四川省瀘縣2024-2025學年高二數(shù)學下學期5月期中試題文科含解析

Page19Page192024年春期高二期中考試數(shù)學（文史類）第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某地區(qū)小學，初中，中學三個學段的學生人數(shù)分別為4800人，4000人，2400人．現(xiàn)接受分層抽樣的方法調查該地區(qū)中小學生的“才智閱讀”狀況，在抽取的樣本中，初中學生人數(shù)為70人，則該樣本中中學學生人數(shù)為（）A.42人 B.84人 C.126人 D.196人【答案】A【解析】【分析】設中學抽取人數(shù)為，依據(jù)條件，建立比例關系進行求解即可．【詳解】解：設中學抽取人數(shù)為x則，得故選：A【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應用，屬于基礎題.2.已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復數(shù)的概念及復數(shù)的除法即可求解.【詳解】，所以z的虛部為.故選：A.3.若橢圓的焦距為，則的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用橢圓的性質求解．【詳解】橢圓的焦距為2，其標準方程為，則該橢圓的焦點不行能在軸上，，解得．故選：A．【點睛】本題考查利用橢圓的焦距求參數(shù)，是基礎題，解題時要細致審題，留意橢圓的性質的合理運用．4.已知命題“，”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.（0，4）C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)命題與它的否定命題真假性相反，寫出該命題的否定命題，再求實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：命題“，”是假命題，則它的否定命題“，”是真命題，當時，不等式為，明顯成立；所以時，應滿意，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是．故選：C．5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定的程序框圖，依次計算直到條件被滿意即可作答.【詳解】由程序框圖知，第一次循環(huán)，推斷不成立，，；其次次循環(huán)，推斷不成立，，；第三次循環(huán)，推斷不成立，，；第四次循環(huán)，推斷成立，，；第五次循環(huán)，推斷成立，，；第六次循環(huán)，推斷成立，，，跳出循環(huán)，輸出．故選：B6.下表是某廠月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)：月份用水量由散點圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關關系，其線性回來直線方程是，則A B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：先求出樣本中心點，將該點的坐標代入回來方程可求得的值．詳解：由題意得．∴樣本中心為．∵回來直線過樣本中心，∴，解得．故選A．點睛：回來直線過樣本中心是一個重要的結論，利用此結論可求回來直線中的參數(shù)，也可求樣本數(shù)據(jù)中的參數(shù)．由于此類問題常涉及到大量的運算，所以在解題是要留意計算的精確性．7.已知命題p：若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)；命題q：“”是“”的充分不必要條件，則下列命題正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先推斷p、q的真假，然后對A、B、C、D分別推斷復合命題的真假.【詳解】若函數(shù)的定義域為，則恒成立，則，解得，所以命題為假命題；由得，所以“”是“”的必要不充分條件，所以命題為假命題.所以為假，為假，為假，為真，故選：D.【點睛】復合命題真假的判定:(1)推斷簡潔命題的真假;(2)依據(jù)真值表推斷復合命題的真假.8.某醫(yī)療探討所為了檢驗某種血清預防感冒的作用，把500名運用血清的人與另外500名未運用血清的人一年中的感冒記錄作比較，利用列聯(lián)表計算得，則下列表述中正確的是（）A.有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”B.若有人未運用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒C.這種血清預防感冒的有效率為95%D.這種血清預防感冒的有效率為5%【答案】A【解析】【分析】利用獨立性檢驗的基本思想即可得出選項.【詳解】因為，所以有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”，故選：A.9.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求得導函數(shù)，由原函數(shù)單調遞增求得函數(shù)的單調遞增區(qū)間，結合題意將原問題轉化為子區(qū)間的問題，得到關于m的不等式組，求解不等式組即可求得實數(shù)m的取值范圍.【詳解】詳解：因為，令可得-2≤x≤2，所以要使函數(shù)f(x）在區(qū)間上單調遞減，則區(qū)間（2m，m+1）是區(qū)間的子區(qū)間，所以，求解不等式組可得：，解得-1≤m<1，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：D10.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其它元素，其含量不斷削減，這種現(xiàn)象稱為衰變．假設、在放射性同位素銫衰變過程中，其含量（單位：太貝克）與時間（單位：年）滿意函數(shù)關系：，則銫含量在時瞬間變更率為（）A.（太貝克/年） B.（太貝克/年）C.（太貝克/年） D.（太貝克/年）【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，令即可得到含量在時的瞬間變更率．【詳解】解：依題意，，所以銫含量在時的瞬間變更率為：（太貝克年），故選：．【點睛】本題考查了復合函數(shù)的導數(shù)的計算，對數(shù)函數(shù)的導數(shù)，導數(shù)與瞬時變更率，屬于基礎題．11.在三棱錐中，平面，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意畫出圖形，求出底面三角形的外接圓的半徑，進一步求得三棱錐的外接球的半徑，再由球的表面積公式求解.【詳解】解：如圖，設為三棱錐外接球的球心，為外接圓的圓心，連接.在中，，則由余弦定理可得，從而，故的外接圓半徑.因為，所以，所以外接球半徑，故三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結合的解題思想方法，屬于中檔題型；解題方法是依據(jù)幾何關系求出底面三角形的外接圓的半徑，再由勾股定理求得三棱錐的外接球的半徑，進而求解；解題的關鍵點是三棱錐的外接球的半徑的求解或者說是直角三角形的構造.12.設函數(shù)，若不等式僅有1個正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由不等式，即，兩邊除以，則，轉化函數(shù)圖象上僅有1個橫坐標為整數(shù)點落在直線的下方，結合圖象，即可求解．【詳解】由函數(shù)的定義域為，不等式，即，兩邊除以，則，留意到直線恒過點，不等式僅有1個正整數(shù)解，即函數(shù)圖象上僅有1個橫坐標為整數(shù)的點落在直線的下方，由圖象可知，這個點，可得，即，故選B．【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應用問題，其中解答中轉化函數(shù)圖象上僅有1個橫坐標為整數(shù)的點落在直線的下方，結合圖象求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實力，屬于中檔試題．第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若命題，則命題__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)全稱量詞的否定的結構特征可得正確的選項.【詳解】由全稱命題的否定可得命題“”的否定為“”．故答案為：．14.若1，2，3，x的平均數(shù)是5，而1，3，3，x，y的平均數(shù)是6，則1，2，3，x，y的方差是________.【答案】24.56【解析】【分析】先求出x和y,再求出1，2，3，x，y的方差.【詳解】由題得，所以.所以1，2，3，x，y的平均數(shù)為，所以1，2，3，x，y的方差為.故答案為：24.56【點睛】本題主要考查平均數(shù)和方差的計算，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平.15.已知直線與函數(shù)的圖象相切于，則直線的方程是___________.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，借助導數(shù)的幾何意義即可求出直線的方程.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得：，則，直線的斜率為1，所以直線的方程是：.故答案為：16.已知過點作拋物線的兩條切線,切點分別為A、B,直線經(jīng)過拋物線C的焦點F,則___________．【答案】64【解析】【分析】用字母進行一般化探討,先求出切點弦方程,再聯(lián)立化簡,最終代入數(shù)據(jù)計算【詳解】設,點處的切線方程為聯(lián)立,得由,得即,解得所以點處的切線方程為,整理得同理,點處的切線方程為設為兩切線的交點,則所以在直線上即直線AB的方程為又直線AB經(jīng)過焦點所以,即聯(lián)立得所以所以本題中所以故答案為:64【點睛】結論點睛:過點作拋物線的兩條切線,切點弦的方程為三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17.已知函數(shù)（其中）.（1）求函數(shù)的極值點；（2）若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極大值點為，微小值點為；（2）.【解析】【分析】（1）對求導，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調性，進而求得極值點；（2）函數(shù)有三個零點，等價于的圖象與軸有三個交點，求出函數(shù)的極值，列不等式即可求得的范圍．【詳解】解：（1）因為函數(shù)，則定義域為，且，令，解得或.當變更時，，變更狀況如下表：極大值微小值因此函數(shù)處取得極大值；在處取得微小值，所以函數(shù)的極大值點為，微小值點為（2）函數(shù)有三個零點，等價于的圖象與軸有三個交點由（1）可知，在處取得極大值；在處取得微小值，因為的圖象與軸有三個交點則，解得故實數(shù)的取值范圍為18.為推行“新課堂”教學法,某化學老師分別用傳統(tǒng)教學和“新課堂”兩種不同的教學方式,在甲、乙兩個平行班進行教學試驗,為了解教學效果,期中考試后,分別從兩個班級中各隨機抽取20名學生的成果進行統(tǒng)計,作出的莖葉圖如下圖,記成果不低于70分者為“成果優(yōu)良”.（1）分別計算甲、乙兩班20個樣本中,化學成果前十的平均分,并據(jù)此推斷哪種教學方式的教學效果更佳;（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表,是否有95%的把握認為“成果優(yōu)良與教學方式關”?甲班乙班總計成果優(yōu)良成果不優(yōu)良總計0.0500103.8416.635【答案】（1），，運用“高效教學法”的乙班教學效果更佳.（2）有的把握認為“成果優(yōu)良”與“教學方式”有關.【解析】【分析】（1）先求出甲班、乙班的平均分，然后再作出推斷．（2）依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)求出，再結合臨界值表得到結論．【小問1詳解】甲班化學成果前10名學生的平均分為乙班化學成果前10名學生的平均分為由于，所以可推斷運用“高效教學法”的乙班教學效果更佳.【小問2詳解】依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表如下：甲班乙班總計成果優(yōu)良101626成果不優(yōu)良10414總計202040由表中的數(shù)據(jù)可得，所以能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，即有的把握認為“成果優(yōu)良”與“教學方式”有關.19.如圖，在三棱柱中，，，.（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點，連，，證明與底面垂直，得面面垂直，再由棱柱上下底面平行得證結論；（2）由棱柱、棱錐體積得，計算三棱錐體積可得結論．【詳解】（1）如圖，取的中點，連，，因為，，所以，，又因為，所以，在中，由，滿意，所以，且，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面平面.（2）由（1）可知平面，，所以四棱錐的體積.20.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,過點且斜率為k的直線與橢圓交于A,B兩點.當A為橢圓E的上頂點時,.（1）求橢圓的標準方程;（2）當時,試推斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過點,并說明理由.【答案】（1）（2）以為直徑的圓不經(jīng)過點,理由見解析【解析】【分析】(1)將直線方程求出來,再帶入向量等式即可求出橢圓方程;(2)聯(lián)立計算出的值,即可推斷是否經(jīng)過.【小問1詳解】由題意,得橢圓的半焦距,當為橢圓的上頂點時,,設,則,.由,得,,∴,將點的坐標代入橢圓的方程,得，解得.又,∴,∴橢圓的標準方程是.【小問2詳解】以AB為直徑的圓不經(jīng)過點,理由如下:依題意,知直線的方程為.聯(lián)立,消去,并整理得.設,,則由根與系數(shù)的關系,得,.易知,直線,的斜率都存在且不為0.若以為直徑的圓經(jīng)過點,則，所以直線,的斜率之積為-1,即,而,所以以為直徑的圓不經(jīng)過點.21.已知函數(shù)（）.（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若，是函數(shù)的兩個極值點，且，，求證：.【答案】（1）的單調遞增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為，（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，把代入，由，可得函數(shù)的單調區(qū)間；（2）由于函數(shù)有兩個極值點，，則，是的兩個不等實根，利用根與系數(shù)的關系把與用含有的代數(shù)式表示，可得，設，利用導數(shù)求出其最小值即可【詳解】（1）解：由，得，當時，，由，得，解得或，由，得，解得，所以的單調遞增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為，（2）證明：由函數(shù)有兩個極值點，，所以，是方程的兩個不等實根，所以，則，所以，，令，則，所以在上單調遞減，則，所以【點睛】此題考查利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學轉化思想，屬于難題.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計分．（選修4-4極坐標與參數(shù)方程）22.已知曲線的方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）過作直線交曲線于、兩點，且，求直線的斜率.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）將曲線的參數(shù)方程