高中數(shù)學(xué)必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題(高難度) (42)(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題（高難度）（42）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共11小題，共55.（）分）

1.在三棱錐S-4BC中，SA=BC=V41-SB=AC=5,SC=AB=V34,則三棱錐S-ABC外接

球的表面積為

A.257rB.25V2TTC.50兀D.50V2TT

2.如圖所示，在△ABC中，AB=BC=2,乙4BC=120。.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)

D,滿足P0=04,PB=BA,則四面體PBCD的體積的最大值為（）

3.在四棱錐P-ABC。中，PA=2,PB=PC=PD=巾，AB=AD=V7，BC=CD=2,則四

棱錐P—ABC。的體積為

A.2A/3B.V3C.V5D.3

4.在△ABC中，4c=90。，AB=2,AC=6,。為AC上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將△BCD沿直線

折起，使點(diǎn)C在平面AB。上的射影。在線段AB上，則線段08的取值范圍是（）

A.（|,1）B.G凈C.弓,1）D.（0,f）

5.在四棱錐P—ABCD中，PA=2,PB=PC=PD=V7，AB=AD=巾，BC=CD=2,則四

棱錐P-4BCD的體積為

A.2V3B.V3C.V5D.3

6.已知正四棱錐P-力BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，該四棱錐的五個(gè)面所在的平面截球面所

得的圓大小相同，若正四棱錐P—力BCD的高為2,則球。的表面積為（）

A.87rB.97rC.127rD.16兀

7.已知邊長(zhǎng)為1的菱形ABC。中，Z4=p則用斜二測(cè)畫法畫出這個(gè)菱形的直觀圖的面積為（）

A更B.更C.亞D.在

2468

8.體積為旭的三棱錐a-BCD中，BC=AC=BD=AD=3,CD=2岳,AB<2近,則該三棱

3

錐外接球的表面積為

A.20兀B.jTTC.汾D.*

9.如圖所示，三棱錐S—4BC中，△ABC與△SBC都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，S4=|，若5,4B,

C四點(diǎn)都在球。的表面上，則球。的表面積為（）

10.已知正四棱錐P-ABCO的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，該四棱錐的五個(gè)面所在的平面截球面所

得的圓大小相同，若正四棱錐P-ABCC的高為2,則球。的表面積為（）

A.87rB.97rC.127rD.167r

11.在正方體4BC0-4BiCiDi中，點(diǎn)M,N,P分別在DiG上，M為441的中點(diǎn)，

氏=籍=2,過點(diǎn)A作平面a,使得BG_La,若an平面&B1GD1=?n,戊口平面時(shí)可。=九,

則直線m與直線H所成的角的正切值為

A.巫B.2C.立D.在

7772

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共1小題，共4.0分）

12.下面四個(gè)正方體圖形中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得

三、填空題（本大題共8小題，共40.0分）

13.在四棱錐S-ABCD中，底面四邊形ABC。為矩形，S4平面ABCQ,P,。分別是線段BS,AD

的中點(diǎn)，點(diǎn)R在線段S。上.若4S=4,AD=2,AR1PQ,則4R=.

14.設(shè)m匕是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題：

①若alb,ala,貝肪〃a；②若Q_L0,a10,則0/a；

③若a〃a,a1S，則a1伙④若a1b,ala,b10,則a_L。，

其中正確的命題序號(hào)是.

15.在三棱錐S—ABC中，/SAB=/SAC=Z.ACB=90°,AC=2,BC=y[13,SB=回,則異面

直線SC與AB所成角的余弦值為.

16.如圖，在直角三角形P2C中，PCIBC,PC=3,8c是一條長(zhǎng)度在變動(dòng)的線段，且BC<PC,

PC上存在一點(diǎn)。滿足CO=CB,過點(diǎn)。作。E〃8c交P2于點(diǎn)E,沿DE將四邊形BCDE折起，

使點(diǎn)8和點(diǎn)C分別到達(dá)點(diǎn)B'和點(diǎn)C'的位置，且平面B'C'DE，平面PDE,則當(dāng)團(tuán)PDE的面積取得

最大值時(shí)，線段PC'的長(zhǎng)度為.

r

17.在一個(gè)半徑為2的鋼球內(nèi)放置一個(gè)用來盛特殊液體的正四棱柱容器，要使該容器所盛液體盡可

能多，則該容器的高應(yīng)為.

18.設(shè)P,A,B,C為球。表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA,P8,PC兩兩垂直，且24=2m,PB=3m,PC=4小,則

球O的表面積為m2.

19.如圖，己知三棱錐P—4BC滿足PA=PB=PC=4B=2,AC1BC,

則該三棱錐外接球的體積為.

CB

20.如圖四邊形A8CD為梯形，AD//BC,乙4BC=90。，則圖中陰

影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為,體

四、解答題(本大題共10小題，共120.0分)

21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC1底面4BCQ,底面ABC。是直角梯形，AB1AD,AB//CD,

AB=2AD=2CD=2,PC=4,E為線段PB上一點(diǎn).

(1)求證：平面EAC1平面尸BC；

(2)若點(diǎn)E滿足囂=；,求二面角P—AC-E的余弦值.

or3

22.如圖，四棱錐尸一4BCO中，底面為直角梯形=90°,AB=2CD=4,PA1CD,

在銳角回PAD中，E是邊PO上一點(diǎn)，且A。=P0=3E0=3低.

p

(1)求證：PB〃平面ACE；

(2)當(dāng)PA的長(zhǎng)為何值時(shí)，AC與平面PC。所成的角為30°?

23.在四棱錐P-ABCD中，平面P4C，平面ABC。，且有4B〃DC,AC=CD=DA=^AB.

A

(1)證明：BCA.PA

(2)若P4=PC=AC,求平面PAO與平面PBC所成的銳二面角的余弦值.

24.如圖，在三棱柱SBC—4BiG中，側(cè)面A&GC1底面ABC,E為CC1的中點(diǎn)，AF=2FB.

(1)求證：BCi〃平面4EF;

(2)若AC=Aa=2,AB=BC=y[2,44AC=60。，求四棱錐。一BFA/i的體積.

25.如圖，已知正三棱柱48。一公當(dāng)6，。是AB的中點(diǎn)，E是GC的中點(diǎn)，且4B=1,AAr=2.

(1)證明：CD〃平面4EB；

(2)求點(diǎn)兒到平面8QE的距離.

26.如圖，矩形A8CZ)所在平面與半圓弧前所在平面垂直，M是加上異于C,。的點(diǎn).

(1)證明：平面4M01平面8MC；

(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC〃平面P8D?說明理由.

27.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是矩形，PA=PD=色，PB=PC=屜,

乙4PB=4CPD=90。，點(diǎn)M,N分別是棱BC,PQ的中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面PAB；

(2)若平面P4B工平面PCD,求直線MN與平面PCC所成角的正弦值.

28.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CZ)是平行四邊形，PA=PC=V3.PB=PD=遍，

(1)證明：I"AB；

(2)若平面24B_L平面PCD,求四棱錐P-4BCD的體積.

29.如圖1,在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，D,E分別為邊4C,4B的中點(diǎn)，將4AED沿EO折起，使

WAB1AD,AC1AE,得到如圖2的四棱錐A-BCDE,連結(jié)8￡>,CE,且8。與CE交于點(diǎn)H.

(1)求證：AH1平面8CQE；

(2)求二面角B-AE-D的余弦值.

30.如圖，在四棱錐P-4BC。中，底面A8C。是平行四邊形，PA=PC=V3，PB=PD=展,

(1)證明：I//AB.

(2)若平面PAB1平面PC。，求四棱錐P-ABCD的體積.

【答案與解析】

1.答案：c

解析：

本題考查球的表面積，空間幾何體的外接球，屬中檔題.

解：?.,三棱錐S-48C中，SA=BC=V41-SB=AC=5,SC=AB=V34，

二構(gòu)造長(zhǎng)方體，使得面上的對(duì)角線長(zhǎng)分別為屈，5,V34.

則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于三棱錐S-4BC外接球的直徑.

設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為x,y,z,貝Ux2+y2=41,y2+z2=25,x2+z2=34,

???x2+y2+z2=50.

???三棱錐S-ABC外接球的直徑為同，

???三棱錐S-4BC外接球的表面積為47r（釣=507r.

故選C.

2.答案：B

解析：

本題考查體積最大值的計(jì)算，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于難題.

由題意，4ABD3APBD,可以理解為△PBZ）是由△ABD繞著8力旋轉(zhuǎn)得到的，對(duì)于每段固定的AO,

底面積BCD為定值，要使得體積最大，△PBD必定垂直于平面ABC,此時(shí)高最大，體積也最大.

解：由題意可知，AABDmAPB。，可以看成是AaBO繞8。軸旋轉(zhuǎn)形成的.

點(diǎn)。在邊AC上每選定一個(gè)位置，則底面△8C0的面積就為定值，此時(shí)，當(dāng)平面尸8。垂直于底面BCD

時(shí)，四面體尸88的體積就取最大值.

此時(shí)過點(diǎn)P作8。的垂線，則該垂線即為三棱錐P-BCD的高，且高等于AABD中8。邊上的高線

AE,如圖所示：

E

在小ABC中，AB=BC=2,/.ABC=120°,則4c=2舊.

設(shè)40=x(0<x<2回，則S?BCD=\BC-COsin30°=|x2(2%-x)x1=V3-

在^ABD中，由余弦定理，可得B。=V22+x2-2X2xcos300=J(x-V3)2+1-

x

"SMB。=gX2xsin30°=^BD-AE,"AE~.*+/

???四面體PBCD的體積"=2.4ET(6->信羸=；^=

(x-V3)2—3I2A2

=一6*二)2+1,設(shè)m=J(x-V3)2+1(1<m<2)，則V=-登=+

?.?函數(shù)廠=一？+1■在［1,2)上單調(diào)遞減，.??當(dāng)m=l,即％=b，即點(diǎn)力為邊AC的中點(diǎn)時(shí)，

o37H

V=-3+2；取得最大值，最大值為嗑ax=-5+?=a

o37nooz

故選從

3.答案：D

解析：

本題考查四棱錐的體積，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

先證明B。_L平面尸AC,此時(shí)轉(zhuǎn)化為Vp_A8co=：SAPAC,BD,再設(shè)B。=x,在APAC中，構(gòu)造等式

cos"。?!+cos"OC=0求出x的值，即可分別求出2D=2x=2遮，5“北=手，再代入公式就

可求解.

解：如圖所示:

p

連接AC,BD,記交點(diǎn)為O,

由于AB=AD=b，BC=CD=2,則。為3。的中點(diǎn)，

則BD_L4C,

連接尸O,在△P8D中，由于PB=PD,

貝IJBO1PO,

而P。n/C=。，

則BD1平面PAC,

故力-ABCD—^P-ABC+^P-ACD

=^B-PAC+^D-PAC

11

=^SAPHC.BO+-S^pAC-DO

~,BD9

設(shè)B。=%,

則04=V7—x2,OC—V4—x2,OP=V7—%2,

則匕-*：>?，得0</<4,

在

由于ZPOA4-Z.POC=n,

則cos/POA+cos乙POC=0,

222

ABOA2+OP2-AP2,OC+OP-PC八

付-----------------------=0

2OAOP2OCOP

||,I7-X2+7-X2-44-X2+7-X2-7_八

、2,7r2W7r22V4-X2-V7-X2'

化簡(jiǎn)得：若馬=言，

V7rzV4-x2

兩邊平方整理得，x4-Ux2+24=0,

即(7一3)(/-8)=0,

由于0</<%

得/=3,

故。4=1,OC=2,BD=2x=2\/3.

又在△P4。中，

AO=2,AP=2,OP=2,

故NPA。=60°,

則SAPAC=~^APXACXsin600=ix2x3x—=—,

1r\lx2222

故％iBCD=|5AP4C-BD=|x^x2V3=3，

故選〃.

4.答案：A

解析：

本題考查立體幾何中的折疊問題及余弦定理的應(yīng)用，屬于較難題，要分清折疊前后量的變化情況，

設(shè)CD=3t6(0,8)，用，表示x是關(guān)鍵.

先求出△4BC的邊和角，設(shè)OB=x,CO=t,&0=萬不，在△A。。中應(yīng)用余弦定理，化簡(jiǎn)后用

f表示x,分析判斷x的范圍即可.

解：因?yàn)镽taABC,斜邊AB=2,AC=W，

BC=>JAB2-AC2=1

???〃=30°,

ct

如圖，設(shè)OB=x,CD=t,C]O=V1-x2>

△中，OD2=AD2+AO2-2ADxAOcos/.DAB

=(V3—t)2+(2—x)2_2(V^_t)(2—x)x—,

由題意知，6。，平面48。，

則G。1OD,

22

又Ci。=CD=t,C。=Ct0+OD,

則t2=1-x2+(V3-t)2+(2-%)2-V3(V3-t)(2-x)-

整理得”=品Pt(0,V3)，

21

則1+gte(1,4),1+^t,2),

又因?yàn)镃O=41一婷,所以x<i,

則x的取值范圍是c，i).

故選A.

5.答案：D

解析：

本題考查棱錐的體積公式，線面垂直的性質(zhì)，余弦定理解三角形的應(yīng)用，屬于較難題.

根據(jù)題意中的數(shù)據(jù)8014C,且點(diǎn)尸在平面A8CD的投影為ACB。的外心。，根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)以及余弦定理求解出AO,0C,P0等線段的長(zhǎng)度即可求解四棱錐P-ABC。的體積

解：在四邊形4BC。中，因?yàn)?B=AC=b，BC=CD=2,AC^AC,

所以△ABC三△/WC,所以NB4C=〃MC,ABCA=ADCA,

所以AC垂直且平分BD.

設(shè)E為4c與8。的交點(diǎn)，△BCD的外心為0,可知0在直線AC上，連接P0,如圖所示：

B

C

因?yàn)镻B=PC=PD=6所以點(diǎn)尸在平面A8CD的投影為△以/)的外心。，即P。，平面

因?yàn)?Cu平面A3CO,所以尸。_L4C,

又因?yàn)槭?8C,AB=PC,AC=ACf所以△48CmzkCP4,

???Z-PCA=Z.BAC,記04=a,OB=0C=b,

則cos"C4=-7==cosZ-BAO=a+7~b>即2ab=a24-7—Z?2,①

V72xV7a7

在APAC中，P02=4-a2=7-b2,②

聯(lián)立①②，解得a=1,b=2,則P。=V3，

cosZ-AOB=:+：7=—gsinZ.BOE=—=—,BE=A/3，

NX1XNL.22

故四棱錐P-4BCD的體積為V=|x1x(1+2)x2V3xV3=3.

故選。.

6.答案：A

解析：

本題考查棱錐的定義，以及球的表面積公式，屬于中檔題.

首先求出正四棱錐P-4BCD的側(cè)棱長(zhǎng)，再求出球。的半徑，從而得到求。的表面積.

解：設(shè)正四棱錐P-4BCD的底面邊長(zhǎng)為a,則側(cè)棱長(zhǎng)為PA=］（等）2+22=必;任,

2a2+16,2a2+162I--------------

所以COSN4PB=三1U=募所以sin〃PB=1-（勺尸=嗎巫，

z272

，2Q2+16，2a?+i6a+8yl''a+8a+8

22

由于四棱錐的五個(gè)面所在的平面截球面所得的圓大小相同，所以三角形/MB的外接圓半徑為五a,

2

所以由正弦定理得^^^=2*梟，解得：。2=8立一8，

a2+8

設(shè)球。的外接圓半徑為，，所以"=（2-r）2+（￥a）2,解得「=y=我產(chǎn)=或，

所以球。的表面積為47n'2=4n（e）2?8叫

故選A.

7.答案：D

解析:

本題考查了平面圖形面積與斜二測(cè)法畫直觀圖的面積比應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

求出菱形ABCO的面積，再根據(jù)平面圖形的面積與斜二測(cè)面法的直觀圖面積比為2魚：1,求出即可.

解：菱形ABCQ中，AB=1,=

則菱形的面積為S號(hào)族BCD=2SAABD=2x：x1x1xsing=乎;

所以用斜二測(cè)面法畫出這個(gè)菱形的直觀圖面積為

cV3_

S_,菱形4BCD_可_也

―242_2>[2.8

故選：D.

8.答案：B

解析：

本題考查三棱錐的體積，考查球的表面積，考查錐體的外接球問題，屬于難題.

求出AB的長(zhǎng)，確定出三棱錐，建立空間直角坐標(biāo)系，求出半徑即可.

解：考慮極限情況，在長(zhǎng)方體中，如圖所示（48分別為長(zhǎng)方體棱上的中點(diǎn)），

BC=AC=BD=AD=3,CD=26，則4CBDSACAD,

設(shè)。為CO中點(diǎn)，易得C0=00=遍，OB=OA=」32_（相）2=2,

則在Rt△。力B中，AB=V22+22=2>/2,

而根據(jù)題干信息SB<2注，則點(diǎn)8在上圖中的Q（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)運(yùn)動(dòng)到三棱錐4-BCD的體積為拶時(shí)，此時(shí)的三棱錐如圖所示（0’8為三棱錐的高）:

由幾何關(guān)系可得44co的面積為S-cD=\\CD\-\0A\=2V5,

故以-BCD=1X2V5X\B0'\=萼，解得出。，|=V3，

則在RtAOBO'中，B0=2,\B0'\貝1」。0'=1,

而。4=2,則40'=1,則8為MN中點(diǎn)（M,N分別為對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體棱上的中點(diǎn)），

而在△4CD中，AD^AC,。為CD中點(diǎn)，sm^DAO=—，cosz.DAO=

33

由二倍角公式可得sin/DAC=延，

9

設(shè)^ACD的外接圓半徑為r,則利用正弦定理可得2r=

sinz.DAO

解得r=p

而4D=4C,。為CD中點(diǎn)，所以AaCD的外接圓圓心一定在OA所在的直線上，

而r=2>04=2,故外接圓圓心在。4的延長(zhǎng)線上，

4

設(shè)該三棱錐的外接球的球心為P,01為AAC。的外接圓圓心，則014=￡

則POi1底面01C4D,

而014u底面OiCAD,故P0110通,

而CD140「

設(shè)三棱錐外接球的半徑為R,

故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（。1為原點(diǎn)，?！閥軸，P0］為z軸，CQ的平行線為x軸）:

設(shè)p（0,0,z）則a（o,：,o）,s（0,；,V3）,

則|PB|=\PA\=R,

則靠+9-8）2=，+z2=R，

解得z=-"（說明P在上圖所示的z軸的負(fù)半軸上）,

則R2=工，

故外接球的表面積S=4nR2=yTT.

故選員

9.答案：A

解析:

本題考查線面垂直的判定，余弦定理，球的表面積公式的應(yīng)用，考查分析和空間想象能力，屬于中

檔題.

取線段BC的中點(diǎn)。，連接SD,由已知可證BC1平面ADS,Z4DS=箏再分別取線段A。，SD

的三等分點(diǎn)E,『（中心），在平面AOS內(nèi)，過點(diǎn)E,F分別作直線垂直于A。，SD,兩條直線的交點(diǎn)

即球心。，連接0A,則球。半徑R=|。川.根據(jù)三角形知識(shí)可求。川，代入球的表面積公式即解.

B

解：取線段8c的中點(diǎn)。，連接A。，SD,

???△ABC與△SBC都是邊長(zhǎng)為1的正三角形,

???AD1BC,SD1BC,AD=SD=—,

2

???BC1平面ADS,

/SAD中，又S4=|,

m+sM-s/

???cosZ-ADS=一1,

2XADXSD2

因?yàn)?)<NASD<7T,NAOS=胃，

由于BC1平面AQS,分別取線段AC,SO的三等分點(diǎn)E,F(中心)，

在平面ADS內(nèi)，過點(diǎn)E,F分別作直線垂直于A。，SD,兩條直線的交點(diǎn)即球心0,連接0A,則球

。半徑R=\0A\.

易知DE=^AD=且，AE=-AD=—，連接。。，

3633

^.Rt^ODE^,?■-AODE=^,OF=V3DE=I，OA2=OE2+AE2=^,

故球。的表面積為4TTR2=

故選A.

10.答案：A

解析：

本題考查棱錐的定義，以及球的表面積公式，屬于較難題.

首先求出正四棱錐P-4BC。的底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱長(zhǎng)，再求出球。的半徑，從而得到球。的表面積.

解：設(shè)正四棱錐P-ABC。的底面邊長(zhǎng)為a,

則側(cè)棱長(zhǎng)為24=J（與尸+22=等至，

2a2+16?2a2+16@2

所以cos乙4PB=—7==^===

/2。2+16J2a2+16az+8

22

所以sin"PB=2

\ka2+87a+8

由于四棱錐的五個(gè)面所在的平面截球面所得的圓大小相同，

所以三角形PAB的外接圓半徑為立a，

2

a八，魚

所以由正弦定理得訴不=2x三巴解得：。2=8a-8,

a2+8

設(shè)球0的外接圓半徑為\所以N=（2—「）2+（孝a）2,

解得r=貯坦=842-8+8=魚，

88

所以球O的表面積為47n'2=4TT（V2）2=8TT,

故選A.

11.答案：A

解析:

本題考查空間線線、線面、面面的平行與垂直關(guān)系，考查考生的空間想象能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和直

觀想象能力.

補(bǔ)正方體作平面MNP與正方體力BCD-4遇傳1。1的截面，設(shè)AB=3,易知

AE=AF=2,即可證得BG1平面4B/，,可得N4FG為直線”1與直線〃所成的角.設(shè)4G=x,GH=y,

而△AEG-AHNG,計(jì)算可得x的值，從而可得直線，”與直線〃所成的角的正切值.

解：如圖，補(bǔ)正方體AB/K作平面MNP與正方體ABCO-4&口久的截面，設(shè)4B=3,

易知AE=AF=2.

易證BGJ.8/,BCi1AB,BIdAB=B,

所以BGJ■平面AB/H,即平面AB〃7為平面a,

所以直線GF為"，直線為〃?，

又H1〃AB,乙4FG為直線m與直線〃所成的角.

設(shè)AG=x,GH=y,而△4EG"HNG,

所以X2解得x=也.

ly5)

在Rt/MGF中，tan/AFG=絲=斐=這，

AF27

故選A.

12.答案：AD

解析:

本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的判斷，結(jié)合線面平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明是解

決本題的關(guān)鍵，為中檔題.

根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理分別進(jìn)行判斷即可.

在A中，連接AC,

則AC〃MN,NP//CB,

又MNCNP=N,MN,NPu平面MNP,

得平面MNP〃平面ABC,

又ABu平面ABC,

力B〃平面MNP,

故月成立：

在8中，若下底面中心為。，

貝ljN0〃4B,NOC面MNP=N,

AB與面MNP不平行,

故8不成立；

在C中，過M作ME〃4B,

則E是中點(diǎn)，

則ME與平面PMN相交，

則A8與平面MNP相交，

AB與面MNP不平行，

故C不成立；

在。中，連接CD,

則AB〃CD,NP//CD,

即4B//PN,PNu平面MNP,AB仁平面MNP,

4B〃平面MNP,

故。成立.

故選：AD.

13.答案:—

5

解析：

本題主要考查幾何體中線段長(zhǎng)度的求解.通過S4L平面ABC。，判斷出，AR1SD,

問題轉(zhuǎn)化為在直角三角形中求斜邊高的問題.

解：取S4的中點(diǎn)E,連接PE,QE.因?yàn)镾A1平面ABC。，4Bu平面ABCO,

所以S414B,而4B_L/W,ADC\SA=A,所以AB_L平面SAC,

故PEI平面SAO,又ARu平面SA。，所以PE14R,

因?yàn)镻ECPQ=P,所以4R_L平面PEQ,

因?yàn)镋Qu平面PEQ,所以ARJLEQ,

因?yàn)镋,。分別為SA,AO的中點(diǎn)，所以EQ〃SC,ARLSD,

在直角三角形ASO中，AS=4,AD=2,可求得力;?=誓.

故答案為延.

5

14.答案：③④

解析：

本題考查了空間線面平行、面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用；熟練掌握定理、正確運(yùn)用是關(guān)

鍵，屬于中檔題.

利用空間線面平行、線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理對(duì)四個(gè)結(jié)論分別分析即可.

解：對(duì)于①，若alb,ala,則匕〃a或者bua,故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，若a_LQ,al￡,則。〃&或者aua,故②錯(cuò)誤;

對(duì)于③，若4/a,alp,則a內(nèi)必有和a平行的直線，且與平面/?垂直,

所以a_LS，故③正確；

對(duì)于④，若a_Lb,ala,則可推出b〃a或bua,

又b工0,可得a-L0,故④正確.

故答案為③④.

15.答案：也

17

解析：

本題考查直線與平面所成的角和余弦定理得應(yīng)用，屬于中檔題.

取BC的中點(diǎn)E,在平面ABC內(nèi)作DE〃/8,交4c于點(diǎn)，在平面SBC內(nèi)作EF〃SC,交SB于點(diǎn)凡

則異面直線SC與AB所成的角為/FED,再在△DEF中，由余弦定理可解結(jié)果.

解：如圖，取8c的中點(diǎn)E,在平面A8C內(nèi)作DE〃/1B,交AC于點(diǎn)。，

在平面SBC內(nèi)作EF〃SC,交SB于點(diǎn)F,

則異面直線SC與AB所成的角為“ED,

過點(diǎn)F作FGJ.4B于點(diǎn)G,連接DG,

則AOFG為直角三角形，

由題意知AC=2,BC=V13，SB=V29，

可得。石;叵，EF=2,DF=-,

22

在△DE尸中，由余弦定理可得cos乙DEF=DEZ+EC-D'=也

2DEEF17

故答案為包.

17

16.答案：V5

解析:

本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理，以及利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于較難題.

由面面垂直的性質(zhì)得PDJ?平面B'C'DE,設(shè)BC=x(0<x<3),求出S”.=：(爐一6/+9%),利

O

用導(dǎo)數(shù)求出x=l時(shí)，APOE的面積取得最大值，從而求出此時(shí)線段P。的長(zhǎng)度.

解：因?yàn)槠矫鍮'C'DEJ_平面P0E,平面B'C'DEC平面POE=OE,PD1DE,

PDu平面PDE,

所以PD1平面B'C'DE.

設(shè)BC=x(0cx<3),則PD=3-x,

在三角形PBC中，第=管，即芋=?，

解得DE=絲至，

3

則SAPDE=\-?(3-%)=I(x3-6/+9x),

則￡=|(3x2-12x+9)=|(x2-4%+3)=j(x-3)(x-1).

令S'<0,得l<x<3,令S'>0,得0cx<1,

所以S在(0,1)遞增，在(1,3)遞減，

故當(dāng)x=1時(shí)，△PDE的面積取得最大值，

此時(shí)，PD=2,DC'=B'C'=1,則PC'=D22+M=b,

故答案為近.

17.答案：逋

3

解析:

本題考查幾何體的位置關(guān)系，幾何體體積的最值問題，難度一般.

設(shè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2a,高為2萬,依題意得出F+2。2=4,計(jì)算正四棱柱的體積U=-4/13+16/1,

利用導(dǎo)數(shù)求得/I=2時(shí)V取得最大值，對(duì)應(yīng)容器的高為位.

33

解：設(shè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2”，高為2/?,依題意得22=/+(近42,即九2+2。2=4,正四棱柱

的體積為V==8八x亨=一4八3+16九，則V'=-12/+16,顯然八6(0,苧)函數(shù)丫遞增,

九6(當(dāng),2)函數(shù)丫遞減，則h=竽時(shí)V取得最大值，此時(shí)容器的高應(yīng)為2%=W.

故答案為也.

3

18.答案：297r

解析：

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的表面積，及球的內(nèi)接多面體，其中根據(jù)已知條件計(jì)算出球0的半徑，是解

答本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

由已知中P,A,B,C是球。表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA,PB,PC兩兩垂直，球的直徑等于以PA,PB,

PC長(zhǎng)為樓長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，我們易求出球。的半徑，進(jìn)而求出球。的表面積.

解：因?yàn)锳,B,C是球。表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA,PB,PC兩兩垂直，

則球的直徑等于以PA,PB,PC長(zhǎng)為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，

且P4=2m,PB-3m,PC=4m,2R=V22+32+42=V29TTI，

則球。的表面積SInrR’29rmJ-

故答案為297r.

19答案：藝迤

27

解析：

本題考查了球的體積，取A8的中點(diǎn)E,先證明PE上平面ABC,易知E為AABC外接圓的圓心，則

三棱錐外接球的球心在PE上，設(shè)三棱錐外接球的半徑為r,由勾股定理可得半徑，從而得出三棱錐

外接球的體積.

解：取A8的中點(diǎn)E,連接CE,則PEJ.AB,

由P4=PB=PC=AB=2,AC1BC,

則CE=1,PE=V3，則PE?+CE2=PC?,所以PEICE,

又A5nCE=E,所以PEI平面ABC,

易知后為4ABC外接圓的圓心，則三棱錐外接球的球心。在PE上，

設(shè)三棱錐外接球的半徑為r,則0E=V5—r,

所以0E?+EB2=OB?,BP(V3-r)2+l2=r2，得「=專，

所以三棱錐外接球的體積為卜1%x(之廣與空,

3oy/321

故答案為生也

27

解析：

本題考查幾何體的表面積和體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓臺(tái)、半球的表面積和體積的求

法和應(yīng)用，屬于一般題.

由題意，知所成幾何體的表面積=圓臺(tái)下底面積+圓臺(tái)的側(cè)面積+半球面面積，該幾何體的體積為

明臺(tái)一匕漕由此能求出結(jié)果?

解：由題意，可知所成幾何體的表面積等于圓臺(tái)下底面積+圓臺(tái)的側(cè)面積+一半球面面積，

又譙=1x4TTx22=8兀，

S/g臺(tái)側(cè)=兀(2+5)J(5—24+42=35TT,

$圓臺(tái)下底=式x5?=25%

即所形成的幾何體的表面積為87r+357r+257T=68兀；

又明冷=9x(22+2x5+52)x4=52兀，

U手芽=5、三X23=可，

所以該幾何體的體積為明臺(tái)一V半球=52兀一等=等.

故答案為68兀；譽(yù)7r.

21.答案：解：(1)如圖，由題意得AC=BC=VI，且4B=2,4C2+BC2=4”，即BC1AC,

因?yàn)镻C_L底面ABC。，ACu平面ABC。，所以PC14C,

又因?yàn)镻CCBC=C,PB、PCu平面PBC,所以4cl平面P8C；

因?yàn)榱u平面EAC,所以平面應(yīng)4cl平面PBC：

(2)取AB中點(diǎn)M,AC=BC=V2>

則MC1AB,

又因?yàn)锳B〃CD,所以MCJ.CD,

因?yàn)镻C，底面ABC。，CM、CDu底面ABC。，

所以PC_LCD,MC1PC

所以以C為原點(diǎn)，以CM,CD,CP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則P(0,0,4),4(1,1,0),設(shè)E(x,y,z),且麗=［喬，

得0—1/+1/)=3(—1,1,4),即E(|,一|,》，

CA=(l,l,0)>CE=(|,-|,^),

設(shè)平面EAC的法向量元=C，zi),則像X；即｛：:於=°

令久1=1,Plijn=(1,-1,-1),

又因?yàn)锽CJ.4C,5.BC1PC,ACnPC=C,AC,PCu平面PAC,

所以BC1平面「4C,

故平面PAC的法向量為而=配=(-1,1,0),

設(shè)二面角P-AC-E的平面角為仇由圖可知其為銳角，

則。-

cos1|cos<m,n>1\-|胃m|-口|n|=V3,

解析：（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得8C_L4C,又PCIAC,所以4cL平面PBC,再由面面垂直的判定定理

即可得證；

（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出平面EAC的法向量，乂因?yàn)锽C1平面P4C,則平面P4C法

向量為舐=（一1,1,0）,進(jìn)而可求出二面角余弦值.

本題考查空間立體幾何中面面垂直的證明，考查二面角的求法，建立空間直角坐標(biāo)系是關(guān)鍵，屬于

中檔題.

22.答案：解：（1）證明：連接8。交AC于點(diǎn)O,連接OE,

VDO_CD_1_DE

CD//AB,OB-AB~2~EP）

OE//PB.

又?:OEu平面ACE,PBC平面ACE,：.PB〃平面ACE.

P

CD1平面PAD.

作4F1P。，F(xiàn)為垂足，連接CF,

vCD1平面PAD,AFu平面PAD,

CD1AF,又AFJLPD,CDnPD=D,AF平面PCD.

??.N4CF就是直線AC與平面PC。所成的角，

Z.ACF=30°,

"AC=>JAD2+CD2=V22,:.AF=

smZ-ADF=—=—,cosZ-ADF-V1—sin2Z.ADF-

AD66

???PA2=AD2+DP2-2AD-DPcosz.ADP=6,:.PA=V6>

即P4=通時(shí)，直線4c與平面PCD所成的角為30。.

解法二：同解法一證得CO，平面PAD,

.??平面P401?平面ABCD.

以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則4（0,0,0）,C（2,3V2,0）,￡>（0,372,0）,

B匕

T

不訪設(shè)P(0j〃，n)(n>0,m<3V2),

則況=(2,0,0)，而=(0,小一3魚,葭),

設(shè)記=(%,y,z)是平面PC￡)的法向量，

則fn-~DC=2x=0,

In-DP=(m-3迎)y+nz=0,

可取記=(0,",3魚一小)，又前=(2,3魚,0),

???結(jié)合題意得sin30。=lcos(AC,n)l=繇=g/，-4二

又|而|=-3V2)2+n2=3V2>

解得n=叵，m=立，

22

一二再鬲7百二倔

即P4=后時(shí)，直線4c與平面PCD所成的角為30。.

解析：本題考查線面平行的判定、直線與平面所成角、利用空間向量求線面角，屬于中檔題.

(1)先證得OE〃PB,再通過線面平行的判定定理即可得到PB〃平面ACE；

(2)法一：先證明CDJ?平面PAD.作2FJ.PD,尸為垂足，連接CF,

因?yàn)镃D_L平面PAD,AFu平面PAD,

得到CDJLAF,又4F1P0,CDC\PD=D,則4F1平面PCD.

所以乙4CF就是直線AC與平面PC。所成的角，從而〃CF=30°,進(jìn)而通過余弦定理求得PA的長(zhǎng)；

解法二：證得CD1平面PAD,則平面PAD1平面/BCD.以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，不訪設(shè)P(0mn)(n>0,m<3>/2).根據(jù)直線AC與平面PCD所成的角為30。以及|而|=

J(m-3V2)2+n2=3V2-建立方程組，求得相，”的值，即可得到答案.

23.答案：解：(1)證明：不妨設(shè)AB=2a,^\AC=CD=DA=a,

由△4C。是等邊三角形得，乙4CD=g,

■：AB//DC,

???ACAB=

3

由余弦定理得，BC2=AC2+AB2-2-AC-AB-cos^=3a2,

即BC=V3a.

所以BC?+4C2=AB2,

所以NACB90,即BC14C.

又平面P4C1平面ABCD,

平面PACD平面4BC0=AC,BCu平面ABCD,

：.BC，平面PAC.

vPAu平面PAC,

BC1PA；

(2)解：設(shè)4C=2,取AC中點(diǎn)O,連接尸0,則P。J.4&P。=百，

???平面P4CL平面A8CD,平面P4C0平面48co=4C,P。u平面PAC,

P01平面ABCD.

以C為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0),B(0,273,0),P(l,0,V3),4(2,0,0),￡)(1,-V3,0).

PA=(1,0,-V3)?DA=(l,V3,0).CP=(1,0,V5)，CB=(0,2g,0).

設(shè)平面的法向量為4=(x],yi，Zi),

貝,石■PA=x1-V3z1=0,

(n7,AD=+VSyj=0

取Zi=1得汨=(低一1,1),

設(shè)平面PBC的法向量為芯=(>2，y2，Z2)，

=x

則(而,￡￡2+V3Z2=o

(n7,CB=2y/3y2=0

取Z2=-1得底=(V3,0,-1).

,2V5

cos<nlfn2>=r=-7=-=

|ni||n2|V5-25

所以平面PA。與平面P3C所成的銳二面角的余弦值為g

解析：本題考查面面垂直的性質(zhì)，空間向量法求二面角，屬于中檔題.

(1)由余弦定理得BC1AC,由面面垂直的性質(zhì)得BC_L平面PAC,又由線面垂直的性質(zhì)得線線垂直;

(2)取AC中點(diǎn)。，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由面的法向量求二面角.

24.答案：(1)證明：如圖，連接力G，與&E交于點(diǎn)例，連接MF,

???E為CG的中點(diǎn)，二C1E〃/且CiE=：44「

???AM:MJ=2:1.又?；AF=2FB,

.??在4ABei中，MF//BCX.

■：MFu平面&EF,BC|C平面&EF,:.BC[〃平面&EF.

(2)解：???側(cè)面A&CiCABC,AC=AAt=2,4414c=60°,

二三棱柱SBC-&BiCi的高/i-V3.

112

,:V三棱錐C1-ABB1A,=3XS448c,九=鼠丫三棱柱ABC-A\B\C「:，丫四棱錐"三愛立

???在側(cè)面中，AF=2FB,

*,、梯形BFA>Bi-3'平行四邊形

24

V四棱錐C\-BFA\B\~3'V四棱錐C\-ABB\A1~9'丫三棱形ABC-A\B、C/

V

"W^C1-BFA1B1=；X|XV2XV2XV3=

解析：本題考查了線面平行的判定，四棱錐體積的計(jì)算，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算

能力，屬于中檔題.

⑴連接AG,與4E交于點(diǎn)M,連接MF,證明MF〃BC1則由直線與平面平行的判定定理可證BG〃平

面&EF;

I-HBBI”

(2)由題意，可推出%普維d-BFABi