用頻率估計概率(導(dǎo)學(xué)案、教案、教學(xué)反思)

25.3用頻率估計概率

一、新課導(dǎo)入

1.導(dǎo)入課題：在學(xué)完用列舉法求隨機(jī)事件發(fā)生的概率這節(jié)內(nèi)容后，小明同學(xué)提出一個問

題.他拋擲一枚硬幣10次，其正面朝上的次數(shù)為5次，是否可以說明“正面向上”這一事件發(fā)

生的概率為0.5?下面我們帶著小明提出的問題進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)——用頻率估計概率.

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)：

(1)知道大量重復(fù)試驗時，頻率趨于一個穩(wěn)定值，知道這個穩(wěn)定值與概率的關(guān)系.

(2)會用頻率估計概率.

3.學(xué)習(xí)重、難點：

重點：理解當(dāng)試驗次數(shù)較大時，試驗頻率趨于理論概率.

難點：用頻率估計概率的思想方法解決相關(guān)實際問題.

二、分層學(xué)習(xí)

第一層次學(xué)習(xí)

1.自學(xué)指導(dǎo)：

(1)自學(xué)內(nèi)容：教材第142頁到第143頁“思考”之前的內(nèi)容.

(2)自學(xué)時間：5分鐘.

(3)自學(xué)方法：認(rèn)真閱讀課文，按課本要求，同學(xué)之間加強(qiáng)合作，進(jìn)行試驗，并做好

數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，再對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，觀察頻率的變化趨勢，從中摸索有何規(guī)律.

(4)自學(xué)參考提綱：

①通過試驗，完成教材第142頁的表25-3以及圖25.3-1.

②通過分析試驗所得數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)“正面向上''的頻率有什么變化規(guī)律？

“正面向上”的頻率在0.5附近擺動.

③閱讀并分析表25-4中拋擲硬幣實驗的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

隨著試驗次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率穩(wěn)定于05

2.自學(xué)：學(xué)生可參考自學(xué)指導(dǎo)進(jìn)行自學(xué)，小組交流，合作學(xué)習(xí).

3.助學(xué)：

(1)師助生：

①明了學(xué)情：深入課堂了解學(xué)生的試驗情況，并對存在的問題進(jìn)行收集.

②差異指導(dǎo)：對在學(xué)習(xí)中存在的突出問題進(jìn)行點撥引導(dǎo).

（2）生助生：小組間相互協(xié)作交流，解決學(xué)習(xí)中的問題.

4.強(qiáng)化：隨著拋擲硬幣次數(shù)的增加，硬幣"正面朝上'’的頻率會在0.5左右擺動，并且擺

動幅度越來越小.

第二層次學(xué)習(xí)

1.自學(xué)指導(dǎo)：

（1）自學(xué)內(nèi)容:教材第143頁“思考”到第144頁“練習(xí)”之前的內(nèi)容.

（2）自學(xué)時間：4分鐘.

（3）自學(xué)方法：閱讀、思考，并相互交流探討各自的結(jié)論.

（4）自學(xué)參考提綱：

①當(dāng)實驗次數(shù)足夠大時，一個隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率與它的概率有什么關(guān)系？

頻率非常接近于概率.

②舉例說明你對“概率是針對大量重復(fù)試驗而言的，大量試驗反映的規(guī)律并非在每一次

試驗中都發(fā)生.”這句話的理解.

③練習(xí)：

a.下表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結(jié)果.

投籃次數(shù)〃5()10()15()20025030()50()

投中次數(shù)，"286078104123152251

投中頻率處0.560.600.520.520.490.510.5()

//

i.計算投中頻率（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）.

ii.這名球員投籃I次，投中的概率約是多少（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？

解：投中的概率約是0.5.

b.用前面拋擲硬幣的試驗方法，全班同學(xué)分組做擲骰子的試驗，估計擲一次骰子時“點

數(shù)是1”的概率.

解：估計P（點數(shù)是1）=1.

6

2.自學(xué)：學(xué)生可參考自學(xué)指導(dǎo)進(jìn)行自學(xué).

3.助學(xué)：

（1）師助生：

①明了學(xué)情：深入了解學(xué)生參與活動、完成任務(wù)的情況.

②差異指導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生合作試驗.

(2)生助生：分組合作完成試驗.

4.強(qiáng)化：

(1)在大量重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)附近.只要試驗的次數(shù)足

夠大，我們就可以用事件A發(fā)生的頻率去估計概率.

(2)概率是針對大量試驗而言的，大量試驗反映的規(guī)律并非在每一次試驗中都發(fā)生.

第三層次學(xué)習(xí)

1.自學(xué)指導(dǎo)：

(1)自學(xué)內(nèi)容：教材第144頁到第145頁的問題1.

(2)自學(xué)時間：4分鐘.

(3)自學(xué)要求：總結(jié)用頻率估計概率的思想來解決實際問題的一般思路和頻率的確定

方法.

(4)自學(xué)參考提綱：

①幼樹的移植成活率采用頻率去估計.

②完成表25-5及表后的填空.

③怎樣估計幼樹移植的成活率？

隨著移植數(shù)的增加，幼樹移植成活的頻率越來越穩(wěn)定，用移植總數(shù)最多時成活的頻率估

計幼樹移植的成活率.

④練習(xí)：某農(nóng)科所在相同條件下做某種作物種子發(fā)芽率的試驗，結(jié)果如下表所示：

種子個數(shù)發(fā)芽種子個數(shù)發(fā)芽種子頻率(結(jié)果保留小數(shù)點后3位)

100940.940

2001870.935

3002820.940

4003380.845

5004350.87()

6005300.883

70()6240.891

8007180.898

90()8140.904

100()9010.901

一般地，1000千克種子中大約有多少是不能發(fā)芽的？

將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)全，可以看出發(fā)芽種子的頻率在0.9左右擺動，所以估計種子發(fā)芽的概率

為0.9.

1000-1000x0.9=100(千克)

.,.1000千克種子中大約有100千克是不能發(fā)芽的.

2.自學(xué)：學(xué)生可參考自學(xué)指導(dǎo)進(jìn)行自學(xué).

3.助學(xué)：

(1)師助生：

①明了學(xué)情：關(guān)注學(xué)困生的學(xué)習(xí)過程.

②差異指導(dǎo)：對完成提綱中的問題有困難的學(xué)生適時指導(dǎo).

(2)生助生：交流討論、改正錯誤.

4.強(qiáng)化：解決此類問題的基本步驟：計算頻率；估計概率；作出結(jié)論.

第四層次學(xué)習(xí)

1.自學(xué)指導(dǎo)：

(1)自學(xué)內(nèi)容：教材第145頁到第146頁的問題2.

(2)自學(xué)時間：5分鐘.

(3)自學(xué)方法：先弄清損壞率的算法，再填表.

(4)自學(xué)參考提綱：

①完成教材第146頁表25-6.

②可得柑橘損壞的概率為巫，所以柑橘完好的概率為3.

③怎樣計算柑橘的實際成本？

用以2元/千克的價格購進(jìn)10000千克的成本除以10000千克中完好柑橘的質(zhì)量9000千

克，即為實際成本.

④整個問題的問答過程與問題1的解答過程有何異同？

相同點：都是用頻率估計概率.

不同點：問題2是通過損壞率求完好率，而問題1是直接求發(fā)芽率.

2.自學(xué)：學(xué)生可參考自學(xué)指導(dǎo)進(jìn)行自學(xué).

3.助學(xué)：

(1)師助生：

①明了學(xué)情：關(guān)注學(xué)困生的學(xué)習(xí)過程.

②差異指導(dǎo)：教師對重、難點之處適時點撥引導(dǎo).

(2)生助生：小組間交流互助.

4.強(qiáng)化：

（1）解題思路：①求頻率；②估計概率；③求出問題結(jié)果；④作出結(jié)論.

（2）練習(xí)：為了估計魚塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者首先從魚塘中捕獲n條魚，在每一條魚身

上做好記號后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中撈a條魚，如果在這a條魚中有b條魚是有記

an

號的，那么魚塘中魚的條數(shù)可估計為——.你認(rèn)為這種估計方法有道理嗎?為什么？

b

解：有道理.不妨設(shè)魚塘中魚的總條數(shù)為X,則巴=2,所以x=色.

xab

三、評價

1.學(xué)生的自我評價（圍繞三維目標(biāo)）：相互交流各自的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法和收獲，反省

學(xué)習(xí)中的不足.

2.教師對學(xué)生的評價：

（1）表現(xiàn)性評價：教師對學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中的態(tài)度和行為上的表現(xiàn)進(jìn)行點評.

（2）紙筆評價：課堂評價檢測.

3.教師的自我評價（教學(xué)反思）：

猜想試驗、分析討論、合作探究的學(xué)習(xí)方式十分有益于學(xué)生對概率意義的理解，使之明

確頻率與概率的聯(lián)系，也使本節(jié)課教學(xué)重難點得以突破.當(dāng)然，學(xué)生隨機(jī)觀念的養(yǎng)成是循序

漸進(jìn)的.這節(jié)課教師應(yīng)把握教學(xué)難度，注意關(guān)注學(xué)生的接受情況.

（時間：12分鐘滿分：100分）

一、基礎(chǔ)鞏固（70分）

1.（10分）在大量重復(fù)試驗中，關(guān)于隨機(jī)事件發(fā)生的頻率與概率，下列說法正確的是（D）

A.頻率就是概率B.頻率與試驗次數(shù)無關(guān)

C.概率是隨機(jī)的，與頻率無關(guān)D.隨著試驗次數(shù)的增加，頻率一般會越來越接近概率

2.（10分）下列說法正確的是（D）

A.連續(xù)拋擲骰子20次，擲出5點的次數(shù)是0,則第21次一定拋出5點

B.某種彩票中獎的概率是1%,因此買100張該種彩票一定會中獎

C.天氣預(yù)報說明天下雨的概率是50%,所以明天將有一半時間在下雨

D.拋擲一枚圖釘，釘尖觸地和釘尖朝上的概率不相等

3.（10分）某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如

圖的折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的試驗最有可能的是（D）

A.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”

B.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌

的花色是紅桃

C.暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，

從中任取一球是黃球

D.擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是4

4.（10分）在一個不透明的口袋里，裝有僅顏色不同的黑球、白球若干只，某小組做摸球

實驗：將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個，記下顏色，再放入袋中，不斷重復(fù)，下表是活動中的

一組數(shù)據(jù)，則摸到白球的概率約是（C）

摸球的次數(shù)〃1(X)15()20050()8()0100()

摸到門球的次數(shù)/〃5896116295484601

摸到門球的概率().580.64().580.590.605().601

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7

5.（10分）盒子中有白色乒乓球8個和黃色乒乓球若干個,為求得盒中黃色乒乓球的個數(shù),

某同學(xué)進(jìn)行了如下實驗：每次摸出一個乒乓球記下它的顏色，如此重復(fù)360次，摸出白色乒

乓球90次，則黃色乒乓球的個數(shù)估計為（B）

A.90個B.24個C.70個D.32個

6.（10分）一個口袋中放有20個球，其中紅球6個，白球和黑球若干個，每個球除了顏色外沒

有任何區(qū)別，小王通過大量重復(fù)試驗（每次取一個球，放回攪勻后再?。┌l(fā)現(xiàn)，取出黑球的概率

穩(wěn)定在0.25左右，請你估計袋中黑球的個數(shù)為上.

7.（10分）某林業(yè)部門統(tǒng)計某種幼樹在一定條件下的移植成活率，結(jié)果如下表所示:

移植總數(shù)〃40075()900()14000

成活數(shù)///369662133532036335807312628

成活的頻率%0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902

〃

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計這種幼樹移植成活率的概率為（精確到01）.

二、綜合應(yīng)用（20分）

8.（10分）某射擊運(yùn)動員在同一條件下的射擊成績記錄如下:

射擊次數(shù)204010()20()4001()0()

“射中9環(huán)以匕”的次數(shù)153378158321801

“射中9環(huán)以上”的頻率0.750.830.780.790.8()0.8()

（1）計算表中相應(yīng)的“射中9環(huán)以上”的頻率（精確到0.01）；

（2）這些頻率具有什么樣的穩(wěn)定性？

解：這些頻率穩(wěn)定在0.8附近.

（3）根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運(yùn)動員射擊一次時“射中9環(huán)以上”的概率（精確到

0.1）.

這名運(yùn)動員射擊一次時“射中9環(huán)以上”的概率約為0.8.

9.（10分）動物學(xué)家通過大量的調(diào)查估計，某種動物活到20歲的概率為0.8,活到25歲

的概率為0.5,活到30歲的概率為0.3.

（1）現(xiàn)年20歲的這種動物活到25歲的概率為多少？

（2）現(xiàn)年25歲的這種動物活到30歲的概率是多少？

解：（1）設(shè)這種動物共有10n只，則根據(jù)題意可知能活到20歲的有8n只，能活到25

歲的有5n只，能活到30歲的有3n只，所以現(xiàn)年20歲的這種動物活到25歲的概率為

（2）由（1）知，現(xiàn)年25歲的這種動物能活到30歲的概率是巴=」=—.

5715

三、拓展延伸（10分）

10.（10分）鳥類學(xué)家要估計某森林公園內(nèi)鳥的數(shù)量，你能用學(xué)過的知識，為鳥類學(xué)家提

出一種估計鳥的數(shù)量的方法嗎？（在一定的時期內(nèi)，森林公園可以近似地看做與外部環(huán)境是

相對封閉的）

解：在一年中該森林公園內(nèi)的鳥相對較多的時期，選擇一天（晴天）捕捉1000只鳥，并在

這些鳥的身體上做上記號，然后全部放飛，兩三天后的一天（晴天）再捕捉1000只鳥，檢

查其中帶有記號的鳥的數(shù)量，記為a,則這段時期該森林公園內(nèi)的數(shù)量是初只.

25.3用頻率估計概率

拿*教與目標(biāo)

【知識與技能】

理解每次試驗可能的結(jié)果不是有限個，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等

時，利用統(tǒng)計頻率的方法估計概率.

【過程與方法】

經(jīng)歷利用頻率估計概率的學(xué)習(xí)，使學(xué)生明白在同樣條件下，大量重復(fù)試驗時,

根據(jù)一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率所逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)，可以估計這個事件發(fā)生的概

率.

【情感態(tài)度】

通過研究如何用統(tǒng)計頻率求一些現(xiàn)實生活中的概率問題，培養(yǎng)使用數(shù)學(xué)的良

好意識，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

【教學(xué)重點】

對利用頻率估計概率的理解和應(yīng)用.

【教學(xué)難點】

利用頻率估計概率的理解.

堂教學(xué)過醒

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

問題1400個同學(xué)中，一定有2個同學(xué)的生日相同（可以不同年）嗎？

那么300個同學(xué)中一定有2個同學(xué)的生日相同嗎？

有人說：“50個同學(xué)中，就很可能有2個同學(xué)的生日相同這話正確嗎？

調(diào)查全班同學(xué)，看看有無2個同學(xué)的生日相同.

問題2要想知道一個魚缸里有12條魚，只要數(shù)一數(shù)就可以了.但要估計一個

魚塘里有多少條魚，該怎么辦呢？

【教學(xué)說明】在前面我們學(xué)習(xí)了能列舉所有可能的結(jié)果，并且每種結(jié)果的可

能性相等的隨機(jī)事件的概率的求法.那么這里的兩個問題情境中，很容易讓學(xué)生

想到這些事件的結(jié)果不容易完全列舉出來，而且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性也不一定

是相同的.從而引發(fā)學(xué)生的求知欲，對于這類事件的概率該怎樣求解呢，引入課

題.

二、思考探究，獲取新知

1.利用頻率估計概率

試驗：把全班同學(xué)分成10組，每組同學(xué)擲一枚硬幣50次，整理同學(xué)們獲得

的試驗數(shù)據(jù)，并記錄在下表中：

“正面向上”

“正面向上”

拋擲次數(shù)U

的頻數(shù)m的頻率衛(wèi)

幾

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

填表方法：第1組的數(shù)據(jù)填在第1行；第1,2組的數(shù)據(jù)之和填在第2行，…,

10個組的數(shù)據(jù)之和填在第10行.

如果在拋擲n次硬幣時，出現(xiàn)m次“正面向上”，則隨機(jī)事件“正面向上”

出現(xiàn)的頻率為m/n.

【教學(xué)說明】分組是為了減少勞動強(qiáng)度加快試驗速度，當(dāng)然如果條件允許，

組數(shù)分得越多，獲得的數(shù)據(jù)就會越多，就更容易觀察出規(guī)律.讓學(xué)生再次經(jīng)歷數(shù)

據(jù)的收集，整理描述與分析的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計意識，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中隱

藏的規(guī)律.

請同學(xué)們根據(jù)試驗所得數(shù)據(jù)想一想：“正面向上”的頻率有什么規(guī)律？

歷史上，有些人曾做過成千上萬次拋擲硬幣的試驗，試驗結(jié)果如下：

“正面向上”

拋擲“正面向上”

試驗者

次數(shù)，，次數(shù)?頻率出

77

棣莫弗204810610.518

布豐404020480.5069

費(fèi)勒1000049790.4979

皮爾遜1200060190.5016

皮爾遜24000120120.5005

思考隨著拋擲次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率變化趨勢有何規(guī)律？

在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，教師幫助歸納，使學(xué)生認(rèn)識到每次試驗中隨機(jī)事件發(fā)

生的頻率具有不確定性，同時發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率也有規(guī)律性，在試驗次數(shù)

較少時，“正面向上”的頻率起伏較大，而隨著試驗次數(shù)逐漸增加，一般地，頻

率會趨于穩(wěn)定，“正面向上”的頻率越來越接近0.5,也就是說，在0.5左右擺動

的幅度越來越小.我們就用0.5這個常數(shù)表示“正面向上”發(fā)生的可能性的大小.

【歸納結(jié)論】一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率m/n穩(wěn)

定于某個常數(shù)P,那么事件A發(fā)生的概率P(A)=P.

思考對一個隨機(jī)事件A,用頻率估計的概率P(A)可能小于0嗎？可能大

于1嗎？

答：都不可能，它們的值仍滿足OWP(A)<1.

2.利用頻率估計概率的應(yīng)用

問題1某林業(yè)部門要考查某種幼樹在一定條件下的移植成活率，應(yīng)采用什么

具體做法？

幼樹移植成活率是實際問題中的一種概率，這種實際問題中的移植試驗不屬

于各種結(jié)果可能性相等的類型.因而要考查成活率只能用頻率去估計.

在同樣的條件下，大量地對這種幼樹進(jìn)行移植，并統(tǒng)計成活情況，計算成活

的頻率，若隨著移植棵樹n的越來越大，頻率m/n越來越穩(wěn)定于某個常數(shù).則這

個常數(shù)就可以作為成活率的近似值.

上述問題可設(shè)計如下模擬統(tǒng)計表，補(bǔ)出表中空缺并完成表后填空.

移植總數(shù)n成活數(shù)m成活的頻率也

n

1080.80

47

2702350.870

400369______

750662

150013350.890

90008073

從表中可以發(fā)現(xiàn),幼樹移植成活的頻率在左右擺動，且隨著統(tǒng)計數(shù)據(jù)的增加,

這種規(guī)律愈加明顯，所以估計幼樹移植成活的頻率為：.

答案:（1）表中空出依次填:0.940,0.923,0.883,0.897

（2）0.9,0.9

問題2某水果公司以2元/千克價格購進(jìn)10000千克的水果，且希望這些水

果能獲得稅前利潤5000元，那么在出售這些水果（已去掉損壞的水果）時，每

千克大約定價為多少元較合適？

解：要定出合適的價格，必須考慮該水果的“完好率”或“損壞率”，如考

查“損壞率”就需要從水果中隨即抽取若干，進(jìn)行損壞數(shù)量的統(tǒng)計，并把結(jié)果記

錄下來，為此可仿照上述問題制定如下表格：

水果總質(zhì)損壞質(zhì)損壞率（烏）

量"（千克）量（m）千克

505.500.110

10010.500.105

15015.150.101

20019.420.097

25024.250.097

30030.930.103

35035.320.101

40039.240,098

45044.570.099

50051.540.103

從表格可看出，水果損壞率在某個常數(shù)（例如0.1）左右擺動，并且隨統(tǒng)計

量的增加，這種規(guī)律逐漸明顯，那么可以把水果損壞的概率估計為這個常數(shù)，如

果估計這個概率為0.1，則水果完好的概率為09

.?.在10000千克水果中完好水果的質(zhì)量為10000X0.9=9000（千克）

設(shè)每千克水果的銷售價為x元，則有：

9000x-2x10000=5000

x^2.8

二出售這批水果的定價大約為2.8元/千克，可獲利5000元.

思考為簡單起見，能否直接把上表中500千克對應(yīng)的損壞率作為損壞的概

率？

答：可以.

【教學(xué)說明】用頻率估計概率時，一般是通過觀察所計算的各頻率數(shù)值的變

化趨勢，即觀察各數(shù)值主要集中在哪個常數(shù)的附近，這個常數(shù)就是所求概率的估

計值.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.小新拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，連續(xù)拋三次，硬幣落地均正面朝上，如果她

第四次拋硬幣，那么硬幣正面朝上的概率為（）

113

A-iB-7C.ID.f

2.一只不透明的袋子中裝有4個小球，分別標(biāo)有數(shù)字2、3、4、x