角為4,

(4一方>(4+6)_“2—方2

則COSP-

,一斗卜+可yjl-2a-b?,7+24乃

1

,49—4(a")2

當分母越大時，COS夕的值越??；當?shù)闹翟叫r,分母的值越大

所以當a電=1時，cos夕的值最小

c1V5

代入可得cosp=/=—

,49—4x1213

所以a-b與a+b夾角余弦值的最小值等于

15

故答案為：@

15

4.（2020?延安市第一中學高一月考）已知向量a*滿足忖=2,忖=1,3+20=卜—耳.

（1）求a在上的投影;

（2）求￡與:一2%夾角的余弦值.

【答案】（1）--；（2）巫

24

22

【解析】（1）|n+2/>|=|/7-A?|=>(a+2b)-(a-b)=>a+4a-b+4b=a—2ab+b

6a-b=-3b',:.ab=-^,設〃和〃的夾角為6,

W為小2號總

（2）設q與a一26夾角為口，

a\a-2b\a-2ab4+1Vw

|a|-|a-2/?||fl|.yja"-4a-b+4b"2x.4+2+44

5.（2020?北京順義區(qū)?高一期末）已知平面向量a，8，同=2,網(wǎng)=1,且a與6的夾角為三.

⑴求a.0；

（2）求k+2司；

（3）若a+2b與2a+肪（XGR）垂直，求4的值.

【答案】（1）1；（2）273;（3）-4.

【解析】（1）ab=|iz|-|/?|cosJ|-=2x^=1；

（2）p/+2/?|=（a+28）=a2+4a-b+4b-=4+4+4=12,|n+2/?|=2\/3；

（3）;（a+〃）-L（22+勸），.?.（&+2。）?22+%）=0,

即2a2+（4+/l）a力+2勸2=8+（4+/l）+2/l=12+3/l=0,解得：A=-4.

6.（2020?南昌市?江西師大附中高一月考）已知向量a,〃滿足|。|=|勿=1,

\ka+b\-y/3\a-kb\（k>0,kER）

（1）若a//，求實數(shù)Z的值；

（2）求向量a與〃夾角的最大值.

【答案】（1）2±V3；（2）y.

【解析】（1）因為a/〃，左〉0,所以。為=仁也>0,則〃與各同向.

4k

因為|a|二|人|=1，所以a.Z?=1，

k~4-]1—

即=整理得二一4左+1=0,解得上=2±百，

4k

所以當女=2±>/3時，a!lb-

（2）設〃力的夾角為。，

八a-b,八］/n1\（r1V1

\a\\b\4k4（k）4［（j

當4=力，即左=1時，cos。取最小值g，

71

又0K6W萬，所以。=一，

3

即向量￡與/，夾角的最大值為2.

7.（2020?全國高一專題練習）已知向量q,02,且同=同=1,q與02的夾角為不加=丸4+02，

n=3e「2e2.

（1）求證：（2^-^2）1e2；

（2）若同=卜］,求4的值;

（3）若機_L”,求；I的值；

1T

（4）若山與〃的夾角為求;I的值.

【答案】（1）見解析（2）4=2或4=一3.（3）Z=-（4）2=2

4

【解析】（1）證明：因為同=同=1,q與02的夾角為

n-|212?

所以^2et-e2j-e2=2e,e2-e2=2同回=2xlxlx——1=0,

cos§_p22

所以（26—02）上《2?

2

（2）由時=|n|得（田+e2j=（3q-2e2）\即（3一9）e,+（22+12鳩《—3e2?=0.

因為同=同=八卜|，02）=。,

”22-2117rl

所以q=%—I?,e2=IxIxcos-?

所以（；P—9）xl+（2/l+l2）x；-3xl=0,

即/^+4―6=0.所以4=2或4=一3.

_

(3)由加_L〃知根.幾=0，HP(Ae,+2e2j=0,即32e：+(3一2%鳩?/一26~=0?

因為同=同=1,卜，162)=。，所以弓2=,2=],q仁=]xlxcos(=g,

所以34+(3—24)xg—2=0.所以4二;.

(4)由前面解答知q=e2—1?q,4=5，卜|=1.

而|/71|-=(4q+，2=4-eJ+2Xq?4+4~=彳2+X+1，

所以網(wǎng)=

-./▲一-\/\-2--—~-2iI

/%?〃=(+G),(3q—2^J=34q+(3—24)q?e2—2e?—3A+(3—2A)x—-2=2A——

因為(九〃)=q,

irr1rirr

由m-n=m\lMcos&?得2X」=J%+)+i.gL,

22

化簡得3儲一54—2=0,

所以4=2或4=-g.

經(jīng)檢驗知4=-g不成立，故；1=2.

【題組三向量的投影】

1.（2021?江西上饒市）若向量a與6滿足3+b）_La,且同=1,忖=2,則向量.在b方向上的投影

為（）

A.由B.--C.-1D.3

23

【答案】B

【解析】利用向量垂直的充要條件有：（。+〃）/=。2+。力=0,，〃）=一1，

a-b1

則向量。在〃方向上的投影為皿一］,故選B.

2.（2020?沈陽市第一七。中學高一期末）已知向量a，b，其中小1,卜―2。|=4,卜+2。|=2,則。

在。方向上的投影為（）

A.-2B.1C.-1D.2

【答案】c

【解析】由題意，向量a，b，其中W=l,W一20=4,卜+2目=2,

可得(。一2〃)=|?|+4"-4a/=1+4忖-^a-b-16....(1)

(a+2b)=p/|+4||+4-a-b-1+4|/?|+4a-h=4...(2)

聯(lián)立(1)(2)解得W=3，a.b=y,

a-bi

所以a在〃方向上的投影為下廠=一1.故選：C.

3.(2020?長沙市?湖南師大附中高一月考)己知向量a,b滿足同=1,|可=3,且日在方向上的投影

與Z,在a方向上的投影相等，則,一可等于()

A.VioB.V5C.4D.5

【答案】A

【解析】設兩個向量的夾角為。，則|a|cose=Wcos。，從而cos6=0，

因為6e[0,句，故8=',所以卜叫=6+/=回?故選：A.

4.(2020?眉山市彭山區(qū)第一中學高一期中)已知忖=1,"=2,(凡。)=60。，則〃+/,在a上的投影是

()

A.1B.C.2D.—

77

【答案】C

【解析】因為忖=1,W=2,(a,-)=60。,所以a3=WWcos<a,>>=lx2xcos60°=l

a-^bya

(a+=a+b-a=l2+1=2所以￡+辦在々上的投影—J—=2故選:C

rl

5(2020?陜西渭南市.高一期末)已知|a|=G,忖=3,卜+4=3上，則向量a在向量方方向的投影

()

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】A

【解析】由題意，向量,卜百，什=3,卜+q=3a,

可得H+0=〃+〃+2Q?Z?=3+9+2Q,Z?=18,解得Q.B=3，

a-b31

所以向量a在向量b方向的投影下「=￡=1.故選：A.

\b\3

6.（2020?四川綿陽市?高一期末）在中，A8.AC=0，點〃為沅的中點，且I241=1A3I，則

向量B4在向量3c上的投影為（）

A.舸B.一今叫C.-輛D.灑

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，ABLAC,乂點P為BC中點、,故可得PC=PB=Q4=AB,

如「所示：

故三角形P45為等邊三角形，故可得N8=60°,

不妨設B4=a,故可得3C=2a，

2a2xX

則向量BA在向量BC上的投影為私型=_____2.=%=C

|BC|2a2L4\lB\.I

故選：D.

7.（2020?營口市第二高級中學高一期末）已知向量a力滿足|6|=5,|a+b|=4,|“-b|=6,則向量4在向量

b上的投影為

【答案】—1

【解析】向量滿足|切=5,|4+6=4,也一方|=6,

可得3+8)2=16,(a-b)2=36,即為a2+b2+2a?b=16，a2+b2-2a?b=36,兩式相減可得a?b=-5，

則向量A在向量入上的投影為華=9=7.故答案為：一1.

\b\5

8.（2020?湖北武漢市?高一期末）設向量q,〃滿足,卜2,卜卜1,且Z?“a+b）,則向量/,在向量a+2Z?

上的投影的數(shù)量為.

【答案】工

【解析】"?",（a+"）=a，"+b~=O，."-〃=_片=_1，

.\b^a+2b^=ab+2b',1+2q=”/+4//+4a.b=J4+4-4=2，

b-（a+2b]11

???向量方在向量〃+2。上的投影的數(shù)量為——故答案為：

\a+2b\22

9.（2021河南鄭州市）已知平面向量〃力滿足葉1,回=2,M+力卜后則。在〃方向上的投影等于—

【答案】一大

2

【解析】由題意結合平面向量數(shù)量積的運算法則有：

+-ci~+2a,/?+/?"=1+2a,b+4-3,.ci?b-—1,

ab-11

據(jù)此可得，。在匕方向上的投影等于下「=萬=一].

10.（2020?四川高一期末）已知邊長為2的等邊..ABC中，則向量4?在向量C4方向上的投影為.

【答案】-1

【解析】因為445c1是等邊三角形，

所以向量與向量C4的夾角為120，

因為,A6C邊長為2,

所以向量AB在向量C4方向上的投影為卜斗cosl20=2xf-1U-l,

故答案為：—1.

11.（2020嚏國高一課時練習）已知e為一個單位向量，a與e的夾角是120°.若a在e上的投影向量為-2e，

則卜卜.

【答案】4

【解析】e為一個單位向量，a與e的夾角是120。由平面向量數(shù)量積定義可得a-e=Wxlxcosl200=-2,

根據(jù)平面向量投影定義可得忖x（-g）.e=-2e,忖=4.故答案為：4

12.（2020?福建省福州第一中學高一期末）已知非零向量“、滿足忖=2,|2。一0=4,。在〃方向上

的投影為1，則》（。+2。）=

【答案】18

【解析】忖=2，a在徒方向上的投影為1，a2=2x1=2，

|2a-&|=4,16-|2a—/?|=4if-4a?/?+//=4忖-4a-/?+|z?|=4x22-4x2+|/?|,

可得忖=2血，因此，兒（a+26）=a%+2Z/=2+2x8=18.故答案為：18.

【題組四向量的模長】

1.（2020?全國高一）已知平面向量a，b滿足忖=2,"=3,若”，〃的夾角為120°,則忸一囚=（）

A.3百B.3百C.2百D.3

【答案】A

【解析】由題意得，|3a-Z>|=yl9a-6ab+b2=J36+18+9=35，故選：A.

2.（2020?全國高一）若向量a與人的夾角為60°,且同=4洶=3,則卜+可等于（）

A.37B.13C.737D.岳

【答案】C

【解析】因為向量a與人的夾角為60°,且同=4,忖=3,所以

,+4=a2+2a-b+b2=|?|'+2|a|-|/?|-cos60+|/?|=42+2x4x3x-^+32=37

所以卜+b|=J方，故選：C.

3.（2020?全國高一開學考試）已知向量。，人滿足。2=0，忖=1,忖=3,則卜—0=（）

A.0B.2c.2V2D.Vio

【答案】D

【解析】因為向量q,〃滿足〃為=0,忖=1,舊=3

則|a-Z>|=，,-目=y/a2-2a-b+b2=Vl-O+9=VlO故選:D

4.（2020?銀川市?寧夏大學附屬中學高一期末）已知向量滿足：,卜3,網(wǎng)=4,,+

|Vv,

則|"。|=.

【答案】3.

rr2,vr.2r2rrr2曲2rr.r|2rr

【解析】Qa+b=a+。=a+2a-b+b=a+2a-b+\t\=32+2a-/?+42=41,

11rrrr^FT5-F?巾2一2：5+件=g2—2x8+42=3,

a-h=S/.a-b=y\\a-b\=\la-2a?b+b

因此，k一0=3,故答案為3.

5.（2020?全國高一單元測試）若平面向量以，匕滿足卜+0=血，4一8=&，則。心=

-272

a+b=-------------,

【答案】-14

【解析】由卜+人|=應，+2a-h+h2=2<①

由,一4=,得4一一2a乃+。-=6，②

①-②得：4々.。=-4，，〃./?=一1.故1+。2=4.故答案為：①T；②4.

6.（2020?全國高一）已知*=6,小=8,則a-^-b的最大值為；若*=6,*=8,且二10,

->->

則a+b=.

【答案】1410

【解析】a+b=(a+b)2=。+2a.b+。=\a\+2abcos<a.b>+\b

——>

=36+64+2x48cos<a,b>

=100+96cos<a,b>

<100+96=196.當且僅當［了同向時等號成立，

所以a+b<\4,

即a+b的最大值為14,

由。一/?=10兩邊平方uj■得：

222

a-b=(a-b)2=a-2a-b^-b=l00-2a-b=100,

所以蒜=0，

f->2rf—>2-->―>2

所以a+Z?=(a+b)2-a+2a-b+b-100.

即a+b=10.

故答案為：14；10

7.(2020?東北育才學校)已知向量人滿足同=4,〃在a上的投影(正射影的數(shù)量)為-2,則卜—2N

的最小值為

【答案】8

【解析】因為B在a上的投影(正射影的數(shù)量)為-2,

所以||cos<a.h>=-2>

,2

即Ilf81=-----------;—,而一1Wcos<a,b><0,

cos<a,b>

所以|〃但2,

因為,一2〃|=(a-2b)2=a~+=\a\2-4\a\\h\cos<a,b>+41Z?|2

=16—4x4x(—2)+41/?『=48+4M

所以。>48+4x4=64,即卜-2028,故選D.

0,?2Q+仍

9.（2020?四川廣元市?高一期末）設非零向量。與人的夾角是手，且同=|。+可，則?的最小

值為（）

A.—B.—C.—D.1

322

【答案】B

【解析】對于“，b和a+力的關系，根據(jù)平行四邊形法則，如圖

a=BA=CD，b=B(j，a+b=BD，

ZABC=—,：.ZDCB=-,

33

忖.?.卬=即=忸4

.,.|a|=|z?|=|a+/?|,

\2a+tb\/J

當且僅當f=l時，的最小值為三

?區(qū)?IJ2

故選：B.

10.（2020?浙江杭州市?高一期末）已知平面向量“、/,滿足卜|=卜+24=6，則、6忖+卜+匕|的最大

值為________.

【答案】2百

【解析】+=“-+4a/+4//=3+4a/+4/Z=3,則.出二一7，

設a與〃的夾角為6，則卜，6卜056=-1『，，"=-Gcos。,

Q|^|>O.Q<O<7T,可得兀，

|?+/?|=a'+2a-b+h'=3-1/>|=3sin20,貝ij|a+q=Gsine,

所以，V3"+k+目=-3cos0+百sin8=2Gsinf（9-yj,

^<0<n,則看所以，當6—2=5時，百忖+,+闿取最大值2月.

故答案為：2百.

11.（2020?沙坪壩區(qū)?重慶南開中學高一期末）已知向量q與向量b的夾角為且同=1，??。??-2^）.

⑴求代；

（2）若［24—m4=嶼，求加.

【答案】（1）|j=3；（2）"?=-；或機=1?

【解析】（1）tz'（3a—2》）=3a~—2a-b=3—2a-b=0t

：.a-b=^,a-b=|?|-|/?|-cosJ|-=^'|/2|=y,二||=3.

（2）V|2<7-mZ?|-V7,/.7=（2a-mb^=4?2-Ama-b+m2b=4-6m+9m2,

整理得：3m2—2m—1=0>解得：m=—耳或zn=l.

12.（2020?北京朝陽區(qū)?人大附中朝陽學校高一月考）已知平面向量a,6滿足：卜|=2,忖=11?

(1)若(a+28).(a—8)=l,求“力的值；

⑵設向量a,b的夾角為。，若存在/wR,使得|5+法|=1，求cos。的取值范圍.

【答案】(1)—1；(2)-1,-。-^-,1.

2J|_2

【解析】(1)若(。+2刀?(。一與=1,則力+4m_2b2=1，

又因為,《=2,忖=1,所以4+「m—2=1，所以a?6=—1；

⑵若|￡+|=1,則A?+2/乃+產(chǎn)〃=1，

又因為卜|=2,忖=1,所以2/.力+『+3=0即/+4rcose+3=0，

所以△=16ca『(9-12>0-解得cosOV-避^或cos。之避^，

22

所以cos6G-1,--^-U-^,1.

2J|_2

13.(2020?全國高一單元測試)已知向量04=a，OB=b，NAOB=60，且同=忖=4.

(1)求,+可，卜-可；

(2)求a+人與白的夾角及“―8與白的夾角.

【答案】(1)卜+可=46,卜―可=4；(2)30，60.

【解析】⑴因為向量OA=a，OB=b，NAOB=60，且同=1|=4,

所以,=(a+b)=a2+2a-b+b2=p|2+2|tz||/?|cos60+|/?|

=16+2x4x4xi+16=48，

2

所以卜+可=46，

乂,一可=(&_/)=a2-2a-b+b2=|a|?-2|d||/?|cos60+|/?|

=16-2x4x4x-+16=16,

2

所以,_q=4；

(2)記a+b與a的夾角為a,ae[0°,180°],a—匕與白的夾角為用，尸e[o,180],

16+4x4x

[a+b\a16

則cosa=n----r-=——產(chǎn)----=------尸——=——'

,+4同4V3x416V32

所以a=30.

[a-b\aajbh4x4x；]

resn=---------=---------=------------二—，

a-b\[a\4x4162

所以夕=60.

【題組五平面向量的綜合運用】

1.（2020?北京豐臺區(qū)?高一期末）a,〃是兩個單位向量，則下列四個結論中正確的是（）

A.a=bB.a-b=\C.&豐6D.|a|2=|

【答案】D

【解析】A.。力可能方向不同，故錯誤；

B.a=COS<?,/?>=COS<?,/?>,兩向量夾角未知，故錯誤；

C.a=aa=|?|=\,b=6）=忖=1>所以J=o2，故錯誤；

I）.由C知卜|=|/?|=1，故正確，故選：I）.

2.（2020?全國高一單元測試）若G是非零向量，b是單位向量，①同>0,②忖=1,③向=匕，④

a=4b（/lw0）,⑤5./?工0，其中正確的有（）

A.??③B.①②⑤C.①②④D.①②

【答案】D

【解析】：aw0，.?.同>0,①正確；

b為單位向量，故忖=1，②正確；

a

【表示與〃方向相同的單位向量，不一定與匕方向相同，故③錯誤；

。與8不一定共線，故a=46（4。。）不成立，故④錯誤,

若。與〃垂直，則有”m=0，故⑤錯誤.

故選：D.

3.(2021?重慶)設為向量，則“卜?司=問網(wǎng)”是“a//，()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】根據(jù)向量數(shù)量積運算，,川=|問問36|

若,同=向網(wǎng)，即風帆的。卜同忖

所以COS0+1,即6=0?；?80°

所以a//〃

若///〃，則a與b的夾角為0°或180。，所以“,川=同網(wǎng)的0。=同網(wǎng)

或卜同=同網(wǎng)＜?8180。=—同網(wǎng)

即,.司=|同網(wǎng)cosq

所以",可=同問”是“a/妨”的充分必要條件

所以選C

4.(2020?全國高一課時練習)若&,b，d均為單位向量，且。山=-；,c=xa+yb(x,y&R),則x+y

的最大值是()

A.2B.5/3C.72D.1

【答案】A

【解析】a,b，d均為單位向量，

且a?8=-g,c=xa+ybQx,y￡R),

c2=(xa+yb)2=x2+y2+2xya?b=x24-y2-Ay=1,

22

設x+y="y=t-xf得：x+(r-x)-x(r-x)-l=0,

.??3%2_3a+/_1=0,

方程3x2一3次+/一1=0有解,

A=9/2-12（Z2-l）..O,

-3/+12..0,

.?.-2麴｝2

的最大值為2.

故選：A.

5.（2020?甘肅蘭州市?蘭州一中高一期末）已知向量“、入c滿足a+〃+c=O,且，則。力、

b-c、a,c中最小的值是（）

A.a-bB.a-cC.b?cD.不能確定

【答案】C

【解析】由a+人+c=O,可得。=一（。+8），平方可得2a.A=c2—（屋+/）.

同理可得2b.e=a2-（b2+c"）、1a?c-b'-（a2+c2）,

:|a|<|6|<|c|<A?<c?則、b?c、a.C中最小的值是凡c.故選：C.

6.（2020?浙江湖州市?高一期末）已知空間向量a，b，c和實數(shù)尤，則下列說法正確的是（）

A.若a-8=0,則。=0或匕=0B.若4。=0，則4=0或。=0

C.若（a）=僅），則a=6或a=―匕D.若aQ=a.c,則》=c

【答案】B

【解析】對于選項A，若a■/?=0，則a=0或力=0或“_L/?，故A錯誤；

對于選項C,由（。）2=僅『，得|〃|=|m，即可得其模相等，但方向不確定，故C錯誤；

對于選項￡），由〃力=4.。，得a?S-c）=0,則a=0或6=°或a_L（人一c）,故￡）錯誤；對于選項5,

由；IQ=0，可得；1=0或。=0，故3正確，

故選：B.

7.（多選）（2021?江蘇高一）若a、b、c是空間的非零向量，則下列命題中的假命題是（）

A.（a-b）-c=（b-c）-a

B.若ag=一向同，則a//b

C.若=/??《,則a//。

D.若a?a=b,b，則a=〃

【答案】ACD

iii

【解析】（。為）又是與c共線的向量，（6c）?“是與a共線的向量，a與c不一定共線，4錯，

若0包=一時-忖，則a與方方向相反，...a//。，8對,

若［.展=bZ，則（a—垃?c=。,BP（a-b）lc,不能推出。//〃，C錯,

若〃?4=。為，則|〃|=|。|,〃與b方向不?定相同，不能推出a=b，〃錯，

故選：ACD.

8.（多選M2020?山東臨沂市?高一期末）已知〃，兒c是同一平面內(nèi)的三個向量，下列命題中正確的是（）

A.\a-b\<\a\\b\

B.若〃?〃=（?/且人。0，則。=c

C.兩個非零向量a,b，若|。一〃1=1〃|+|bI，則4與〃共線且反向

D.已知a=（1,2）,匕=（1,1）,且d與。+肪的夾角為銳角，則實數(shù)X的取值范圍是

【答案】AC

【解析】對于A,由平面向量數(shù)量積定義可知,聞=同|小。5?用，則|。2區(qū)也|屹|,所以/正確，

對于B,當。與d都和/，垂直時，4與c的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B錯誤，

對于C,兩個非零向量4,b，若l=|a|+|5|,可得（「一力）2=（區(qū)|+|力|）2,即-25.方=2|5向，

cos6=-l,

則兩個向量的夾角為萬，則。與b共線且反向，故C正確；

對于D,己知。=（1,2）,。=（1,1）口高與Q+丸人的夾角為銳角，

可得5?（5+Ab）>0W|a|2+必./?>0可得5+34>0,解得X>——,

當4與&+的夾角為。時，』+4?=（1+42+4），所以2+2之=2+2=2=。

所以a與a+Xb的夾角為銳角時4＞一（且丸。0,故D錯誤；

故選:AC.

9.（2020.浙江高一期末）已知卜卜忖=Q/=2,c=（2—4%）o+/lb,則（c—的最小值為

【答案】一4三9

52

【解析】c-a=（l-4^a+Ab,0一。=（2—4/1）〃+（4—l）b,

（c-。）?卜-人）=［（1-44）a+/l〃］?［（2-44）Q+GM可

=（16萬—122+2）J+（—8川+7X—1”為+（%—；Qz/,

代入"=W=a,8=2,

原式=52/2-384+6，

1949

二當九=不時，原式最小值為一丁.

5252

49

故答案為：一￡：

52

10.（2020?湖北高一開學考試）在/,A5C中，已知A5=2，|CA+Ci?h|CA—C5|,

cos24+2sin2g|C=l,則胡在BC方向上的投影為.

【答案】6

【解析】因為|CA+CB|=|C4-CB|,所以（CA+C月丫=（C4—CB『

IT

所以C4c6=0，即C=5

因為cos2A+2sin2'+°=i,所以cos2A+2sin?^~~—=1BPcos2A+2sin2—=1,即

222

cos24+cosA=0,所以2cos2A+cosA-l=0解得cosA=-l或cosA=，

2

因為工］,所以cosA='，即人=工，所以8=工，

I2）236

因為AB=2,所以3c=2sinA=

所以BA在8c方向上的投影為卜4=6

故答案為：\/3

【點睛】

本題考查平面向量的幾何意義，屬于中檔題.

11.（2020?浙江杭州市?高一一期末）已知平面向量“力，其中|a|=2,g|=l,的夾角是?，則,一2可=

；若f為任意實數(shù)，則,+必|的最小值為

【答案】2V3

TT

【解析】由題意，平面向量a,b,其中|a|=2,|6|=l,“力的夾角是彳，

可得=|?|-|z?|cosJ|-=2xlxcosJ|-=l,

則,一2司=pz|+4慟-=4+4—4x1=4,所以‘一2<=2,

又由卜+f可=J（a+力f+2ta-b+t~b=\Jt2+2t+4=?t+l￥+3?

所以當/=一1時，,+破的最小值為技

故答案為：2；6

12.（2020?天津市濱海新區(qū)大港太平村中學高一期末）在，ABC中，AB=2,AC=3,N84C=120。,

uuuuuu1一

。是8C中點，E在邊AC上，AE=AAC'ADBE=-,則|AO|=,4的值為_.

【答案】且1

23

【解析】因為AB=2，AC=3./區(qū)4。=12()°,所以48乂右=+8,4485120=—3,

由題意A0=；(A6+AC),BE=BA+AE=AAC-AB'

所以I3舫+AC)[=；(他2+2A5AC+A。]

所以卜。卜等；

由=g可得g(A8+ACj-(/lAC——1)A8.AC—(AB?

解得A=—.

3

故答案為：-^―；—.

23

13.（2020?湖北黃岡市?高一期末）已知向量品與向量成的夾角為?，且同=1,惻=3,〃?（〃—癡）=0.

（1）求之的值

(2)記向量力與向量3〃一機的夾角為。，求cos26.

【答案】(1)2=