2023-2024學年廣東省江門市鶴山一中高二（下）第一次段考數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年廣東省江門市鶴山一中高二（下）第一次段考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列運算正確的是(

)A.(x5)′=x5ln5 B.(lgx)′=2.已知直線l經(jīng)過(?1,0)，(0,1)兩點，且與曲線y=f(x)切于點A(2,3)，則lim△x→0f(2+△x)?f(2)△x的值為(

)A.?2

B.?1

C.1

D.23.如圖，小黑圓表示網(wǎng)絡的結點，結點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連．連線上標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內可以通過的最大信息量．現(xiàn)從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞．則單位時間內傳遞的最大信息量為(

)A.26 B.24 C.20 D.194.如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(

)A.18 B.24 C.30 D.325.函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則下面說法正確的是(

)A.x=4為函數(shù)f(x)的極大值點 B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(?2,1)上單調遞增

C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上單調遞減 D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(4,5)上單調遞增6.某高中安排4名同學(不同姓)到甲、乙、丙3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，若每名同學只去一個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，其中張同學不去乙小區(qū)，則不同的分配方案種數(shù)為(

)A.36 B.24 C.48 D.127.在數(shù)學中，泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式.如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點的各階導數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數(shù)值做系數(shù)構建一個多項式來近似函數(shù)在一點的鄰域中的值，常見的公式有：ex=1+11!x+12!x2A.0.536 B.0.540 C.0.544 D.0.5498.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=lnx,x>1|x2?x|,x≤1，若函數(shù)k(x)=f(x)+ax恰有2個零點，則實數(shù)A.(?∞,?1e)∪{0}∪(1,+∞) B.(?1,?1e)∪{0}∪(1,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=2x3?6x+1，則A.g(x)=f(x)?1為奇函數(shù)

B.f(x)的單調遞增區(qū)間為(?1,1)

C.f(x)的極小值為?3

D.若關于x的方程f(x)?m=0恰有3個不等的實根，則m的取值范圍為(?3,5)10.下列說法正確的是(

)A.4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有18種報名方法

B.從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為12個

C.4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍，共有64種可能的結果

D.4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每項限報一人，且每人至多報一項，共有種24報名方法11.下列說法正確的是(

)A.若(2x?1)10=a0+a1x+a2x2+?+a10x10，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x+2)(x?1x)13.函數(shù)f(x)=2sinx?ax在[0,π2]上的單調遞減，則實數(shù)a14.如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(?4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有_______種.(用數(shù)字作答)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知(x?123x)n的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列．

16.(本小題15分)

已知函數(shù)，其中a≠0．

(1)若f(x)在x=1處取得極值?12，求a的值；

(2)當a>0時，討論f(x)的單調性．17.(本小題15分)

(1)現(xiàn)有4男2女共6個人排成一排照相，其中兩個女生相鄰的排法種數(shù)為多少？

(2)要排一份有4個不同的朗誦節(jié)目和3個不同的說唱節(jié)目的節(jié)目單，如果說唱節(jié)目不排在開頭，并且任意兩個說唱節(jié)目不排在一起，則不同的排法種數(shù)為多少？

(3)某醫(yī)院有內科醫(yī)生7名，其中3名女醫(yī)生，有外科醫(yī)生5名，其中只有1名女醫(yī)生.現(xiàn)選派6名去甲、乙兩地參加賑災醫(yī)療隊，要求每隊必須2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生，且每隊由2名外科醫(yī)生1名內科醫(yī)生組成，有多少種派法？(最后結果都用數(shù)字作答)18.(本小題17分)

記函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，f′(x)的導函數(shù)為f′′(x)，設D是f(x)的定義域的子集，若在區(qū)間D上f′′(x)≤0，則稱f(x)在D上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=asinx?x2．

(Ⅰ)若f(x)在[0,π2]上為“凸函數(shù)”，求a的取值范圍；

(Ⅱ)若a=2，判斷g(x)=f(x)+119.(本小題17分)

設n是正整數(shù)，f(x)=x2+n(1?xn)nex．

(1)求證：當x≤1時，1?(1?x)ex參考答案1.D

2.C

3.D

4.C

5.D

6.B

7.B

8.B

9.ACD

10.ACD

11.ABD

12.?40

13.[2,+∞)

14.96

15.解：(1)展開式中第r+1項為Tr+1=Cnrxn?r(?12?3x)=(?12)rCnrxn?43r，

所以前三項系數(shù)的絕對值依次為Cn0,12Cn1,14Cn2，

依題意有，Cn0+14Cn2=16.解：(1)f′(x)=1x+ax?(a+1)，

f′(1)=1+a?a?1=0，f(1)=0+12a?(a+1)=?12，

解得a=?1．

經(jīng)過驗證a=?1．

(2)a>0，f′(x)=1x+ax?(a+1)

=ax2?(a+1)x+1x=a(x?1a)(x?1)x，

①0<a<1時，1a>1，

∴函數(shù)f(x)在(0,1)，(1a,+∞)內單調遞增；在(1,117.解：(1)將兩個女生捆綁在一起，當作一個元素，與其他4個男生全排列，

則有A22A55=240種排法；

(2)先排4個朗誦節(jié)目，共A44種排法，

再排說唱節(jié)目，將3個說唱節(jié)目插入4個朗誦節(jié)目所形成的5個空，

但保證不放到開頭，故從剩下4個空中選3個插空，共有A43種排法，

所以一共有A44A43=576種排法；

(3)先分類：①若外科女醫(yī)生必選，則一組內科4男選1，外科4男選1，

另一組內科3女中選1女，外科3男選2，共有C41C41C31C32=144種方法，18.解：(Ⅰ)由f(x)=asinx?x2可得其定義域為R，且f′(x)=acosx?2x，

所以f″(x)=?asinx?2，

若f(x)在[0,π2]上為“凸函數(shù)”可得f″(x)=?asinx?2≤0在[0,π2]恒成立，

當a≥0時，顯然符合題意；

當a<0時，需滿足?asinπ2?2≤0，可得?2≤a<0；

綜上可得a的取值范圍為[?2,+∞)；

(Ⅱ)若a=2，可得g(x)=2sinx?x2+1，所以g′(x)=2cosx?2x，

令?(x)=2cosx?2x，則?′(x)=?2sinx?2；

易知?′(x)=?2sinx?2<0在區(qū)間(0,π)上恒成立，

因此可得?(x)=g′(x)=2cosx?2x在(0,π)上單調遞減；

顯然g′(π6)=2cosπ6?2×π6=3?π3>0，

g′(π4)=2cosπ4?2×π4=2?π2<0，

根據(jù)零點存在定理可得存在x0∈(π619.證明：(1)記g(x)=x2+(1?x)ex，則只需證g(x)≥1(x≤1)．

g′(x)=2x?ex+(1?x)ex=x(2?ex)，由g′(x)=x(2?ex)>0，得：0<x<ln2．

所以，g(x)在(?∞,0)上單調遞減，在(0,ln2)上單調遞增，在(ln2,1]上單調遞減，

又g(0)=1，g(1)=1，

進而知g(x)的最小值[g(x)]min=1．

故g(x)≥1，即x2+(1?x)ex≥1，

所以當x≤1時，1?(1?x)ex≤x2．

(2)由f(x)=x2