高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (十)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（10）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共11小題，共55.0分）

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.有兩個(gè)側(cè)面是矩形的四棱柱是直四棱柱

B.正四面體是特殊的正四棱錐

C.有一個(gè)面是多邊形，其余各個(gè)面都是三角形的多面體叫做棱錐

D.正四棱柱是平行六面體

2.己知三棱錐P-4BC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且AB=花，BC=V7,AC=2,則此三棱錐的

外接球的體積為（）

A8n8A/2廠16c32

A-”B-—nc-丁D--n

3.以下給出的四個(gè)命題中，命題正確的有（）

①兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體叫做棱柱；

②以直角三角形的一條邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做

圓錐；

③用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)；

④空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

4.一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示，在原正方體紙盒中，下列結(jié)論：

①lAB/IEF；②CDLMN；③MN與AB是異面直線；④BF與CZ）

成60。角，其中正確的是（）

A.①③

B.②③

C.②④

D.③④

5.某幾何體是由一個(gè)半球挖去一個(gè)圓柱形成的，其三視圖如圖所示.已知半球的半徑為遙，則當(dāng)

此幾何體體積最小時(shí)，它的表面積等于

A.247rB.（18+3V3）7TC.217rD.（18+4V2）TT

6.已知三棱錐S-ABC的外接球球心為O,SALSB,SB1SC,SA1SC,且SB=SC=2SA=4,

若。在球。的球面上，則。到平面ABC距離的最大值為

A.3+-B.3+-C.3+-D.3+—

6323

7.四面體力一BCD中，AB=CD=10,AC=BD=2用，AD=BC=2同，則四面體Z-BCD外

接球的表面積為（）

A.20071B.IOOTTC.1207rD.2407r

8.在正方體4BC0-41B1GD1中，E、F分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線EF與平面A8C￡>、

平面BCQBi所成角分別是。、（p,則（）

A..6><p,（tan。）7nm=yB.9=（p,dmax=45°

C.9<（p,dmax=45°D,0—（p,9min=45°

9.在四面體ABC。中，AB=CD=2,AC=BD=居力。=BC=b.若平面a同時(shí)與直線A3、

直線CD平行，且與四面體的每一個(gè)面都相交，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面

積的最大值為（）

A延B.如C.也D.型

8288

10.已知球。是正三棱錐（底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）4-BCD的外接球,BC=

3,4B=26，點(diǎn)E在線段8。上，且BC=6BE,過(guò)點(diǎn)E作球。的截面，則所得截面圓面積的

取值范圍是

A.尊4初B.呼,4用C.弓,4兀］D.呼,4初

11.在棱長(zhǎng)為2的正方體43。。一公8道1￡）1中，歷是棱為劣的中點(diǎn)，過(guò)6,B,M作正方體的截面,

則這個(gè)截面的面積為（）

B?手C

A-當(dāng)-1

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共7小題，共28.0分）

12.已知球O的直徑SD=4,A、3、C是球。表面上的三個(gè)不同的點(diǎn),

/4SO=NBS0=NCSO=30°,則（）

A.AB1SD

B.線段AB的最長(zhǎng)長(zhǎng)度為2遮

C.三棱錐S-ABC的體積最大值為3

D.過(guò)SA作球的截面中，球心。到截面距離的最大值為1

13.已知在棱長(zhǎng)為4的正方體4BCD-AiBiCWi中，E為棱BC的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為球心，以，歷為半

徑的球的球面記為『，則下列結(jié)論正確的是（）

A.「與面4BB1&的交線長(zhǎng)為與

B.直線BO1被「截得的線段長(zhǎng)為華

C.若點(diǎn)”為「上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則”名的最小值為8-國(guó)

D.r與截面8。。道1的交線長(zhǎng)為手7r

14.如圖所示，在長(zhǎng)方體4BCD-&B1GD1中，4B=BC=1,441=2,P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列

選項(xiàng)正確的是（）

A.QP的最小值為當(dāng)B.QP的最小值為通

C.AP+PG的最小值為歷D.4P+PG的最小值為等

15.四棱錐P-ABCD的底面ABC。是矩形，側(cè)面PADABCD,Z.APD=120°,AB=P4=PD=

2,下列說(shuō)法正確的是（）

A.PC=V7

B.PC與AD所成的角的余弦為漁

4

C.PC與AD所成的角的余弦為一在

4

D.該四棱錐P-48CD外接球的半徑為遙

16.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-4/GD1中，下列結(jié)論正確的是（）

A.異面直線B/\與當(dāng)。所成的角大小為90°

B.四面體QDBC的每個(gè)面都是直角三角形

C.二面角劣一BC-當(dāng)?shù)拇笮?0。

D.正方體4BCD-&B1GD1的內(nèi)切球上一點(diǎn)與外接球上一點(diǎn)的距

離的最小值為更二

2

17.在棱長(zhǎng)為1的正方體力BC。一月iBiQA中，M是線段4G上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.存在M點(diǎn)使得異面直線與AC所成角為75°

B.存在M點(diǎn)使得二面角M—B。-C為135。的二面角

C.直線與平面皿C所成角正弦值的最大值為當(dāng)

D.當(dāng)441M=&G時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為:

4

18.在六棱錐。-ABCDE尸中，底面ABCCEF為正六邊形，頂點(diǎn)。在底面的

射影恰為正六邊形的中心，記04與BC、C。所成角分別為的,戊2,OA

與平面O2C、平面OCD所成角分別為用,為，則下列結(jié)論一定正確的是

（）

A.tana2=2tanax

B.+a2>Pi+P2

C.sin02=2sin0i

D.劭+'>]

三、填空題（本大題共12小題，共60.0分）

19.已知三棱錐P-4BC的各條棱長(zhǎng)均為1,M,N分別是棱PA,BC的中點(diǎn)，將APMN繞PN所在

的直線旋轉(zhuǎn)一周，直線MN與平面尸48所成角余弦值的取值范圍是.

20.已知正方體4BC0-AiBiGDi的棱長(zhǎng)為5,其中有一半徑為2的球。與該正方體的底面48C。

和兩個(gè)側(cè)面ADD14,4BB14都相切。另有一球。2,既與正方體的另外兩側(cè)面BCC$i，DCCR

以及底面A8CD相切，又與球。1相切，則球。2的半徑為-

21.如圖所示，正方體4BCD-&B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,MN是它的內(nèi)切

球的一條弦（我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），P為

正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，前?麗的取值范

圍是.

22.已知各棱長(zhǎng)都相等的直三棱柱所有頂點(diǎn)都在球。的表面上.若球。的表面積為28兀，則該三棱

柱的側(cè)面積為.

23.如圖，在底面邊長(zhǎng)為2,高為3的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個(gè)

面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個(gè)面相切，也與大球相切，

則小球的半徑為.

2

24,已知三棱錐S-4BC內(nèi)接于半徑為4的球中，S4J■平面｛即｝，NBAC=45。，Sn=pn+n,則三

棱錐S-ABC體積的最大值為

25.如圖，正方體4BC。一4避16。1的棱長(zhǎng)為1,E,F分別為

BiQCiDi的中點(diǎn)，尸是底面4B1GD1上一點(diǎn).若4P〃平面BEF,

則AP長(zhǎng)度的最小值是_；最大值是一.

26.三棱錐P-4BC中,ZL4BC是邊長(zhǎng)為企的正三角形，頂點(diǎn)P在底面ABC上的投影是44BC的中心，

且PA=1.三棱錐P-ABC的內(nèi)切球?yàn)榍?「外接球?yàn)榍颉?，若球。1的半徑為廣，球外的半徑為

R，則r+R=_______;若用為球0i上任意一點(diǎn)，N為球。2上任意一點(diǎn)，則線段用N的最小值為

27.在正三棱錐S-ABC中，M,N分別是棱SC,BC的中點(diǎn)，且MNJ.4M,若側(cè)棱$4=2百，則

正三棱錐S-ABC外接球的表面積為.

28.已知正方體4BC0-&九的劣的棱長(zhǎng)均為2,其內(nèi)有9個(gè)小球，球01與正方體48C0

的六個(gè)面都相切，球。2，。3，。4，。5，。6，。7，。8，。9與正方體力BC。一AiBiG%三個(gè)面和球

。1都相切，則球。1的體積等于,球。2的表面積等于.

29.已知正四面體4的棱長(zhǎng)為辿，若該正四面體4-BC0能在底面半徑為2的圓錐S內(nèi)任意

3

轉(zhuǎn)動(dòng)，則該圓錐體積的最小值為.

30.已知長(zhǎng)方體4BCD-中，側(cè)面BCG當(dāng)?shù)拿娣e為2,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)E為々Ci的中點(diǎn)時(shí)，AC1〃平面&BE；

②若三棱柱ABC-4181cl的體積為2,則點(diǎn)。1到平面BCGB1的距離為3；

③若BC=BBi，且在棱AO上當(dāng)且僅當(dāng)存在一點(diǎn)M,滿足MB1MC,則四棱錐M-的

外接球的體積為半；

④若在棱4。上存在一點(diǎn)例，使得AMBC為等邊三角形，則四棱錐M-BCGBi的外接球表面積

的最小值為隨力

3

所有正確命題的編號(hào)為.

【答案與解析】

1.答案：。

解析：

本題主要考查命題的真假判斷，涉及棱錐，直棱柱的定義的判斷，難度不大.

人根據(jù)直棱柱的性質(zhì)進(jìn)行判斷，B,正四面體是三棱錐，C.根據(jù)棱錐的定義進(jìn)行判斷，D.根據(jù)正四棱柱

和平行六面體的定義進(jìn)行判斷.

解：A當(dāng)兩個(gè)側(cè)面是矩形且相鄰時(shí)，四棱柱是直四棱柱；當(dāng)兩個(gè)側(cè)面是矩形且不相鄰時(shí)，四棱柱不

是直四棱柱；故A不正確；

B.正四面體是三棱錐，故B錯(cuò)誤，

C棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體，故C錯(cuò)誤，

。.正四棱柱是平行六面體，正確，

故選O.

2.答案：B

解析：

本題給出三棱錐的空間特征及外接球問(wèn)題，屬于中檔題.

依題三棱錐可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-4BC外接球.求出P4=1,PC=

V3.PB=2,算出長(zhǎng)方體的對(duì)角線，即球直徑，進(jìn)而利用球的體積公式求解.

解：???AB=V5>BC=V7,AC=2,

^\PA2+PB2=5,PB2+PC2=7,PA2+PC2=4

???解得P4=l,PC=V3>PB=2,

以PA、PB、PC為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱，作長(zhǎng)方體如圖，

則長(zhǎng)方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC外接球.

???長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為A/1+3+4=2V2,

???球直徑為2VL半徑R=72，

因此三棱錐P-4BC外接球的體積是0/?3=,*(V2)3=竽兀，

故選用

3.答案：B

解析：

本題考查了空間中的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了多面體和旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

解：有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱，錯(cuò)誤；反例：將兩個(gè)相同的

斜平行六面體疊放，故①錯(cuò)誤；

以直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體不是圓錐，故②

錯(cuò)誤；

③用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)，故③正確；

④空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故④錯(cuò)誤；

故選B.

4.答案：B

解析：

本題考查正方體的幾何性質(zhì)，線線的位置關(guān)系，本題涉及到了直線間的幾個(gè)卡--

常見(jiàn)位置關(guān)系如平行、垂直、異面.屬于基礎(chǔ)題.^|\JXT

將其還原成正方體，如圖所示，依據(jù)圖形、正方體的幾何性質(zhì)進(jìn)行判斷各線

的位置關(guān)系.f---------Y

解：將正方體紙盒展開(kāi)圖還原成正方體，如圖知，AB1EF,CD1MN,MN與48是異面直線，BF

與平行，只有②③正確，

故選：B.

5.答案：D

解析：

本題主要考查了空間幾何體的三視圖及其表面積的計(jì)算，球體的體積和面積公式，圓柱的體積和面

積公式，函數(shù)模型的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)閉區(qū)間上的最值，考查了綜合分析能力和計(jì)算能力，

屬于中檔題.

如圖，設(shè)幾何體的體積為匕挖去的圓柱的體積為匕，圓柱的高AB=x(x>0),利用球體的體積公

式和圓柱的體積公式，表示出幾何體的體積匕求V的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)V在閉區(qū)間上的最

值，進(jìn)而得出幾何體體積最小時(shí)的x的值，進(jìn)而得出圓柱的底面半徑，再利用球體的表面積公式，

圓的面積公式，圓柱的表面積公式，求出該幾何體的表面積.

解：設(shè)幾何體的體積為匕挖去的圓柱的體積為匕，

???半球的半徑為遙，

所以半球的體積為：遍)’=4｛開(kāi)，

則幾何體的體積V4V/BTT-\\，

如下圖，A為半球的圓心，C為圓柱上底面圓上的一點(diǎn)，過(guò)4點(diǎn)作圓柱底面的垂線，垂足為

設(shè)圓柱的高力B=x(x>0)

在中，由勾股定理得：BC2=AC2-AB2=(V6)2-x2=6-x2.

則V=4v/6?r—VI=4VziITT—7T-BC2-AB=-IX/GTT-TT(6—r2)-x=7rx;l—(ir./,-1\nHi,

則I"=BTTJ,2—67r，令，=0,解得x=/或％=—魚(yú)(舍去),

當(dāng)％=企，此幾何體體積V最小，

此時(shí)圓柱底面半徑為：Bc=J(峋2=2，

則幾何體的表面積為:

2/、2

5x4?r?(4)+7Tx(VW)—IT-BC2+it-BC2+2?r-BC-AB

=：X4TT-(X/^)+7rx(v4i)+2?r-2xx/2

=127T+6TF+4X/2TT

=(18+4@TT

故選。.

6.答案：B

解析：

本題考查簡(jiǎn)單組合體及其結(jié)構(gòu)、三棱錐外接球問(wèn)題，屬于中檔題題.

證出SA_L平面SBC,即SA,SB,SC兩兩互相垂直，得出三棱錐可以看做是長(zhǎng)方體的一部分，根據(jù)

題意求解外接球半徑是解題關(guān)鍵.

解：三棱錐S-ABC的外接球即為以SA,SB,SC為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球，其直徑2R=

V22+42+42=6.

又cos乙BAC=p故sin/BAC=辿，故44BC外接圓的半徑r=BC=也，則球心。到平面ABC

552sinz.BAC3

的距離為＞//?2—丁2—漁，

3

故點(diǎn)。到平面ABC距離的最大值為3+立.

3

故選B.

7.答案：A

解析：

本題主要考查球的切接問(wèn)題，球的表面積的求解，將四面體放入長(zhǎng)方體內(nèi)考慮即可求解.

解：因?yàn)樗拿骟w4-BCD的三對(duì)對(duì)棱分別相等，

所以把它放在如下的長(zhǎng)方體內(nèi)，

所以如圖:

設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為X,y,Z,

由己知/+y2=100,y2+z2=(2V34)2=136,%2+z2=(2V41)2=164,

所以久2+y2+z2=200,

得長(zhǎng)方體的外接球半徑為5vL

又四面體4-8C。的外接球與長(zhǎng)方體的外接球相同，

所以四面體a-BCD外接球的表面積為S=4兀/?2=2007T.

故選A.

8.答案：B

解析：

本題考查線面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算

求解能力，是中檔題.

過(guò)E作EMJ■平面4BCC,交AO于過(guò)E作EN_L平面BCqB],交81cl于M連結(jié)M凡NF,設(shè)

正方體ZBCD—4B1GD1中棱長(zhǎng)為a,則EM=EN=a,MF>a,NF>a,4EFM=9,乙EFN=cp,

從而t<m8=累Wl,進(jìn)而Omax=45°,易證△ENFmAEMF,能推導(dǎo)出0=9.

解：過(guò)E作EMJL平面ABC。，交A。于M,過(guò)E作EN_L平面BCGB]，交當(dāng)前于N,

連結(jié)MF,NF,

設(shè)正方體力BCD—4/iGDi中棱長(zhǎng)為a,

則EM=EN=a,MF>a,NF>a,乙EFM=0,乙EFN=<p,

EM

???tand=—<1,emax=45°,

易證AENF三AEMF,能推導(dǎo)出。=9.

9=cp,9max=45°,

故選B.

9.答案：B

解析：

本題考查了平面的基本性質(zhì)及推論，截面面積最值的求法，涉及基本不等式求最值，屬較難題.

補(bǔ)成長(zhǎng)，寬，高分別為2,8，1的長(zhǎng)方體，在長(zhǎng)方體中可解決.

解：補(bǔ)成長(zhǎng)，寬，高分別為2,6，1的長(zhǎng)方體（如下圖）

由于EF1a,故截面為平行四邊形MNKL,

可得KL+KN=2.

設(shè)異面直線AB與C。所成的角為8,

則sin。=sinZDFH=sin乙LKN.

△HFD中，HD=1,FD=FH=1,

??.△HFD為正三角形，

sind=—,

2

???SsiMNKL=NK-KL-sm^NKL

V3

=—NK-KL

2

-2I2J~2'

當(dāng)且僅當(dāng)NK=KL=1時(shí)取等號(hào).

故選B.

10.答案：B

解析:

本題考查正三棱錐的外接球及球的截面的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于較難題目.

解題關(guān)鍵是關(guān)鍵是構(gòu)造圖形，利用解三角形計(jì)算外接球的半徑.

設(shè)三角形BOC的中心為01，球O的半徑為R,

連接0。OD,?；ǎ琌E,

則。1。=3stn60°x|=遮，a。1_y/AD2-￡)0f-3-

在RtAOOi。中，R2=3+(3-R)2,

解得R=2,

因?yàn)锽D=6BE,

所以DE=|,

在ADEO］中，O、E=J3+Y-2XV3X|XCOS30°=y.

所以。E=JO.+00工=J：+1=手，

過(guò)點(diǎn)E作圓。的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小,

此時(shí)截面圓的半徑為后二亙=匹，

\42

最小面積為:兀，

4

當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面的面積最大，最大面積為47r.

故截面圓的面積的取值范圍為s兀,4兀］.

故選B.

11.答案：C

解析：

本題考查空間中截面的作法及梯形的面積公式.由點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系作出截面，依據(jù)圖形求出

面積即可.

解：如圖，由面面平行的性質(zhì)知截面與平面的交線MN是△441。的中位線，

所以截面是等腰梯形BGMN,

正方體的棱長(zhǎng)為2,可知MN=^BCi=&,BN-C^M=V22+l2=>/5>

所以梯形的高為J（俑2_（爭(zhēng)2=吟

所以截面的面積為3（遮+2近）x乎=|.

故選C.

12.答案：ABD

解析：

本題考查球，正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的體積公式，線面垂直的性質(zhì)，球的截面問(wèn)題，屬于較難題.

根據(jù)題意，先得出SOI平面A8C,且S。和平面ABC的交點(diǎn)為△4BC的外心，再逐一分析各選項(xiàng)即

可.

解：連接D4,DB,DC,

由題意，SQ為球。的直徑，所以NS4D=NSBD=Z5CD=9O。，

又24so=乙BSD=乙CSD=30°,

所以S4=SB=SC=SD?cos30°=2百，

所以SO和平面48c的交點(diǎn)為△力BC的外心，，且SD1平面4BC,連接AH,

可得4H=SA-sin30°=遮，即4ABC外接圓半徑為VL

vABu平面ABC,

AB1SD,故A正確；

48的最大值為圓，的直徑2舊，故B正確；

可知SH=SA-cos30°=2>/3x—=3.

2

在△ABC中，若要使其面積最大,

則該三角形的高必然通過(guò)圓心，，此時(shí)小ABC為等腰三角形,

不妨記48=AC=b,BC=2a,A到BC邊上的高為x,則遮<x<28,

所以△力BC的面積為S=ax,

可得a2+Q_⑸2=（0）2,可得@2=2巡%-％2,

所以S?=a2x2=2V3%3—x4f令f（%）=2A/3X3—%4,V3<%<2痘,

則/（%）=6>/3x2—4x3=4x2（半—%）,

當(dāng)時(shí)，r（x）>0,/（X）單調(diào)遞增；

當(dāng)苧<x<2次時(shí)，f（x）<0,f（x）單調(diào)遞減；

故/（X）的最大值為/（苧）=（子?X（2V3—苧）=翼，

所以三棱錐S—ABC的體積最大值為工X3X匡=鳴故C錯(cuò)誤；

3y164

可知過(guò)S4作球的截面中，球心。到截面距離為。到SA的距離，

其大小為=gx4xsin30o=1,故。正確；

故選ABD.

13.答案：ABD

解析：

本題以正方體為載體考查球的性質(zhì)，考查空間想象能力、計(jì)算能力，屬中檔題.

由8E_1_平面488遇0得平面截「所得小圓的半徑r,即可求「與面48%久的交線長(zhǎng)，判斷A

正確；

由點(diǎn)E到直線BO1的距離為點(diǎn)C到直線BC1的距離的也可求直線BL11被「截得的線段長(zhǎng)，判斷8正確；

由DiE=6>VIU,所以點(diǎn)久在該球外，可得HD1的最小值為6-45，判斷C錯(cuò)誤；

確定以VTU為半徑的球面與對(duì)角面BDD1B1的交點(diǎn)為RG,,求出NF01G=120。，即可求該交線的

長(zhǎng)，判斷。，

解：因?yàn)锽E_L平面48當(dāng)4,所以平面48當(dāng)41截r所得小圓的半徑r=付==述，

圓心為點(diǎn)B,所以r與面ABB1A1的交線長(zhǎng)為gX{=半，故A正確；

點(diǎn)E到直線BO1的距離為點(diǎn)C到直線BD］的距離的即E直線BO1的的距離為半xg=呼，

所以直線BD1被r截得的線段長(zhǎng)為2小0一1=當(dāng),故B項(xiàng)正確；

因?yàn)镈iE=V16+16+4=6>VW，所以點(diǎn)Di在該球外,,所以HD1的最小值為6-同,故C錯(cuò)誤；

過(guò)E作EC)11BD于?！高B接。$1，則BE=2,OXE=V2,OrB=V2.B101=372.

連接E。，在8。上取CF=&,則EF=6TT=V1U，所以點(diǎn)F在該球上，在上取86=聲,

則GO】=、6+2=2夜,GE=VTO?所以點(diǎn)G在該球上，所以點(diǎn)E為球心，

以為半徑的球面與對(duì)角面BDD1B1的交點(diǎn)為F、G,

又因?yàn)?。?"內(nèi),所以NG。*=60°,乙FO[G=120°,

所以該交線的長(zhǎng)為14*2通￥萬(wàn)，故。項(xiàng)正確，

故選ABD.

14.答案：AD

解析：

本題考查空間點(diǎn)、線、面的關(guān)系，考查最短距離求法，屬于難題.

求。P的最小值，即求△O&B底邊上的高；以所在直線為軸，將△41BC]所在平面旋轉(zhuǎn)到平

面2BB14,設(shè)點(diǎn)6的新位置為C',連接AC',則"'即為AP+PG的最小值，利用余弦定理即可求解.

解：求DP的最小值，即求△D&B底邊4$上的高，

易知=AtD=V5?BD=A/2?

所以邊上的高為/I=|VS,

連接&Q,BCr,得ZM/G，

以所在直線為軸，將AAiBCi所在平面旋轉(zhuǎn)到平面4BB14,

設(shè)點(diǎn)G的新位置為C'，連接ZC',則4C'即為AP+PG的最小值，

易知力&=2,AXC'=V2-AB=1,BC=V5>

在直角三角形力"8中，cosa=-1-,sina=-?

在三角形&BC中，由余弦定理得cos/?=察，則sin/?=等，

則coszAzliC'=cos(a+.)=一味，

所以在三角形441C'中，AC=J4+2-2X2XV2X(-y|)=

故選AD.

15.答案：BD

解析：

本題考查四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，空間中的距離，異面直線所成的角，面面垂直的性質(zhì)，四棱錐的外接

球的結(jié)構(gòu)特征，屬較難題.

對(duì)于A,取A3的中點(diǎn)E,連接PE,由面面垂直的性質(zhì)可得PEJ.平面.43。。，即可得直角三角形

求解長(zhǎng)度；對(duì)于BC,由4D〃BC可得NPCB或其補(bǔ)角即為直線尸C與AO所成的角，在△PBC中計(jì)算

角度即可；對(duì)于￡>,設(shè)ABC。中心為Op球心為。，△P40外心為。2，由四棱錐和其外接球特征構(gòu)

建兩個(gè)直角三角形求解即可.

解：對(duì)于4,取AD的中點(diǎn)E,連接PE,因?yàn)橐?PD=120。小川=|PD|=2,

所以PE1AD,且|PE|=1,\AD\=28，

又因?yàn)槊鍼4D1平面ABCD平面P.ADC平面-AO,PEc面PAD,

所以PE_L平面連結(jié)CE,則IEU平面ABC'。，所以PE1CE,

又因?yàn)榈酌鍭BC。是矩形，=2,所以|CE|=V7,

所以|PC|=J|PE|2+|CE『=22,所以4錯(cuò)誤:

對(duì)于8C,因?yàn)榱//BC,所以4PCB或其補(bǔ)角即為直線PC與AO所成的角，

APBC中,由A可得|PB|=|PC|=2近，|BC|=2V5,

所以COSNPCB=^W鬻胖時(shí)=言新為=漁，故8正確，C錯(cuò)誤；

2\PC\-\BC\2X2V2X2V34

對(duì)于。，如圖，設(shè)ABC。中心為01，球心為O,△24。外心為。2，

由4APD=120°|PX|=\PD\=2,可得外位于△PAD外,

由四棱錐和其外接球特征可得0。1J?面ABCD,002_1_面PAD,且匕瓦。2三點(diǎn)共線.

所以。。110世,0021P02.

22

所以|0B|=R=J|0/|2+[0]0|2,\0P\=R=y/\OO2\+\PO2\,

所以QB|=2,\P02\-I00J=1,\002\=\0xE\=1,

解得|OR|=1,則區(qū)=斤口：=&，所以。正確.

故選BD

解析：

本題考查線面垂直、線面角、二面角等眾多立體幾何的知識(shí)點(diǎn)，屬于難題.

對(duì)于A,由線面垂直的判定定理證明u平面BDiG即可；對(duì)于B,直接分析每個(gè)面的三角形即可；

對(duì)于C由二面角定義即可；對(duì)于。分析出正方體4BCD-&B1GD1的內(nèi)切球，外接球與BO】的同一

側(cè)的兩個(gè)交點(diǎn)的距離最小，是關(guān)鍵.

解：在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AiBiCiA中，連接86，

GDiJ"平面BG，B[Cu平面8G，

???C1D11B]C,

C1B1B1C,C-iD-iAC^B—Ci,C1D1,C】Bu平面BDiG，

BjC_L平面BDiG，

DjBu平面BDiQ,

???BiClBDi，即異面直線BDi與BiC所成的角大小為90。，A正確；

四面體。iDBC的面中，BC1CD,三角形BCD是直角三角形,DtD1CD,三角形是直角三角

形，

。1。1平面ABCD,BDu平面ABCD,

DrDA.BD,三角形是直角三角形，

同理BC12C,三角形DiCB是直角三角形，故B正確；

二面角5-BC-Bi即為一BC—Bi，由二面角定義可知其大小為45。，故C錯(cuò)誤；

正方體4BCD-41B1GD1的內(nèi)切球半徑為右外接球半徑3

正方體ABC。-&B1C1D1的內(nèi)切球，外接球與5%的同一側(cè)的兩個(gè)交點(diǎn)的距離最小，

即亨.故。正確.

故選ABD.

17.答案：AC

解析：

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、二面角，直線和平面所成的角、異面直線所成的角、幾何體中的截面

問(wèn)題和空間想象能力，涉及利用空間向量求線線角與線面角、線面垂直的性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)、

函數(shù)的最值，屬于較難題.

以。為原點(diǎn)，以分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系，

則5(0,0,1),4(100),C(0,1,0),2(1,0,1),G(0,1,1),

設(shè)的=<A<1)，則-Z1).則而=(A,l-A,0).

再結(jié)合選項(xiàng)依次判斷.

解：以。為原點(diǎn)，以04,CC,0Di分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系，

則。1(0,0,1)4(1。0),C(0,1,0),41(1,0,1),6(0,1,1),

設(shè)金而=4GA；(0O則

則瓦羽=U,1-A,0)-

對(duì)于A項(xiàng)，

由前=(-1,1,0)，BM=(A-1,-2,1).所以cos(麗，而>=7x%；？2；l+2

令t=1一2九則—cos<BM,AC>—^=,

當(dāng)t=0時(shí)，cos<麗，前>=0;

當(dāng)"0時(shí)，即G)，l，所8s(麗，前>=忘".

所以cos<'EM,AC>e[o,1],

所以異面直線BM與AC所成角的范圍是[60。,90。],

則存在M點(diǎn)使得異面直線8例與AC所成角為75。，故A項(xiàng)正確；

對(duì)于8項(xiàng)，

如圖:

當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)到&時(shí)，二面角M-BO-C最大，連接8。交AC于點(diǎn)。，連接為。，&C,

則AiO_LBD,0C1BD,得乙410C為二面角M-BD-C為135。的二面角，

在RM44。中,

smZ-A^OA

得sin乙4I0C=sin乙41。4=除

而sinl35。=當(dāng)＜強(qiáng)

函數(shù)y=sinx在槨,兀］上單調(diào)遞減，

故44。(？<135°,

因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)M移動(dòng)到兒時(shí)，二面角M-BD-C最大，故不存在M點(diǎn)使得二面角M-BD-C為135。的

二面角，

故3項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，

設(shè)平面4D1C的法向量為沅=(x,y,z),

則近=(-1,1,0),=(-1,0,1)-

由,安，得，取4=1，得'=1，z=l，

(m-ADj=0l-x+z=0，

得平面4D1C的法向量為記=(1,1,1),設(shè)直線AM與平面AOiC所成角為氏

則sin。=|cos<Dj4,m>\=以屋+m/

111V6

所以當(dāng);l=；時(shí)5也。有最大值，%=詞=1■故C項(xiàng)正確；

2/2X--2X-+1XV3Y

對(duì)于。，由平面平面用5ao可得，平面80M與平面為B1C1D1的交線平行于8力,

過(guò)點(diǎn)用點(diǎn)作直線EF〃BD,則梯形EFBD即為截面，

因?yàn)?AlM=&G，所以EF=#，此時(shí)WB。間的距離為，+（當(dāng)j=苧

所以截面面積為更必=延，故。項(xiàng)錯(cuò)誤.

24

故選AC.

18.答案:BC

解析：

本題考查正六棱錐的結(jié)構(gòu)特征，異面直線所成的角，直線和平面所成的角，同角三角函數(shù)的基本關(guān)

系，正弦函數(shù)的性質(zhì)，正切函數(shù)的性質(zhì)，屬較難題.

設(shè)底面正六邊形4BCDEF的邊長(zhǎng)為2,正六棱錐高為/?,由異面直線所成的角及直線和平面所成的

角的定義可得tana】/tana?=科sing】=笈贏帚sg=猊鬻畸利用同角

三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的性質(zhì)，正切函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷即可.

解：由題意可得該六棱錐為正六棱錐，設(shè)底面正六邊形ABCOE尸的邊長(zhǎng)為2,正六棱錐高為/?,則

側(cè)棱長(zhǎng)為側(cè)面上的斜高為"=71不必，由正六邊形488￡：尸的性質(zhì)可得8。〃1。,。。〃4尸,

hh

所以和N04F分另IJ為0A與BC、C￡>所成角分別為劭,戊2,在等腰△。40中，tan%=國(guó)=5；在

2

2

等腰△OAF中，tana2=與=V3+h；設(shè)點(diǎn)A到平面OBC、平面OCD的距離分別為均也，因?yàn)?/p>

z2

S^ABC=\\BA\'\BC\'sinl20°=ix2x2x^=V3.Sh0BC=；|BC|-/i=；x2XV3+h=

222zz

A/3+h?，所以由勿-08c=%T8c可得，,SMBC,h=』SA（）BC?di,解得由=,所以sin/?i=TT~—

JJv/l+3117/11

JW黑z+爐又S“CD=\MC|-|CD|=ix2V3x2=2V3,S.℃D=同理可得d?=焉

所以/為=蒜=旃鬻畸

2

對(duì)于A,由tanai=T，tana2=V3+/i>tana?=2tan的不恒成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,0A與8C所成角為的，0A與平面08c所成角為由，因?yàn)锽Cu平面。8C,所以由最小角定

理可知，直線與平面內(nèi)所有直線所成的角中線面角最小，所以的》用；又0A與CZ）所成角為a2,

0A與平面OCD所成角為傷，由C。<=平面OCD,同理可得a2》傷.由不等式的可加性可得%+a2>

用+僅，故B正確；

對(duì)于C,由到辿=標(biāo)金前=黑+旬，可得sin的=2sin自恒成立，故C正確；

對(duì)于由sin。】=篇舄且凡為銳角,可得tan0】=而黑而,又tana「*所以

h

442

tan（的+氏）=z哈12="”4*12+2震因?yàn)?人+2+48一3/i=h+16h+48>

1?」x近h2V/l4+4h2+12-V3/l216h

2Jh4+4九2+12

0,所以4h4+16F+48>3h4,BP2Vh4+4/i2+12>V3/i2,所以tanl的+'）>0,又因?yàn)閍1,凡均

為銳角，所以（）<5+d<：,故。錯(cuò)誤.

故選BC.

19.答案：[號(hào)與1]

解析:

本題考查旋轉(zhuǎn)體中直線和平面所成的角，涉及正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，圓錐的結(jié)構(gòu)特征，同角三角函

數(shù)的基本關(guān)系，屬較難題.

由正三棱錐結(jié)構(gòu)特征可得將△PMN繞PN所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，MN旋轉(zhuǎn)形成的軌跡為一個(gè)圓錐的側(cè)

面，設(shè)直線PN與平面PAB所成的角為夕，MN與平面PAB所成角為仇可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線AB與

平面a所成的角川確定，直線8c繞直線BA旋轉(zhuǎn)，且8c與BA所成的角小于直線AB與平面a所成的

角，所以0404/?+4ABC,由此即可求解.

解：由三棱錐P-ABC的各條棱長(zhǎng)均為1,N分別是棱BC的中點(diǎn)，可得|PN|=當(dāng)，

又因?yàn)槿忮FP-ABC為正三棱錐，所以點(diǎn)C到平面PAB的距離為J1.(|X到=導(dǎo)又由N分

別是棱BC的中點(diǎn)可得，點(diǎn)N到平面PAB的距離為在，

6

V6

設(shè)直線PN與平面PAB所成的角為氏貝㈣邛=塞=爭(zhēng)所以cos￡=*

2

又因?yàn)镸,N分別是棱尸4,8c的中點(diǎn)，由|PN|=|4N|可得MNJ.PM,

則sin"NM==冬cos/PNM=—.

|PW|33

將△PMN繞PN所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，因?yàn)镻N與平面PA8所成角為定值，NPNM為定值，所以MN

旋轉(zhuǎn)形成的軌跡為一個(gè)圓錐的側(cè)面，設(shè)MN與平面PAB所成角為仇

可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：直線A8與平面a所成的角￡確定，直線BC繞直線8A旋轉(zhuǎn)，且BC與BA所成的

角小于直線A8與平面a所成的角，所以0<6</?+乙4BC,其中乙4BC即為原圖中/PNM,所以

sinZ-ABC=爭(zhēng)cosZ-ABC=當(dāng)而cosO=1,cos(fi+Z-ABC)=cos/??cosZ-ABC—sin/??sinZ-ABC

V7V6V2V3V42-x^6

-X------------X-=------------

33339

.所以3P《cos。＜1，即直線MN與平面PA8所成角余弦值的取值范圍是[些F，l].

故答案為[號(hào)四,1]

20.答案：1

解析：

本題考查了空間兒何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間距離的求法，屬于較難題目.

根據(jù)題意設(shè)球。2半徑為「，作出截面圖，由勾股定理求出結(jié)果即可.

解：設(shè)球。2半徑為r，球。1和球。2與底面A8C￡>的切點(diǎn)分別為M、N,

過(guò)。2作02H和垂直，垂足為H，

作出正方體的截面圖力CG4，如圖：

因?yàn)?1半徑為2,且與該正方體的底面A8CQ和兩個(gè)側(cè)面4。。送1，ABB14都相切.

所以AM=2V2,

球。2與正方體的另外兩側(cè)面BCCiG，OCCiA以及底面A8CD相切，所以ND=V^r，

又AD=5V2,

222

則由勾股定理：0.H+02H=0^2,

即(2-r)2+(5V2-2V2-V2r)2=(2+r)2,

解得：「1=1,r2=9(舍去).

故答案為1.

21.答案：[0,8]

解析：

本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，簡(jiǎn)單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，空間向量的數(shù)量積及加減運(yùn)算，屬于較

難題.

利用正方體的內(nèi)切球的結(jié)構(gòu)特征得當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，是此內(nèi)切球的直徑且MN=4,設(shè)

的中點(diǎn)為。，再利用正方體的內(nèi)切球的結(jié)構(gòu)特征得。是內(nèi)切球的球心，也是正方體4BCD-&&GD1

中心，利用空間向量的加減運(yùn)算及數(shù)量積得麗.麗=而2一小再利用正方體的結(jié)構(gòu)特征得24

\P0\<2百，最后計(jì)算得結(jié)論.

解：因?yàn)镸N是棱長(zhǎng)為4的正方體4BC0的內(nèi)切球的一條弦，

所以當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，是此內(nèi)切球的直徑且MN=4.

設(shè)MN的中點(diǎn)為0,則。是內(nèi)切球的球心，也是正方體4BCD-48iGDi中心，

因此麗=一麗，|麗|=|而|=2,

所以兩?~PN=（P0+西）?（P0+0/V）

=時(shí)-ON）-（P0+ON）

,一>2...>2---?2

=PO-ON=P0-4-

又因?yàn)槭瑸檎襟w表面上的動(dòng)點(diǎn)，。為正方體ABCD-&B1GD1中心，

所以2<\P0\<2百，

因此04而2-448，

即由?前的取值范圍是[0,8].

故答案為[0,8].

22.答案：36

解析：

本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，球的半徑的求解，考查計(jì)算能力，是中檔題.

通過(guò)球的內(nèi)接體，說(shuō)明兒何體的中心是球的球心，由球的表面積求出球的半徑，設(shè)出三棱柱的底面

邊長(zhǎng)，通過(guò)解直角三角形求得“，然后得三棱柱的側(cè)面積.

解：如圖，

???三棱柱48c-4181cl的所有棱長(zhǎng)都相等，6個(gè)頂點(diǎn)都在球0的球面上，

???三棱柱為正三棱柱，則其中心為球的球心，設(shè)為。

再設(shè)球的半徑為一，由球。的表面積為28加，得471r2=28兀，

???T—V7.

設(shè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a,則上底面所在圓的半徑為漁a,且球心。到上底面中心”的距離OH=當(dāng)

32

直三棱柱高為力，底面周長(zhǎng)為工

“2=(|)2+白)2,即「=島，

a=2-\/3=h>L=3xa=6v5

則三棱柱的側(cè)積為S=Lxh=3xaxh=3x2V3x2V3=36

故答案為：36.

23.答案：*

2

解析：

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，球的半徑的求法，根據(jù)題意作出輔助線，利用勾股定理列方程解答是解

題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，作輔助線，在正四棱柱對(duì)角線的截面構(gòu)造直角三角形01。28,設(shè)小球半徑為廣，利用勾股

定理列方程，解方程可得小球的半徑.

解：如圖，

設(shè)大球的球心為0「