2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第八章8.6　空間向量與立體幾何(學(xué)生版+解析)

§8.6空間向量與立體幾何考試要求1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理．知識(shí)梳理1．空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有____和____的量相等向量方向____且模____的向量相反向量方向____且模____的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相____或____的向量共面向量平行于________的向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使________________．(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝________________________.(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝__________________________，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．3．空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝________________________________.(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b共線a＝λb(b≠0，λ∈R)垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)模|a|夾角余弦值cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝____________4.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a為平面α的法向量．(3)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l，m的方向向量分別為a，bl∥ma∥b?a＝kb(k∈R)l⊥ma⊥b?a·b＝0直線l的方向向量為u，平面α的法向量為v，l?αl∥αu⊥v?u·v＝0l⊥αu∥v?u＝kv(k∈R)平面α，β的法向量分別為u，vα∥βu∥v?u＝kv(k∈R)α⊥βu⊥v?u·v＝0常用結(jié)論1．三點(diǎn)共線：在平面中A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)．2．四點(diǎn)共面：在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面?eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點(diǎn)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩個(gè)非零向量a，b共面．()(2)空間中模相等的兩個(gè)向量方向相同或相反．()(3)若A，B，C，D是空間中任意四點(diǎn)，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.()(4)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.()教材改編題1.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(C1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c2.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定3．設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m＝________.題型一空間向量的線性運(yùn)算例1(1)在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,5,2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－7，－1，－4)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，則eq\o(EF,\s\up6(→))的坐標(biāo)為()A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·北京日壇中學(xué)模擬)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四邊形BB1C1C的中心，且eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(A1D,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c B.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c D．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，則x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)(2)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．①化簡(jiǎn)eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；②用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，則eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________.題型二空間向量基本定理及其應(yīng)用例2(1)下列命題正確的是()A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C．若空間向量a，b，c不共面，則a，b，c都不為0D．若a，b，c共面，則存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得a＝xb＋yc聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)下列說(shuō)法中正確的是()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件B．若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則AB∥CDC．A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D．若P，A，B，C為空間四點(diǎn)，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))＋μeq\o(PC,\s\up6(→))(eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))不共線)，則λ＋μ＝1是A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華應(yīng)用共線(面)向量定理、證明點(diǎn)共線(面)的方法比較三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))跟蹤訓(xùn)練2(1)已知空間中A，B，C，D四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)P為空間中任意一點(diǎn)，若eq\o(BD,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，則λ等于()A．2B．－2C．1D．－1(2)(2023·金華模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，且滿足eq\o(DE,\s\up6(→))＝xeq\o(DA,\s\up6(→))＋yeq\o(DC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(DD1,\s\up6(→))，則|eq\o(DE,\s\up6(→))|的最小值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)題型三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用例3(1)(2022·長(zhǎng)春模擬)已知a＝(－1,3,1)，b＝(2,0，－4)，c＝(3，－2,3)，則a·(b＋c)＝________.聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.①求線段AC1的長(zhǎng)；②求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；③求證：AA1⊥BD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023·益陽(yáng)模擬)在正三棱錐P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，則eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))等于()A.eq\f(5,9)B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(4\r(2),3)D.eq\f(8,3)(2)(2022·營(yíng)口模擬)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．①求〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉；②求eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型四向量法證明平行、垂直例4如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點(diǎn)．(1)求證：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素)．(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理．跟蹤訓(xùn)練4如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)．(1)求證：平面A1B1D⊥平面ABD；(2)求證：平面EGF∥平面ABD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________§8.6空間向量與立體幾何考試要求1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理．知識(shí)梳理1．空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個(gè)平面的向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．3．空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角余弦值cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))4.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a為平面α的法向量．(3)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l，m的方向向量分別為a，bl∥ma∥b?a＝kb(k∈R)l⊥ma⊥b?a·b＝0直線l的方向向量為u，平面α的法向量為v，l?αl∥αu⊥v?u·v＝0l⊥αu∥v?u＝kv(k∈R)平面α，β的法向量分別為u，vα∥βu∥v?u＝kv(k∈R)α⊥βu⊥v?u·v＝0常用結(jié)論1．三點(diǎn)共線：在平面中A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)．2．四點(diǎn)共面：在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面?eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點(diǎn)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩個(gè)非零向量a，b共面．(√)(2)空間中模相等的兩個(gè)向量方向相同或相反．(×)(3)若A，B，C，D是空間中任意四點(diǎn)，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.(√)(4)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.(×)教材改編題1.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(C1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c答案C解析eq\o(C1M,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c.2.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定答案B解析分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)锳1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,3)a，\f(a,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(2,3)a，a))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，0，\f(2,3)a))，又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，所以eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝(0，a,0)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(C1D1,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(C1D1,\s\up6(→))是平面BB1C1C的一個(gè)法向量，且MN?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.3．設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m＝________.答案10解析∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.

題型一空間向量的線性運(yùn)算例1(1)在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,5,2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－7，－1，－4)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，則eq\o(EF,\s\up6(→))的坐標(biāo)為()A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)×[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝eq\f(1,2)×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．(2)(2023·北京日壇中學(xué)模擬)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四邊形BB1C1C的中心，且eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(A1D,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cB.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)cD．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c答案D解析eq\o(A1D,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.思維升華用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，則x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)答案B解析由b＝eq\f(1,2)x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．(2)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．①化簡(jiǎn)eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；②用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，則eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________.答案①eq\o(A1A,\s\up6(→))②eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))解析①eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→)).②因?yàn)閑q\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)).題型二空間向量基本定理及其應(yīng)用例2(1)下列命題正確的是()A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C．若空間向量a，b，c不共面，則a，b，c都不為0D．若a，b，c共面，則存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得a＝xb＋yc答案C解析若b＝0，則滿足a與b共線，b與c共線，但是a與c不一定共線，故A錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄渴强梢砸苿?dòng)的量，所以向量a，b，c共面，但它們所在的直線不一定共面，故B錯(cuò)誤；假設(shè)a，b，c至少有一個(gè)為0，則空間向量a，b，c共面，故假設(shè)不成立，故C正確；假設(shè)b＝0，若a,c共線，則存在無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得a＝xb＋yc，若a,c不共線，則不存在實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，使得a＝xb＋yc，故D錯(cuò)誤．(2)下列說(shuō)法中正確的是()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件B．若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則AB∥CDC．A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D．若P，A，B，C為空間四點(diǎn)，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))＋μeq\o(PC,\s\up6(→))(eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))不共線)，則λ＋μ＝1是A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件答案D解析由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此時(shí)向量a，b共線，反之，當(dāng)向量a，b同向時(shí)，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正確；若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則AB∥CD或A，B，C，D四點(diǎn)共線，所以B不正確；由A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，可得P，A，B，C四點(diǎn)共面，所以C不正確；若P，A，B，C為空間四點(diǎn)，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))＋μeq\o(PC,\s\up6(→))(eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))不共線)，當(dāng)λ＋μ＝1時(shí)，即μ＝1－λ，可得eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))＝λ(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))，即eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))，所以A，B，C三點(diǎn)共線，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件，所以D正確．思維升華應(yīng)用共線(面)向量定理、證明點(diǎn)共線(面)的方法比較三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))跟蹤訓(xùn)練2(1)已知空間中A，B，C，D四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)P為空間中任意一點(diǎn)，若eq\o(BD,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，則λ等于()A．2B．－2C．1D．－1答案B解析eq\o(BD,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，即eq\o(PD,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－4eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，整理得eq\o(PD,\s\up6(→))＝6eq\o(PA,\s\up6(→))－3eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))，由A，B，C，D四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.(2)(2023·金華模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，且滿足eq\o(DE,\s\up6(→))＝xeq\o(DA,\s\up6(→))＋yeq\o(DC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(DD1,\s\up6(→))，則|eq\o(DE,\s\up6(→))|的最小值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)答案C解析因?yàn)閑q\o(DE,\s\up6(→))＝xeq\o(DA,\s\up6(→))＋yeq\o(DC,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(DD1,\s\up6(→))，由空間向量的共面定理可知，點(diǎn)E，A，C，D1四點(diǎn)共面，即點(diǎn)E在平面ACD1上，所以|eq\o(DE,\s\up6(→))|的最小值即為點(diǎn)D到平面ACD1的距離d，由正方體的棱長(zhǎng)為1，可得△ACD1是邊長(zhǎng)為eq\r(2)的等邊三角形，則＝eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×sin

eq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，S△ACD＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，由等體積法得，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×d＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1，解得d＝eq\f(\r(3),3)，所以|eq\o(DE,\s\up6(→))|的最小值為eq\f(\r(3),3).題型三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用例3(1)(2022·長(zhǎng)春模擬)已知a＝(－1,3,1)，b＝(2,0，－4)，c＝(3，－2,3)，則a·(b＋c)＝________.答案－12解析因?yàn)閎＋c＝(5，－2，－1)，所以a·(b＋c)＝－1×5＋3×(－2)＋1×(－1)＝－12.(2)如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.①求線段AC1的長(zhǎng)；②求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；③求證：AA1⊥BD.①解設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.因?yàn)閑q\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝|a＋b＋c|＝eq\r(a＋b＋c2)＝eq\r(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c)＝eq\r(1＋1＋4＋0－2－2)＝eq\r(2)，所以線段AC1的長(zhǎng)為eq\r(2).②解因?yàn)閑q\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝b－c，所以eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4＝－2，|eq\o(A1D,\s\up6(→))|＝|b－c|＝eq\r(b－c2)＝eq\r(|b|2＋|c|2－2b·c)＝eq\r(1＋4＋2)＝eq\r(7)，設(shè)異面直線AC1與A1D所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AC1,\s\up6(→))·\o(A1D,\s\up6(→))|,|\o(AC1,\s\up6(→))||\o(A1D,\s\up6(→))|)＝eq\f(|－2|,\r(2)×\r(7))＝eq\f(\r(14),7)，即異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為eq\f(\r(14),7).③證明由①知eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，所以eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，所以AA1⊥BD.思維升華空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023·益陽(yáng)模擬)在正三棱錐P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，則eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))等于()A.eq\f(5,9)B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(4\r(2),3)D.eq\f(8,3)答案D解析∵P－ABC為正三棱錐，O為△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AO，∴eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝0，|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)·|eq\o(AB,\s\up6(→))|·sin60°＝eq\f(2\r(3),3)，故eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))·(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AP,\s\up6(→))|2－|eq\o(AO,\s\up6(→))|2＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).(2)(2022·營(yíng)口模擬)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．①求〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉；②求eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影．解①因?yàn)锳(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,3,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－2,0)．因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3eq\r(2)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，所以cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－6,3\r(2)×2\r(2))＝－eq\f(1,2)，故〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(2π,3).②因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))＝(2,1,3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,3,3)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0＋1×3＋3×3＝12.因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3eq\r(2)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影為eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(12,3\r(2))＝2eq\r(2).題型四向量法證明平行、垂直例4如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點(diǎn)．(1)求證：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．(1)證明以A為原點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝a，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，0))，B1(a,0,1)．故eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，1，－1)).因?yàn)閑q\o(B1E,\s\up6(→))·eq\o(AD1,\s\up6(→))＝－eq\f(a,2)×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以eq\o(B1E,\s\up6(→))⊥eq\o(AD1,\s\up6(→))，即B1E⊥AD1.(2)解存在滿足要求的點(diǎn)P，假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此時(shí)eq\o(DP,\s\up6(→))＝(0，－1，z0)，設(shè)平面B1AE的法向量為n＝(x，y，z)．eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(a,0,1)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，0)).因?yàn)閚⊥平面B1AE，所以n⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AE,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋z＝0，,\f(ax,2)＋y＝0，))取x＝1，則y＝－eq\f(a,2)，z＝－a，故n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(a,2)，－a)).要使DP∥平面B1AE，只需n⊥eq\o(DP,\s\up6(→))，則eq\f(a,2)－az0＝0，解得z0＝eq\f(1,2).所以存在點(diǎn)P，滿足DP∥平面B1AE，此時(shí)AP＝eq\f(1,2).思維升華(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素)．(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理．跟蹤訓(xùn)練4如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)．(1)求證：平面A1B1D⊥平面ABD；(2)求證：平面EGF∥平面ABD.證明以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(xiàn)(0,1,4)．設(shè)BA＝a，則A(a,0,0)，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，4)).(1)因?yàn)閑q\o(BA,\s\up6(→))＝(a,0,0)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(0,2,2)，eq\o(B1D,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，所以eq\o(B1D,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，eq\o(B1D,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0.所以eq\o(B1D,\s\up6(→))⊥eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(B1D,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD?平面ABD，所以B1D⊥平面ABD.因?yàn)锽1D?平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD.(2)方法一因?yàn)閑q\o(EG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1，1))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(B1D,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，所以eq\o(B1D,\s\up6(→))·eq\o(EG,\s\up6(→))＝0，eq\o(B1D,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0.所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.因?yàn)镋G∩EF＝E，EG，EF?平面EGF，所以B1D⊥平面EGF.又由(1)知B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD.方法二因?yàn)閑q\o(GF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，0))，所以eq\o(GF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，∴GF∥BA，又GF?平面ABD，AB?平面ABD，所以GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD，又GF∩EF＝F，GF，EF?平面EGF，所以平面EGF∥平面ABD.課時(shí)精練1．已知直線l的一個(gè)方向向量為m＝(x,2，－5)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(3，－1,2)，若l∥α，則x等于()A．－6B．6C．－4D．4答案D解析若l∥α，則m⊥n，從而m·n＝0，即3x－2－10＝0，解得x＝4.2．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的個(gè)數(shù)為()①若向量a，b與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則a∥b；②若非零向量a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則有a∥c；③若{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}是空間的一個(gè)基底，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，則A，B，C，D四點(diǎn)共面；④若{a＋b，b＋c，c＋a}是空間的一個(gè)基底，則{a，b，c}也是空間的一個(gè)基底．A．1B．2C．3D．4答案C解析對(duì)于①，若向量a，b與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則a，b為共線向量，即a∥b，故①正確；對(duì)于②，若非零向量a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則a與c不一定共線，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}是空間的一個(gè)基底，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，則eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，可得A，B，C，D四點(diǎn)共面，故③正確；對(duì)于④，若{a＋b，b＋c，c＋a}是空間的一個(gè)基底，則空間任意一個(gè)向量d存在唯一實(shí)數(shù)組(x，y，z),使d＝x(a＋b)＋y(b＋c)＋z(c＋a)＝(x＋z)a＋(x＋y)b＋(y＋z)c，則{a，b，c}也是空間的一個(gè)基底，故④正確．3.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)AD＝1，則eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．1 B．2C．3 D.eq\f(\r(6),3)答案A解析由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))，所以eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋0＝1.4．已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2，－1,2)，α的一個(gè)法向量為n＝(3,1,2)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是()A．(1，－1,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－3，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3，－\f(3,2)))答案B解析對(duì)于選項(xiàng)A，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(PA,\s\up6(→))·n＝5，所以eq\o(PA,\s\up6(→))與n不垂直，排除A；同理可排除C，D；對(duì)于選項(xiàng)B，有eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－4，\f(1,2)))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·n＝0，因此B項(xiàng)正確．5.如圖在一個(gè)120°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直，若AB＝eq\r(2)，AC＝1，BD＝2，則CD的長(zhǎng)為()A．2B．3C．2eq\r(3)D．4答案B解析∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BD,\s\up6(→))2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))，∵eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|cos(180°－120°)＝eq\f(1,2)×1×2＝1.∴eq\o(CD,\s\up6(→))2＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝3.6．已知空間中三點(diǎn)A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3,1)，則下列結(jié)論正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))是共線向量B．與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的單位向量是(1,1,0)C.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))夾角的余弦值是－eq\f(\r(55),11)D．平面ABC的一個(gè)法向量是(－1，－2,5)答案C解析對(duì)于A，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,2,1)，不存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))不是共線向量，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1,0)，所以與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的單位向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)，0))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)，0))，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3,1,1)，所以cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝－eq\f(\r(55),11)，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,2,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,－x＋2y＋z＝0.))令x＝1，則n＝(1，－2,5)，所以D錯(cuò)誤．7．已知直線l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的一個(gè)法向量是n＝(2,3,3)．若l⊥α，則a＋b＝________.答案2解析∵m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)是直線l的方向向量，n＝(2,3,3)是平面α的一個(gè)法向量，l⊥α，∴m∥n，∴eq\f(1,2)＝eq\f(a＋2b,3)＝eq\f(a－1,3)，解得a＝eq\f(5,2)，b＝－eq\f(1,2)，∴a＋b＝2.8．已知V為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且VA＝VB＝VC＝VD，eq\o(VP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up6(→))，eq\o(VM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VB,\s\up6(→))，eq\o(VN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up6(→)).則VA與平面PMN的位置關(guān)系是________．答案VA∥平面PMN解析如圖，設(shè)eq\o(VA,\s\up6(→))＝a，eq\o(VB,\s\up6(→))＝b，eq\o(VC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(VD,\s\up6(→))＝a＋c－b，由題意知eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.因此eq\o(VA,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(PN,\s\up6(→))，∴eq\o(VA,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))共面．又∵VA?平面PMN，∴VA∥平面PMN.9．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直線AB上是否存在一點(diǎn)E，使得eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b？(O為原點(diǎn))解(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝eq\r(02＋－52＋52)＝5eq\r(2).(2)令eq\o(AE,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1，－2)，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b，則eq\o(OE,\s\up6(→))·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq\f(9,5).因此存在點(diǎn)E，使得eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(