高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化 2 數(shù)列 第4講 數(shù)列求和教學(xué)案 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)教學(xué)案

第4講數(shù)列求和

考綱要求真題統(tǒng)計命題規(guī)律鎖定題型

分析近五年全國卷發(fā)現(xiàn)高考命1.數(shù)列中Q.與

2017年I卷Tu；2017年11卷T“；

了解數(shù)列的遞推關(guān)系，能題有以下規(guī)律：\的關(guān)系

2016年11卷I,；2015年I卷T”；

用等差、等比數(shù)列前n項數(shù)列求和常以4與S”的關(guān)系為2.裂項相消法

和公式求一些特殊數(shù)列2015年D卷T32013年I卷T“；載體，重點(diǎn)考查分組轉(zhuǎn)化求和、求和

的和.2013年I卷Tn裂項相消法求和及緒位相減法3.錯位相減法

求和，難度中等.求和

題型1數(shù)列中%與s,的關(guān)系

(對應(yīng)學(xué)生用書第11頁)

■核心知識儲備.............

1.數(shù)列｛aj中，與S的關(guān)系:

Sin=1,

a?=\

_S,—S,r-\.

2.求數(shù)列｛&｝通項的方法：

(1)疊加法

形如a〃一a“-i=f(〃)(〃》2)的數(shù)列應(yīng)用疊加法求通項公式，劣=&+￡f(4)(和可求).

k=2

(2)疊乘法

形如旦=『(〃)(〃》2)的數(shù)列應(yīng)用疊乘法求通項公式，金=&.....(積可

3n-\3\&3n-\

求).

(3)待定系數(shù)法

形如%=4a0-i+〃(/?22,八￥1,〃W0)的數(shù)列應(yīng)用待定系數(shù)法求通項公式，&+

彳、=蘭開)(構(gòu)造新數(shù)列卜,為等比數(shù)列).

■典題試解尋法.........................................................

【典題1】(考查已知a與S的遞推關(guān)系求$)已知數(shù)列｛a.｝滿足a.+,=3a?+2.若首項a

=2,則數(shù)列｛為｝的前〃項和S,=.

［解析］因為a?+i—3a?+2,所以a?+i+1—3(a?+1),故｛a0+l｝是以a】+l=3為首

項，3為公比的等比數(shù)列，

所以a〃+1=3",所以a,-3"—1.

&+a?+…+a=(3'-1)+(32-1)+???+(3"-1)=(3'+3?+…+3")—〃=

31一3”3"+'-3

n=-~——/?,

1-3

Q〃+1___Q3flll-2n-3

所以

3"+'—2〃-3

2

【典題2】（考查已知a與S的遞推關(guān)系求&）數(shù)列1｝中，a=l,S,為數(shù)列｛a,,｝的前〃項

和，且滿足K^=1（〃》2）.求數(shù)列｛a〃｝的通項公式.

3〃

［解］由已知，當(dāng)〃12時，〈二*=1，

aQn

匚匚1、12S,-Sn-1

所以G—<?q_,=］?

2SLSn-\.111

即——：一-：-=1,r所r以彳一丁=5?

1OnJRO/j—1/

又S=a=l,

所以數(shù)列是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,

所以白=1+)(〃-1)

即Sn="?.?

/?+1

222

所以當(dāng)〃22時,

/?+1nnn+1*

1,〃=1,

因此a=<2

心2.

刀+1

匚類題通法］

給出S與&的遞推關(guān)系，求融,常用思路：一是利用S—Si=&刀22轉(zhuǎn)化為為

的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為S的遞推關(guān)系，先求出S與力之間的關(guān)

系，再求為.

提醒：在利用&=S-S-〃22求通項公式時，務(wù)必驗證〃=1時的情形

■對點(diǎn)即時訓(xùn)練.........................................................

1.己知數(shù)列｛a｝滿足4+1=7^-,若a=.，則/018=（）

La2

1

-

A.-1B.2

2

C.1D.

X111

一

=-企-

夕I

D［由H1=W，&+】=-；,得32~~金X-a

21—3fl1-a

=2,…，

于是歸納可得凝-2=5，&〃一1=2,a〃=-1，因此石2018=4x672+2=2.故選D.］

2.已知數(shù)列｛a｝前〃項和為S,若6=2a-2",則3=.

〃?2"（〃￡N*）［由S=2&-2〃得當(dāng)〃=1時、5=51=2；當(dāng)〃22時，S=2（S-ST）

一2",即%/=1,所以數(shù)歹薛|是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，則%=〃，$

乙乙［乙I乙

=〃?2"（〃22）,當(dāng)〃=1時，也符合上式，所以S,=〃?2"（〃GN*）.］

■題型強(qiáng)化集訓(xùn).........................................................

（見專題限時集訓(xùn)"、Tz、%、T“、T5,TT、8、TIO、Tn,T12）

題型2裂項相消法求和（答題模板）

（對應(yīng)學(xué)生用書第12頁）

裂項相消法是指把數(shù)列與式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方

法，主要適用于］或（其中｛a｝為等差數(shù)列）等形式的數(shù)列求

［a?an+ij［a?a?+2j

和.（2017?全國U卷Tis、2015?全國I卷Tn,2015?全國H卷Tie）

■典題試解尋法.........................................................

【典題】（本小題滿分12分）（2015?全國I卷）$為數(shù)列｛a〃｝的前〃項和.已知4>0,

a：+2a°=4$+3

（1）求｛a,,｝的通項公式;

（2）設(shè)&='一，②求數(shù)列｛4｝的前n項和.

【導(dǎo)學(xué)號：07804027）

［審題指導(dǎo)］

題眼挖掘關(guān)鍵信息

看到4+2&=4W+3,

①

想到H3+24+I=4S〃+I+3,兩式作差，求{&}.

看到bn—,

②&也〃+1

想到先求兒,想到能否裂項.

［規(guī)范解答］⑴由W+2%=4S+3,可知苒+i+2d+i=4S+i+3.1分

兩式相減可得成十1一看+2(a+1-&)=44+1,2分

④

即2a〃+i+&=an+\—a?=a〃+i+&an+\—an

由于%>0,所以&+i—a〃=2.4分

又由J+2a=4d+3,解得&=-1(舍去)或ai=3.5分

所以｛a｝是首項為3,公差為2的等差數(shù)列，通項公式為a=2〃+1.6分

1If1111

=

⑵由a”=2〃+1可知bt,~~'-

QnQn+12〃+12〃+32<2/?+12n+3)\

設(shè)數(shù)列｛6〃｝的前〃項和為Tn,則62H---\-bn=

1(11、

+…+尸32；；312分

23-5+5-712/7+12〃+3,

［閱卷者說］

易錯點(diǎn)防范措施

A=SLS,T("22)是聯(lián)系&與S,的橋梁，

③忽視a與S,的關(guān)系導(dǎo)致思路不清.

常借助其實現(xiàn)互化關(guān)系.

當(dāng)?shù)仁街谐霈F(xiàn)二元二次方程時，?？紤]因

④忽視化筒、因式分解致誤.

式分解.

對題設(shè)條件可適當(dāng)標(biāo)注，以引起注意，同

⑤忽視題設(shè)條件a”>0,導(dǎo)致增解.

時解題后要反思總結(jié).

形如L|的數(shù)列常用裂項相消法求和，

⑥忽視裂項或裂項后與原式不等價.

裂項后要注意系數(shù)的變化.

［類題通法］

裂項相消法的基本思想就是把通項&分拆成a=6〃+*—k，l,AeN*的形式，常

見的裂項方式有:

n

(2(2n-l)(2n+1)=Tl.2n-1~In+1J；

(3)------\=：(Yn+k-7).

+加+LA

提醒：在裂項變形時，務(wù)必注意裂項前的系數(shù).

■對點(diǎn)即時訓(xùn)練.........................................................

(2017?鄭州第三次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列｛&｝的前〃項和為S,a=-2,且滿足S,=1a,

+i+刀+1(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛品｝的通項公式；

(2)若4=log3(—a,+l),設(shè)數(shù)列的前〃項和為Z”求證：7；<|

｛DnOn+2｝4

［解］⑴由￡=24+1+〃+1(〃￡N*),得Si=，&+〃(/?22,刀CN"),

兩式相減，并化簡，得劣+1=3a-2,

即為+I—1—3(a?—1),又ai—1——2—1———3W0,

所以｛a一1｝是以一3為首項，3為公比的等比數(shù)列，

所以a-1=(-3)M'l三一3".

故an——3"+1.

(2)證明：由&=log3(—a“+l)=log33”=〃，得三一=----TT-=［：-7^7?)，

〃+2nnI乙ni乙)

1<,1,11,11,,11,11A1/,,111A3

方…+羨丁衽7+廠肅廣井+5-石丁同丁

2/?+33

2〃+1〃+2

■題型強(qiáng)化集訓(xùn).........................................................

(見專題限時集訓(xùn)116、8、Tl3)

題型3錯位相減法求和

(對應(yīng)學(xué)生用書第13頁)

■核心知識儲備.........................................................

錯位相減法：用于等差數(shù)列｛a｝,等比數(shù)列｛4｝構(gòu)成的數(shù)列｛&&｝,乘公比q作差.

■典題試解尋法.........................................................

【典題】設(shè)數(shù)列｛&｝滿足團(tuán)+3a+3，+…+3i&〃eN*.

(1)求數(shù)列｛a,J的通項公式；

(2)設(shè)b?=~,求數(shù)列｛4｝的前n項和S“.

【導(dǎo)學(xué)號：07804028］

［解］(1)因為3i+3d2+3/+…+3"￡=§,①

n—1

1=

所以當(dāng)時，a+3/+32a3+…+3"an-\~~，②

由①一②得3"-%〃=；,所以為=［(〃22).

OO

在①中，令〃=1,得&適合&=/

所以a="(/?￡N*).

<5

(2)證明：由(1)可得4=?=〃X3",

123n

51=lX3+2X3+3X3+-+nX3,③

3S,=lX32+2X3；i+3X3'+-+z?X3n+1,④

31—3”

由③一④得一2S=3+32+33+3'+…+3"—〃X3"+'=--~~;-------nX3n+',

1—3

.3,2/7-1X3n+I

故S=］+----------------------

［類題通法］用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：

1要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.

2在寫出“S”與“gS”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下

一步準(zhǔn)確地寫出“SkqS”的表達(dá)式.

3應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1,如果不能確定公比g是否

為1,應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，這在以前的高考中經(jīng)?？疾?

■對點(diǎn)即時訓(xùn)練.........................................................

已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”公比q>0,S=2a2-2,8=&-2.

(1)求數(shù)列｛&｝的通項公式；

(2)設(shè)b?=~,求｛&,｝的前n項和T?.

an

［解］(1)￡=24一2①，5=4-2②,

②一①得d3=a-24，則02—g—2=0,

又丁。〉。，:?q=2.

???$=2/一2,

??功+愚=202-2,

??H1+<31<7--2c?iQ2,

??&=2.

.?.4=2".

⑵由⑴知bn=?

???北片+春+抖…葉/?—1,n

/7-1,n

7=打曰+1+…■+2.2

錯位相減得

1n

可得北=2一亨.

■題型強(qiáng)化集訓(xùn).........................................................

（見專題限時集訓(xùn)T”）

三年真題I驗收復(fù)習(xí)效果

（對應(yīng)學(xué)生用書第14頁）

1.（2017?全國I卷）幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟

件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活

碼工石-S

碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列*****

1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項是2°,接下來的兩項是2°'2'，再接

下來的三項是2°2寸，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)AA100且該數(shù)列的前

1項和為2的整數(shù)累.那么該款軟件的激活碼是（）

A.440B.330

C.220D.110

A［設(shè)首項為第1組，接下來的兩項為第2組，再接下來的三項為第3組，依此類推,

i+n

則第〃組的項數(shù)為〃,前〃組的項數(shù)和為巴

2

由題意知，A>100,令">100今〃》14且〃GN*,即/V出現(xiàn)在第13組之后.

n//

第）組的各項和為11—=92"-1,前」組所有項的和9為[1—09—三=2"1—2—〃.

設(shè)"是第/7+1組的第〃項，若要使前/V項和為2的整數(shù)基，則N」’項的和

即第n+1組的前4項的和2X-1應(yīng)與一2一〃互為相反數(shù)，即2"-1=2+〃（AGM,

29X1+29

77^14）,A=log2（〃+3）=〃最小為29,此時衣=5,則A?二----------

故選A.]

n|

2.（2017?全國n卷）等差數(shù)列｛&｝的前〃項和為s，a3=3,S,=10,則人各鼠二

k

碼上打一行

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【導(dǎo)學(xué)號：07804029]

2〃

^+1[設(shè)等差數(shù)列｛4