2024年河北省中考數(shù)學真題解析

年河北省中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共16個小題，共38分．1～6小題各3分，7～16小題各2分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）如圖顯示了某地連續(xù)5天的日最低氣溫，則能表示這5天日最低氣溫變化情況的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)7﹣a3＝a4 B．3a2?2a2＝6a2 C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a(chǎn)4÷a4＝a3．（3分）如圖，AD與BC交于點O，△ABO和△CDO關于直線PQ對稱，點A，B的對稱點分別是點C，D．下列不一定正確的是（）A．AD⊥BC B．AC⊥PQ C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD4．（3分）下列數(shù)中，能使不等式5x﹣1＜6成立的x的值為（）A．1 B．2 C．3 D．45．（3分）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段BD一定是△ABC的（）A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線6．（3分）如圖是由11個大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．7．（2分）節(jié)能環(huán)保已成為人們的共識．淇淇家計劃購買500度電，若平均每天用電x度，則能使用y天．下列說法錯誤的是（）A．若x＝5，則y＝100 B．若y＝125，則x＝4 C．若x減小，則y也減小 D．若x減小一半，則y增大一倍8．（2分）若a，b是正整數(shù)，且滿足＝，則a與b的關系正確的是（）A．a(chǎn)+3＝8b B．3a＝8b C．a(chǎn)+3＝b8 D．3a＝8+b9．（2分）淇淇在計算正數(shù)a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，則a＝（）A．1 B．﹣1 C．+1 D．1或+110．（2分）下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習題及解答過程：已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，點M是AC的中點，連接BM并延長交AE于點D，連接CD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3．∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∴①______．又∵∠4＝∠5，MA＝MC，∴△MAD≌△MCB（②______）．∴MD＝MB．∴四邊形ABCD是平行四邊形．若以上解答過程正確，①，②應分別為（）A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA11．（2分）直線l與正六邊形ABCDEF的邊AB，EF分別相交于點M，N，如圖所示，則α+β＝（）A．115° B．120° C．135° D．144°12．（2分）在平面直角坐標系中，我們把一個點的縱坐標與橫坐標的比值稱為該點的“特征值”．如圖，矩形ABCD位于第一象限，其四條邊分別與坐標軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是（）A．點A B．點B C．點C D．點D13．（2分）已知A為整式，若計算﹣的結果為，則A＝（）A．x B．y C．x+y D．x﹣y14．（2分）扇文化是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的組成部分，在我國有著深厚的底蘊．如圖，某折扇張開的角度為120°時，扇面面積為S，該折扇張開的角度為n°時，扇面面積為Sn，若m＝，則m與n關系的圖象大致是（）A． B． C． D．15．（2分）“鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法，可將多位數(shù)乘法運算轉化為一位數(shù)乘法和簡單的加法運算．淇淇受其啟發(fā)，設計了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示132×23，運算結果為3036．圖2表示一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)相乘，表格中部分數(shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進行推斷，正確的是（）A．“20”左邊的數(shù)是16 B．“20”右邊的“■”表示5 C．運算結果小于6000 D．運算結果可以表示為4100a+102516．（2分）平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數(shù)，且橫、縱坐標之和大于0的點稱為“和點”．將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數(shù)（當余數(shù)為0時，向右平移；當余數(shù)為1時，向上平移；當余數(shù)為2時，向左平移），每次平移1個單位長度．例：“和點”P（2，1）按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達點P3（2，2），其平移過程如下：．若“和點”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達點Q16（﹣1，9），則點Q的坐標為（）A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0） C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1）二、填空題（本大題共3個小題，共10分．17小題2分，18～19小題各4分，每空2分）17．（2分）某校生物小組的9名同學各用100粒種子做發(fā)芽實驗，幾天后觀察并記錄種子的發(fā)芽數(shù)分別為：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上數(shù)據(jù)的眾數(shù)為．18．（4分）已知a，b，n均為正整數(shù)．（1）若n＜＜n+1，則n＝；（2）若n﹣1＜＜n，n＜＜n+1，則滿足條件的a的個數(shù)總比b的個數(shù)少個．19．（4分）如圖，△ABC的面積為2，AD為BC邊上的中線，點A，C1，C2，C3是線段CC4的五等分點，點A，D1，D2是線段DD3的四等分點，點A是線段BB1的中點．（1）△AC1D1的面積為；（2）△B1C4D3的面積為．三、解答題（本大題共7個小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）20．（9分）如圖，有甲、乙兩條數(shù)軸．甲數(shù)軸上的三點A，B，C所對應的數(shù)依次為﹣4，2，32，乙數(shù)軸上的三點D，E，F(xiàn)所對應的數(shù)依次為0，x，12．（1）計算A，B，C三點所對應的數(shù)的和，并求的值；（2）當點A與點D上下對齊時，點B，C恰好分別與點E，F(xiàn)上下對齊，求x的值．21．（9分）甲、乙、丙三張卡片正面分別寫有a+b，2a+b，a﹣b，除正面的代數(shù)式不同外，其余均相同．（1）將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機抽取一張，當a＝1，b＝﹣2時，求取出的卡片上代數(shù)式的值為負數(shù)的概率；（2）將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機抽取一張，放回后重新洗勻，再隨機抽取一張．請在表格中補全兩次取出的卡片上代數(shù)式之和的所有可能結果（化為最簡），并求出和為單項式的概率．第一次和第二次a+b2a+ba﹣ba+b2a+2b2a2a+ba﹣b2a22．（9分）中國的探月工程激發(fā)了同學們對太空的興趣．某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點P恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離BQ＝4m，仰角為α；淇淇向前走了3m后到達點D，透過點P恰好看到月亮，仰角為β，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB＝CD＝1.6m，點P到BQ的距離PQ＝2.6m，AC的延長線交PQ于點E．（注：圖中所有點均在同一平面）（1）求β的大小及tanα的值；（2）求CP的長及sin∠APC的值．23．（10分）情境圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形后得到的．該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數(shù)據(jù)如圖所示．（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）操作嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形．如圖3，嘉嘉沿虛線EF，GH裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接．根據(jù)嘉嘉的剪拼過程，解答問題：（1）直接寫出線段EF的長；（2）直接寫出圖3中所有與線段BE相等的線段，并計算BE的長．探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．請你按照淇淇的說法設計一種方案：在圖5所示紙片的BC邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規(guī)），畫出裁剪線（線段PQ）的位置，并直接寫出BP的長．24．（10分）某公司為提高員工的專業(yè)能力，定期對員工進行技能測試．考慮多種因素影響，需將測試的原始成績x（分）換算為報告成績y（分）．已知原始成績滿分150分，報告成績滿分100分、換算規(guī)則如下：當0≤x＜p時，y＝；當p≤x≤150時，y＝+80．（其中p是小于150的常數(shù)，是原始成績的合格分數(shù)線，80是報告成績的合格分數(shù)線）公司規(guī)定報告成績?yōu)?0分及80分以上（即原始成績?yōu)閜及p以上）為合格．（1）甲、乙的原始成績分別為95分和130分，若p＝100，求甲、乙的報告成績；（2）丙、丁的報告成績分別為92分和64分，若丙的原始成績比丁的原始成績高40分，請推算p的值；（3）下表是該公司100名員工某次測試的原始成績統(tǒng)計表：原始成績（分）95100105110115120125130135140145150人數(shù)1225810716201595①直接寫出這100名員工原始成績的中位數(shù)；②若①中的中位數(shù)換算成報告成績?yōu)?0分，直接寫出該公司此次測試的合格率．25．（12分）已知⊙O的半徑為3，弦MN＝2．△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3．在平面上，先將△ABC和⊙O按圖1位置擺放（點B與點N重合，點A在⊙O上，點C在⊙O內(nèi)），隨后移動△ABC，使點B在弦MN上移動，點A始終在⊙O上隨之移動．設BN＝x．（1）當點B與點N重合時，求劣弧的長；（2）當OA∥MN時，如圖2，求點B到OA的距離，并求此時x的值；（3）設點O到BC的距離為d．①當點A在劣弧上，且過點A的切線與AC垂直時，求d的值；②直接寫出d的最小值．26．（13分）如圖，拋物線C1：y＝ax2﹣2x過點（4，0），頂點為Q．拋物線C2：y＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2（其中t為常數(shù)，且t＞2），頂點為P．（1）直接寫出a的值和點Q的坐標．（2）嘉嘉說：無論t為何值，將C1的頂點Q向左平移2個單位長度后一定落在C2上．淇淇說：無論t為何值，C2總經(jīng)過一個定點．請選擇其中一人的說法進行說理．（3）當t＝4時，①求直線PQ的解析式；②作直線l∥PQ，當l與C2的交點到x軸的距離恰為6時，求l與x軸交點的橫坐標．（4）設C1與C2的交點A，B的橫坐標分別為xA，xB，且xA＜xB，點M在C1上，橫坐標為m（2≤m≤xB）．點N在C2上，橫坐標為n（xA≤n≤t），若點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，直接用含t和m的式子表示n．

2024年河北省中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共16個小題，共38分．1～6小題各3分，7～16小題各2分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）如圖顯示了某地連續(xù)5天的日最低氣溫，則能表示這5天日最低氣溫變化情況的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)﹣4＜﹣2＜﹣1＜0＜1可得答案．【解答】解：∵﹣4＜﹣2＜﹣1＜0＜1，∴選項A的折線統(tǒng)計圖符合題意．故選：A．【點評】本題考查了折線統(tǒng)計圖，掌握有理數(shù)大小比較方法是解答本題的關鍵．2．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)7﹣a3＝a4 B．3a2?2a2＝6a2 C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a(chǎn)4÷a4＝a【分析】利用合并同類項的法則，單項式乘單項式的法則，積的乘方的法則，同底數(shù)冪的除法的法則對各項進行運算即可．【解答】解：A、a7與﹣a3不屬于同類項，不能合并，故A不符合題意；B、3a2?2a2＝6a4，故B不符合題意；C、（﹣2a）3＝﹣8a3，故C符合題意；D、a4÷a4＝1，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查合并同類項，積的乘方，同底數(shù)冪的除法，單項式乘多項式，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．3．（3分）如圖，AD與BC交于點O，△ABO和△CDO關于直線PQ對稱，點A，B的對稱點分別是點C，D．下列不一定正確的是（）A．AD⊥BC B．AC⊥PQ C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD【分析】根據(jù)△ABO和△CDO關于直線PQ對稱得出△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD，然后逐項判斷即可．【解答】解：如圖，連接AC、BD，∵△ABO和△CDO關于直線PQ對稱，∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD，∴AC∥BD，故B、C、D選項正確，AD不一定垂直BC，故A選項不一定正確，故選：A．【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，關于某條直線對稱的兩個三角形全等，對應點的連線與對稱軸的位置關系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等．4．（3分）下列數(shù)中，能使不等式5x﹣1＜6成立的x的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先求解不等式，再確定滿足不等式的選項．【解答】解：解不等式5x﹣1＜6，得x＜．故選：A．【點評】本題考查了一元一次不等式的解法．會求解一元一次不等式是解決本題的關鍵．5．（3分）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段BD一定是△ABC的（）A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線【分析】根據(jù)作圖痕跡判斷出線段BD是三角形ABC的高即可．【解答】解：由作圖可知BD⊥AC，故線段BD是△ABC的高．故選：B．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，三角形的角平分線，直線和高，三角形的中位線等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息．6．（3分）如圖是由11個大小相同的正方體搭成的幾何體，它的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【解答】解：從左邊看，一共有三列，從左到右小正方形的個數(shù)分別是3、1、1．故選：D．【點評】本題主要考查了簡單組合體的三視圖，掌握組合體的三視圖是解題的關鍵．7．（2分）節(jié)能環(huán)保已成為人們的共識．淇淇家計劃購買500度電，若平均每天用電x度，則能使用y天．下列說法錯誤的是（）A．若x＝5，則y＝100 B．若y＝125，則x＝4 C．若x減小，則y也減小 D．若x減小一半，則y增大一倍【分析】根據(jù)題意列出反比例函數(shù)，然后逐項計算判斷即可．【解答】解：由題意得，；A、若x＝5，則y＝＝100，正確，故此選項不符合題意；B、若y＝125，則，解得x＝4，正確，故此選項不符合題意；C、若x減小，則y增大，原說法錯誤，故此選項符合題意；D、若x減小一半，即y'＝，所以y增大一倍，正確，故此選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的應用，根據(jù)題意列出反比例函數(shù)解析式是解題的關鍵．8．（2分）若a，b是正整數(shù)，且滿足＝，則a與b的關系正確的是（）A．a(chǎn)+3＝8b B．3a＝8b C．a(chǎn)+3＝b8 D．3a＝8+b【分析】根據(jù)合并同類項法則和同底數(shù)冪的乘法法則得8×2a＝28b，即2a+3＝28b，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)已知得，8×2a＝28b，即2a+3＝28b，∴a+3＝8b．故選：A．【點評】本題考查了合并同類項法則和同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握運算法則及公式是解本題的關鍵．9．（2分）淇淇在計算正數(shù)a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，則a＝（）A．1 B．﹣1 C．+1 D．1或+1【分析】根據(jù)題意得關于a的一元二次方程a2﹣2a＝1，解方程即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意得，a2﹣2a＝1，解得a＝1±，∵a＞0，∴a＝+1．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，熟練掌握一元二次方程的解法是關鍵．10．（2分）下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習題及解答過程：已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，點M是AC的中點，連接BM并延長交AE于點D，連接CD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3．∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∴①______．又∵∠4＝∠5，MA＝MC，∴△MAD≌△MCB（②______）．∴MD＝MB．∴四邊形ABCD是平行四邊形．若以上解答過程正確，①，②應分別為（）A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA【分析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠3，因為∠CAN＝∠ABC+∠3＝∠1+∠2，且∠1＝∠2，所以∠2＝∠3，而MA＝MC，∠4＝∠5，即可根據(jù)“ASA”證明△MAD≌△MCB，得MD＝MB，則四邊形ABCD是平行四邊形，于是得到問題的答案．【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3，∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵點M是AC的中點，∴MA＝MC，在△MAD和△MCB中，，∴△MAD≌△MCB（ASA），∴MD＝MB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴①，②分別為∠2＝∠3，ASA，故選：D．【點評】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識，適當選擇全等三角形的判定定理證明△MAD≌△MCB是解題的關鍵．11．（2分）直線l與正六邊形ABCDEF的邊AB，EF分別相交于點M，N，如圖所示，則α+β＝（）A．115° B．120° C．135° D．144°【分析】先求出正六邊形的每個內(nèi)角為120°，再根據(jù)六邊形MBCDEN的內(nèi)角和為720°即可求解∠ENM+∠NMB的度數(shù)，最后根據(jù)鄰補角的意義即可求解．【解答】解：正六邊形每個內(nèi)角為：，而六邊形MBCDEN的內(nèi)角和也為（6﹣2）×180°＝720°，∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB＝720°，∴∠ENM+∠NMB＝720°﹣4×120°＝240°，∵β+∠ENM+α+∠NMB＝180°×2＝360°，∴α+β＝360°﹣240°＝120°，故選：B．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，正多邊形的每個內(nèi)角，鄰補角，熟練掌握知識點是解決本題的關鍵．12．（2分）在平面直角坐標系中，我們把一個點的縱坐標與橫坐標的比值稱為該點的“特征值”．如圖，矩形ABCD位于第一象限，其四條邊分別與坐標軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是（）A．點A B．點B C．點C D．點D【分析】設A（a，b），AB＝m，AD＝n，可得D（a，b+n），B（a+m，b），C（a+m，b+n），再結合新定義與分式的值的大小比較即可得到答案．【解答】解：設A（a，b），AB＝m，AD＝n，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝n，AB＝CD＝m，∴D（a，b+n），B（a+m，b），C（a+m，b+n），∵，而，∴該矩形四個頂點中“特征值”最小的是點B；故選：B．【點評】本題考查的是矩形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，解答本題的關鍵是理解題意，直觀觀察和數(shù)形結合分析圖象．13．（2分）已知A為整式，若計算﹣的結果為，則A＝（）A．x B．y C．x+y D．x﹣y【分析】由﹣＝可得Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2，故Ax＝x2，從而A＝x．【解答】解：∵﹣＝，∴＝+，∴＝+，∴Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2，∴Ax＝x2，∴A＝x；故選：A．【點評】本題考查分式混合運算，解題的關鍵是掌握分式的基本性質(zhì)和等式的性質(zhì)．14．（2分）扇文化是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的組成部分，在我國有著深厚的底蘊．如圖，某折扇張開的角度為120°時，扇面面積為S，該折扇張開的角度為n°時，扇面面積為Sn，若m＝，則m與n關系的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】設該扇面所在的圓的半徑為R，根據(jù)扇形的面積公式表示出πR2＝3S，進一步得出Sn＝＝，再代入m＝即可得出結論，【解答】解：設該扇面所在的圓的半徑為R，S＝＝，∴πR2＝3S，∵該折扇張開的角度為n°時，扇形面積為Sn，∴Sn＝＝＝，∴m＝＝＝＝，∴m是n的正比例函數(shù)，∵n≥0，∴它的圖象是過原點的一條射線，故選：C．【點評】本題考查了正比例函數(shù)的應用，扇形的面積，掌握扇形的面積公式是解題的關鍵，15．（2分）“鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法，可將多位數(shù)乘法運算轉化為一位數(shù)乘法和簡單的加法運算．淇淇受其啟發(fā)，設計了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示132×23，運算結果為3036．圖2表示一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)相乘，表格中部分數(shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進行推斷，正確的是（）A．“20”左邊的數(shù)是16 B．“20”右邊的“■”表示5 C．運算結果小于6000 D．運算結果可以表示為4100a+1025【分析】設一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)分別為100x+10y+z和10m+n，則mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a，即m＝4n，可確定n＝1，y＝2時，則m＝4，z＝5，x＝a，由題意可判斷A、B選項，根據(jù)題意可得運算結果可以表示為：1000（4a+1）+100a+25＝4100a+1025，故可判斷C、D選項．【解答】解：設一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)分別為100x+10y+z和10m+n，如圖2：則由題意得：mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a，∴，即m＝4n，∴當n＝2，y＝1時，z＝2.5不是正整數(shù)，不符合題意，故舍去；當n＝1，y＝2時，則m＝4，z＝5，x＝a，如圖3：∴A、“20”左邊的數(shù)是2×4＝8，故本選項不符合題意；B、“20”右邊的“□”表示4，故本選項不符合題意；∴a上面的數(shù)應為4a，如圖4：∴運算結果可以表示為：1000（4a+1）+100a+25＝4100a+1025，∴D選項符合題意，當a＝2時，計算的結果大于6000，故C選項不符合題意，故選：D．【點評】本題考查了整式的加法運算，整式的乘法運算，理解題意，正確的邏輯推理時解決本題的關鍵．16．（2分）平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數(shù)，且橫、縱坐標之和大于0的點稱為“和點”．將某“和點”平移，每次平移的方向取決于該點橫、縱坐標之和除以3所得的余數(shù)（當余數(shù)為0時，向右平移；當余數(shù)為1時，向上平移；當余數(shù)為2時，向左平移），每次平移1個單位長度．例：“和點”P（2，1）按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達點P3（2，2），其平移過程如下：．若“和點”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達點Q16（﹣1，9），則點Q的坐標為（）A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0） C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1）【分析】先找出規(guī)律若“和點”橫、縱坐標之和除以3所得的余數(shù)為0時，先向右平移1個單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復的規(guī)律平移，按照Q16的反向運動理解去分類討論：①Q(mào)16先向右1個單位，不符合題意；②Q16先向下1個單位，再向右平移，當平移到第15次時，共計向下平移了8次，向右平移了7次，此時坐標為（6，1），那么最后一次若向右平移則為（7，1），向左平移則為（5，1）．【解答】解：根據(jù)已知：點P3（2，2）橫、縱坐標之和除以3所得的余數(shù)為1，繼而向上平移1個單位得到P4（2，3），此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數(shù)為2，繼而向左平移1個單位得到P5（1，3），此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數(shù)為1，又向上平移1個單位………，因此發(fā)現(xiàn)規(guī)律為若“和點”橫、縱坐標之和除以3所得的余數(shù)為0時，先向右平移1個單位，再按照向上、向左，向上、向左不斷重復的規(guī)律平移；若“和點”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達點Q16（﹣1.9），則按照“和點”Q16反向運動16次即可，可以分為兩種情況：①Q(mào)16先向右1個單位得到Q15（0，9），此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數(shù)為0，應該是Q15向右平移1個單位得到Q16，故矛盾，不成立；②Q16先向下1個單位得到Q15（﹣1，8），此時橫、縱坐標之和除以3所得的余數(shù)為1，則應該向上平移1個單位得到Q16，故符合題意，∴點Q16先向下平移，再向右平移，當平移到第15次時，共計向下平移了8次，向右平移了7次，此時坐標為（﹣1+7，9﹣8），即（6，1），∴最后一次若向右平移則為（7，1），若向左平移則為（5，1），故選：D．【點評】本題考查了坐標內(nèi)點的平移運動，讀懂題意，熟練掌握平移與坐標關系，利用反向運動理解是解決本題的關鍵．二、填空題（本大題共3個小題，共10分．17小題2分，18～19小題各4分，每空2分）17．（2分）某校生物小組的9名同學各用100粒種子做發(fā)芽實驗，幾天后觀察并記錄種子的發(fā)芽數(shù)分別為：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上數(shù)據(jù)的眾數(shù)為89．【分析】找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是眾數(shù)．【解答】解：出現(xiàn)次數(shù)最多的是89，因此眾數(shù)為89．故答案為：89．【點評】本題考查眾數(shù)，理解眾數(shù)的意義是正確解答的前提．18．（4分）已知a，b，n均為正整數(shù)．（1）若n＜＜n+1，則n＝3；（2）若n﹣1＜＜n，n＜＜n+1，則滿足條件的a的個數(shù)總比b的個數(shù)少2個．【分析】（1）利用夾逼法估算的取值范圍，即可求出n的值；（2）先將不等式兩邊平方，分別得到a、b的取值范圍，即可得出答案．【解答】解：（1）∵，∴，∵n＜＜n+1，n為正整數(shù)，∴n＝3；故答案為：3；（2）∵n﹣1＜＜n，∴（n﹣1）2＜a＜n2，∴a的取值范圍為n2﹣（n﹣1）2＝n2﹣n2+2n﹣1＝2n﹣1，∵n＜＜n+1，∴n2＜b＜（n+1）2，∴b的取值范圍為（n+1）2﹣n2＝n2+2n+1﹣n2＝2n+1，∵（2n+1）﹣（2n﹣1）＝2，∴滿足條件的a的個數(shù)總比b的個數(shù)少2個，故答案為：2．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握夾逼法估算無理數(shù)的大小是解題的關鍵．19．（4分）如圖，△ABC的面積為2，AD為BC邊上的中線，點A，C1，C2，C3是線段CC4的五等分點，點A，D1，D2是線段DD3的四等分點，點A是線段BB1的中點．（1）△AC1D1的面積為1；（2）△B1C4D3的面積為7．【分析】（1）證明△AC1D1≌△ACD（SAS），即可得出結果；（2），分別求出它們的面積即可．【解答】解：（1）連接B1D1、B1D2、B1C2、B1C3、C3D3，∵△ABC的面積為2，AD為BC邊上的中線，∴，∵點A，C1，C2，C3是線段CC4的五等分點，∴，∵點A，D1，D2是線段DD3的四等分點，∴，∵點A是線段BB1的中點，∴，在△AC1D1和△ACD中，，∴△AC1D1≌△ACD（SAS），∴，∠C1D1A＝∠CDA，∴△AC1D1的面積為1，故答案為：1；（2）在△AB1D1和△ABD中，，∴△AB1D1≌△ABD（SAS），∴，∠B1D1A＝∠BDA，∵∠BDA+∠CDA＝180°，∴∠B1D1A+∠C1D1A＝180°，∴C1、D1、B1三點共線，∴，∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4，∴，∵AD1＝D1D2＝D2D3，，∴，在△AC3D3和△ACD中，，∠C3AD3＝∠CAD，∴△C3AD3∽△CAD，∴，∴，∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4，∴，∴，∴△B1C4D3的面積為7，故答案為：7．【點評】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等分點的意義，三角形的面積，掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關鍵．三、解答題（本大題共7個小題，共72分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）20．（9分）如圖，有甲、乙兩條數(shù)軸．甲數(shù)軸上的三點A，B，C所對應的數(shù)依次為﹣4，2，32，乙數(shù)軸上的三點D，E，F(xiàn)所對應的數(shù)依次為0，x，12．（1）計算A，B，C三點所對應的數(shù)的和，并求的值；（2）當點A與點D上下對齊時，點B，C恰好分別與點E，F(xiàn)上下對齊，求x的值．【分析】（1）計算﹣4+2+32即可，根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式先求出AB、AC的長，再計算比值即可；（2）先求出DE、DF的長，根據(jù)題意列出，然后計算即可．【解答】解：（1）∵點A，B，C所對應的數(shù)依次為﹣4，2，32，∴A，B，C三點所對應的數(shù)的和為﹣4+2+32＝30，∵AB＝2﹣（﹣4）＝6，AC＝32﹣（﹣4）＝36，∴；（2）由數(shù)軸得，DE＝x﹣0＝x，DF＝12﹣0＝12，由題意得，，∴，∴x＝2．【點評】本題考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間的距離公式是解題的關鍵．21．（9分）甲、乙、丙三張卡片正面分別寫有a+b，2a+b，a﹣b，除正面的代數(shù)式不同外，其余均相同．（1）將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機抽取一張，當a＝1，b＝﹣2時，求取出的卡片上代數(shù)式的值為負數(shù)的概率；（2）將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機抽取一張，放回后重新洗勻，再隨機抽取一張．請在表格中補全兩次取出的卡片上代數(shù)式之和的所有可能結果（化為最簡），并求出和為單項式的概率．第一次和第二次a+b2a+ba﹣ba+b2a+2b2a2a+ba﹣b2a【分析】（1）當a＝1，b＝﹣2時，a+b＝﹣1，2a+b＝0，a﹣b＝3．從三張卡片中隨機抽取一張，共有3種等可能的結果，其中取出的卡片上代數(shù)式的值為負數(shù)的結果有1種，利用概率公式可得答案．（2）根據(jù)題意把表格補充完整，由表格可得出所有等可能的結果數(shù)以及和為單項式的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）當a＝1，b＝﹣2時，a+b＝﹣1，2a+b＝0，a﹣b＝3．從三張卡片中隨機抽取一張，共有3種等可能的結果，其中取出的卡片上代數(shù)式的值為負數(shù)的結果有1種，∴取出的卡片上代數(shù)式的值為負數(shù)的概率為．（2）補全表格如下：第一次和第二次a+b2a+ba﹣ba+b2a+2b3a+2b2a2a+b3a+2b4a+2b3aa﹣b2a3a2a﹣2b共有9種等可能的結果，其中和為單項式的結果有：2a，3a，2a，3a，共4種，∴和為單項式的概率為．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式、整式的加減、多項式與單項式，熟練掌握列表法與樹狀圖法、概率公式、整式的加減、多項式與單項式的概念是解答本題的關鍵．22．（9分）中國的探月工程激發(fā)了同學們對太空的興趣．某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點P恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離BQ＝4m，仰角為α；淇淇向前走了3m后到達點D，透過點P恰好看到月亮，仰角為β，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB＝CD＝1.6m，點P到BQ的距離PQ＝2.6m，AC的延長線交PQ于點E．（注：圖中所有點均在同一平面）（1）求β的大小及tanα的值；（2）求CP的長及sin∠APC的值．【分析】（1）根據(jù)題意先求解CE＝PE＝1m，再結合等腰三角形的性質(zhì)與正切的定義可得答案；（2）利用勾股定理先求解，過C作CH⊥AP于H，結合，設CH＝xm，則AH＝4xm，再建立方程求解x，即可得到答案．【解答】解：（1）由題意可得：PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝CD＝EQ＝1.6m，AE＝BQ＝4（m），AC＝BD＝3（m），∴CE＝4﹣3＝1（m），PE＝2.6﹣1.6＝1（m），∠CEP＝90°．∴CE＝PE．∴β＝∠PCE＝45°；．（2）∵CE＝PE＝1m，∠CEP＝90°，∴．如圖，過C作CH⊥AP于H，∵，設CH＝xm，則AH＝4xm，∴x2+（4x）2＝AC2＝9．∴，．∴．∴．【點評】本題主要考查的是解直角三角形的應用，理解仰角與俯角的含義以及三角函數(shù)的定義是解本題的關鍵．23．（10分）情境圖1是由正方形紙片去掉一個以中心O為頂點的等腰直角三角形后得到的．該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數(shù)據(jù)如圖所示．（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）操作嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形．如圖3，嘉嘉沿虛線EF，GH裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接．根據(jù)嘉嘉的剪拼過程，解答問題：（1）直接寫出線段EF的長；（2）直接寫出圖3中所有與線段BE相等的線段，并計算BE的長．探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形．請你按照淇淇的說法設計一種方案：在圖5所示紙片的BC邊上找一點P（可以借助刻度尺或圓規(guī)），畫出裁剪線（線段PQ）的位置，并直接寫出BP的長．【分析】（1）如圖，過G'作G′K⊥FH′于K，結合題意可得：四邊形FOG′K為矩形，可得FO＝KG'，由拼接可得：HF＝FO＝KG'，可得△AHG，△H′G′D，△AFE為等腰直角三角形，△G′KH′為等腰直角三角形，設H′K＝KG'＝x，則H′G′＝H′D＝x，再進一步解答即可；（2）由△AFE為等腰直角三角形可得，EF＝AF＝1；求解，再分別求解GE，AH，GH，可得答案；如圖，以B為圓心，BO為半徑畫弧交BC于P′，交AB于Q′，則直線P'Q'為分割線，或以C圓心，CO為半徑畫弧，交BC于P，交CD于Q，則直線PQ為分割線，再進一步求解BP的長即可．【解答】解：（1）如圖，過G′作G′K⊥FH′于K，結合題意可得：四邊形FOG′K為矩形，∴FO＝KG'，由拼接可得：HF＝FO＝KG'，由正方形的性質(zhì)可得：∠A＝45°，∴△AHG，ΔH′G'D，△AFE為等腰直角三角形，∴△GKH'為等腰直角三角形，設H′K＝KG'＝x，∴H′G′＝H′D＝x，∴，HF＝FO＝x，∵正方形的邊長為2，∴對角線的長，∴，∴，解得：，∴；（2）∵△AFE為等腰直角三角形，EF＝AF＝1；∴，∴，∵，，∴BE＝GE＝AH＝GH；如圖，以B為圓心，BO為半徑畫弧交BC于P'，交AB于Q'，則直線P'Q'為分割線，此時，，符合要求，或以C圓心，CO為半徑畫弧，交BC于P，交CD于Q，則直線PQ為分割線，此時，，∴，綜上：BP的長為或．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，二次根式的混合運算，本題要求學生的操作能力要好，想象能力強，有一定的難度．24．（10分）某公司為提高員工的專業(yè)能力，定期對員工進行技能測試．考慮多種因素影響，需將測試的原始成績x（分）換算為報告成績y（分）．已知原始成績滿分150分，報告成績滿分100分、換算規(guī)則如下：當0≤x＜p時，y＝；當p≤x≤150時，y＝+80．（其中p是小于150的常數(shù)，是原始成績的合格分數(shù)線，80是報告成績的合格分數(shù)線）公司規(guī)定報告成績?yōu)?0分及80分以上（即原始成績?yōu)閜及p以上）為合格．（1）甲、乙的原始成績分別為95分和130分，若p＝100，求甲、乙的報告成績；（2）丙、丁的報告成績分別為92分和64分，若丙的原始成績比丁的原始成績高40分，請推算p的值；（3）下表是該公司100名員工某次測試的原始成績統(tǒng)計表：原始成績（分）95100105110115120125130135140145150人數(shù)1225810716201595①直接寫出這100名員工原始成績的中位數(shù)；②若①中的中位數(shù)換算成報告成績?yōu)?0分，直接寫出該公司此次測試的合格率．【分析】（1）利用換算規(guī)則的公式解答即可；（2）設丙的原始成績?yōu)閤1分，則丁的原始成績?yōu)椋▁1﹣40）分，利用分類討論的方法依據(jù)換算規(guī)則的公式解答即可；（3）①利用中位數(shù)的定義解答即可；②當p＞130時，利用換算規(guī)則的公式解答即可；當p≤130時，則，由表格得到原始成績?yōu)?10及110以上的人數(shù)為100﹣5＝95，利用合格率的公式解答即可．【解答】解：（1）當p＝100時，甲的報告成績?yōu)椋海ǚ郑业奶礁娉煽優(yōu)椋海ǚ郑?；?）設丙的原始成績?yōu)閤1分，則丁的原始成績?yōu)椋▁1﹣40）分，①0≤x＜p時，y丙＝92＝…①，，由①﹣②得：，∴，∴，故不成立，舍；②p≤x1﹣40≤150時，y丙＝92＝+80…③，……④，由③﹣④得：，∴p＝．∴92＝+80，∴，∴，故不成立，舍；③0≤x1﹣40＜p，p≤x1≤150時，y丙＝92＝+80…⑤，……⑥，聯(lián)立⑤⑥解得：p＝125，x1＝140，且符合題意，綜上所述p＝125；（3）①共計100名員工，且成績已經(jīng)排列好，∴中位數(shù)是第50，51名員工成績的平均數(shù)，由表格得第50，51名員工成績都是130分，∴中位數(shù)為130；②當p＞130時，則，解得，故不成立，舍；當p≤130時，則，解得p＝110，符合題意，∴．由表格得到原始成績?yōu)?10及110以上的人數(shù)為100﹣（1+2+2）＝95，∴合格率為：．【點評】本題考查了函數(shù)關系式，自變量與函數(shù)值，中位數(shù)的定義，合格率，解分式方程，熟練知識點正確理解題意是解決本題的關鍵．25．（12分）已知⊙O的半徑為3，弦MN＝2．△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3．在平面上，先將△ABC和⊙O按圖1位置擺放（點B與點N重合，點A在⊙O上，點C在⊙O內(nèi)），隨后移動△ABC，使點B在弦MN上移動，點A始終在⊙O上隨之移動．設BN＝x．（1）當點B與點N重合時，求劣弧的長；（2）當OA∥MN時，如圖2，求點B到OA的距離，并求此時x的值；（3）設點O到BC的距離為d．①當點A在劣弧上，且過點A的切線與AC垂直時，求d的值；②直接寫出d的最小值．【分析】（1）如圖，連接OA，OB，先證明△AOB為等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)結合弧長公式可得答案；（2）過B作BI⊥OA于I，過O作OH⊥MN于H，連接MO，證明四邊形BIOH是矩形，可得BH＝OI，BI＝OH，再結合勾股定理可得答案；（3）①如圖，由過點A的切線與AC垂直，可得AC過圓心，過O作OJ⊥BC于J，過O作OK⊥AB于K，而∠ABC＝90°，可得四邊形KO．JB為矩形，可得OJ＝KB，再進一步利用勾股定理與銳角三角函數(shù)可得答案；②如圖，當B為MN中點時，過O作OL⊥B′C′于L，過O作OJ⊥BC于J，OL＞OJ，此時OI最短，如圖，過A作AQ⊥OB于Q，而AB＝AO＝3，證明BQ＝OQ＝1，求解，再結合等角的三角函數(shù)可得答案．【解答】解：如圖，連接OA，OB，∵⊙O的半徑為3，AB＝3，∴OA＝OB＝AB＝3，∴△AOB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴的長為＝π，∴劣弧的長為π；（2）過B作BI⊥OA于I，過O作OH⊥MN于H，連接MO，如圖：∵OA∥MN，∴∠IBH＝∠BHO＝∠HOI＝∠BIO＝90°，∴四邊形BIOH是矩形，∴BH＝OI，BI＝OH，∵，OH⊥MN，∴，而OM＝3，∴，∴點B到OA的距離為2；∵AB＝3，B