高考數(shù)學總復習《導數(shù)-利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性》專項練習題（附答案）

第第頁高考數(shù)學總復習《導數(shù)-利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性》專項練習題（附答案）常見考點考點一含參的單調(diào)性討論典例1．已知函數(shù)a∈R．(1)討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性(2)討論函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)對a分類討論：a≤0和a>0兩種情況判斷單調(diào)性（2）對a分類討論：a≤0和a>0兩種情況結(jié)合單調(diào)性即零點存在定理判斷零點的個數(shù)。(1)當a0時恒成立故f（x）在（0+∞）上單調(diào)遞減當a＞0時令解得：令解得：。所以在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增．(2)當a≤0時f（x）在（0+∞）上單調(diào)遞減,而有唯一零點當a＞0時。記則。令解得：令解得：。所以g在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增,所以所以。所以兩邊取對數(shù)有：。令則有所以。因為令則有所以所以由零點存在定理可得在有且只有一個零點即在有且只有一個零點取f（）＝ea+1﹣（a+1）2。令則當t＞1時∴單調(diào)遞增∴∴g（t）單調(diào)遞增∴g（t）＞g（1）＝e﹣1＞0故f（）＞0。所以在有且只有一個零點即在有且只有一個零點∴f（x）在和內(nèi)各有一個零點．綜上當a0時f（x）有一個零點當a＞0時f（x）有兩個零點．變式1-1．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)區(qū)間(2)若存在極大值M和極小值N且求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)?！窘馕觥俊痉治觥浚?）求得對參數(shù)進行分類討論在每種情況下考慮的正負即可判斷函數(shù)單調(diào)性（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)的單調(diào)性求得的值以及的初步范圍結(jié)合的范圍即可分類討論求得的范圍。(1)因為則其定義域為又當時故當時單調(diào)遞增當時單調(diào)遞減當時令解得或則當時故在單調(diào)遞減當時則當單調(diào)遞減當時單調(diào)遞增當時則當單調(diào)遞減當單調(diào)遞增當時則當單調(diào)遞減當單調(diào)遞增綜上所述當時在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增當時在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增當時在單調(diào)遞減當時在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增。(2)因為存在極大值M和極小值N顯然或由（1）可知因為即當則滿足題意當時則不滿足題意。綜上所述：的取值范圍時?！军c睛】本題考察利用導數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性的討論以及利用導數(shù)由函數(shù)單調(diào)性求極值屬綜合中檔題處理問題的關(guān)鍵是合理的對參數(shù)的范圍進行討論。變式1-2．已知函數(shù).其中實數(shù)。(1)討論函數(shù)的單調(diào)性(2)求證：關(guān)于x的方程有唯一實數(shù)解?！敬鸢浮?1)答案見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導然后分和三種情況判斷導數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有唯一零點當時求導后可得函數(shù)在R上單調(diào)遞增然后利用零點存在性定理可得函數(shù)有唯一零點當時令由導數(shù)可判斷存在唯一實數(shù)使得再根據(jù)利用零點存在性定理可得函數(shù)有唯一零點當時可得存在唯一實數(shù)使得可判斷當時函數(shù)只有1個零點再利用導數(shù)討論時無零點即可(1)依題意當時函數(shù)單調(diào)遞增。若則當時函數(shù)單調(diào)遞增當時函數(shù)單調(diào)遞減當時函數(shù)單調(diào)遞增。若則當時函數(shù)單調(diào)遞增當時函數(shù)單調(diào)遞減

當時函數(shù)單調(diào)遞增(2)證明：依題意即。令則。當時當時所以當時即綜上故函數(shù)在R上單調(diào)遞增。因為故時恰有1個零點當時令則在R上單調(diào)遞增因為令得單調(diào)遞增所以所以故存在唯一實數(shù)使得即故在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增因為故當時函數(shù)恰有1個零點當時在R上單調(diào)遞增因為所以存在唯一實數(shù)使得即所以在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增。因為所以當時函數(shù)只有1個零點當時由得故。令因為故在上單調(diào)遞增因為故故當時函數(shù)無零點。故當時函數(shù)恰有1個零點。綜上所述關(guān)于x的方程有唯一實數(shù)解【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應用考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有唯一零點然后分和三種情況利用導數(shù)結(jié)零點存在性定理討論函數(shù)的零點考查數(shù)學分類思想和轉(zhuǎn)化思想屬于難題變式1-3．函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性(2)若的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方求的取值范圍?！敬鸢浮?1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)對a分類討論：①當時②當-1<a<0時③當a=-1時④當a<-1時.四種情況分別求出單調(diào)區(qū)間（2）令把題意轉(zhuǎn)化為.利用導數(shù)求出即可求出的范圍。(1)函數(shù)定義域為(0,+∞)導函數(shù)。①當時,ax+1>0.故當x∈(0,1)時,>0,f(x)單調(diào)遞增當x∈(1,+∞)時,<0,f(x)單調(diào)遞減。②當-1<a<0時,令=0得或1,且>1>0。從而當x∈(0,1)時,>0,f(x)單調(diào)遞增當x∈時,<0,f(x)單調(diào)遞減當x∈,>0,f(x)單調(diào)遞增。③當a=-1時,故f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增。④當a<-1時,令=0得或1,且1>>0。從而當x∈(0,)時,>0,f(x)單調(diào)遞增當x∈時,<0,f(x)單調(diào)遞減當x∈,>0,f(x)單調(diào)遞增。綜上所述：①當時,f(x)在(0,1)單調(diào)遞增(1,+∞)單調(diào)遞減②當-1<a<0時,f(x)在(0,1)單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增③當a=-1時,f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增。④當a<-1時,f(x)在(0,)上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增。(2)要使的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方只需在(0,+∞)上恒成立。令只需。。令=0得。從而當x∈(0,1)時,>0,g(x)單調(diào)遞增當x∈時,<0,g(x)單調(diào)遞減。所以解得：。故的取值范圍?！军c睛】導數(shù)的應用主要有：（1）利用導函數(shù)幾何意義求切線方程（2）利用導數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性求極值（最值）（3）利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍（4）利用導數(shù)證明不等式?？键c二根據(jù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)典例2．函數(shù)。(1)若在上單調(diào)遞增求a的取值范圍(2)若時證明：?！敬鸢浮?1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由在上單調(diào)遞增則在上恒成立分離參數(shù)可得設求出導數(shù)得出其單調(diào)性從而得出其最大值即可得出答案。（2）由題意即證即證成立設求出導數(shù)得出單調(diào)性從而得出最大值即可證明。(1)由在上單調(diào)遞增則在上恒成立又所以在上恒成立令令則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。所以所以的取值范圍為：(2)當時要證只需證明即證令令恒成立則在R上為減函數(shù)且則所以當時即故在上單調(diào)遞增當時即故在上單調(diào)遞減所以即恒成立即成立【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查已知函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍和利用導數(shù)證明不等式解答本題的關(guān)鍵是由已知的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為在已知區(qū)間上導函數(shù)在上恒成立問題求解證明不等式是先將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為即證構(gòu)造函數(shù)求出其最大值即可屬于難題。變式2-1．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)當時求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增求的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)令可得的單調(diào)遞增區(qū)間（2）若在內(nèi)單調(diào)遞增即當時即對恒成立分離參數(shù)求最值即可求的取值范圍．(1)解：當時令得的單調(diào)遞增區(qū)間是(2)解：若在內(nèi)單調(diào)遞增即當時即對恒成立即對恒成立令則在上單調(diào)遞增當時當且僅當時的取值范圍是．變式2-2．已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞減求的取值范圍(2)若在處的切線斜率是證明有兩個極值點且．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可知在上恒成立分離參數(shù)設根據(jù)導數(shù)求得的最大值進而可得的取值范圍（2）二次求導可得在和有個極值點再根據(jù)導數(shù)值的正負情況可得再利用不等性質(zhì)即可得證。(1)在遞減在上恒成立在上恒成立令時遞增時遞減(2)由題意得令解得：令解得：故在遞增在遞減又故分別在和有零點（不妨設時遞減時遞增時遞減故在和有個極值點而故原命題成立．【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用二是函數(shù)的零點不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性極(最)值問題處理．變式2-3．已知函數(shù)．(1)若在上是減函數(shù)求實數(shù)的取值范圍．(2)若的最大值為6求實數(shù)的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）在上是減函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在上恒成立,進而求得實數(shù)的取值范圍（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及邊界值可以求得函數(shù)最大值進而求得實數(shù)的值。(1)函數(shù)的定義域為在上是減函數(shù)在內(nèi)恒成立在內(nèi)恒成立設則在內(nèi)單調(diào)遞增由可得．(2)函數(shù)的定義域為且又知的最大值為6故即．下面證明：當時即也即設在內(nèi)單調(diào)遞增在內(nèi)單調(diào)遞減在內(nèi)恒成立符合題意．鞏固練習練習一含參的單調(diào)性討論1．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性．(2)當時證明：對恒成立．【答案】(1)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性見解析(2)證明見解析?！窘馕觥俊痉治觥浚?）求出函數(shù)的導數(shù)再分類討論解不等式或即可作答。（2）將不等式等價轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)再探討其最小值的符號推理作答。(1)因為當時由得由得所以在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減當時由得由得或所以在和上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增當時當且僅當時取“=”則在R上單調(diào)遞減當時由得由得或所以在和上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增。(2)當時令則顯然在上單調(diào)遞增且即存在使得當時當時于是得在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增即而即因此而即所以對恒成立。【點睛】思路點睛：涉及雙變量的不等式證明問題將所證不等式等價轉(zhuǎn)化構(gòu)造新函數(shù)再借助導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性極(最)值問題處理。2．已知函數(shù)。(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)設若且使得求的最大值。【答案】(1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)然后對分三種情況討論即可求解（2）由題意當滿足時取得最大值令求出的值即可得答案。(1)解：因為所以當時令可得或令可得所以在和上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減當時所以在R上單調(diào)遞增當時令可得或令可得所以在和上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減(2)解：因為所以由（1）知在和上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減因為且使得所以當滿足時取得最大值令所以當時同理可得所以當時所以此時即的最大值為。3．已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性(2)若對于定義域內(nèi)任意恒成立求實數(shù)的取值范圍。【答案】(1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域分兩種情況討論分析導數(shù)的符號變化即可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間（2）由參變量分離法可得出對任意的恒成立構(gòu)造函數(shù)其中則利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值即可得出實數(shù)的取值范圍。(1)解：函數(shù)的定義域為。當時對任意的此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為無遞減區(qū)間當時由可得由可得。此時函數(shù)的增區(qū)間為減區(qū)間為。綜上當時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為無遞減區(qū)間當時函數(shù)的增區(qū)間為減區(qū)間為。(2)解：對任意的即可得對任意的恒成立構(gòu)造函數(shù)其中則構(gòu)造函數(shù)其中則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增因為所以存在使得當時函數(shù)單調(diào)遞減當時函數(shù)單調(diào)遞增所以因為則構(gòu)造函數(shù)其中則所以函數(shù)在上為增函數(shù)因為則則由可得所以所以可得所以?！军c睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立可根據(jù)以下原則進行求解：（1）（2）（3）（4）。4．已知函數(shù)。(1)若討論函數(shù)的單調(diào)性(2)當時求在區(qū)間上的最小值和最大值?！敬鸢浮?1)在和上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。(2)答案見解析。【解析】【分析】（1）求解導函數(shù)并求出的兩根得和的解集從而得函數(shù)單調(diào)性（2）由（1）得函數(shù)的單調(diào)性從而得最小值計算再分類討論與兩種情況下的最大值。(1)函數(shù)定義域為時或因為所以時或時所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。(2)因為由（1）知在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增所以的最小值為又因為當時此時最小值為最大值為當時此時最小值為最大值為。【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性極值(最值)最有效的工具而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義往往與解析幾何微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷單調(diào)性已知單調(diào)性求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用．練習二根據(jù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)5．已知函數(shù)其中。(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增求的取值范圍(2)若函數(shù)存在兩個極值點當時求的取值范圍?！敬鸢浮?1)(2)【解析】【分析】（1）由題知在上恒成立進而在上恒成立再求函數(shù)的最小值即可得答案。（2）先求得利用換元法表示出通過構(gòu)造函數(shù)法利用導數(shù)結(jié)合來求得的取值范圍。(1)解：因為所以因為函數(shù)在上單調(diào)遞增所以在上恒成立所以在上恒成立故令則在上恒成立所以在上單調(diào)遞增故所以即的取值范圍是。(2)解：對函數(shù)設上一點為過點的切線方程為將代入上式得所以過的的切線方程為。所以要使與有兩個交點則此時有兩個極值點且。令則所以所以即所以令令所以在上遞增。因為所以在上恒成立。所以在上恒成立。所以在上遞增。所以當時所以的取值范圍是?！军c睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于先根據(jù)題意求函數(shù)過點的切線斜率進而得再結(jié)合極值點的定義得進而換元求出再構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得并結(jié)合得答案。6．已知函數(shù)是其導函數(shù)其中．(1)若在上單調(diào)遞減求a的取值范圍(2)若不等式對恒成立求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出導函數(shù)根據(jù)在上單調(diào)遞減可得在上恒成立分類參數(shù)可得在上恒成立令利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得解（2）將已知不等式轉(zhuǎn)化為對恒成立令在對分類討論求出的最大值小于等于0即可求出答案。(1)解：因為在上單調(diào)遞減所以在上恒成立即在上恒成立令則當時當時所以函數(shù)在上遞增在上遞減所以所以a的取值范圍為(2)解：由得即對恒成立令當時不滿足當時時時所以函數(shù)在上遞減在上遞增所以不符合題意當時時時所以函數(shù)在上遞增在上遞減所以解得綜上所述a的取值范圍?！?/p>