簡單實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模

簡單實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模簡單實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模一、數(shù)學(xué)建模的概念與方法1.數(shù)學(xué)建模的定義：數(shù)學(xué)建模是一種運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題的過程，它將現(xiàn)實(shí)世界中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過建立數(shù)學(xué)模型來分析和解決問題。2.數(shù)學(xué)建模的方法：a.提出問題：從實(shí)際問題中明確需要解決的關(guān)鍵問題。b.建立模型：根據(jù)問題的特點(diǎn)，選擇合適的數(shù)學(xué)方法和理論，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。c.求解模型：利用數(shù)學(xué)軟件或手工計(jì)算，求解數(shù)學(xué)模型的解。d.驗(yàn)證模型：通過與實(shí)際情況的對比，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的有效性。e.應(yīng)用模型：將數(shù)學(xué)模型的結(jié)論應(yīng)用于實(shí)際問題的解決。1.線性方程組的建模：a.定義：線性方程組是由多個(gè)線性方程組成的方程組。b.建模方法：從實(shí)際問題中抽象出變量和關(guān)系式，列出線性方程組。c.求解方法：利用高斯消元法、矩陣法等求解線性方程組的解。2.函數(shù)模型的建模：a.定義：函數(shù)模型是用來描述兩個(gè)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。b.建模方法：根據(jù)實(shí)際問題中的變量關(guān)系，確定函數(shù)類型，建立函數(shù)模型。c.求解方法：利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象，分析函數(shù)模型的特點(diǎn)和應(yīng)用。3.概率統(tǒng)計(jì)模型的建模：a.定義：概率統(tǒng)計(jì)模型是用來描述隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。b.建模方法：從實(shí)際問題中收集數(shù)據(jù)，計(jì)算概率和統(tǒng)計(jì)量，建立概率統(tǒng)計(jì)模型。c.求解方法：利用概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，分析模型的可靠性和應(yīng)用。4.幾何模型的建模：a.定義：幾何模型是用來描述幾何問題的數(shù)學(xué)模型。b.建模方法：從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形和關(guān)系，建立幾何模型。c.求解方法：利用幾何知識和方法，分析模型的性質(zhì)和應(yīng)用。三、數(shù)學(xué)建模在中小學(xué)教育中的應(yīng)用1.提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力：數(shù)學(xué)建模過程中，學(xué)生需要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。2.培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際問題解決能力：數(shù)學(xué)建模將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。3.強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識：數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，有助于強(qiáng)化學(xué)生在實(shí)際問題中運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識。4.提高學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力：數(shù)學(xué)建模通常需要團(tuán)隊(duì)合作，有助于提高學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力和溝通能力。簡單實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模是一種運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題的過程。通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力、實(shí)際問題解決能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和團(tuán)隊(duì)合作能力。在中小學(xué)教育中，數(shù)學(xué)建模具有重要的教育意義，應(yīng)加強(qiáng)對數(shù)學(xué)建模的教學(xué)和研究。習(xí)題及方法：1.習(xí)題：某商店進(jìn)行打折活動(dòng)，原價(jià)為100元，若購買金額超過50元，則打9折。若顧客購買了兩種商品，第一種商品原價(jià)80元，第二種商品原價(jià)30元。求顧客購買這兩種商品所需支付的總金額。答案：顧客購買第一種商品打折后需支付80*0.9=72元，購買第二種商品無需打折，需支付30元。所以顧客購買這兩種商品所需支付的總金額為72+30=102元。2.習(xí)題：某班級有男生和女生共30人，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的3倍。求該班級中男生和女生的人數(shù)分別是多少。答案：設(shè)女生人數(shù)為x，則男生人數(shù)為3x。根據(jù)題意，x+3x=30，解得x=7.5。因?yàn)槿藬?shù)必須是整數(shù)，所以女生人數(shù)為7人，男生人數(shù)為3*7=21人。3.習(xí)題：一輛汽車以60km/h的速度行駛，行駛了1.5小時(shí)后，因故障停下修理了20分鐘。修好后，汽車以80km/h的速度繼續(xù)行駛。求汽車行駛完全程所需的時(shí)間。答案：汽車行駛了1.5小時(shí)后停下修理，此時(shí)已行駛的距離為60*1.5=90km。修理時(shí)間為20分鐘，即1/3小時(shí)。修理后汽車以80km/h的速度行駛，行駛90km所需的時(shí)間為90/80*1/3=0.375小時(shí)。所以汽車行駛完全程所需的時(shí)間為1.5+1/3+0.375=2.25小時(shí)。4.習(xí)題：某學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會，參加短跑比賽的學(xué)生有100人，參加跳遠(yuǎn)比賽的學(xué)生有80人，同時(shí)參加短跑和跳遠(yuǎn)比賽的學(xué)生有40人。求只參加短跑比賽的學(xué)生人數(shù)。答案：設(shè)只參加短跑比賽的學(xué)生人數(shù)為x。根據(jù)題意，100-x+80-x+40=100+80-40。解得x=20。所以只參加短跑比賽的學(xué)生人數(shù)為20人。5.習(xí)題：某商店購進(jìn)了一批商品，每件成本為10元，售價(jià)為15元。若每件商品售出后盈利5元，求商店至少賣出多少件商品才能盈利100元。答案：每件商品盈利5元，要盈利100元，至少需要賣出100/5=20件商品。所以商店至少賣出20件商品才能盈利100元。6.習(xí)題：某班級有男生和女生共60人，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍。若該班級男生人數(shù)增加10人，女生人數(shù)減少5人，則男生和女生人數(shù)相等。求原來該班級中男生和女生的人數(shù)分別是多少。答案：設(shè)女生人數(shù)為x，則男生人數(shù)為2x。根據(jù)題意，2x+x=60，解得x=20。所以原來女生人數(shù)為20人，男生人數(shù)為2*20=40人。增加10人后男生人數(shù)為40+10=50人，減少5人后女生人數(shù)為20-5=15人，此時(shí)男生和女生人數(shù)相等。7.習(xí)題：某學(xué)校有初中和高中兩個(gè)年級，共有學(xué)生1200人。初中生人數(shù)是高中生抽的學(xué)生人數(shù)的2倍。若初中生抽的學(xué)生人數(shù)減少40人，則初中和高中生抽的學(xué)生人數(shù)相等。求原來初中和高中生抽的學(xué)生人數(shù)分別是多少。答案：設(shè)高中生抽的學(xué)生人數(shù)為x，則初中生抽的學(xué)生人數(shù)為2x。根據(jù)題意，2x+x=1200，解得x=400。所以原來高中生抽的學(xué)生人數(shù)為400人，初中生抽的學(xué)生人數(shù)為2*400=800人。減少40人后初中生抽的學(xué)生人數(shù)為800-40=760人，此時(shí)初中和高中生抽的學(xué)生人數(shù)相等。8.習(xí)題：某班級有男生和女生共40人，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的1.5倍。其他相關(guān)知識及習(xí)題：一、線性規(guī)劃1.習(xí)題：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B。生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品A需要2小時(shí)的工作時(shí)間和3單位的原料，生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品B需要1小時(shí)的工作時(shí)間和2單位的原料。如果每天有12小時(shí)的工作時(shí)間和18單位的原料，求如何分配生產(chǎn)時(shí)間和技術(shù)，才能使產(chǎn)品A和B的利潤最大化？答案：設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A的數(shù)量為x，生產(chǎn)產(chǎn)品B的數(shù)量為y。利潤函數(shù)可以表示為：利潤=5x+3y（假設(shè)產(chǎn)品A的利潤為5單位，產(chǎn)品B的利潤為3單位）。根據(jù)時(shí)間和工作量的限制，可以得到以下不等式：2x+y≤12（時(shí)間限制），3x+2y≤18（原料限制）。求解這個(gè)線性規(guī)劃問題，可以得到最優(yōu)解：x=3,y=4，最大利潤為19單位。2.習(xí)題：某學(xué)生在選修課程時(shí)，有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四門課程可選。如果學(xué)生必須選修兩門課程，且數(shù)學(xué)和物理課程至少選修一門，求學(xué)生有多少種選課組合方式？答案：這是一個(gè)組合問題，可以用排列組合的知識來解決。學(xué)生必須選修兩門課程，分為兩種情況：選修數(shù)學(xué)和物理（MH），選修其他兩門課程（其他）。對于情況MH，有C(2,2)種選法；對于情況其他，有C(2,1)*C(2,1)種選法。所以總的選課組合方式為C(2,2)+C(2,1)*C(2,1)=1+4=5種。3.習(xí)題：拋擲兩個(gè)公正的六面骰子，求兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率。答案：這是一個(gè)古典概型問題。兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6種。每個(gè)骰子的結(jié)果有6種可能，所以總共有6*6=36種可能的組合。因此，兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為6/36=1/6。4.習(xí)題：某班級有30名學(xué)生，其中有18名女生和12名男生。如果隨機(jī)選擇兩名學(xué)生參加比賽，求選出的兩名學(xué)生都是女生的概率。答案：這是一個(gè)超幾何分布問題。隨機(jī)選擇兩名學(xué)生都是女生的概率可以表示為：P(兩名都是女生)=C(18,2)/C(30,2)。計(jì)算得到C(18,2)=18*17/(2*1)=153，C(30,2)=30*29/(2*1)=435。所以概率為153/435。5.習(xí)題：某班級進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)考試，考試成績服從正態(tài)分布，平均分為70分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分。求考試成績在80分以上的學(xué)生人數(shù)占比。答案：這是一個(gè)正態(tài)分布問題。將80分轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，即(80-70)/10=1。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以上的概率可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表或計(jì)算器得到，約為0.1587。6.習(xí)題：某商店對一件商品進(jìn)行了兩次降價(jià)，第一次降價(jià)后商品的價(jià)格為原價(jià)的80%，第二次降價(jià)后商品的價(jià)格為第一次降價(jià)后的90%。求第二次降價(jià)后商品的價(jià)格相對于原價(jià)的變化率。答案：設(shè)原價(jià)為100元。第一次降價(jià)后價(jià)格為100