高中數(shù)學必修二第八章第4節(jié)《空間點、直線、平面之間的位置關系》解答題 (十)(含解析)

第八章第4節(jié)《空間點'直線'平面之間的位置關系》解答題(10)

1.用符號表示下列點、線、面的關系.

(1)直線4與直線6平行；

(2)直線/與平面a平行；

(3)平面a與平面0平行；

(4)直線/與平面/?垂直.

2.如圖，三棱錐P-48C中，P4=PC,4B=BC,ZJPC=120°,^ABC=90°,=V3PB.

(1)求證：AC1PB,

(2)求直線4c與平面PAB所成角的正弦值.

3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，P4J"平面ABC。，AD1CD,AD//BC,PA==CD=2,

BC=3.E為的中點，點F在PC上，且￡=：.

G

B

(1)設點G在PB上，且9=j求證：A,G,E,F四點共面;

rD3

(2)求二面角尸-AE-P的余弦值.

4.在四棱錐P-HBCD中，四邊形ABC。為平行四邊形，三角形APB為

等腰直角三角形，PA=PB,己知力。=y/2,AB=2,PDLAB,PC=

V5.

(1)求證：BDLAD；

(2)求四棱錐P-ABC。的體積.

5.如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，P4_L底面ABC。，ABLAD,AC1CD,/.ABC=60°,PA=

AB=BC,E是PC的中點，證明:

(1)4E1CD；

(2)PD_L平面ABE.

6.給出如下點、線、面的圖示.

(1)如何用文字語言表述以上點、線、面的位置關系？

(2)如何用數(shù)學符號語言表述上述關系？

7.如圖，-ABCD,PALnABCD,AD//BC,AD1CD,且4。=。0=夜,8。=

2?PA=2.

(1)求證：AB1PC；

(2)在線段PO上，是否存在一點M,使得二面角M—AC-D的大小為45。，如果存在，求

與平面MAC所成角，如果不存在，請說明理由.

8.如圖所示，在長方體力BCD-4B1GD1中，直線B/i與長方體

的六個面之間的位置關系如何？

9.如圖，已知平面a和/?相交于直線/，點4Ca,點86a,點Ce.，/在

且AC/,CW/,直線AB與/不平行，那么平面4BC與/A*/

平面/?的交線與/有什么關系?證明你的結(jié)論.V------------------(

.c(3

10.如圖，平面a,B，y滿足a〃夕，any=a,BCy=b,判斷。與b,a與

￡的位置關系并證明你的結(jié)論.

11.如圖，在四棱錐P-4BCD中，P4JL平面A8CC,P4=AB=2,BC=CD=1,PC=3,CO1BC.

(1)求證：四邊形ABC。是直角梯形;

(2)求直線PD與平面PBC所成角的正弦值.

12.如圖，在正方體4BCD-AiBiGDi中，EF與異面直線AC,4。都垂直.求證:EFf/BD^

13.如圖,在直三棱柱ABC-A%G與四棱錐。-441GC中,AM/Bg兒。=ZBCDQ所

確定的平面交BBi于點E

（回）證明:直線4E,4/i，0Q交于一點;

（團）若三棱柱ABC-4/1Ci的體積為18,求四棱錐A-BCCiE的體積.

14.如圖，底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，PA1面ABC。，^ABD=60。，E為PC上一動點,

PA=AC.

(1)求證：BD1.AE-,

（2）求AD與平面PBD所成角的正弦值.

15.如圖，在四棱錐P-4BC。中，平面P4。_L平面ABCZ）,四邊形ABC。是邊長為2的菱形，且

^BAD=p△PAD為等邊三角形.

(1)求證：PBLAD；

(2)求二面角D-PA-C的正弦值.

16.四棱錐P-4BCD中，底面ABC。為直角梯形，CD//AB,/.ABC=90°,AB=2BC=2CD=4,

側(cè)面PAD，平面ABCD,PA=PD=2.

(1)求證：BD1PA-,

(2)已知平面尸4。與平面P8C的交線為/,在/上是否存在點N,使二面角P-DC-N的余弦值

為”若存在，請確定N點位置，若不存在，請說明理由.

17.已知空間四邊形ABCD的對角線4c=20,B。=19,異面直線AC與8D所成的角的余弦值為橙

點尸，Q,M,N分別是48,BC,CD,D4的中點.

A

(1)求證：四邊形PQMN是平行四邊形;

(2)求四邊形PQMN的面積.

18.如圖所示，四邊形ABEF和ABCO都是直角梯形，/.BAD=/.FAB=90°,BC//AD,BC=^AD,

BE//FA,BE=\FA,G,H分別為FA,的中點.

(1)證明：四邊形5C//G是平行四邊形;

(2)C,D,F,E四點是否共面?為什么？

19.如圖，在正方體48co-41當6。1中，E,F分別為441，CQ的中點，求證：四邊形BF/E是

平行四邊形.

20.如圖，已知長方體4BCD-&B1GD1中，4力=48,E,尸分別是

BO1和4。的中點，求證：CDr1EF.

【答案與解析】

1.答案:解：(l)a〃b;

31〃a；

⑶a〃伙

(4)/1/?.

解析：由平行和垂直的符號，表示即可.

本題考查運用符號表示線線、線面和面面的位置關系，考查數(shù)學抽象概念，屬于基礎題.

2.答案：(1)證明：取AC的中點O,連接PO,B0,因為PA=PC,所以P01AC.

因為4B=BC,所以B。LAC.

因為POCBO=O,POu平面POB,BOu平面POB,所以ACJ■平面P08,

所以4c1PB.

(2)解：不妨設AC=2V3.因為AC=V3PB，則PB=2,因為4B=BC,AABC=90°,貝加。=AO

-AC=V3.

2

因為PA=PC,^APC=120°,則N4P0=60。，在RtAPOA中，PO=A0=1,

tan60°

因為8。2+PO2=PB2=4,所以P。1BO.

因為P014C,ACCtBO=0,ACu平面ABC,BOu平面ABC,

所以PO_L平面ABC.

以。為坐標原點，OB,OC,OP分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系。一xyz,

則力（0,-B,0），8（悔0,0）,C（0,V3,0）,P（0,0,l）,

AB=（V3,V3,0）,AP=（0,V3,l））AC=（0,2V3,0）.

設平面PAB的法向量為記=（x,y,z）,則［n-AB=>/3x+y/3y=0

Vn-AP=V3y+z=0

令2=b，則y=-1,%=1,故祠=V5）

則cos（元,=:能?=二"J=一二

、，/\n\-\AC\V5X2X/35

記直線4c與平面尸48所成角為。，則sinO=|cos值，前

所以直線AC與平面PAB所成角的正弦值為匹.

5

解析：本題考查異面直線垂直的證明，考查利用空間向量求線面的夾角，空間中直線與直線，直線

與平面的位置關系，屬于中檔題.

(1)取AC的中點。，連接尸O,B0,即可得到P014C,再證明B0J.4C,結(jié)合線面垂直的判定定理

即可得到AC工平面POB,進而得證AC1PB.

(2不妨設4c=2b，求出B。和P0的值，可知據(jù)BO2+PO2=PB2=4,即P01B。，再根據(jù)線面

垂直的判定定理即可得到PDJ■平面ABC.以。為坐標原點，OB,0C,分別為x軸，y軸，z軸建

立如圖所示空間直角坐標系。-xyz,分布求出各點坐標，即可得到肉=(V3,V3,0),^P=(0,V3,l)-

AC=(O,2V3,O),求出平面P4B的法向量為記=(1,—1,舊)，即可得到記與左夾角的余弦值，進而求

解直線AC與平面PAB所成角的正弦值.

3.答案：解：(1)證明：取CF的中點M,連接MG,

訕上PGPM2

則有而=7

所以MG=-BC'

3

由題意得力。=-FC.

3

故40=MG'

所以四邊形AOMG為平行四邊形，

所以AG〃MD,

因為E,F分別是PD,的中點，

所以EF〃MD,

所以EF〃4G,

故4、G、E、尸四點共面；

(2)如圖，以4為坐標原點建立空間直角坐標系，

E

D

B

則4(0,0,0),尸(|，|彳)，E(0,l,l),P(0,0,2),

所以荏=（0,1,1），獷=（!，!，》?

設平面AEF的法向量為汨=。［，月/］）,

Jn^-AE=y1+z1=0

1m'f蘇?而=|%i+|yi+|zi=0'

＜：：：：：?

不妨令Z］=-1,

得汨=（1,1,一1）.

而易知平面PAE的一個法向量為荻=（1,0,0）,

則8S何同=器=今

由圖可知二面角F-AE-P為銳角，

所以二面角F-AE-P的余弦值為立.

3

解析：本題主要考查了空間點、線、面的位置關系，以及利用空間向量求二面角的大小.屬于中檔

題.

⑴取C尸的中點M,連接MD,MG,利用已知條件得到四邊形AOMG為平行四邊形，所以4G〃MD,

又EF“MD,利用平行線的傳遞性，即可證出結(jié)論；

（2）如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，利用已知條件寫出點的坐標和向量的坐標，設平面

AEF的法向量為聲=（匕,'1/1）,求出法向量可=（1,1,一1）,易知平面PAE的一個法向量為布=

（1,0,0）,代入cos（福?，芯）=焉篇，即可得出結(jié)果.

4.答案：（1）證明：設A8的中點為￡,連接PE,DE,

???△PAB是等腰三角形,PA=PB,.-.PELAB,

XvABJLPD,PDCPE=P,ABPED,

則4B1DE,BD=AD=V2.

?；AB=2,.?.△ABD是等腰直角三角形，且BDJ.4D；

(2)解：由(1)可知AB±平面PED,而ZBu平面ABD,

二平面PEO1平面ABD,

又?：PC=或,CD//AB,：.CDLPD,得P。=1.

又PE=DE=1,PDE為正三角形，

設OE的中點為0,則P。1平面ABCD,且P0=叵,

2

S四邊形ABCD=AB.DE=2，

???四棱錐P-ABCD的體積U=工x2x立=3.

323

解析：(1)設48的中點為E,連接PE,DE,證明ABJL平面PE。，可得ZB1DE,進一步可得△ABD

是等腰直角三角形，得BD_L40；

(2)由(1)可知AB，平面PED,得到平面PEO_L平面ABD,設QE的中點為0,貝UP。_L平面ABCD,

求得P0=在，再求出底面四邊形A8CD的面積，代入棱錐體積公式求四棱錐P-ABC0的體積.

2

本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，訓練了多面體體積的求法，

是中檔題.

5.答案：證明：(1)???PA1底面ABCD,CDu底面ABCD,

CD1PA.

又CD1AC,PAOAC=A,PAcffi]PAC,ACc?PAC,

CDIffiPAC,AEu面PAC,

???CDLAE.

(2)P4=AB=BC,乙ABC=60°,

PA=AC,E是PC的中點，

AE1PC,

由(1)知CD1AE,PCr\CD=C,PC,CDu平面PCD,

AE1面PCD.

"PDu平面PCD,

AE1PD.

PA1底面ABCD,ABu平面ABCD,

AB1PA.

又AB1AD,PADAD=A,PAu平面PAD,ADu平面PAD,

ABJ■平面PAD.

PDu平面PAD,

BA1PD.

vAEA.PD,ABCtAE=A,AB,AEa[SiABE,

PD1面ABE.

解析：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，空間中直線與直線之間的位置關系，考查了空間想

象能力和推理論證能力，屬于基礎題.

(1)由PA1底面ABCD,可得CD1PA,又CDA.AC,故CDL面PAC,從而證得CD1AE.

(2)由等腰三角形的底邊中線的性質(zhì)可得AE1PC,由(1)知CD1AE,從而AE，面PCD,AE1PD,

再證AB1PD可得PD1面ABE.

6.答案：解：(1)圖⑴：點A在平面a外，點8在平面a內(nèi)，直線/經(jīng)過點4,B,直線/與平面a相交；

圖(2)：平面a和平面口相交于直線a,直線8經(jīng)過平面a內(nèi)不在直線a上的點P,且經(jīng)過平面￡內(nèi)不在

直線。上的點。；

(2)圖(1)：Aea,Bea,AeI,Bel,，na=B；

圖(2)：aC°=a,P0a,Q生a,PEa,Qe。,P&b,Q€b,bda=P,bC0=Q.

解析：(1)結(jié)合圖象以及相對應的位置進行描述即可；

(2)規(guī)范使用符號進行表示，點和直線的關系用6,占點和平面的關系用W,C，直線和平面的關系

用U,0.

本題主要考查了點、線、面的位置關系，熟悉位置關系符號的表示是解題的關鍵，側(cè)重考查符號語

言和圖形語言的相互轉(zhuǎn)化，屬于基礎題.

7.答案：證明：(1)如圖，由己知得四邊形A8C。是直角梯形，

由已知4。=CD=V2.BC=2y12,

可得△ABC是等腰直角三角形，即4B14C,

又PA平面4BC￡>,則PA1AB,又APCl力C=4,所以力B_L平面PAC,

所以ZB1PC.--------------------D

BC

解：（2）存在，觀察圖形特點，點M可能是線段的一個三等分點（靠近點D）,

下面證明當M是線段PO的三等分點時，二面角M-AC-。的大小為45。，

過點M作MN14D于N,則MN〃P4則MN_L平面ABCD.

過點M作MG_LAC于G,連接NG,

則NMGN是二面角M—AC—。的平面角，

因為M是線段的一個三等分點（靠近點D）,則MN=g,AN=：夜，

在四邊形ABCD中求得NG=則NMGN=45°,

所以當M是線段PD的一個靠近點D的三等分點時，二面角M-AC-。的大小為45。，

在三棱錐M-ABC中，可得除-.Be=[SA4B「MN,

設點B到平面MAC的距離是h,VB-MAC='h,

則SfBC?MN=SAMAC.h,解得h=y/2,

在中，可得BM=2A/^，

設BM與平面MAC所成的角為。，則4九8=占=；,

所以8M與平面MAC所成的角為30。.

解析：本題考查線線垂直的證明，考查線面角的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思

維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

⑴四邊形ABC。是直角梯形,推導出SB1AC,PA1AB,從而1平面PAC,由此能證明AB1PC.

（2）點M可能是線段PO的一個三等分點（靠近點。），再證明當M是線段PO的三等分點時，二面角

M—AC-D的大小為45°,設點8到平面MAC的距離是人，由〃.火,MN=?兒得八=夜，

由此能求出8M與平面MAC所成的角.

8.答案：解：為。1在平面41G內(nèi),Bi%與平面BQ,4%,CD1都相交,當皆與平面AC平行.

解析：略

9.答案：解：平面A8C與平面0的交線與/相交.

證明：AB與/不平行，且48ua,Ica,

.??4B與/一定相交.設4Bn/=P,則P64B,Pel.

XvABa5F?ABC,，u0,Pe平面ABC,Pep.

點P是平面ABC與￡的一個公共點.

而點C也是平面A8C與6的一個公共點，且尸，C是不同的兩點，

???直線PC就是平面ABC與。的交線，

即平面4BCn￡=PC,而PCn2=P.

平面ABC與夕的交線與/相交.

解析：本題考查兩平面的交線與已知直線的位置關系的判斷，屬于中檔題.

推導出AB與/一定相交.設ABn/=P,則PC力B,Pel,則點尸是平面ABC與0的一個公共點,

從而直線PC就是平面A8C與0的交線，由此能證明平面ABC與￡的交線與/相交.

10.答案：解：a//b,a//p.

證明：因為a〃夕,aua,bu0,

所以。與b異面或平行，

又因為a,buy,

所以a〃b;

因為a〃/?,aua,

所以a〃/?.

解析：本題主要考查線面平行與面面平行的判定與性質(zhì)，考查了空間想象能力與邏輯推理能力.

利用利用面面平行的性質(zhì)定理可得結(jié)論.

11.答案：解：(1)連接AC,因為PA_L平面ABC。，ACu平面ABC。，所以P41AC,

因為P4=2,PC=3,所以AC?=pc2-pA2=5,

因為4B=2,BC=1,所以4c2=AB2+BC2,所以AB1AC,

在平面ABC。中，因為COJ.BC,AB1BC,所以4B〃C0,

又因為CDHAB,所以四邊形ABC。是直角梯形.

(2)在平面PAC內(nèi)過C作CF〃PA,則CF1平面ABCD,

由(1)知CD1BC,所以以C為原點，CD,CB,CF所在直線分別為x,y,z軸，

建立空間直角坐標系C-xyz,如圖所示：

A

y

則C(0,0,0),D(l,0,0),B(0,l,0),4(2,1,0),P(2,l,2),

則而=(-2,0,-2)，PD=(-1,-1,-2).CP=(2,1,2).

設平面PBC的一個法向量為元=(x,y,z),

.,(n-PB=0(2%+2z=0

%m.CP=0,叫pi]2x+y+2z=0，

令z=l,則y=0,x=—1,則元=(1,0,-1)，

設直線PO與平面P8C所成的角為a,

所以sina=|cos(PD,n)|=-7^-7==

所以直線P。與平面P8C所成角的正弦值為立.

6

解析：本題考查直線與直線垂直的判定，直線與平面所成角的求法，考查計算能力，屬于中檔題.

(1)證明2414C,求出AC的值，由4c2=AB2+BC?,可得431AC,進而可得48〃C。且CO豐AB,

即可證明；

(2)以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C-xyz,求出相關點的坐標，平面PBC的法向量，設尸。

與平面尸8c所成角為a,利用空間向量求解尸。與平面PBC所成角的正弦值.

12.答案：證明：如圖所示，連接A/,BCBD,------------不]

因為叫J■平面4BCO,ACu平面ABC。//

所以DDi1AC,

又因為BD14C,D%CBD=D,

所以4cJ_平面3。。近1，

所以AC1BDi，

同理可證HD[1B]C,

又ACflBiC=C,

所以L平面4B1C.

因為EF1ArD,又A\D“B\C,

所以EF1BC

因為EF1AC,4CnBiC=C

所以EF!_平面48傳，

所以EF〃BD「

解析：本題考查兩直線平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

連接ZBi，BCBD,由線面垂直得DDi14C,由BDJLAC,得ACJLBD「同理可證BD】_LB】C,

從而BO】_1_平面48傳，再由EFJ＞平面4B]C,能推導出EF〃BD「

13.答案：證明：(I)因為B1CJ/4D,且4iD=2BiG，

設與。G交于一點。，則。是平面力DCF與平面4BB14的交點,

又因為平面力DGE與平面的交線為AE,

所以。在直線AE上，

所以AE,4當，DC1交于一點.

(口)由(I)可知翳=翳=警，

設BiG-a,EB]—b,

點4到平面BCGBi的距離為b,

所以44i=2b,

所以％BC-AiBiG=:2b=18,即ab/i=18,

13

而SBCQE=2ab--ab=-ab,

1a

所以匕-BCQE-3'2ahb=9-

解析：本題平面的基本性質(zhì)，以及棱錐的體積，屬于中檔題。

(I)利用題目條件，結(jié)合面面相交公理三，即可得證得；

(H)利用題目條件，與棱柱的體積，即可求得.

14.答案：解:(1)連接AC,菱形ABCDnAClBC,

又PAIffiABCD,

BDu面A.BCD,

則R41BD,

PAC\AC=A,PA,ACc?PAC

則BD，面PAC,又4Eu面PAC,

所以BO1AE

(2)設ACflBC=0,

以。為坐標原點，作。z_L礪IBC。，以漢，用，花為￡,y,z正方向建系，

設AB=2,71(73,0,0),6(0,1,0),0(0,-1,0),P(V3,0,273).DB=(0,2,0),AD=(-V3,-1,0),DP

(遮,1,2b)，

設平面PBD的法向量為元=(%,y,z),

又j元?"=0='回+y+2V3z=0今元=(-2,0,1)

(n?DB=0I2y=0

設AO與平面PB。所成角為0,sin0=^=西，

v5x25

所以40與平面P8O所成角的正弦值為叵。

5

解析：本題考查了線面垂直的性質(zhì)即判定，考查線面角問題，是一道中檔題.

（1）結(jié)合菱形的性質(zhì)，根據(jù)線面垂直推出線線垂直即可；

（2）建立坐標系，根據(jù)AE是平面尸30的一個法向量，代入公式求出即可.

15.答案：證明：（1）取AO的中點。，連結(jié)OP,OB,

因為△PAD為等邊三角形，所以POJ.AD,

因為四邊形ABC。是邊長為2的菱形，且

所以△BAD為等邊三角形，所以BO1AC,又OPCOB=B,所以40_L平面POB,

所以401PB.

解：（2）因為平面24。_L平面A8CD,

平面PADn平面2BCD=/W,POA.AD,OPu平面PAD,

所以OP1平面ABCD,

所以以｛成，而，灰｝為基底建立空間直角坐標系。-xyz,

因為△??!￡）為等邊三角形，△BAD為等邊三角形，AD=2,

所以OP=OB=百，

因為平面P4D?!"平面ABCD,平面PADn平面4BCC=AD,BOLAD,BOu平面ABCD,

所以B。JL平面PAD,所以布=(0,g,0)為平面PA。的法向量，

因為Q=(-l,0，V3)>AC=(-3,V3,0)>

設元=(x,y,z)為平面PAC的法向量，

則巴.亞=0,即卜:+啤=0亦即卜=土,

5.4C=0(-3%+V3y=0{y=V3x

所以取記=(b,3,1),

3\[33

所以cos<n,OB>=

V3XA/3+9+1而

設二面角。一P/-C的平面角為仇

所以sM9=J1一看=警,

所以二面角0-P4-C的正弦值為獨1

13

解析：【試題解析】

本題考查了空間兒何體中的直線與平面的位置關系，直線與直線的垂直，運用空間向量求解二面角

大小，關鍵是求解法向量，屬于中檔題.

(1)取8。的中點O,連結(jié)OP,OB,根據(jù)題目條件得出：POLAD,BBOLAD,即可得出40_1_平

面PO8,進而得證結(jié)果.

(2)分別以6?，0B.而為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，證明函=(0,遮,0)為平

面PA。的法向量，設平面PAC的法向量為k=(x,y,z),利用向量的數(shù)量積求解夾角的余弦值，進

而可得正弦值.

16.答案：(1)證明：取4。的中點E,連接PE,

vCD//AB,/.ABC=90°,ABCLCD,

BC=CD—2,BD=2V2,乙CBD—45。，

???^DBA=45°,AD=VBD2+AB2-2BD-AB-cos^DBA=2&，

???AD2+BD2=AB2,：.AD1BD,

PA=PD,E是4力的中點，PE14D,

???平面PAD_L平面ABC。，平面R4Dn平面4BCD=孫PEc5??PAD,PELAD,

PEJL平面ABCD,PE1BD,

又ADnPE=E,ADu平面PAD,PEu平面PAD,

BD，平面PAD,又u平面PAD,

BD1PA.

(2)解：延長BC,AD,設BC的延長線和A。的延長線交點為M,連接PM,

則平面PAD和平面PBC的交線/為直線PM,

以B為原點，以84、BM、平面48CZ)的過點8的垂線為坐標軸建立空間直角坐標系B-xyz,

則P(3,LV2),C(0,2,0),￡>(2,2,0),M(0,4,0),

ACD=(2,0,0),'PD=(-1,1.-V2),PM=(-3,3,-必，

設麗=APM=(-3A,3A,-V2A),則而=PA7-PD=(1-3A,3A-1,V2(l-4)),

設平面PCD的法向量為記=%,月,zj,則何,曳=°,即產(chǎn)二°萬.

^m-PD=0t-xi+yi-V2z1=0

令zi=1可得]=(o,V^,i),

設平面crw的法向量為記=(小,、2*2)，貝I伊,曳二°,即

(元?ON=0

(2X2—0

t(l-3A)X2+(3A-l)y2+V2(l-A)z2=0'

令丫2=V2可得前=(0,y/2,，

一h、_沆灰_2+TT

cos<

|24-1-3-|1

若二面角P-DC-N的余弦值為j則一i=9

38xj2+(號)2

解得:或;I=[,

令布?元=0可得2=0，解得4=I，

1—A5

故當0</1<|時，二面角P-。C-N為銳二面角，當寸，二面角P-DC-N為鈍二面角,

???A=i,即在直線/上存在點M當N為PM的中點時，二面角P—DC-N的余弦值為也

解析：(1)根據(jù)勾股定理的逆定理證明AD1BD,結(jié)合側(cè)面PAD1面A8C?？傻肂DJ?平面PA。，于

是BD1P4；

(2)作出直線/,建立空間直角坐標系，設麗=2而，求出平面PCQ和平面CLW的法向量，根據(jù)

二面角P-DC-N的余弦值為1列方程計算；I的值得出N的位置.

本題考查了線面垂直的判斷與性質(zhì)，考查空間向量與二面角計算，屬于較難題.

17.答案：(1)證明因為P,。分別是AB,BC的中點，

所以PQ〃AC,PQ=\AC,

同理MN〃AC,MN=\AC,

所以PQ〃