第18講 圓與圓的位置關(guān)系4種常見考法歸類解析版-新高二數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義

第18講圓與圓的位置關(guān)系4種常見考法歸類1.能根據(jù)給定圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系．2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.知識(shí)點(diǎn)1圓與圓的位置關(guān)系1．種類：圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．2．判定方法(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長(zhǎng)為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|(2)代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：方程組解的個(gè)數(shù)2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)兩圓的位置關(guān)系相交內(nèi)切或外切外離或內(nèi)含注：(1)圓和圓相離，兩圓無公共點(diǎn)，它包括外離和內(nèi)含；(2)圓和圓相交，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；(3)圓和圓相切，兩圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，它包括內(nèi)切和外切．(4)圓與圓的位置關(guān)系不能簡(jiǎn)單仿照直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法將兩個(gè)方程聯(lián)立起來消元后用判別式判斷，因?yàn)楫?dāng)方程組有一組解時(shí)，兩圓只有一個(gè)交點(diǎn)，兩圓可能外切，也可能內(nèi)切；當(dāng)方程組無解時(shí)，兩圓沒有交點(diǎn)，兩圓可能外離，也可能內(nèi)含．知識(shí)點(diǎn)2圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若兩圓相交，則有一條公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③方程③表示圓C1與C2的公共弦所在直線的方程．(1)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程相減，所得的直線方程即兩圓公共弦所在的直線方程，這一結(jié)論的前提是兩圓相交，如果不確定兩圓是否相交，兩圓方程相減得到的方程不一定是兩圓的公共弦所在的直線方程．(2)兩圓公共弦的垂直平分線過兩圓的圓心．(3)求公共弦長(zhǎng)時(shí)，幾何法比代數(shù)法簡(jiǎn)單易求．兩圓公共弦長(zhǎng)的求法兩圓公共弦長(zhǎng)，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長(zhǎng)eq\f(l,2)，半徑r所在線段構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．知識(shí)點(diǎn)3圓與圓的公切線1、公切線的條數(shù)與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．兩圓外離兩圓外切兩圓相交兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；只有2條外公切線只有1條外公切線無公切線2、公切線的方程核心技巧：利用圓心到切線的距離求解知識(shí)點(diǎn)4圓系方程(1)以為圓心的同心圓圓系方程：；(2)與圓同心圓的圓系方程為；(3)過直線EMBEDEquation.4過兩圓，圓：交點(diǎn)的圓系方程為（，此時(shí)圓系不含圓：）特別地，當(dāng)時(shí)，上述方程為一次方程.兩圓相交時(shí)，表示公共弦方程；兩圓相切時(shí)，表示公切線方程.1、判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對(duì)值，半徑之和進(jìn)行比較，進(jìn)而判斷出兩圓的位置關(guān)系，這是在解析幾何中主要使用的方法．(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)進(jìn)而判斷兩圓位置關(guān)系．2、圓系方程一般地過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他條件求出λ，即可得圓的方程．3、兩圓相交時(shí)，公共弦所在的直線方程若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.4、公共弦長(zhǎng)的求法(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)．(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．5、求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過兩圓的圓心的直線方程考點(diǎn)一：圓與圓位置關(guān)系的判斷（一）判斷圓與圓的位置關(guān)系例1．（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．內(nèi)含 D．外離【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出兩圓的圓心和半徑，并計(jì)算兩圓的圓心距即可判斷作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，于是，所以兩圓相交.故選：B變式1．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓O：與圓C:的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【分析】利用兩圓外切的定義判斷即可.【詳解】圓是以為圓心，半徑的圓，圓:改寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，則，=3，所以兩圓外切，故選：.變式2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓的圓心在直線上，點(diǎn)與都在圓上，圓，則與的位置關(guān)系是___________.【答案】相交【分析】利用待定系數(shù)法求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心距，與兩圓的半徑和、差比較即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A心在直線上，且該圓經(jīng)過與兩點(diǎn)，列方程組，解得，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，又圓，圓心，半徑，∴，又，，而，∴與的位置關(guān)系是相交.故答案為：相交.變式3．【多選】（2023秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知圓，則（

）A．點(diǎn)在圓C內(nèi) B．直線與圓C相切C．圓與圓C相切 D．圓與圓C相切【答案】BCD【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系判斷A選項(xiàng)，根據(jù)圓心與直線距離判斷B選項(xiàng)，根據(jù)圓心間距離和半徑和差比較判斷圓圓位置關(guān)系判斷C,D選項(xiàng).【詳解】點(diǎn)代入圓可得,點(diǎn)在圓C外，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；圓,圓,直線,圓心到直線距離,B選項(xiàng)正確；圓,圓心,,圓與圓C相外切,C選項(xiàng)正確;圓,圓心,,圓與圓C相內(nèi)切,D選項(xiàng)正確.故選:BCD.變式4．（2023春·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？紝ｎ}練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則使為等腰三角形的點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為圓，再結(jié)合為等腰三角形分析即可求解.【詳解】設(shè)，由，得，整理得，記為圓又，為等腰三角形，則有或.因?yàn)閳A與圓相交，故滿足點(diǎn)有2個(gè)；因?yàn)閳A與圓相交，故滿足點(diǎn)有2個(gè)，故使為等腰三角形的點(diǎn)共有4個(gè).故選：D.變式5．【多選】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓M：，圓N：，直線l：，則下列說法正確的是（

）A．圓N的圓心為B．圓M與圓N相交C．當(dāng)圓M與直線l相切時(shí)，則D．當(dāng)時(shí)，圓M與直線l相交所得的弦長(zhǎng)為【答案】BD【分析】寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心坐標(biāo)和半徑，判斷與兩圓半徑的關(guān)系判斷A、B；再由點(diǎn)線距離及相交弦長(zhǎng)公式判斷C、D.【詳解】由題設(shè)，，則且半徑，，則且半徑，A錯(cuò)；所以，即兩圓相交，B對(duì)；到直線l的距離，若圓M與直線l相切，則，所以或，C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，即圓M與直線l相交，相交弦長(zhǎng)為，D對(duì).故選：BD變式6．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)，，滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】設(shè)，軌跡可得點(diǎn)P的軌跡方程，即可判斷該軌跡與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，且，由，得，即，故點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)圓心為、半徑為的圓，則兩圓的圓心距為，半徑和為，半徑差為，有，所以兩圓相交，滿足這樣的點(diǎn)P有2個(gè).故選：B.（二）由圓的位置關(guān)系求參數(shù)例2．（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）若圓與圓外切，則實(shí)數(shù)（

）A．－1 B．1 C．1或4 D．4【答案】D【分析】由兩圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由條件化簡(jiǎn)得，即兩圓圓心為，設(shè)其半徑分別為，，所以有.故選：D變式1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若兩圓和圓相交，則a的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】圓與圓相交，則圓心距大于兩圓的半徑之差的絕對(duì)值且小于半徑之和，解不等式．【詳解】圓與圓相交，兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之差的絕對(duì)值且小于半徑之和，即，所以.解得或.故選：B變式2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)為何值時(shí)，兩圓和.(1)外切；(2)相交；(3)外離.【答案】(1)或(2)或(3)或【分析】（1）化兩圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心坐標(biāo)與半徑，再求出兩圓的圓心距，由列式，即可求解.（2）由列不等式組，即可求出的范圍.（3）由列不等式，即可求出的范圍.【詳解】（1）設(shè)圓，半徑為，得，圓心，.，半徑為，得，圓心，.圓心距，因?yàn)閮蓤A外切，則，所以，解得或.（2）因?yàn)閮蓤A相交，則，即，所以，解得或.（3）因?yàn)閮蓤A外離，則，即，所以，解得或.變式3．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）若圓與圓有公共點(diǎn)，則滿足的條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩圓之間的位置關(guān)系，由圓心距和半徑之間的關(guān)系即可求解.【詳解】由得，兩圓圓心之間的距離為＝.∵兩圓有公共點(diǎn)，∴，∴，即，∴，故選：C.變式4．（2023秋·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知圓：與圓：有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式即可.【詳解】由題知：，，，，.因?yàn)楹陀泄颤c(diǎn)，所以，解得.故選：C變式5．（2023春·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知圓，，，若以線段為直徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的值可能為______.（寫出一個(gè)即可）【答案】1（2,3均可）答案不唯一【分析】根據(jù)題意，由已知利用圓與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】由題意得，圓與圓有公共點(diǎn)，∴，∴，且，解得；故，2，3均可.故答案為：1（2,3均可）變式6．（2022·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎獔A和兩點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則a的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成圓與圓C有公共交點(diǎn)，再利用圓與圓的位置關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】由，得點(diǎn)P在圓上，故點(diǎn)P在圓上，又點(diǎn)P在圓C上，所以，兩圓有交點(diǎn)，因?yàn)閳A的圓心為原點(diǎn)O，半徑為a，圓C的圓心為，半徑為1，所以，又，所以，解得，所以a的最小值為4.故選：C.變式7．（2023秋·高一單元測(cè)試）已知圓與圓內(nèi)切，則的最小值為_______【答案】2【分析】計(jì)算兩圓的圓心距，令圓心距等于兩圓半徑之差，結(jié)合基本不等式求解最小值即可．【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓內(nèi)切，，可得，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，的最小值為2．故答案為：2．變式8．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C相外切，則k的取值范圍為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意，由圓C的圓心到直線的距離不大于兩半徑之和求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C相外切，所以圓C的圓心到直線的距離不大于兩半徑之和，即，化簡(jiǎn)得，解得，故答案為：考點(diǎn)二：與圓相交有關(guān)的問題（一）求兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)例3．（2022·高二課前預(yù)習(xí)）圓與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】聯(lián)立兩圓的方程，解方程組，即可求得答案.【詳解】由,可得，即，代入，解得或，故得或,所以兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為和,故選:C變式1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）求圓與圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】、【分析】聯(lián)立兩圓方程可得，將其代入其中一個(gè)圓的方程中求出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題設(shè)，，相減可得，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以交點(diǎn)坐標(biāo)為、.變式2．（2022秋·貴州遵義·高二遵義一中?？茧A段練習(xí)）圓：和圓：交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的垂直平分線的方程是______.【答案】【分析】由兩圓的方程得兩圓心坐標(biāo)，兩圓心所在直線的方程即為所求直線方程，【詳解】圓方程為，圓方程為，則圓心分別為，，兩圓相交于兩點(diǎn)，則線段AB的垂直平分線即為直線，，則直線的方程為，即，故答案為：變式3．（2023秋·遼寧丹東·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓交于A，B兩點(diǎn)，則四邊形的面積為（

）A．12 B．6 C．24 D．【答案】A【分析】由兩圓標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心坐標(biāo)和半徑，由和可知，則四邊形的面積，計(jì)算即可.【詳解】圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑，圓與圓都過點(diǎn)，則，如圖所示，又，∴，由對(duì)稱性可知，，，，則四邊形的面積.故選：A（二）圓系方程的應(yīng)用例4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)以及圓與交點(diǎn)的圓的方程為______．【答案】【分析】求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出所求圓的一般方程，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，解出參數(shù)，可得答案.【詳解】聯(lián)立，整理得，代入，得，解得或，則圓與交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)以及的圓的方程為,則，解得，故經(jīng)過點(diǎn)以及圓與交點(diǎn)的圓的方程為，故答案為：變式1．（2022秋·高二單元測(cè)試）求過兩圓和圓的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程.【答案】【分析】根據(jù)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程設(shè)出所求圓的方程，并求出圓心坐標(biāo)，把圓心坐標(biāo)代入直線的方程，從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的方程為，則，即，所以圓心坐標(biāo)為，把圓心坐標(biāo)代入得，解得，所以所求圓的方程為．（三）求兩圓公共弦方程例5．（2022秋·黑龍江大慶·高二大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）圓與圓的公共弦所在直線方程為___________.【答案】【分析】判斷兩圓相交，將兩圓方程相減即可求得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，則兩圓相交，故將兩圓方程相減可得：，即，即圓與圓的公共弦所在直線方程為，故答案為：變式1．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓與圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由兩圓方程相減即可得公共弦的方程.【詳解】將兩個(gè)圓的方程相減，得3x－4y＋6＝0.故選：D.變式2．（2023春·全國(guó)·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓：過圓：的圓心，則兩圓相交弦的方程為______.【答案】【分析】求出，得到圓，兩圓相減得到相交弦方程.【詳解】圓：的圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A過圓的圓心，所以，所以，所以：，兩圓的方程相減可得相交弦方程為.故答案為：.變式3．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知過圓外一點(diǎn)做圓的兩條切線，切點(diǎn)為兩點(diǎn)，求所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切線的特征可知所在的直線為圓和以的中點(diǎn)為圓心,以為直徑的圓的公共弦所在的直線方程，【詳解】根據(jù)題意得所在的直線為圓和以的中點(diǎn)為圓心,以為直徑的圓的公共弦所在的直線方程，因?yàn)椋詧A，兩圓相減得所在的直線方程為.故選：A.（四）求兩圓公共弦長(zhǎng)例6．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓，圓.(1)求圓與圓的公共弦長(zhǎng)；(2)求過兩圓的交點(diǎn)且圓心在直線上的圓的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）將兩圓方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圓心到公共弦的距離，再利用弦心距，半徑和弦的關(guān)系可求得答案，（2）解法一：設(shè)過兩圓的交點(diǎn)的圓為，求出圓心坐標(biāo)代入中可求出，從而可求出圓的方程，解法二：將公共弦方程代入圓方程中求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，然后列方程組可求出，再求出圓的半徑，從而可求出圓的方程.【詳解】（1）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，即，化簡(jiǎn)得，所以圓的圓心到直線的距離為，則，解得，所以公共弦長(zhǎng)為.（2）解法一：設(shè)過兩圓的交點(diǎn)的圓為，則；由圓心在直線上，則，解得，所求圓的方程為，即.解法二：由（1）得，代入圓，化簡(jiǎn)可得，解得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則，解得；所以；所以過兩圓的交點(diǎn)且圓心在直線上的圓的方程為變式1．（2023·河南·統(tǒng)考二模）若圓與圓的公共弦AB的長(zhǎng)為1，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將兩圓方程相減得到直線的方程為，然后再根據(jù)公共弦的長(zhǎng)為即可求解.【詳解】將兩圓方程相減可得直線的方程為，即，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，且公共弦的長(zhǎng)為，則到直線的距離為，所以，解得，所以直線的方程為，故選：D.變式2．（2021秋·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谥校┮阎獔AC的圓心為，且與直線相切．(1)求圓C的方程；(2)求圓C與圓的公共弦的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意求得圓的半徑，即可求得答案；（2）將兩圓方程相減，求出兩圓的公共弦方程，根據(jù)弦長(zhǎng)、弦心距以及圓的半徑之間的關(guān)系即可求得答案.【詳解】（1）由題意得圓C的半徑為，故圓C的方程為；（2）圓和的圓心距為，而，即兩圓相交，將和相減得，圓的圓心到的距離為，故兩圓的公共弦長(zhǎng)為.變式3．（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）若圓O：x2＋y2＝5與圓O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則直線AB的方程為________；線段AB的長(zhǎng)為________．【答案】x＝±14【分析】連接OO1，記AB與OO1的交點(diǎn)為C，利用勾股定理和等面積法，求出，進(jìn)而求出，根據(jù)，求出，進(jìn)而聯(lián)立求出直線的方程.【詳解】連接OO1，記AB與OO1的交點(diǎn)為C，如圖所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4．由|OO1|＝5，得，所以，聯(lián)立可得，解得直線AB的方程為x＝±1．故答案為：①；②4.變式4．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓與圓相交所得的公共弦長(zhǎng)為，則圓的半徑（

）A． B． C．或1 D．【答案】D【分析】?jī)蓤A方程相減可得公共弦所在直線方程，后由垂徑定理結(jié)合圓圓心與半徑表達(dá)式可得答案.【詳解】與兩式相減得，即公共弦所在直線方程.圓方程可化為，可得圓心，半徑.則圓心到的距離為，半弦長(zhǎng)為，則有，解得或（舍），此時(shí)故選：.變式5．（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）圓與圓的公共弦長(zhǎng)的最大值是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】將兩圓轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程得出兩圓圓心均在直線上，再利用幾何關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】由，得，圓心，半徑；由，得，圓心，半徑，所以兩圓圓心均在直線上，半徑分別為1和，如圖，當(dāng)兩圓相交且相交弦經(jīng)過小圓圓心，也即大圓圓心在小圓上時(shí)，兩圓公共弦長(zhǎng)最大，最大值為小圓的直徑，即最大值為2.故選：D.考點(diǎn)三：兩圓的公切線問題（一）圓的公切線條數(shù)例7．（2022秋·貴州遵義·高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先判斷圓與圓的位置關(guān)系，從而可確定兩圓的公切線條數(shù).【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為5；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，所以兩圓的圓心距為，因?yàn)?，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線有2條.故選：B.變式1．【多選】（2023秋·高一單元測(cè)試）已知圓與圓，下列說法正確的是（

）A．與的公切線恰有4條B．與相交弦的方程為C．與相交弦的弦長(zhǎng)為D．若分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則【答案】BD【分析】由根據(jù)兩圓之間的位置關(guān)系確定公切線個(gè)數(shù)；如果兩圓相交，進(jìn)行兩圓方程的做差可以得到相交弦的直線方程；通過垂徑定理可以求弦長(zhǎng)；兩圓上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為圓心距和兩半徑之和，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】由已知得圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，故兩圓相交，所以與的公切線恰有2條，故A錯(cuò)誤；做差可得與相交弦的方程為到相交弦的距離為，故相交弦的弦長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；若分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則，故D正確.故選：BD變式2．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知直線是圓的切線，并且點(diǎn)到直線的距離是2，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】由已知可推得，直線是圓與圓的公切線.根據(jù)兩圓的圓心、半徑，推得兩圓的位置關(guān)系，即可得出答案.【詳解】由已知可得，圓心，半徑.由點(diǎn)到直線的距離是2，所以直線是以為圓心，為半徑的圓的切線，又直線是圓的切線，所以，直線是圓與圓的公切線.因?yàn)椋?，兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D.變式3．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考三模）若圓和有且僅有一條公切線，則______；此公切線的方程為______【答案】1【分析】根據(jù)兩圓內(nèi)切由圓心距與半徑關(guān)系列出方程求，聯(lián)立圓的方程求出切點(diǎn)，根據(jù)圓的切線性質(zhì)得出斜率即可求解.【詳解】如圖，

由題意得與相內(nèi)切，又，所以，所以，解得，所以，．聯(lián)立，解得所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為，故所求公切線的方程為，即．故答案為：1；變式4．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩圓，，當(dāng)圓與圓有且僅有兩條公切線時(shí)，則的取值范圍________.【答案】【分析】根據(jù)兩圓相交即可利用圓心距與半徑的關(guān)系求解.【詳解】若圓C1與圓C2有且僅有兩條公切線時(shí)，則兩圓相交，圓心C1，半徑R＝2，圓C2，半徑r，則，若兩圓相交，則滿足，即,得，故答案為：變式5．（2023秋·陜西西安·高二長(zhǎng)安一中?？计谀┮阎獌蓤A和恰有三條公切線，若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】確定兩圓圓心和半徑，根據(jù)公切線得到兩圓外切，得到，變換得到，展開利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】，即，圓心，；，即，圓心，半徑；兩圓恰有三條公切線，即兩圓外切，故，即，.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故選：A圓的公切線方程例8．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.【答案】（答案不唯一，或均可以）【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，再分情況依次求解可得.【詳解】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有三條切線，易得切線的方程為；因?yàn)椋?，所以，設(shè)，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以；可知和關(guān)于對(duì)稱，聯(lián)立，解得在上，在上取點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，則，所以直線，即，綜上，切線方程為或或.故答案為：（答案不唯一，或均可以）變式1．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓與圓，寫出圓C和圓E的一條公切線的方程______.【答案】或或.【分析】設(shè)切線方程為，根據(jù)圓心到直線的距離均為1求解方程.【詳解】設(shè)圓的公切線為，，或代入求解得：或所以切線為：或或故答案為：或或.變式2．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考三模）寫出與圓和都相切的一條直線方程____________．【答案】或中任何一個(gè)答案均可【分析】先判斷兩圓的位置關(guān)系，可知公切線斜率存在，方程可設(shè)為，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列出方程組，解之即可得出答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，所以兩圓外離，由兩圓的圓心都在軸上，則公切線的斜率一定存在，設(shè)公切線方程為，即，則有，解得或或或所以公切線方程為或.故答案為：.（答案不唯一，寫其它三條均可）變式3．【多選】（2022秋·高二單元測(cè)試）已知圓，圓，則下列是圓與圓的公切線的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩圓圖象，由兩圓相離可知共有4條切線，再利用對(duì)稱性設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式即可求得切線方程.【詳解】根據(jù)題意可知，兩圓心關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩圓圖象，如下圖所示：

顯然，圓心距，即兩圓外離，共有4條切線；又兩圓心到軸的距離都等于其半徑，所以軸是其中一條公切線，即A正確；利用對(duì)稱性可知，其中一條切線過原點(diǎn)，設(shè)其方程為，又到切線的距離為1，即，解得或；當(dāng)時(shí)，切線即為軸，當(dāng)時(shí)，切線方程為，即，B正確；由對(duì)稱性可知，切線與直線平行，易知，所以直線的方程為，可設(shè)的方程分別為，由兩平行線間距離公式可得，解得，即切線的方程分別為，；整理可得兩切線方程為和，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：ABC（二）圓的公切線長(zhǎng)例9．【多選】（2023春·山東青島·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知圓，圓，則（

）A．圓與圓相切B．圓與圓公切線的長(zhǎng)度為C．圓與圓公共弦所在直線的方程為D．圓與圓公共部分的面積為【答案】BCD【分析】求出兩圓圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心距，即可判斷A，B，兩圓方程作差即可得到公共弦方程，從而判斷C，求出兩圓圓心到公共弦的距離，從而取出公共部分的面積，從而判斷D.【詳解】解：因?yàn)閳A，圓，所以圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，故圓與圓相交，即A錯(cuò)誤；因?yàn)閮蓤A半徑相等，則兩圓公切線的長(zhǎng)度為，故B正確將兩圓方程作差得，所以兩圓公共弦所在直線的方程為，故C正確；因?yàn)榈膱A心為，半徑，所以到直線的距離為，所以公共弦長(zhǎng)為，又圓心到直線的距離為，所以圓與圓公共部分的面積為，故D正確.故選：BCD變式1．【多選】（2022秋·廣東惠州·高二惠州市惠陽(yáng)高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）圓與圓相交于，兩點(diǎn)，則（

）A．的直線方程為 B．公共弦的長(zhǎng)為C．圓與圓的公切線長(zhǎng)為 D．線段的中垂線方程為【答案】ACD【分析】對(duì)于A，兩圓方程相減可求出直線的方程，對(duì)于B，利用弦心距、弦和半徑的關(guān)系可求公共弦的長(zhǎng)，對(duì)于C，求出，再由可求得結(jié)果，對(duì)于D，線段的中垂線就是直線，求出直線的方程即可.【詳解】由，得，則，半徑，由，得，則，半徑，對(duì)于A，公共弦所在的直線方程為，即，所以A正確，對(duì)于B，到直線的距離，所以公共弦的長(zhǎng)為，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)椋?，，所以圓與圓的公切線長(zhǎng)為，所以C正確，對(duì)于D，根據(jù)題意可知線段的中垂線就是直線，因?yàn)?，所以直線為，即，所以D正確，故選：ACD變式2．【多選】（2022秋·山東青島·高二青島二中?？计谥校┮阎c相交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．直線AB的方程為B．過A，B兩點(diǎn)，且過點(diǎn)的圓的方程為C．與的公切線的長(zhǎng)度為D．以線段AB為直徑的圓的方程為【答案】AD【分析】由圓與圓的位置關(guān)系，直線方程，圓的方程對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，【詳解】由解得或，即，，對(duì)于A，直線AB的方程為，故A正確，對(duì)于B，設(shè)過A，B兩點(diǎn)，且過點(diǎn)的圓的方程，得，解得，圓的方程為，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為2，兩圓半徑相等，則與的公切線的長(zhǎng)度為，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，中點(diǎn)為，，則以線段AB為直徑的圓的方程為，故選：AD變式3．（2022秋·廣東云浮·高二?？计谥校┮阎獔AA的方程為，圓的方程為.(1)判斷圓A與圓是否相交，若相交，求過兩交點(diǎn)的直線方程及兩交點(diǎn)間的距離；若不相交，請(qǐng)說明理由.(2)求兩圓的公切線長(zhǎng).【答案】(1)兩圓相交，，；(2).【分析】（1）根據(jù)圓心距判斷圓的位置關(guān)系，再由兩圓方程相減得出公共弦所在直線方程，由幾何法求出弦長(zhǎng)；（2）根據(jù)公切線的性質(zhì)，利用圓心距、半徑差、公切線構(gòu)成的直角三角形求解.【詳解】（1）圓A：，圓：，兩圓心距，∵，∴兩圓相交，將兩圓方程左、右兩邊分別對(duì)應(yīng)相減得：，此即為過兩圓交點(diǎn)的直線方程.設(shè)兩交點(diǎn)分別為、，則垂直平分線段，∵A到的距離，∴.（2）設(shè)公切線切圓A、圓的切點(diǎn)分別為，，則四邊形是直角梯形.∴，∴.考點(diǎn)四：圓與圓的最值問題例10．【多選】（2023秋·高一單元測(cè)試）點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)在圓：上，則（

）A．的最小值為B．的最大值為C．兩個(gè)圓心所在的直線斜率為D．兩個(gè)圓公共弦所在直線的方程為【答案】AC【分析】根據(jù)圓心距結(jié)合兩圓半徑可判斷兩圓的位置關(guān)系，故可判斷D的正誤，求出的最值后可判斷AB的正誤，利用公式可求連心線的斜率，故可判斷C的正誤.【詳解】根據(jù)題意，圓：，其圓心，半徑，圓：，即，其圓心，半徑，則圓心距，兩圓外離，不存在公共弦，故D不正確；的最小值為，最大值為，故A正確，B不正確；對(duì)于C，圓心，圓心，則兩個(gè)圓心所在直線斜率，故C正確，故選：AC.變式1．【多選】（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（

）A．兩圓外離 B．的最大值為9C．的最小值為1 D．兩個(gè)圓的一條公切線方程為【答案】ABC【分析】將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出兩圓的圓心和半徑，再逐項(xiàng)分析.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)，半徑，圓，即的圓心坐標(biāo)，半徑，所以圓心距，因?yàn)椋詢蓤A外離．故A正確；因?yàn)樵趫A上，在圓上，所以，故B、C正確；因?yàn)閳A心到直線的距離，所以不是兩圓公切線，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．變式2．【多選】（2022秋·山東威?！じ叨？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，且點(diǎn)P在圓上，C為圓心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為B．以AC為直徑的圓與圓C的公共弦所在的直線方程為：C．當(dāng)最大時(shí)，的面積為D．的面積的最大值為【答案】BD【分析】由求得最大值判斷A，求出以AC為直徑的圓的方程與圓C的方程相減得公共弦所在直線方程，判斷B，由圓心在直線上，確定當(dāng)時(shí)，直線距離最大為圓半徑，從而求得的面積的最大值判斷D，當(dāng)最大時(shí)，是圓的切線，不可能，這樣可判斷C．【詳解】由已知圓心為，半徑為，，，即在圓外，在圓內(nèi)，，當(dāng)且僅當(dāng)是的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以最大值是，A錯(cuò)；中點(diǎn)為，圓方程為，此方程與圓方程相減得并化簡(jiǎn)得，即為兩圓公共弦所在直線方程，B正確；直線的方程為，即，圓心在直線上，到直線的距離的最大值等于圓半徑，，所以的面積的最大值為，D正確；當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，，而最大時(shí)，是圓的切線，此時(shí)，不可能有，因此C錯(cuò)誤．故選：BD．變式3．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：，圓是以圓上任意一點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)最大時(shí)，（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)確定頂角最大的條件，再借助直角三角形求解作答.【詳解】依題意，在中，，如圖，顯然，是銳角，，又函數(shù)在上遞增，因此當(dāng)且僅當(dāng)公共弦最大時(shí)，最大，此時(shí)弦為圓的直徑，在中，，所以.故選：D1．圓與圓的位置關(guān)系為A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【分析】試題分析：兩圓的圓心距為，半徑分別為，，所以兩圓相交．故選B．考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系．2．已知圓截直線所得線段的長(zhǎng)度是，則圓與圓的位置關(guān)系是A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【詳解】化簡(jiǎn)圓到直線的距離，又兩圓相交.選B3．若⊙與⊙相交于A、B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是_________．【答案】4【詳解】依題意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝4.4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點(diǎn)為，設(shè)過該點(diǎn)的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)椋裕O(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，故答案為：或或.一、單選題1．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）圓與圓的位置關(guān)系為（

）．A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．外離【答案】B【分析】由兩圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，故兩圓的圓心分別為：，設(shè)兩圓半徑分別為，則，易知，故兩圓內(nèi)切.故選：B2．（2023春·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考期末）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)距離為，且與點(diǎn)距離為的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】A【分析】判斷以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的位置關(guān)系，即可判斷.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線滿足與點(diǎn)距離為，且與點(diǎn)距離為，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為，因?yàn)?，則兩圓相內(nèi)切，故兩圓的公切線有且僅有條，即，故在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)距離為，且與點(diǎn)距離為的直線共有條.故選：A3．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀┮阎c(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的切線，，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用圓切線的性質(zhì)推得四點(diǎn)共圓，，從而將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而確定時(shí)取得最小值，再求得以為直徑的圓的方程，由此利用兩圓相交弦方程的求法即可得解.【詳解】因?yàn)閳A：可化為，所以圓心，半徑為，

因?yàn)?，是圓的兩條切線，則，由圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)共圓，且，，所以，又，所以當(dāng)最小，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)的方程為，聯(lián)立，解得，即，故以為直徑的圓的方程為，即，，又圓，兩圓的方程相減即為直線的方程：.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，從而確定最小時(shí)的坐標(biāo)，從而利用兩圓相減可得相交弦方程的技巧得解.4．（2023春·河南洛陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，M，N分別為圓：與圓：上的點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】分別求得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，求得，結(jié)合圖象，得，即可求解.【詳解】如圖所示，由圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，可得圓心距，如圖，，所以，當(dāng)共線時(shí)，取得最小值，故的最小值為.

故選：B5．（2023·河南南陽(yáng)·南陽(yáng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由條件結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系可得點(diǎn)到直線的距離小于等于2，列不等式求的取值范圍.【詳解】圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)直線上的點(diǎn)滿足條件，則以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，即兩圓相交或相切，所以，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于等于，所以點(diǎn)到直線的距離小于等于2，所以

解得所以k的取值范圍為，故選：A.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)在圓內(nèi)B．若圓與圓恰有三條公切線，則C．直線與圓相離D．圓關(guān)于對(duì)稱【答案】B【分析】由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷A；由兩圓外切，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系判斷B；由距離公式判斷C；由圓心不在直線上判斷D.【詳解】圓可化為，圓心為，半徑為.對(duì)于A：因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若圓與圓恰有三條公切線，則兩圓外切，圓可化為，圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以，解得，故B正確；對(duì)于C：到直線的距離為，則直線與圓相切，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：顯然圓心不在直線上，則圓不關(guān)于對(duì)稱，故D錯(cuò)誤；故選：B二、多選題7．（2023春·湖南·高二校聯(lián)考期末）已知圓和圓，分別是圓，圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．圓與圓有四條公切線B．的取值范圍是C．是圓與圓的一條公切線D．過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則存在點(diǎn)，使得【答案】ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)兩圓心之間的距離與半徑和的比較，確定兩圓的位置關(guān)系，可得答案；對(duì)于B，根據(jù)圓外離的基本性質(zhì)，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)公切線與圓心連線的位置關(guān)系以及距離，建立方程，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)，可得答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由題意可得，圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)閮蓤A圓心距，所以兩圓外離，有四條公切線，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，的最大值等于，最小值為，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，顯然直線與直線平行，因?yàn)閮蓤A的半徑相等，則外公切線與圓心連線平行，由直線，設(shè)直線為，則兩平行線間的距離為2，即，故，故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，易知當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形，故當(dāng)時(shí)，，故D正確，故選：ABD.8．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知直線l：，圓C：，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若或，則直線l與圓C相切B．若，則圓C關(guān)于直線l對(duì)稱C．若圓E：與圓C相交，且兩個(gè)交點(diǎn)所在直線恰為l，則D．若，圓C上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到l的距離為1，則【答案】AC【分析】根據(jù)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑即可判斷A，根據(jù)直線經(jīng)過圓心即可判斷B，根據(jù)兩圓公共弦所在直線方程的求法即可判斷C，根據(jù)圓心到直線l的距離，即可得到不等式組，解出即可，即可判斷D.【詳解】即，圓心，對(duì)A，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，則，解得或，故A錯(cuò)誤；若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線通過圓心，則有，解得，故B正確；對(duì)C，圓C與圓E的方程作差得，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)圓，滿足，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，若圓C上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到l的距離為1，則圓心到直線l的距離，即，即，且，解得，故D正確；故選：AC.9．（2023秋·高一單元測(cè)試）如圖所示，該曲線W是由4個(gè)圓：，，，的一部分所構(gòu)成，則下列敘述正確的是（

）

A．曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2πB．若圓與曲線W有8個(gè)交點(diǎn)，則C．與的公切線方程為D．曲線W上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為4【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)可將曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和四個(gè)半徑為1的相同的半圓，即可判斷；B選項(xiàng)可直接由圖討論判斷對(duì)錯(cuò)；C選項(xiàng)可由圓心到直線的距離等于半徑，求出公切線；D選項(xiàng)可先找到，的公切線方程為，曲線W上的點(diǎn)到直線的距離的最小值即為平行線間的距離.【詳解】曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和四個(gè)半徑為1的相同的半圓，所以其面積為，故A選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為B，D，F(xiàn)，H；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為A，C，E，G；當(dāng)或時(shí)，沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為8，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)與的公切線方程為，由直線和圓相切的條件可得，解得，（舍去），則其公切線方程為，即，故C選項(xiàng)正確.同理可得，的公切線方程為，則兩平行線的距離，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.10．（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則下列命題中真命題是（

）A．B．直線的方程為C．圓與共有4條公切線D．若過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則當(dāng)面積最大時(shí)，.【答案】ABD【分析】由圓的方程確定圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合切線性質(zhì)求，判斷A，求過點(diǎn)的圓的方程，再求其與圓的公共弦可得直線的方程，判斷B，判斷圓與圓的位置關(guān)系，判斷C，結(jié)合三角形面積公式求的面積的最大值，求，判斷D，【詳解】因?yàn)閳A的方程為，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為，所以，又，所以，由已知，所以，A正確，因?yàn)椋渣c(diǎn)四點(diǎn)共圓，且圓心為的中點(diǎn)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以圓的方程為，即，因?yàn)椋詧A與圓相交，又圓的方程可化為所以圓與圓的公共弦方程為，故直線的方程為，B正確，

圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)椋?，所以圓與圓相交，故兩圓只有2條公切線，C錯(cuò)誤；設(shè)，則，的面積，所以當(dāng)時(shí)，的面積取最大值，最大值為，此時(shí)，D正確.故選：ABD.

三、填空題11．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓和外切形成一個(gè)8字形狀，若，為圓M上兩點(diǎn)，B為兩圓圓周上任一點(diǎn)（不同于點(diǎn)A，P），則的最大值為______．【答案】/【分析】利用已知條件求解，，即可得到圓的方程，設(shè)出的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)向量的數(shù)量積，求解最值即可．【詳解】圓，，為圓上兩點(diǎn)，可得，解得，，所以，圓，滿足圓和外切，為兩圓圓周上任一點(diǎn)（不同于點(diǎn)，，如果取得最大值，可知在上，設(shè)，則,,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值．故答案為：

12．（2023·江蘇揚(yáng)州·江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)P滿足，則實(shí)數(shù)a的取值的范圍是____________．【答案】【分析】由求出點(diǎn)的軌跡，再求出該軌跡與圓有公共點(diǎn)的a的范圍作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，而，則，整理得，即點(diǎn)的軌跡是原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，因?yàn)辄c(diǎn)在圓，即圓與圓有公共點(diǎn)，而圓的圓心為，半徑為1，因此，即，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值的范圍是.故答案為：

13．（2023春·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知圓心在原點(diǎn)的單位圓和圓外切，________．【答案】16【分析】根據(jù)兩圓的圓心距以及半徑即可由外切列方程求解.【詳解】圓圓心為，半徑為1，圓，圓心為，且，半徑為，所以圓心距，因?yàn)閮蓤A外切，所以，所以．故答案為：1614．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓C過點(diǎn)且與圓切于點(diǎn)，則圓C的方程為__________.【答案】【分析】根據(jù)條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出圓的方程.【詳解】因?yàn)閳AC過點(diǎn)且與圓切于點(diǎn)，可知圓C與的公切線為，且圓C過點(diǎn)，過點(diǎn)作切線的垂線，即為軸，可知圓心C在此垂線上，即圓心C在軸上，設(shè)圓C，又圓C過點(diǎn)，且圓C過點(diǎn)，由圓心到圓上任一點(diǎn)距離相等，且為半徑，所以，可得，從而半徑，所以圓C的方程為.故答案為：.15．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為__________.【答案】12【分析】首先求點(diǎn)的軌跡方程，再利用數(shù)形結(jié)合求的最大值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，整理為：，設(shè)圓的圓心為，圓的圓心為，

如圖，可知，的最大值是圓心距加兩個(gè)圓的半徑，即.故答案為：1216．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，若圓上有且只有一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值為___________.（寫出滿足條件的一個(gè)即可）【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心坐標(biāo)以及半徑，設(shè)中點(diǎn)為，由的坐標(biāo)分析的坐標(biāo)以及的值，可得以為直徑的圓，進(jìn)而分析，原問題可以轉(zhuǎn)化為圓與圓相切，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題知，圓，即，圓心為，半徑，設(shè)中點(diǎn)為，因，，則，，以為直徑的圓為，因?yàn)閳A上有且只有一點(diǎn)，使得，則圓與圓相切，又，即有或，解得或.故答案為：四、解答題17．（2023春·江西宜春·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓(1)若直線過定點(diǎn)，且與圓C相切，求直線的方程；(2)若圓D的半徑為3，圓心在直線上，且與圓C外切，求圓D的方程．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離等于半徑，即可分情況求解，（2）由兩圓外切圓心距與半徑之和的關(guān)系，即可列方程求解.【詳解】（1）