高一數(shù)學教材同步知識點專題詳解(蘇教版必修第一冊)第5章《函數(shù)概念與性質》中的新定義問題(原卷版+解析)

第5章《函數(shù)概念與性質》中的新定義問題一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的.）1．若定義在區(qū)間D上的函數(shù)，對區(qū)間D內的任意，，都有成立，則稱為區(qū)間D上的平增函數(shù)．已知是定義域為的平增函數(shù)，且滿足：①，；②，．則的值為（

）A．1 B． C．2 D．42．已知符號函數(shù)，偶函數(shù)滿足，當時，，則（

）A． B．C． D．3．定義：如果函數(shù)在定義域內給定區(qū)間上存在，滿足，則稱函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”，是它的一個均值點．則下列敘述正確的個數(shù)是（

）①是區(qū)間上的平均值函數(shù)，0是它的均值點；②函數(shù)在區(qū)間上是平均值函數(shù)，它的均值點是5；③函數(shù)在區(qū)間（其中）上都是平均值函數(shù)；④若函數(shù)是區(qū)間上的平均值函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是A．1 B．2 C．3 D．44．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．5．若定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足對任意的、，且，，則稱為“低調函數(shù)”，給出下列命題：①函數(shù)是“低調函數(shù)”；②若奇函數(shù)是區(qū)間上的“低調函數(shù)”，則；③若是區(qū)間上的“低調函數(shù)”，且，則對任意的、，．其中正確的命題個數(shù)為（

）A．0 B． C． D．6．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函數(shù)”．設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如：，，已知函數(shù)，則下列選項中，正確的是（

）A．區(qū)間，上的值域為，B．區(qū)間，上的值域為，C．區(qū)間，上的值域為，D．區(qū)間，上的值域為7．給出定義：若(其中為整數(shù))，則叫做離實數(shù)最近的整數(shù)，記作，即，例如：，．在此基礎上給出下列關于函數(shù)的四個命題：；；；的定義域是，值域是，則正確的命題的個數(shù)是（

）個A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題8．定義全集的子集的特征函數(shù).已知，，所以下列結論中正確的是（

）A．若，則對于任意，都有B．對于任意，則C．對于任意，則D．對于任意，則9．對于實數(shù)，符號表示不超過的最大整數(shù)，例如.定義函數(shù)，則（

）A． B．函數(shù)是周期函數(shù)C．方程在僅有一個解 D．函數(shù)是增函數(shù)10．對于函數(shù)和，設，，若存在，，使得，則稱與互為“零點相鄰函數(shù)”．若函數(shù)與互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．411．把定義域為且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為“函數(shù)”：（1）對任意的，總有；（2）若，則有成立.下列說法錯誤的是（

）A．若為“函數(shù)”，則B．若為“函數(shù)”，則一定是增函數(shù)C．函數(shù)在上是“函數(shù)”D．函數(shù)在上是“函數(shù)”（表示不大于x的最大整數(shù)）三、填空題12．已知表示不小于x的最小整數(shù)．例如，，，若，，“”是“”的充分不必要條件，則m的取值范圍是__________．13．定義區(qū)間的長度均為，多個區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和，如的長度，設，其中表示不超過的最大整數(shù)，且，若用表示不等式的解集區(qū)間的長度，則當時，___________.14．若函數(shù)與同在一個區(qū)間內取同一個自變量時，同時取得相同的最小值，則稱這兩個函數(shù)為“兄弟函數(shù)”，已知函數(shù)與是定義在區(qū)間上的“兄弟函數(shù)”，那么在區(qū)間上的最大值是___________.四、解答題15．對于兩個定義域相同的函數(shù)，若存在實數(shù)使，則稱函數(shù)是由“其函數(shù)”生成的.(1)若和生成一個偶函數(shù)，求的值；(2)若是由函數(shù)且生成，求的取值范圍.16．對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點.已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的不動點；(2)若對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍；(3)在的條件下，若的兩個不動點為，且，求實數(shù)的取值范圍.17．已知函數(shù)，利用函數(shù)圖象解決下列問題．(1)若，試比較與的大?。?2)若函數(shù)在區(qū)間D上的值域也為D，則稱函數(shù)具有較好的保值性，這個區(qū)間稱為保值區(qū)間，保值區(qū)間有三種形式：，，．試問是否具有較好的保值性？若具有，求出保值區(qū)間．18．若存在常數(shù)，使得對定義域D內的任意，，都有成立，則稱函數(shù)在其定義域D上是“k－利普希茨條件函數(shù)”．(1)請寫出一個“k－利普希茨條件函數(shù)”（要求明確函數(shù)的表達式、k的值及定義域D）；(2)若函數(shù)是“k－利普希茨條件函數(shù)”，求常數(shù)k的取值范圍．19．閱讀以下材料：對于三個實數(shù)a?b?c，用表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用表示這三個數(shù)中最小的數(shù).例如：；；；，解決下列問題：(1)填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}=___________，如果，則x的取值范圍為___________；(2)①如果，求=___________.②根據(jù)①，你發(fā)現(xiàn)了結論“如果，那么___________（填，b，c的大小關系）”.③運用②的結論，若，則x+y=___________；(3)在同一直角坐標系中作出函數(shù)，，的圖象（不需列表描點），通過觀察圖象，填空：的最大值為___________.第5章《函數(shù)概念與性質》中的新定義問題一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的.）1．若定義在區(qū)間D上的函數(shù)，對區(qū)間D內的任意，，都有成立，則稱為區(qū)間D上的平增函數(shù)．已知是定義域為的平增函數(shù)，且滿足：①，；②，．則的值為（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】由條件①，可以得到函數(shù)的圖象在上關于對稱，；由條件②，結合“平增函數(shù)”這個信息，可以推出時，，時，也有，從而得出答案．【詳解】因為，所以函數(shù)的圖象在上關于對稱，令可得．又因為，所以，因為是定義域為的平增函數(shù)，，所以當時，．因為函數(shù)的圖象關于對稱，所以當時，也有，所以，故選：C．2．已知符號函數(shù)，偶函數(shù)滿足，當時，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的周期性以及題中定義可逐項判斷可得答案.【詳解】根據(jù)題意得函數(shù)是周期為2的函數(shù)，作出函數(shù)的大致圖象，如下圖所示．數(shù)形結合易知，則或，故A錯誤；，故B錯誤；因為，則，故C正確；因為，當為正整數(shù)時，，當為令時，，當為負整數(shù)時，，所以，故D錯誤.故選：C.3．定義：如果函數(shù)在定義域內給定區(qū)間上存在，滿足，則稱函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”，是它的一個均值點．則下列敘述正確的個數(shù)是（

）①是區(qū)間上的平均值函數(shù)，0是它的均值點；②函數(shù)在區(qū)間上是平均值函數(shù)，它的均值點是5；③函數(shù)在區(qū)間（其中）上都是平均值函數(shù)；④若函數(shù)是區(qū)間上的平均值函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由平均值函數(shù)定義直接計算均值點可判斷①②；取求均值點可判斷③；按照平均值函數(shù)定義列方程求解，根據(jù)均值點在區(qū)間上可判斷④.【詳解】根據(jù)題意，依次分析題目中的四個結論：對于①，若是區(qū)間上的平均值函數(shù)，設其均值點為n，則有，解可得n＝0，即0是它的均值點，①正確；對于②，若函數(shù)在區(qū)間上是平均值函數(shù)，設其均值點為n，則有，解可得n＝5或－1（舍），即5是它的均值點，②正確，對于③，取，則由平均值函數(shù)定義可得，解得，，故③錯誤；對于④，若函數(shù)是區(qū)間上的平均值函數(shù)，則關于x的方程在內有實數(shù)根，而，解得x＝m－1，x＝1（舍），則x＝m－1必為均值點，即，即實數(shù)m的取值范圍是，④正確；其中①②④正確.故選：C．4．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質，化成頂點式，在已知定義域的情況下，根據(jù)頂點式，得到的值域，進而根據(jù)高斯函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】因為，，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又，，所以，因為，所以；故選：B5．若定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足對任意的、，且，，則稱為“低調函數(shù)”，給出下列命題：①函數(shù)是“低調函數(shù)”；②若奇函數(shù)是區(qū)間上的“低調函數(shù)”，則；③若是區(qū)間上的“低調函數(shù)”，且，則對任意的、，．其中正確的命題個數(shù)為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】利用作差法可判斷①的正誤；利用奇函數(shù)的性質可得出，可得出，結合題中定義可判斷②的正誤；分、兩種情況討論，結合題中定義可判斷③的正誤.【詳解】對于①，對任意的、且，則，，①對；對于②，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，所以，對任意的，，故對任意的，，②對；對于③，若，則，若，不妨設，則，故，③對.故選：D.6．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函數(shù)”．設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如：，，已知函數(shù)，則下列選項中，正確的是（

）A．區(qū)間，上的值域為，B．區(qū)間，上的值域為，C．區(qū)間，上的值域為，D．區(qū)間，上的值域為【答案】A【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，可得函數(shù)的圖象，即可的解.【詳解】由高斯函數(shù)的定義可得：當時，，則，當時，，則，當時，，則，當時，，則，易見該函數(shù)具有周期性，繪制函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知，在，的值域也為，.故選：A7．給出定義：若(其中為整數(shù))，則叫做離實數(shù)最近的整數(shù)，記作，即，例如：，．在此基礎上給出下列關于函數(shù)的四個命題：；；；的定義域是，值域是，則正確的命題的個數(shù)是（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)定義可以得到，，，，進而求得各個函數(shù)值，然后判定，根據(jù)，可以得到，即得的值域，從而判定．【詳解】因為，，,，所以，，，，∴，①正確；，②錯誤；因為，，所以，故③正確；的定義域是R，因為，所以，即，∴值域是，故④錯誤．綜上，正確的命題個數(shù)為2個，故選：B．二、多選題8．定義全集的子集的特征函數(shù).已知，，所以下列結論中正確的是（

）A．若，則對于任意，都有B．對于任意，則C．對于任意，則D．對于任意，則【答案】AB【分析】選項A分“”、“且”、“且”三種情況討論，判斷A選項正確；選項B分“”、“”兩種情況討論，判斷B選項正確；選項C舉反例：當時，則，，，判斷C錯誤；選項D舉反例：當且時，則，，，判斷D選項錯誤.【詳解】選項A，因為，當時，則，，則；當且時，則，，則；當且時，則，，則；故選項A正確.選項B，當時，則，，則；當時，則，，則；故選項B正確.選項C，當時，則，，，則；故C選項錯誤.選項D：當且時，則，，，則，故D選項錯誤.故選：AB.9．對于實數(shù)，符號表示不超過的最大整數(shù)，例如.定義函數(shù)，則（

）A． B．函數(shù)是周期函數(shù)C．方程在僅有一個解 D．函數(shù)是增函數(shù)【答案】BC【分析】根據(jù)定義判斷A，利用分段函數(shù)形式表示，根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖像，再依次判斷選項B，C，D即可.【詳解】由題意知，畫出分段函數(shù)的圖象，對選項A，定義可得，故A不正確；對選項B，由圖知函數(shù)為周期函數(shù)，故B正確；對選項C，函數(shù)與函數(shù)在有一個交點，即方程在僅有一個解，故C正確；對選項D，由圖象可知，所以函數(shù)不是增函數(shù)，故D不正確.故選：BC.10．對于函數(shù)和，設，，若存在，，使得，則稱與互為“零點相鄰函數(shù)”．若函數(shù)與互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BCD【分析】根據(jù)的單調性以及，可得的零點為1，由“零點相鄰函數(shù)”的定義可將問題轉化為在區(qū)間上存在零點，分離參數(shù)即可求解.【詳解】因為是上的單調遞增函數(shù)，且，據(jù)此可知，結合“零點相鄰函數(shù)”的定義可得，則，據(jù)此可知函數(shù)在區(qū)間上存在零點，即方程在區(qū)間上存在實數(shù)根，整理可得：，∵，當且僅當，即時取等號,又，則在區(qū)間上，，故當時，故選：BCD11．把定義域為且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)稱為“函數(shù)”：（1）對任意的，總有；（2）若，則有成立.下列說法錯誤的是（

）A．若為“函數(shù)”，則B．若為“函數(shù)”，則一定是增函數(shù)C．函數(shù)在上是“函數(shù)”D．函數(shù)在上是“函數(shù)”（表示不大于x的最大整數(shù)）【答案】BC【分析】對于A，由條件（1）得.由條件（2），得，所以，故A說法正確；對于B，舉反例說明B說法錯誤；對于C，舉反例說明C說法錯誤；對于D，說明函數(shù)符合條件（1）（2），故D說法正確.【詳解】對于A，若函數(shù)為“函數(shù)”，則由條件（1）得.由條件（2），得當時，，所以，故A說法正確；對于B，若，，則滿足條件（1）（2），但不是增函數(shù)，故B說法錯誤；對于C，當，時，，，，，不滿足條件（2），所以不是“函數(shù)”，故C說法錯誤；對于D，在上的最小值是0，顯然符合條件（1）.設上的每一個數(shù)均由整數(shù)部分和小數(shù)部分構成，設x的整數(shù)部分是m，小數(shù)部分是n，即，則.設y的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，即，則.當時，，當時，，所以，所以函數(shù)滿足條件（2），所以在上是“函數(shù)”，故D說法正確.故選：BC.三、填空題12．已知表示不小于x的最小整數(shù)．例如，，，若，，“”是“”的充分不必要條件，則m的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)的定義得，由充分不必要關系有，即可求m的范圍.【詳解】∵表示不小于x的最小整數(shù)，∴，，即，又“”是“”的充分不必要條件，，∴，故，即m的取值范圍是．故答案為：13．定義區(qū)間的長度均為，多個區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和，如的長度，設，其中表示不超過的最大整數(shù)，且，若用表示不等式的解集區(qū)間的長度，則當時，___________.【答案】【分析】由所給的定義可得的解析式，分區(qū)間求出不等式的解集，進而求出不等式的解集區(qū)間長度．【詳解】解：因為表示不超過的最大整數(shù)，所以，即，又，所以等價于，即，①當，即時，不等式化為，即不成立；②當，即時，恒成立；③當，即時，不等式化為恒成立，所以不等式在時的解集為，所以解集的區(qū)間長度．故答案為：．14．若函數(shù)與同在一個區(qū)間內取同一個自變量時，同時取得相同的最小值，則稱這兩個函數(shù)為“兄弟函數(shù)”，已知函數(shù)與是定義在區(qū)間上的“兄弟函數(shù)”，那么在區(qū)間上的最大值是___________.【答案】【分析】利用基本不等式求出的最小值及對應的的值，根據(jù)“兄弟函數(shù)”的定義可知在區(qū)間上最小值為，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出、的值，即可得到的解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質計算可得；【詳解】解：，當且僅當即時取等號，當時，取最小值．函數(shù)與同在一個區(qū)間內取同一個自變量時，同時取得相同的最小值，則稱這兩個函數(shù)為“兄弟函數(shù)”，函數(shù)在區(qū)間上最小值為．點為拋物線的頂點．，．．在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增．，，在區(qū)間上的最大值是．故答案為：．四、解答題15．對于兩個定義域相同的函數(shù)，若存在實數(shù)使，則稱函數(shù)是由“其函數(shù)”生成的.(1)若和生成一個偶函數(shù)，求的值；(2)若是由函數(shù)且生成，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)，再根據(jù)其是偶函數(shù)這一性質得到引入?yún)?shù)的方程，求出參數(shù)的值，即得函數(shù)的解析式，代入自變量求值即可；（2）先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)，再根據(jù)同一性建立引入?yún)?shù)的方程求參數(shù)，然后再求的取值范圍；（1）設，是偶函數(shù)，∴，即，．（2）設，，解得，．由知，，當且時，，當時取等號，當時，，當時取等號，．16．對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點.已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的不動點；(2)若對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍；(3)在的條件下，若的兩個不動點為，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)不動點定義，，求解即可；（2）由題意，，對任意實數(shù)，恒有兩個根，利用判別式，分析即得解；（3）由題意，因為，可得，結合均值不等式，即得解（1），因為為不動點，因此，所以，所以為的不動點.（2）因為恒有兩個不動點，，，由題設恒成立，即對于任意恒成立，令，則由對于任意恒成立可得，所以，所以.故a的取值范圍是.（3）因為，所以，則，當且僅當?shù)忍柍闪?，可?7．已知函數(shù)，利用函數(shù)圖象解決下列問題．(1)若，試比較與的大?。?2)若函數(shù)在區(qū)間D上的值域也為D，則稱函數(shù)具有較好的保值性，這個區(qū)間稱為保值區(qū)間，保值區(qū)間有三種形式：，，．試問是否具有較好的保值性？若具有，求出保值區(qū)間．【答案】(1)；(2)具有較好的保值性，保值區(qū)間是，，．【分析】（1）畫出二次函數(shù)的圖象，數(shù)形結合法判斷函數(shù)值大?。唬?）由的值域是，討論、、結合保值區(qū)間定義求對應m、n，即可確定存在性.（1）由的圖象，如下圖所示．由圖知：當時，．（2）具有較好的保值性，由的圖象知：的值域是．當時，趨向，不符合題意；當時，要使值域為，則，所以m，n是方程的兩個根，解得m＝1，n＝2，所以保值區(qū)間是；當時，要使值域為，則，解得m＝1或m＝2，所以保值區(qū)間是，．綜上，具有較好的保值性，保值區(qū)間是，，．18．若存在常數(shù)，使得對定義域D內的任意，，都有成立，則稱函數(shù)在其定義域D上是“k－利普希茨條件函數(shù)”．(1)請寫出一個“k－利普希茨條件函數(shù)”（要求明確函數(shù)的表達式、k的