數(shù)學(xué)（文）一輪教學(xué)案第十章第2講雙曲線及其性質(zhì)

第2講雙曲線及其性質(zhì)

考綱展示命題探究

考點(diǎn)展示考綱要求高考命題探究

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.1.內(nèi)容探究：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的幾何性質(zhì)(特別是離

—心率、漸近線)的應(yīng)用，常與圓、橢圓、拋物線交匯命題.

雙曲線的幾何性質(zhì)知道雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.形式探究：高考中本講內(nèi)容多以選擇題、解答題形式出現(xiàn).

__?

“2考點(diǎn)一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

矮點(diǎn)基礎(chǔ)點(diǎn)重難點(diǎn)

1雙曲線的定義

(1)定義：平面上，到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)(小于兩

定點(diǎn)間的距離)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間

的距離叫做焦距.

(2)符號(hào)語(yǔ)言：HMF11-|MF2||=2a(2fl<|FiF2|).

2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)雙曲線的定義，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系得出的，其形式為：

(1)當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2y1

了一方=l(a>0,Z?0).

(2)當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2f

.一/=l(a>0,Z?0).

3雙曲線方程的幾種常見設(shè)法

(1)與雙曲線今一￡=1有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為1一.

=%(2W0).

nX2

(2)若雙曲線的漸近線方程為y=土%則雙曲線方程可設(shè)為泉一

或舟222y2=犯W0).

(3)與雙曲線最f=l共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為泊一而

=l(—b2<k<a2).

(4)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為如2+町2=

l(mn<0).

丫2

(5)與橢圓K。?〉。)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為

爐V2

再l+b2T

M注意點(diǎn)雙曲線定義的理解

當(dāng)|MB|一|M「2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)廠2所對(duì)應(yīng)的雙曲線的一

支；當(dāng)一|MB|=-2〃時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的雙曲線的

一支；當(dāng)2a=舊iBI時(shí)，軌跡為分別以廠2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)

2。>尸1昌時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.

抽一小題快做

1.思維辨析

(1)平面內(nèi)到點(diǎn)尸1(0,4),6(0，—4)距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是

雙曲線.()

(2)平面內(nèi)到點(diǎn)吊(0,4),6(0,一4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)

的軌跡是雙曲線.()

(3)方程：=1(m〃>0)表示焦點(diǎn)在％軸上的雙曲線.()

(4意+：=1表示雙曲線的充要條件是如2<0.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

22

2.與橢圓C：言+舌=1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)(1,小)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

方程為()

丫2

A.JC2—§=1B.9―2(=1

答案C

解析橢圓盤+==1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-2),(0,2),設(shè)雙曲線

C31

y2%2——-=1,

的標(biāo)準(zhǔn)方程為］一五=1(心0,H>0),貝1陽(yáng)n解得加=72=2,

lm+n=4,

故選C.

3.雙曲線正一^■=：!上的點(diǎn)P到點(diǎn)(5,0)的距離是6,則點(diǎn)P的坐

10y

標(biāo)是?

答案(8,士3小)

解析方(5,0)為雙曲線的右焦點(diǎn)，設(shè)尸(居y),則(%—5>+y2=36

①，與正一方=1②，聯(lián)立①②解得：％=8,尸土33.，。(8,±3^3).

法命題法解題法

/［考法綜述］高考一般考查雙曲線方程的求法和通過(guò)方程研

究雙曲線的性質(zhì).雙曲線的定義的考查主要是利用定義求雙曲線的方

程，或者是與正余弦定理結(jié)合解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題.

命題法雙曲線的定義和方程

典例(1)已知雙曲線C：，一1=1的焦距為10，點(diǎn)尸(2,1)在

C的漸近線上，則C的方程為()

。,而―20=1D,20-80=1

(2)已知雙曲線?一V=1的左、右焦點(diǎn)為西，尸2,點(diǎn)尸為左支上

一點(diǎn)，且滿足NPP尸2=60。，則△BPB的面積為.

［解析］(1)由2c=10,得c=5,

1ry1

,點(diǎn)P(2,l)在直線y=/上，/.1=-^,即。=2尻

Xa2+h2=25,a2=2Q,h2=5.

y2y2

故雙曲線C的方程為加一='=1.

(2)設(shè)1PBi=m，\PF2\=n,

2+/一2如7cos60°=(2c)2,

*m

n-m=2a,

n^-\-n2—mn=20,

所以2,2c〃

m-rn—2mn=16,

所以//m=4,所以小.

［答案］(1)A(2)仍

Q【解題法】雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法

(1)一般步驟

①判斷：根據(jù)已知條件確定雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸

上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能.

②設(shè)：根據(jù)①中判斷設(shè)出所需的未知數(shù)或者標(biāo)準(zhǔn)方程.

③列：根據(jù)題意列關(guān)于a,h,c的方程或者方程組.

④解：求解得到方程.

(2)常見問(wèn)題形式

①如果已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且確定了焦點(diǎn)在入軸上還是y

軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a,b,c的

方程組，解出/，從而寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(求得的方程可能

是一個(gè)，也有可能是兩個(gè)，注意合理取舍，但不要漏解).

②當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，有兩種方法來(lái)解決：

一種是分類討論，注意考慮要全面；另一種是如果已知中心在原

點(diǎn)，但不能確定焦點(diǎn)的具體位置，可以設(shè)雙曲線的一般方程如2+42

??對(duì)點(diǎn)題必刷題

1.下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=±2%的是

()

A.B.「y2=i

C.^—x2=lD./—^=1

答案C

解析雙曲線,一:=i和5―1=1的漸近線方程分別為‘一營(yíng)

=0和，一，=0.A、B選項(xiàng)中雙曲線的焦點(diǎn)在％軸上，C、D選項(xiàng)中

雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，又令彳一x2：。，得曠=±2%,令產(chǎn)一手=0,

得曠=±5，故選C.

2.已知雙曲線一方=1的離心率e=l，且其右焦點(diǎn)為尸2（5,0）,

則雙曲線C的方程為（）

x2y2x2y2

A.「］=lB-9-16=1

Ct_憶1D--^=l

c169141

答案C

解析由題意得e={1+*=1，又右焦點(diǎn)為尸2（5,0）,a2+h2

y2

—（?9所以屋=16,加=9,故雙曲線C的方程為正一歹=1.

會(huì)一方=1（。>0,8>0）的一條漸近線過(guò)點(diǎn)（2,S）,且雙曲線的一

個(gè)焦點(diǎn)在拋物線V=4巾％的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（）

A^_j

A-21281氏28211

41u431

答案D

解析由題意可得（=坐，c=y/7,又/=7=〃+%解得〃=4,

/=3,故雙曲線的方程為差一q=1.

C的離心率為2,焦點(diǎn)為丹，/2,點(diǎn)A在。上.若向A|=2尸刈,

則cosNABR=()

1

B二

4-3

C近D也

J4u-3

答案A

解析...雙曲線的離心率為2,..5=2,

：.a":c=l：?。?.

\AFi\-\AF2\=2a,

1KAi=2舊

A\AF]\=4a,\AF2\=2a,

：.\FiF2\=2c=4a,

|AB|2+|FE|2一|AB|2

COSXAF2F1—

2IAF2IIF1F2I

4a2+16次一16a24a21

2X2aX4a—=16?5=4,選\?

5.設(shè)雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2),且與?一9=1具有相同漸近線，則

。的方程為;漸近線方程為

Y2V2

答案75=1y=±2x

解析雙曲線?一r=1的漸近線方程為尸=±".

99

設(shè)與雙曲線;一好=1有共同漸近線的方程為方一片="丸力0),又

22

(2,2)在雙曲線上，故％"-22=2,解得2=—3.

故所求雙曲線方程為?T=-3,即與一號(hào)L

所求雙曲線的漸近線方程為y=±2x.

6.如圖所示，已知雙曲線以長(zhǎng)方形A3CZ)的頂點(diǎn)A,B為左、

右焦點(diǎn)，且雙曲線過(guò)C,。兩頂點(diǎn).若4B=4,BC=3,則此雙曲線

的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案^一￡=1

解析設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為最一￡=13〉0,b>0).由題意得

8(2,0),C(2,3),

4=a2-hb2,

a2=1,

?.jn解得<

力2=3,

二.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為^-^=1.

7.已知雙曲線的漸近線方程為2d3y=0,且焦距是2亞，則雙

曲線方程為.

答案看_;=1或?1

解析設(shè)雙曲線方程為卷一看="2W0).

若2>0,則層=9九從=42,

c2=a2-\-b2=l3L

由題設(shè)知2c=245,「.2=1,

故所求雙曲線方程為5一1=1；

若kO,則〃2=—4%,岳=一9九

222

C=6Z+Z?=—132.由2c=2y[139.*.2=—1,

故所求雙曲線方程為1—5=1.

今y

綜上，所求雙曲線方程為三一%=1或5=1.

y4-4-y

噩考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)

礎(chǔ)點(diǎn)重難點(diǎn)

1雙曲線的幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程^~^-=1(?>0,6>0)號(hào)一%=l(a>0">0)

aIfaI)

范圍或z&—aGRzGR.y'a或y《一a

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸;對(duì)稱中心:原點(diǎn)

頂點(diǎn)坐標(biāo)：頂點(diǎn)坐標(biāo)：

頂點(diǎn)

—a

A(—a?0)?A2(。，0)A1(09)?A2(0?a)

,h?a

漸近線y一土一x一工

a

離心率e=—,(1,+00)，其中c=J優(yōu)+If

a---------

線段A/2叫做雙曲線的笑觸，它的長(zhǎng)|A|4|=

2a；線段BB叫做雙曲線的虛翅，它的長(zhǎng)|因與1

軸}2

=2〃；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，〃叫做雙曲線的

虛半軸長(zhǎng)

2等軸雙曲線及性質(zhì)

(1)等軸雙曲線：實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相笠的雙曲線叫做等軸雙曲線,

其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫作：y2=/QW0).

(2)等軸雙曲線=離心率兩條漸近線y=±x相互垂直.

3點(diǎn)P(%o,yo)和雙曲線也一方=1(。>0,8>0)的關(guān)系

⑴尸在雙曲線內(nèi)(含焦點(diǎn)部分)j—孰；

(2)尸在雙曲線上o3一*=1；

(3)P在雙曲線外(不含焦點(diǎn)部分)4T<1.

儲(chǔ))注意點(diǎn)雙曲線的離心率與曲線開口大小的關(guān)系

離心率e的取值范圍：e>l,當(dāng)e越接近于1時(shí)，雙曲線開口越

??；e越接近于+8時(shí)，雙曲線開口越大.

JJI0小題快做；

1.思維辨析

(1)雙曲線方程親一三=“心0,〃〉0,2N0)的漸近線方程是轟一3

illILIII'iv

=0,即*±、=0.()

(2)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于表.()

(3)若雙曲線點(diǎn)一g=l(a〉0,匕＞0)與:一%=1(。＞0,〃〉0)的離心率

分別是為，02,則t+*=1(此結(jié)論中兩條雙曲線稱為共甄雙曲

線).()

(4)漸近線的斜率與雙曲線的離心率的關(guān)系是仁川田+1.()

答案⑴J(2)V(3)V(4)X

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y

軸上，一條漸近線方程為％—2y=0,則它的離心率為()

A.小B坐

C.小D.2

答案A

解析依題意設(shè)雙曲線的方程是5―3=1(其中。＞。，8＞0)，則

其漸近線方程是尸土右，由題知方=今即匕=2a,因此其離心率e=

N屋+爐—小a_r-

a-a"~"Y?

92

3.以橢圓]+]=l的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的漸近

線方程為.

答案

?9

解析橢圓了+]=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),(—1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(2,0),(—2,0).

則雙曲線的頂點(diǎn)為(1,0),(-1,0),焦點(diǎn)為(2,0),(-2,0).

則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：^-^-=1.

其漸近線為y=±\［3x.

話命題法解題法

>［考法綜述］高考對(duì)于雙曲線的幾何性質(zhì)的考查以理解和運(yùn)

用為主，雙曲線獨(dú)有的漸近線是高頻考點(diǎn)，常與其他圓錐曲線綜合考

查，難度較大.

命題法雙曲線的幾何性質(zhì)

典例⑴已知K、F2分別是雙曲線了一方=1(。>0,8>0)的左、

右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條

漸近線于點(diǎn)“，若點(diǎn)M在以線段為直徑的圓外，則雙曲線離心

率的取值范圍是()

A.(1,也)B.(也，小)

C.(小，2)D.(2,+8)

(2)過(guò)雙曲線，一方=l(a>0,h>0)的左焦點(diǎn)尸作圓O：j^+y^—a2

的兩條切線，切點(diǎn)為A,B,雙曲線左頂點(diǎn)為C,若NAC8=120。，

則雙曲線的漸近線方程為()

A.y=±\f?>xB.y=土半工

C.y=±\［2xD.y=土乎工

［解析］(1)如圖所示，過(guò)點(diǎn)F2(c,0)且與漸近線y=^x平行的直

(b/、

bby=L)，

線為c),與另一條漸近線y=一不聯(lián)立得<

ClClp

y=-r,

ca

..?點(diǎn)”在以線段尸產(chǎn)2為直徑的圓外,

?.\OM\>c,

即與行野>0，得行價(jià)>2.

/.雙曲線離心率e=，、J1+g>>2.

故雙曲線離心率的取值范圍是(2,+-).故選D.

(2)如圖所示，設(shè)雙曲線/一臺(tái)=l(q〉O,Z?〉0)的焦距為2c(c>0),

則C(~a,0),F(-c,0).

由雙曲線和圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)A與點(diǎn)3關(guān)于％軸對(duì)稱，則NACO

=/BCO=IACB=gx120°=60°.

'：\OA\=\OC\=a,「.△ACO為等邊三角形，AZAOC=60°.

:胡切圓。于點(diǎn)A,：.OA±FA,

在RtAAOF中，ZAFO=900-ZAOF=90°-60°=30°,

'.\OF\=2\OA\,即c=2a,.,.b=ylc2—a2=yj(2a)2—a2=-\j3a,故

雙曲線技=1(。>。，b>0)的漸近線方程為產(chǎn)等，即

［答案］(1)D(2)A

Q【解題法】求雙曲線離心率、漸近線問(wèn)題的一般方法

(1)求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)

于雙曲線基本量q,b,c的方程或不等式，利用。2=/一次和e=\轉(zhuǎn)

化為關(guān)于e的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或

取值范圍.

(2)求漸近線時(shí)，利用/=層+塊轉(zhuǎn)化為關(guān)于凡人的方程或不等

式.雙曲線漸近線的斜率與離心率的關(guān)系.

即對(duì)點(diǎn)題必刷題

1.已知4,3為雙曲線上的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，/XABM

為等腰三角形，且頂角為120。，則E的離心率為()

A.小B.2

C.小D.^2

答案D

解析設(shè)雙曲線方程為，一技=1（。>0,0>0）,不妨設(shè)點(diǎn)M在雙

曲線的右支上，如圖，AB=BM=2a,ZMBA=nO°,作軸于

H,則NM3H=60°,BH=a,MH=@a,所以M（2"，小a）.將點(diǎn)M

的坐標(biāo)代入雙曲線方程:一方=1,得a=b,所以e=隹故選D.

?2

E：方一言=1的左、右焦點(diǎn)分別為K,點(diǎn)P在雙曲線E上,

且|尸丹|=3,貝1JIPF2I等于（）

A.11B.9

C.5D.3

答案B

解析解法一：依題意知，點(diǎn)尸在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線

的定義，得|PB|TPR|=2X3=6,所以|P尸21=6+3=9,故選B.

解法二:根據(jù)雙曲線的定義，得||尸尸21Tp尸111=2X3=6,所以||PB|

一3|=6,所以出尸2|=9或任尸2|=-3（舍去）故選B.

3.將離心率為臼的雙曲線Ci的實(shí)半軸長(zhǎng)a和虛半軸長(zhǎng)b（a^b）

同時(shí)增加雙心0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為C2的雙曲線。2，則（）

A.對(duì)任意的a,b,e\>ei

B.當(dāng)時(shí)，ei>e2；當(dāng)時(shí)，e\<ei

C.對(duì)任意的a,b,e\<e2

D.當(dāng)a>b時(shí)，e\<ei；當(dāng)a<b時(shí),e\>ei

答案D

八附*+-I~~7y\』(。+咽2+3+咽2

解析依題意，ei=、一='/1+-2,02=止----『-----

a\l\a)a+m

/,(一,bb+mah-\~hm—ah-amm(h—a)

-A/1_L------2因?yàn)樨癬----=---------------=-1------L

\a-Vm)'Jaa-\~ma(a-\-m)a(a-\-m)'由于

bh~\~tTibb~\~m

心。〉且i所以當(dāng)泌時(shí)，

0,0">0,a0<-<1,0<^a'a+m,

3＜仁司，所以田但當(dāng)小時(shí)，?1,而尸，而/不/所

以匕忖。石涓所以臼＞62?所以當(dāng)。知時(shí)，臼々2；當(dāng)時(shí)，e\＞ez,

故選D.

4.過(guò)雙曲線％2—]=1的右焦點(diǎn)且與％軸垂直的直線，交該雙曲

線的兩條漸近線于A,3兩點(diǎn)，則|AB|=（）

B.25

C.6D.4-73

答案D

解析由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程/一苧=1得，右焦點(diǎn)尸（2,0）,兩條

漸近線方程為y=±V5x,直線A&x=2,所以不妨取4（2,2?。?，BQ,

—24），則|A3|=4小，選D.

/為雙曲線C：f一/22：?m（機(jī)＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)/到C的一

條漸近線的距離為（）

A.小B.3

C.小mD.3m

答案A

fy2

解析由題意，可得雙曲線c為就一5=1,則雙曲線的半焦距

c=、3/n+3.不妨取右焦點(diǎn)（、3加+3,0）,其漸近線方程為y=+七％,

*=祗故選A.

即x±\[myd=

7l+m

/v2V?

6.若實(shí)數(shù)“滿足04<9,則曲線行一力=1與曲線目苫

1的（）

A.焦距相等B.實(shí)半軸長(zhǎng)相等

C.虛半軸長(zhǎng)相等D.離心率相等

答案A

9222

解析因?yàn)?<%<9,所以方程會(huì)一占=1與—葛=1均表

2D9—/C25—k9

示焦點(diǎn)在％軸上的雙曲線.雙曲線短一為=1中，其實(shí)軸長(zhǎng)為10,

2D9—K

_22

虛軸長(zhǎng)為2幟耳，焦距為2425+9——=2寸34一依雙曲線盛二一慶

NDK

=1中，其實(shí)軸長(zhǎng)為2、25-鼠虛軸長(zhǎng)為6,焦距為2425T+9=

2d34—左.因此兩曲線的焦距相等,故選A.

29

7.已知a>h>0,橢圓G的方程為a十%=1,雙曲線C2的方程

為攝一￡=1，G與。2的離心率之積為坐則G的漸近線方程為（）

A.x±\/2y=0B.正%土y=0

C.%±2y=0D.2x±y=0

答案A

解析由題意，知橢圓G的離心率4=嚀^,

雙曲線。2的離心率為62=+?].

國(guó)力近\l（a2-b2）（a2+b2）近

因?yàn)?1七2=2，所以〃2=2'

（足一爐）（9+匕2）3

即U一不

整理可得。=啦尻

又雙曲線C2的漸近線方程為bx±ay=O,

所以hx±\f2hy—0,即x±\/2y=0.

Fi,B分別為雙曲線/一5=1（。＞。，〃＞。）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線

9

上存在一點(diǎn)P使得|尸碎+|尸尸2|=3。，\PFi\-\PF2\=^ab,則該雙曲線的

離心率為（）

A-3Bl

9

C.4D.3

答案B

解析根據(jù)雙曲線的定義||PK|-|PF2||=2Q,可得1PBi2一

22

2\PFS\\PF2\+|尸尸2F=4a2.而由已知可得|PFi|+2|PFI||PF2|+|PF2|=

9

9b2,兩式作差可得一4|尸凡|伊眄|=4〃一9".又小川|尸產(chǎn)2|=不也所以有

44+9M—9/=0,即（4。-3加（a+3份=0,得4a=3b,平方得16屋

=9b2,即16a2=9（廿一=）,即25a2=婚,%=掌所以e=本故選

B.

9.點(diǎn)。在雙曲線了一臺(tái)=1（。＞0,入0）上，F(xiàn)i,6分別是雙曲線

的左、右焦點(diǎn)，ZFIPF2=90°,且△BPB的三條邊長(zhǎng)之比為3：4：

5.則雙曲線的漸近線方程是（)

A.y=±2-\[3xB.y—+4x

C.y=±2y/5xD.y=±2#x

答案D

解析設(shè)△丹尸眄的三條邊長(zhǎng)為|PFi|=3m,|P眄|=4機(jī)，|FIF2|=

5m,m>0,則2a=\PF2\—\PF\\=m,2c=\F]F2\=5m,所以b=y[6m,

所以5=轡=2#，所以雙曲線的漸近線方程是尸土2顯

2m

10.設(shè)實(shí)軸長(zhǎng)為2的等軸雙曲線的焦點(diǎn)為B,F2,以為直

徑的圓交雙曲線于A、B、C、D四點(diǎn),則|BA|+|B3|+尸1CI+IBQI

=（）

A.4小B.2小

C.小D坐

答案A

解析依題意，設(shè)題中的雙曲線方程是■?一尸=1,不妨設(shè)點(diǎn)A、

B、C、。依次位于第一、二、三、四象限，則有

|AFI|-|AF|=2

2,由此解得依尸1|=小+1,依尸2|=小一

222

|AFI|+|AF2|=|FIF2|=8

1,同理|0尸1|=依尸||=小+1,|。6|=|56|=/同=小一1,|AFi|+|BFi|

+|CFi|+|DFi|=4V3,選A.

11.已知點(diǎn)尸是雙曲線了一臺(tái)=1（。>0,〃>0）右支上一點(diǎn)，F(xiàn)\,Fl

分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I為△PFB的內(nèi)心，若

S叢JPF=IPP4獷?

?2成立，則雙曲線的離心率為（）

A.4B.|

D.|

C.2

答案C

解析

設(shè)+/，△尸BB的內(nèi)切圓的半徑為廣，則

IPBITPBI=2。，尸出|=2。，S&PF=^-\PF}\?廠，

乙

=歹1P尸21,廠，S~FJ,=歹1尸]尸2I

IPF.乙I/乙

由SA/PF：=SAIPF+]-SA/F|F,，

得1;（I尸F(xiàn)/一|PF2l"=；X；|F]F2l?廠，，c=2a.

乙2乙乙

，雙曲線的離心率為e=—=2.

a

12.設(shè)廠是雙曲線C會(huì)一后=1的一個(gè)焦點(diǎn).若C上存在點(diǎn)尸,

使線段。尸的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn),則C的離心率為.

答案書

解析由已知不妨設(shè)F（—c,O）,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為5（0,b）,B

，（2/7）2

恰為線段尸尸的中點(diǎn)，故尸（c,2力，代入雙曲線方程，由興一野=1

得，=5,即e2=5,又e>l,故e=小.

丫2

13.已知雙曲線浜一y2=i（q>o）的一條漸近線為小%+）=（）,則Q

答案當(dāng)

解析因?yàn)殡p曲線，一y=1（。>0）的一條漸近線為y=一仍%,即

y=[x,所以}=小，故。=坐.

14.設(shè)直線％—3>+"2=0（機(jī)力0）與雙曲線了一方=l（a〉0,。>0）的

兩條漸近線分別交于點(diǎn)48.若點(diǎn)P（八0）滿足|%|=|PB|,則該雙曲線

的離心率是?

答案坐

x—3y+m=0,/,、

{.,=《{38a一m。'3bm-J\

11—3y+m=0,,、

I/日J(rèn)z_ambm

v=——r侍33b+a'3b+a/

則線段AB的中點(diǎn)為“g/_4，9._〃2/

由題意得PMJ-AB,?,?如w=—3,得〃=4/?2=4,一4〃，故/=

5.=正

4*''e~2'

15.設(shè)為,凡是雙曲線C/一方=l(a〉0,配>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P

是C上一點(diǎn).若|PFi|+|PB|=6a,且APR尸2的最小內(nèi)角為30。,則C

的離心率為.

答案V3

解析不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，由雙曲線定義知|PB|

-\PF2\=2a,

又因?yàn)镮PRI+IP尸2|=6”,所以|P尸i|=4a,\PF2\=2a,

因?yàn)閨PE|>|PF2],所以NPBB為最小內(nèi)角，因此NPFi￡=30。，

222

在△PFyFi中，由余弦定理可知，\PF2\=|PF)|+|F]F2|-

21PBi?|QB|-cos30。，即4次=16屋+41?—8小ac,所以/一2小"+3層

=0,兩邊同除以。2,得e?—2仍6+3=0,解得e=小.

R丫2

16.已知雙曲線了一方=l(q>0,h>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,

/2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|尸產(chǎn)1|=4|尸6|，則雙曲線的離心率e

的最大值為.

答案1

解析設(shè)NFiPF2=e,

8

為|=乎,

\PFi\~\PF\=2a,IP

由'2得q

JPFI|=4|PF|

2\PF2\=^a,

1人小、m/日17〃-9c2179

由余弦定理傳cos8=^2=至-o

179?5

V^G(O,TI],/.cos0e[-l,l),-1^e2<l，又e>l,

88'J

學(xué)霸錯(cuò)題警示題目條件考慮不到位致錯(cuò)

區(qū)已知圓G：(x+3)2+y2=i和圓。2：(%—3)2+》2=9,動(dòng)圓M

同時(shí)與圓G及圓。2外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.

［錯(cuò)解］

新圖的爾,設(shè)動(dòng)圓M與圓。皮圓

—一兩圓夕卜切的條件，.

IMC/TA&I二IMAI,

/MQH3CJ二MM

因若IMAI=IMP1,前隊(duì)IMC/TA&I二

IMCJ一伙」,評(píng)IMCJTM&I二IMJTACJ

二3一/二2?

衿認(rèn)息M例兩定息。，Q的隱寓的是是尊教.

又楸楊雙曲戲的定義，將動(dòng)以M的執(zhí)進(jìn)方

雙曲戲，可設(shè)執(zhí)跡方41為

/y2

卞一忑二/（co,"。），屬中4二/,

。=3,照2=工

y2

故以M的執(zhí)跡為#為7』y二/.

［錯(cuò)因分析］在解答本題時(shí)，容易因錯(cuò)誤運(yùn)用雙曲線的定義而出

錯(cuò).本題中，|MQ|—|MG|=2,與雙曲線的定義相比，等式左邊少了

外層絕對(duì)值，因此只能表示雙曲線的一支，如果不注意這一點(diǎn)，就會(huì)

得出點(diǎn)M的軌跡方程為^-t=1這一錯(cuò)誤結(jié)果.

O

［正解］如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓G及圓Q分別外切于A和8

兩點(diǎn).連接MG,MCi.

根據(jù)兩圓外切的條件，得

\MC\\~\ACi\=\MA\,\MC2\-\BC2\=\MB\.

因^J\MA\=\MB\,所以|MCi|—|AC|=|MQ|一|BQ|,即|MC2|-|MCI|

=|BC2|-|ACI|=3-1=2.

所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)G,C2的距離的差是常數(shù).

又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與

Q的距離比與G的距離大)，可設(shè)軌跡方程為，一養(yǎng)=1(。>0,b>0,

x<0),其中a=l,c—3,則。2=8.

故點(diǎn)M的軌跡方程為r―?=l(x<0).

O

［心得體會(huì)］

在雙曲戲的定義中，有兩支是缺。不可的：

其一，-往//二2a;/2z?<2xs.^r^界

第二個(gè)條件，JL動(dòng)點(diǎn)與兩定息的跟離之差若靠

數(shù)，?不是吳的他對(duì)面有多數(shù)，肝么魂執(zhí)進(jìn)R

能是雙曲我的。支.

[9課時(shí)撬分練

時(shí)間：60分鐘

基礎(chǔ)組

“2016?武邑中學(xué)模擬]已知雙曲線a一方=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物

線V=4%的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率等于小，則該雙曲線的方

程為（）

A.5/一去=1B.y—^=1

C.-^—^-=1D.5好一與=1

答案D

解析?..拋物線的焦點(diǎn)為尸（1,0）,..==：1.

又（=小，.?々=古，.?.〃=/_*=1一]='

故所求方程為5/—苧=1,故選D.

22

2.[2016?棗強(qiáng)中學(xué)一輪檢測(cè)「m<8”是“方程r一—=1表

m—10m—0

示雙曲線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

/丫2_

解析方程右一Q=1表示雙曲線，貝1(機(jī)一8)(加-10)>0,

解得m<8或相>10,故％<8”是“方程’4；；一二4=1表示雙曲線”

m—10m—8

的充分不必要條件，故選A.

3.[2016彳氮水中學(xué)周測(cè)]已知點(diǎn)M(—3,0)、N(3,0)、3(1,0),動(dòng)圓C

與直線MN相切于點(diǎn)B,分別過(guò)點(diǎn)M、N且與圓C相切的兩條直線相

交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡方程為()

y2y2

A.x1—=l(x>l)B.x2—=l(x>0)

oQi1nU

y2y2

C.x2—Q=l(^>0)D.A2—777=l(x>l)

oiU

答案A

解析如圖所示，設(shè)兩切線分別與圓相切于點(diǎn)S、T,則|PM|一|PN|

=(|PS|+|SM)一(|P71+I力7])=好加一|孫=|8加|一|82=2=24,所以所

求曲線為雙曲線的右支且不能與％軸相交，a=l,c=3,所以爐=8,

故點(diǎn)P的軌跡方程為/—^?=l(x>l).

O

4.[2016?冀州中學(xué)月考]以正三角形ABC的頂點(diǎn)A,8為焦點(diǎn)的

雙曲線恰好平分邊AC,BC,則雙曲線的離心率為()

A.A/3-1B.2

0^3+1D.2小

答案C

解析如圖，設(shè)|AB|=2c,顯然|AQ|=c,|3D|=Sc,即(仍一l)c

=2〃,

=小+1,

^3—1

選C.

22

5.[2016?武邑中學(xué)周測(cè)]已知雙曲線%一東=1（。>0,6〉0）的離心

率為小，則雙曲線的漸近線方程為（）

B.y=±\l2x

C.y=±2xD.y=±^x

答案A

解析由題意得，雙曲線的離心率e=：=S，故方=乎，故雙曲

線的漸近線方程為y=±票;，選A.

/2

小丫2

6.[2016箱水中學(xué)月考]已知雙曲線C：混一力=1（“>0,b>0）的焦

距為2小，拋物線）=奈+1與雙曲線。的漸近線相切，則雙曲線C

的方程為（）

答案D

解析由對(duì)稱性，取一條漸近線y=,x即可，把y=/代入尸卷

1h1

2

f+l,得lo—不a+1=0,由題a意得Jl=o-2—4XT7X1=0,即a=

4扶,又c=小，.'.c2=a2-\-b2=5b2=5,h2=1,a2=4,選D.

jp-y?-

7.[2016?棗強(qiáng)中學(xué)猜題]已知雙曲線%=l(a>0,/?0)的左焦

點(diǎn)、為Fi,左、右頂點(diǎn)分別為4、A2,P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則分別

以線段PE,4自2為直徑的兩個(gè)圓的位置關(guān)系為()

A.相交B.相切

C.相離D.以上情況都有可能

答案B

解析設(shè)以線段尸B,AN2為直徑的兩圓的半徑分別為小〃2,

若P在雙曲線左支，如圖所示，則IO2O11=30F2I=/1尸F(xiàn)l|+2a)=^PFxI

+a=n+r2,即圓心距為半徑之和，兩圓外切，若尸在雙曲線右支，

同理求得|。2。||=為一-2,故此時(shí)，兩圓相內(nèi)切，綜上，兩圓相切，故

選B.

8.[2016彳斷水中學(xué)期中]已知回，/2為雙曲線C：f—y=2的左、

右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PFI|=2|PF2|,則COSN~PF2=()

13

A--

45

34

c--

45

答案c

解析由題意可知c=2.

■：\PF]\=2\PF2\,又I尸碎一|PB|=2啦，

：.附=4P,|P尸2|=2吸，尸產(chǎn)21=4.

222

?人心、目|PFI|+|PF2|-|FIF|

由余弦定理管cosNFiPFi=IIP?"I2

Z|rri|-|rr2|

（4立）2+（2啦）2—423

-2X272X4-72.4,故選C

9.[2016?武邑中學(xué)期中]設(shè)B,尸2是雙曲線好一段=1的兩個(gè)焦

點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且31PBi=4|P￡|,則△尸西眄的面積等于

（）

A.4啦B.8^3

C.24D.48

答案C

解析雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為尸產(chǎn)2|=2義5=10.據(jù)題意和

雙曲線的定義知，2=|尸B|-\PF2\=||PF2|-\PF2\=||PF2|,

：.\PF2\=6,I尸尸I[=8.

222

.,.|PFI|+|PF2|=|FIF2|,

：.PF\YPFI,

/.5APF|F2=1|PFIMPF2|=1X6X8=24,故選C.

10.[2016箱水中學(xué)期末]已知Fl,凡是雙曲線了一右=l（Q>0,

匕>0）的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線左支上存在一點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于直線y

b、

=/對(duì)稱，則該雙曲線的離心率為（）

A.坐B乖

C.A/2D.2

答案B

解析由題意可知漸近線為的中垂線，設(shè)M為的中點(diǎn),

MF，b

所以。W，PF2.tanNMQF2=j）=Z，因?yàn)?F2=c,所以MF2="

OM=a.因此PF2=2b,PFi=2a,又因?yàn)镻F2一尸/i=2a,所以b=2a,

則c^=a2+b2=5a2,即c=yf5a,故戶巨福

11.[2016?冀州中學(xué)期末]若雙曲線下一臺(tái)=1（〃>0,於0）的一個(gè)焦

點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的;，則該雙曲線的離心率為

答案苧