橢圓及其標準方程課件 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第三章圓錐曲線的方程

3.1橢圓3.1.1

橢圓及其標準方程人教A

版2019

選擇性必修第一冊我們的太陽系我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的平面截

圓錐，截口曲線(截面與圓錐側(cè)面的交線)

是一個圓.如果改變圓錐的軸與截平面所成

的角，那么會得到怎樣的曲線呢?如圖，用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓

錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可

以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.我們通常把橢圓、拋物線、

雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線

(conicsections).圓雙曲線拋物線橢

圓圓錐曲線與科研、生產(chǎn)以及人類生活有著緊密的關(guān)系.如行星繞太陽運

行的軌道是橢圓，發(fā)電廠冷卻塔的外形線是雙曲線，探照燈反射鏡面、衛(wèi)星接收天線是拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)所成的拋物面....為什么圓錐曲線有如此廣泛的應用呢?我們可以從它們的幾何特征及其性質(zhì)中找到答

案

.圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘.當時人們用純幾何的方法研究這些

與圓密切相關(guān)的曲線，它們的幾何性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的自然推廣.17世紀，笛卡兒發(fā)明了坐標系，人們開始借助坐標系，運用代數(shù)方法研究

圓錐曲線.本章我們繼續(xù)采用坐標法，在探究圓錐曲線幾何特征的基礎上，建立它

們的方程，通過方程研究它們的性質(zhì)，并解決與圓錐曲線有關(guān)的幾何問

題和實際問題，進一步感受數(shù)形結(jié)合的思想方法，體會坐標法的魅力與威力.橢圓是圓錐曲線的一種，具有豐富的幾何性質(zhì)，在科研、生產(chǎn)和人類生

活中具有廣泛的應用.那么,橢圓到底有怎樣的幾何特征?我們該如何

利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)奠定基礎?一探究取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉

緊繩子，移動筆尖，這時筆尖(動點)畫出的軌跡是一個圓.如果把細

繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點F?,F?(圖3.1-1),套

上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線?在這一過程中，移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是什么?把細繩的兩端拉開一段距離，筆尖移動的

過程中，細繩的長度保持不變，即筆尖到

兩個定點的距離的和等于常數(shù).我們把平面內(nèi)與兩個定點F1,F?的距離的和等于常數(shù)(大于|F?F?)的

點的軌跡叫做橢圓(ellipse).這兩個定點叫做橢圓的焦點(focus),兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距(focusdistance),焦距的一半稱為半焦距.由橢圓的定義可知，上述移動的筆尖(動點)畫出的軌跡是橢圓.

思考觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立坐標系可能使所得的橢圓方程形式簡單?觀察我們畫出的圖形，可以發(fā)現(xiàn)橢圓具有對稱性，而且過兩個焦點的直線是它的對稱軸，所以我們以經(jīng)過橢圓兩焦點F?

,F?

的直線為x軸，線段F?

,F?的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖3.1-2所示.圖3.1-2設M(x,y)

是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c(c>0),那么焦點F?

,F?

的坐標分別為(-c,0),(c,0).根據(jù)橢圓的定義，設點M與焦點F?

,F?的距離的和等于2a.

設為2a能為問題研究帶來方便.由橢圓的定義可知，橢圓可看作點集P={M||MF?

|+|MF?

|=2a}.因為|MF?|=

√

(x+c)2+y2,MF?|=

√

(x-c)2+y2.所以√(x+c)2+y2+√(x-c)2+y2=2a.

①為了化簡方程①,我們將其左邊的一個根式移到右邊，得√(x+c)2+y2=2a-√(x-c)2+y2

②對方程②兩邊平方，得(x+c)2+y2=4a2-4aJ(x-c)2+y2+(x-c)2+y2整理，得a2-cx=a

√

(x-c)2+y2③對方程③兩邊平方，得a?-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)④將方程④兩邊同除以a2(a2-c2),得

⑤由橢圓的定義可知，2a>2c>0,

即a>c>0,

所以a2-c2>0.思考觀察圖3.1-3,你能從中找出表示a,c,Ja2-c2的線段嗎?由圖3.1-3可知，PF?|=|PF?|=a,OF?|=|OF?

I=c,|PO|=

√a2-c2.令b=|PO=

√a2-c2,那么方程⑤就是圖3.1-3由于方程②③的兩邊都是非負實數(shù)，因此方程①到方程⑥的變形都是同解變形.這樣，橢圓上任意一點的坐標(x,y)

都滿足方程⑥;反之，以方程⑥的解為坐標的點(x,y)

與橢圓的兩個焦點(c,0),(-c,0)的距離之和為2a,即以方程⑥的解為坐標的點都在橢圓上.我們稱方程⑥是橢圓的方程，這個方程叫做橢圓的標準方程.它表示焦點

在x軸上，兩個焦點分別是F?(-c,0),F?(c,0)的橢圓，這

里c2=a2-b2.思

考如圖3.1-4,如果焦點F?

,F?

在y軸上，且F?

,F?

的坐標分別為(0,-c),(0,c),a,b的意義同上，那么橢圓的方程是什么?容易知道，此時橢圓的方程是這個方程也是橢圓的標準方程.圖3.1-4例1已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(-2,0),(2,0),并且經(jīng)過點求它的標準方程.解：由于橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為由橢圓的定義知(=2所以a=√

10.b2=a2-c2=10-4=6,所以所求橢圓的標準方程為你還能用其他方法求它的標準方程嗎?試比較不同方法的特點.解法二：由于橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為

由橢圓的定義知c=2,

所以a2=b2+c2=b2+4,

所以

將

代入，得

整理得2b?-9b2-18=0,∴(2b2+3)(b2-6)=0,解得b2=6,:a2=b2+4=10,所以所求橢圓的標準方程為

例2如圖3.1-5,在圓x2+y2=4

上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么?為什么?分析：點P在圓x2+y2=4

上運動，點P的運動引起點M運動.我們可以由M為線段PD

的中點得到點M與點P坐標之間的關(guān)系式，并由點P的坐標滿足圓的方程得到點M的坐標所滿足的方程.圖3.1-5解：設點M的坐標為(x,y),點P的坐標為(x?,y?),則點D的坐標為(x?

,0),由點M

是線段PD的中點，

因為點在圓x2+y2=4

上，所以x2+y2=4①把x,=x,y,=2y代入方程①,得x2+4y2=4,即

.

所以點M

的軌跡是橢圓尋求點M的坐標(x,y)中x,y與x?,y?之間的關(guān)系，然后消去x?,y?,得到點M

的軌跡方程。這是解析幾何中求點的軌跡方程常用的方法.利用信息技術(shù)，可以更方便地探究點M的軌跡的形狀.●思考由例2我們發(fā)現(xiàn)，可以由圓通過“壓縮”得到橢圓.你能由圓通過“拉伸”得到橢圓嗎?如何“拉伸”?由此你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎?例3如圖3.1-6,設A,B兩點的坐標分別為(-5,0),(5,0).直線AM,BM

相交于點M,且它們的斜率之積是

,求點M的軌跡方程.分析：設點M的坐標為(x,y),那么直線AM,BM

的斜率就可用含x,y的關(guān)系式分別表示.由直線AM,BM

的斜率圖3.1-6之積是

可得出x,y之間的關(guān)系式，進而得到點M的軌跡方程.圖3.1-6所以直線AM的斜率k同理，直線BM

的斜率人

由已知，有

化簡，得點M的軌跡方程為解：設點M的坐標為(x,y),因為點A的坐標是