高中數(shù)學(xué)《數(shù)列的概念》同步練習(xí)與答案解析

選擇性必修二《4.1數(shù)列的概念》同步練習(xí)

一、單選題

r13.1

1.已知數(shù)列｛4｝中，6==，an=1-----（〃cN+,〃22）,那么。2必等于（）

a

4n-\

13

A.—B.—C.2D.4

34

2.數(shù)列1、1、2、3、5、8、13、21、34、…稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，是意大利著名數(shù)

學(xué)家斐波那契于1202年在他撰寫(xiě)的《算盤(pán)全書(shū)》中提出的，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三項(xiàng)

起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和.在該數(shù)列的前2020項(xiàng)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.505B.673C.674D.1010

3.“干支紀(jì)法”是我國(guó)記年、月、日、時(shí)的序號(hào)的傳統(tǒng)方法，天干地支簡(jiǎn)稱(chēng)“干支”，天

干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.“地支”指：子、丑、寅、卯、辰、

巳、午、未、申、酉、戌、亥.如，農(nóng)歷1861年為辛酉年，農(nóng)歷1862年為壬戌年，農(nóng)歷

1863年為癸亥年，則農(nóng)歷2068年為（）

A.丁亥年B.丁丑年C.戊寅年D.戊子年

4.原始的蚊香出現(xiàn)在宋代.根據(jù)宋代冒蘇軾之名編寫(xiě)的《格物粗談》記載：“端午時(shí)，貯

浮萍，陰干，加雄黃，作紙纏香，燒之，能祛蚊蟲(chóng).”如圖，為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)軟

件制作的“螺旋蚊香”，畫(huà)法如下:在水平直線(xiàn)/上取長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段AB，做一個(gè)等邊三

角形ABC,然后以點(diǎn)8為圓心，A8為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧，交線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

D，再以點(diǎn)C為圓心，CO為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧，交線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，以此類(lèi)

推，當(dāng)?shù)玫降摹奥菪孟恪迸c直線(xiàn)/恰有21個(gè)交點(diǎn)時(shí)，“螺旋蚊香”的總長(zhǎng)度的最小值為

（）

A.31071B.34()71C.930兀D.102071

5.衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文

化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量

總和，它是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次

是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50-,則該數(shù)列第16項(xiàng)為（）

A.152B.134C.128D.102

6.公元前四世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)和形的關(guān)系進(jìn)行了研究.他們借助幾何圖形（或格

點(diǎn)）來(lái)表示數(shù)，稱(chēng)為形數(shù).形數(shù)是聯(lián)系算術(shù)和兒何的紐帶.如圖所示，數(shù)列1,6,15,28,

45-從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)都可以用六邊形表示出來(lái)，故稱(chēng)它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么該數(shù)列

的第11項(xiàng)對(duì)應(yīng)的六邊形數(shù)為（）

二、多選題

7.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,2,3,

5,,其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成

的數(shù)列｛q｝稱(chēng)為“斐波那契數(shù)列”，記S,為數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是

)

A.%=8B.S7=33

D..卡

C.4+〃3+〃5+.??+〃2019=a2O2O

8.斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多?斐波那契于1202年

提出的數(shù)列.斐波那契數(shù)列為1,1,2,3,5,8,13,21,……，此數(shù)列從第3項(xiàng)開(kāi)始,

每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記該數(shù)列為｛尸（〃）｝,貝乂尸（〃）｝的通項(xiàng)公式為（）

卜中

B.尸(〃+1)=尸(")+打〃2且尸(1)=1,62)=1

9.對(duì)于數(shù)列｛4｝,若存在正整數(shù)k（Z22）,使得見(jiàn)<以_1,ak<aM,則稱(chēng)4是數(shù)列

｛4｝的“谷值，%是數(shù)列｛為｝的“谷值點(diǎn)”，在數(shù)列｛%｝中，若q=〃+[—8,則數(shù)列

｛4｝的“谷值點(diǎn)”為（）

A.2B.3C.5D.7

三、填空題

10.在數(shù)列｛《,｝中,4=1,4+冬+q+…+3=a“（〃€N*）,則。“=.

11.已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足4=33,4+「an=2n,則2的最小值為.

n

12.已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足：《=2020,弓用=4+%—若正整數(shù)%使得

+的+…+2寸-?.

a.a1--a.=-----=-----------成竺，則mk=

-12021

四、解答題

13.數(shù)列｛%｝中，an=nr-5n+4.

（1）18是數(shù)列中的第幾項(xiàng)？

（2）〃為何值時(shí)，/有最小值？并求最小值.

14.下面圖形都是由小正三角形構(gòu)成的，設(shè)第〃個(gè)圖形中的黑點(diǎn)總數(shù)為/（〃）.

⑴求〃2）,〃3）J（4）J（5）的值；

⑵找出了（〃）與〃"+1）的關(guān)系，并求出/（"）的表達(dá)式.

①②③④

5且凡“二胃(〃=2,3,4”一).

15.已知數(shù)列｛%｝中,%=1,a2

(1)求內(nèi)、%的值，

(2)設(shè)2=—!――1("€^0試用"表示。用，并求｛〃｝的通項(xiàng)公式；

an+\

sin3/—*、

(3)設(shè)%=----------「("GN),求數(shù)列｛c“｝的前〃項(xiàng)和S..

cos/?n?cosbn+｝

16.已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足q=，，4M=1+」-,數(shù)列｛%｝可以是無(wú)窮數(shù)列，也可以是有窮

351

數(shù)列，如取7=1時(shí)，可得無(wú)窮數(shù)列：1,2,取「=一一時(shí)，可得有窮數(shù)列:

232

(1)若的=。，求》的值；

(2)若1<?！?lt;2對(duì)任意〃22,〃eN*恒成立.求實(shí)數(shù)，的取值范圍；

⑶設(shè)數(shù)列｛仇｝滿(mǎn)足4=一1,%=區(qū)匕(〃€“)，求證：.取數(shù)列也｝中的任何一

個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列｛4｝.

答案解析

一、單選題

,13,1

1.已知數(shù)列｛4｝中，弓=亍，?！?1———(〃wN+,〃22),那么"20等于()

a

4n-\

13

A.—B.—C.2D.4

34

【答案】B

【分析】

根據(jù)4=4，,計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，得到數(shù)列｛凡｝是以3為周期的數(shù)列求解.

【詳解】

3,1

因?yàn)椋?一，?！?1-----，

43

,11

所以

所以數(shù)列｛q｝是以3為周期的數(shù)列，

_3

所以“2020—。673*3+1=4=W，

故選：B

本題主要考查數(shù)列的周期性的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.數(shù)列1、1、2、3、5、8、13、21、34、…稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，是意大利著名數(shù)

學(xué)家斐波那契于1202年在他撰寫(xiě)的《算盤(pán)全書(shū)》中提出的，該數(shù)列的特點(diǎn)是：從第三項(xiàng)

起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和.在該數(shù)列的前2020項(xiàng)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.505B.673C.674D.1010

【答案】B

【分析】

由斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)可知，該數(shù)列只有第弘(&GN*)項(xiàng)為偶數(shù)，再由2020=3*673+1

可求得結(jié)果.

【詳解】

由斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)，可得此數(shù)列只有第弘心eN*）項(xiàng)為偶數(shù),

由于2020=3x673+1,所以前2020項(xiàng)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為673.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查斐波那契數(shù)列的應(yīng)用，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.“干支紀(jì)法”是我國(guó)記年、月、日、時(shí)的序號(hào)的傳統(tǒng)方法，天干地支簡(jiǎn)稱(chēng)“干支”，

天干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.“地支”指：子、丑、寅、卯、

辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.如，農(nóng)歷1861年為辛酉年，農(nóng)歷1862年為壬戌年，

農(nóng)歷1863年為癸亥年，則農(nóng)歷2068年為（）

A.丁亥年B.丁丑年C.戊寅年D.戊子年

【答案】D

【分析】

由題意得天干是以10為周期的數(shù)列，地支是以12為周期的數(shù)列，以1861為首項(xiàng)，即可得

答案.

【詳解】

記6=辛，4=酉（1861）；“2=壬，優(yōu)=戌（1862）；/=癸，4=亥（1863）,

所以記天干為數(shù)列{4},且最小正周期為10,記地支為數(shù)列{4},且最小正周期為12,

故"2068=%=戊，b206g==子（2068）,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的周期性，難點(diǎn)在于需將題目信息轉(zhuǎn)化為所學(xué)數(shù)列的知識(shí)，考查邏輯推理，

歸納分析的能力，屬中檔題.

4.原始的蚊香出現(xiàn)在宋代.根據(jù)宋代冒蘇軾之名編寫(xiě)的《格物粗談》記載：“端午時(shí)，貯

浮萍，陰干，加雄黃，作紙纏香，燒之，能祛蚊蟲(chóng).”如圖，為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)

軟件制作的“螺旋蚊香”，畫(huà)法如下:在水平直線(xiàn)/上取長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段A3,做一個(gè)等邊

三角形A8C,然后以點(diǎn)3為圓心，為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧，交線(xiàn)段8C的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

D,再以點(diǎn)。為圓心，CO為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧，交線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,以此類(lèi)

推，當(dāng)?shù)玫降摹奥菪孟恪迸c直線(xiàn)/恰有21個(gè)交點(diǎn)時(shí)，“螺旋蚊香”的總長(zhǎng)度的最小值為

()

A.310KB.340KC.930兀D.1020K

【答案】A

【分析】

根據(jù)畫(huà)圓弧的規(guī)律：分別以B,C,A為圓心，抽象半徑長(zhǎng)度的數(shù)列，明確圓弧與直線(xiàn)的交

點(diǎn)情況，再根據(jù)當(dāng)“螺旋蚊香”與直線(xiàn)/恰有—??21—???個(gè)交點(diǎn)時(shí)，若使

“螺旋蚊香”的總長(zhǎng)度最小，確定數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，求得最后圓弧的半徑即可.

【詳解】

如圖所示：

當(dāng)以B為圓心，半徑為：1,4,7,10,…除起點(diǎn)外，與直線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)，①

當(dāng)以C為圓心，半徑為：2,5,8,11,…與直線(xiàn)有一個(gè)點(diǎn)，②

當(dāng)以A為圓心，半徑為：3,6,9,12,…除終點(diǎn)(即①的起點(diǎn)，點(diǎn)A除外)外，與直線(xiàn)

無(wú)交點(diǎn)，③

所以當(dāng)“螺旋蚊香”與直線(xiàn)/恰有?個(gè)交點(diǎn)時(shí)，若使“螺旋蚊

香”的總長(zhǎng)度最小，

則完成整數(shù)個(gè)循環(huán)，

所以以B為圓心的弧與直線(xiàn)只有交點(diǎn)A,以C為圓心的弧與直線(xiàn)10個(gè)交點(diǎn)，以A為圓心

的弧與直線(xiàn)有10個(gè)交點(diǎn)，

即數(shù)列②有10項(xiàng)，數(shù)列③有10項(xiàng)，

所以最后一個(gè)圓弧的半徑為「=3+3(10-1)=30,

所以“螺旋蚊香”的總長(zhǎng)度的最小值為

1、130(1+30)

x(zl+2+3+…+3。)=一一^=310萬(wàn).

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列的抽象與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的應(yīng)用，還考查了分析求解問(wèn)

題的能力，屬于中檔題.

5.衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)

文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)

量總和，它是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，該數(shù)列從第一項(xiàng)起依

次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50…，則該數(shù)列第16項(xiàng)為（）

A.152B.134C.128D.102

【答案】C

【分析】

根據(jù)數(shù)據(jù)找出規(guī)律，依次寫(xiě)出來(lái)即可.

【詳解】

前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,

2

偶數(shù)項(xiàng)分別為2,8,18,32,50,可得偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式：a2n=2n.

所以該數(shù)列第16項(xiàng)為=2x82=128.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式、歸納法，考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

6.公元前四世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)和形的關(guān)系進(jìn)行了研究.他們借助幾何圖形（或格

點(diǎn)）來(lái)表示數(shù)，稱(chēng)為形數(shù).形數(shù)是聯(lián)系算術(shù)和幾何的紐帶.如圖所示，數(shù)列1,6,15,28,

45,從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)都可以用六邊形表示出來(lái)，故稱(chēng)它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么該數(shù)列

的第11項(xiàng)對(duì)應(yīng)的六邊形數(shù)為（）

A.153B.190C.231D.276

【答案】C

【分析】

根據(jù)題中所給圖與對(duì)應(yīng)的六邊形數(shù)，記第〃個(gè)六邊形數(shù)為凡，找出規(guī)律，相鄰兩項(xiàng)差構(gòu)成

等差數(shù)列，累加求得生,=2〃2一〃，將九=11代入求得結(jié)果.

【詳解】

記第〃個(gè)六邊形數(shù)為%,

由題意知：4=1,。2一％=5=l+4xl,

=1+4x2,%-%=1+4x3,…，

=l+4(n-l),

(〃-1)[5+4〃-3]=2/〃1,

累加得=5+9+…+[1+4(“_1)]=

2

即

an=2ir-n,

所以a”=2xll2-ll=231,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中

檔題目.

二、多選題

7.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,2,

3,5,….，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)

組成的數(shù)列｛q｝稱(chēng)為“斐波那契數(shù)列”，記S“為數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確

的是（）

A.4=8B.S7=33

4+生+.....+々019_

C.Q]+-----々2019=々2020Un?_Un2O2O

2019

【答案】ABCD

【分析】

由題意可得數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足遞推關(guān)系q=1嗎=1，4=%-2+4T(〃N3),對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)可

得正確答案.

【詳解】

對(duì)A,寫(xiě)出數(shù)列的前6項(xiàng)為1,1,2,3,5,8,故A正確；

對(duì)B,S7=1+1+2+3+5+8+13=33,故B正確；

C>由Q]=，03。4—，a$。6一,...,1“201942020—。2018，

可得:%+/+%+…+。2019=。2020?故4+/+%+…+。2019是斐波那契數(shù)列中的第

2020項(xiàng).

對(duì)D,斐波那契數(shù)列總有?！?2=4+1+4，則W=%3-4)=電4一g4，

狀=%(4-%)="3a4—電色，...,

“2018=%)18(%)191%)17)=%018%)191'^2019=^2019^2020—42019a2018

+4++.....+a￡oi9=^2019^2020，故D正確?

故選：ABCD.

【點(diǎn)睛】

本題以“斐波那契數(shù)列”為背景，考查數(shù)列的遞推關(guān)系及性質(zhì)，考查方程思想、轉(zhuǎn)化與化

歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意遞推關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)換.

8.斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多?斐波那契于1202年

提出的數(shù)列.斐波那契數(shù)列為1,1,2,3,5,8,13,21,……,此數(shù)列從第3項(xiàng)開(kāi)始，

每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記該數(shù)列為｛/(〃)｝,貝乂/^〃)｝的通項(xiàng)公式為()

A.0號(hào)￡

B.F(/?+l)=/(〃)+尸(〃-1),〃22且/(1)=1,尸(2)=1

1i^Yfi-VsY

C.F⑺=+

2

得〔丁廠(chǎng)77

1+⑸"i-VsY

D.（-----+

F"T22）

【答案】BC

【分析】

根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證即可;

【詳解】

解：斐波那契數(shù)列為1,1,2,3,5,8,13,21,

顯然尸（1）=1,尸（2）=1,F（3）=F（1）+F（2）=2,尸（4）=尸（2）+（（3）=3,

F（n+l）=F（H）+F（H-l）,n>2,所以尸（〃+1）=產(chǎn)（〃）+尸（〃-1）,〃22且

戶(hù)(1)=1，尸(2)=1,即B滿(mǎn)足條件;

由產(chǎn)(〃+1)=產(chǎn)(〃)+尸(〃一

所以*”+1)-與如(〃)=與^

所以數(shù)列［尸(〃+i)-匕盧尸(”)|是以55為首項(xiàng)，匕好為公比的等比數(shù)列,

222

所以尸+上等尸(〃)

1-君

所以-（"+1）-F、*〃）

所以1+6-1+41+小產(chǎn)+1

?2212；

為公比的等比數(shù)列,

所以“膂+(二丹年嚴(yán)

故選：BC

【點(diǎn)睛】

考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，本題運(yùn)算量較大，難度較大，要

求由較高的邏輯思維能力，屬于中檔題.

9.對(duì)于數(shù)列｛4｝,若存在正整數(shù)攵(a2),使得ak＜ak+],則稱(chēng)4是數(shù)列

o

｛為｝的“谷值，％是數(shù)列｛叫的“谷值點(diǎn)”，在數(shù)列｛4,｝中，若《,=〃+--8,則數(shù)

列｛%｝的“谷值點(diǎn)”為()

A.2B.3C.5D.7

【答案】AD

【分析】

由數(shù)列的通項(xiàng)公式求出前七項(xiàng)各項(xiàng)的值，然后根據(jù)題意進(jìn)行求解即可，

【詳解】

9376129

=9

因?yàn)?—〃T8,所以Q]=2,4=萬(wàn),。3=2,q~?%=,'。6=萬(wàn)'%=/，。8=W

999

當(dāng)〃N7,〃￡N,---8>0a=nH---8=〃H----8,此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增,

nnnn

“o＜Q],＜。39＜。69。7＜。89

所以數(shù)列｛%｝的“谷值點(diǎn)”為2,7.

故選：AD

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)學(xué)閱讀能力，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，考查了數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題.

三、填空題

10.在數(shù)列｛?！ǎ?，［=1,4+才+親+，??+3=

n'

■2〃

【答案】--

〃+1

【分析】

。2%an-\

由己知得：當(dāng)〃22時(shí)，4+歹+芯+?一+/I。=%,與原式相減得

23(力-1)

n〃+1n

—ci—a_,即一一a----，遞推可得答案.

nntl｝nnn-\

【詳解】

由題意得：當(dāng)“22時(shí)，4+*+*+…+*^7=4-1,所以3=0，，一。，1，即

23(〃-1)幾-

.口“口〃+1n廣…n+1nn-12.

也即是一an=-,所以——an=--an_x=--an_2=?.?=；%=2，

nn-1nn-\n-2?

故答案為：——

n+1

【點(diǎn)睛】

本題考查由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)，屬于中檔題.

11.已知數(shù)列｛%,｝滿(mǎn)足4=33,4加一=2〃,則%的最小值為.

n

【答案】W21

2

【分析】

先利用累加法求出現(xiàn)=33+/-n,所以”=二+〃-1,設(shè)f(n)=—+n-l,由此能導(dǎo)

nnn

出n=5或6時(shí)f(n)有最小值.借此能得到%的最小值.

n

【詳解】

解：Va?+i-a?=2n,???當(dāng)n22時(shí)，an=(an-an-i)+(a?-i-an-2)+…+(a2-ai)+a1=

2[l+2+…+(n-1)]+33=n2-n+33

2

且對(duì)n=l也適合，所以au=n-n+33.

[[赤/33

從而—=---F71—1

nn

設(shè)f(n)=—+n-l,令f，(n)=^-+l>0,

nn

則f(n)在(屈，+8)上是單調(diào)遞增，在(0,屈)上是遞減的,

因?yàn)閚CN+,所以當(dāng)n=5或6時(shí)f(n)有最小值.

1

所以的最小值為-y-=—

n62

故答案為—

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了累加法.還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函

數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性.

12.已知數(shù)列｛q｝滿(mǎn)足：q=2020,a,,T=d+4-l(〃eN*),若正整數(shù)人使得

。出…〃…+嫌+2成立，則卜=____________.

'2卜2021

【答案】2019

【分析】

根據(jù)a.+|=a；+a“一1(〃eN*)可得="用一4+1且a=,結(jié)合已知條件的等

n+1

式成立，即可求人的值；

【詳解】

為+1=4；+%一1(〃6”)知：42=?！?|-4+1且%=與卓,則：

a“十1

a；+a；+…+a[=出—4+1+%—出+1+…+4+]—&+1=4+1—2020+k,

生+1%+1%+1+1W+1+1hCl7++???+〃￡+2

q+1%+1%+12021'而例…火一方（KI

.^,+fe-2018_g+l即

+=i±L>=2019.

20212021

故答案為：2019

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用數(shù)列遞推式，結(jié)合等式成立求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，注意結(jié)合已知等式中乘積形

式、平方形式轉(zhuǎn)化遞推式求參數(shù);

四、解答題

13.數(shù)列｛《,｝中，4="2-5〃+4.

(1)18是數(shù)列中的第幾項(xiàng)？

(2)〃為何值時(shí)，/有最小值？并求最小值.

【答案】(1)第7項(xiàng)；(2)〃=2或〃=3時(shí)，最小值為—2

【分析】

(1)令5〃+4=18且〃eN*，解方程可得〃的值.

(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性和最值可得％有最小值以及對(duì)應(yīng)的”的值.

【詳解】

2

令4,=〃2_5〃+4=[8,Bpn-5H-14=0，

解得：〃=7或〃=一2(舍)

(2)由-5〃+4,因?yàn)閥=f-5x+4,開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸》=!■

所以〃=2或"=3時(shí)，a”有最小值為4=2?-5x2+4=-2.

【點(diǎn)晴】

本題主要考查了判斷數(shù)列中的項(xiàng)，以及求數(shù)列的最小項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.

14.下面圖形都是由小正三角形構(gòu)成的，設(shè)第〃個(gè)圖形中的黑點(diǎn)總數(shù)為/(〃).

⑴求/(2),〃3)J(4)J(5)的值；

⑵找出/(〃)與”〃+1)的關(guān)系,并求出/(〃)的表達(dá)式.

【答案】⑴見(jiàn)解析；(2)/(〃)=3〃2,“GN*.

【分析】

(1)根據(jù)題意可直接寫(xiě)出結(jié)果;

(2)分別計(jì)算出“2)-"1),“3)-“2),/(4)—/(3),“5)—"4),歸納出

—再由累加法即可求出/(〃)的表達(dá)式.

【詳解】

(1)由題意可得："2)=12,/(3)=27,/(4)=48,45)=75；

⑵因?yàn)椤?)-〃1)=9：43)—"2)=15；/(4)-/(3)=21；

〃5)-〃4)=27；

觀(guān)察猜想：+是一個(gè)首項(xiàng)為9公差為6的等差數(shù)列，

即/(〃+l)_/(〃)=9+(〃_l)x6=6〃+3.

因?yàn)椤?)-/(1)=9；〃3)—"2)=15；/(4)-/(3)=21；

〃5)-/(4)=27；

把上述式子累加可得到：/⑺二/?⑴=(9+6〃乎"T)=3〃2_3；

又因?yàn)?(1)=3,所以/(〃)=3/.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查歸納推理以及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于?？碱}型.

,、I(〃-1)。”,-c,、

15.已知數(shù)列｛q｝中，%=1,%=彳，且%+i=鼠―。(〃=2,3,4,...).

(1)求/、4的值，

1*

(2)設(shè)a=-----l(〃eN)試用"表示%,并求也｝的通項(xiàng)公式；

an+\

sin3/2*、

(3)設(shè)c.=-----求數(shù)列｛c“｝的前〃項(xiàng)和S”.

cos瓦?cos",

b=b9

【答案】⑴/=L。4=j⑵n+\——nnsN：b〃=3n,〃^N*；

710n

(3)tan(3n+3)-tan3.

【分析】

(1)由數(shù)列｛6J中，6=1,4=,，且q用二(〃―1""5=2,3,4,...),分別令〃=2

-4n-an

和〃=3,求出。3、。4的值?

r,1?〃一?n(l-a)n\\八一

(2)當(dāng)〃N2時(shí)，-----1=-----------1=———-=---------------1,即

?！?]5—(〃一1)為)

7777+1

bn=--bn_｝,則"川=——bn,然后用累乘法求解.

〃一1n

sin3rc、c

(3)由%=---------「=tan(3〃+3)—tan3〃，然后利用裂項(xiàng)相消法求解.

cos/?,,-cos/??+l

【詳解】

(1)；數(shù)列｛a“｝中，q=1,“2=1，

且4M=^^(〃=2,3,4,...)

n-an

]_

(2—1)%41

/.%=-------=~，

2-a22」7

~4

l

;(3-1)=2x7=1

43-6R]10,

7

11

；?%=—,a=—.

37410

1__]="4,]_〃(1_%)_〃j1

(2)當(dāng)〃22時(shí),

%+i(?-!)??〃一114

n

...當(dāng)〃22時(shí)，bn=b,i

n-\

77+1

故%i=——或，〃GN*，

n