第16講 余角和補(bǔ)角-2018年小升初銜接數(shù)學(xué)教材（解析版）

第16講余角和補(bǔ)角【知識(shí)銜接】————小學(xué)初中課程解讀————小學(xué)課程初中課程小學(xué)數(shù)學(xué)中，要求知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系;能用量角器量指定角的度數(shù)，能畫指定度數(shù)的角，會(huì)用三角尺畫30°，45°，60°，90°角。初中數(shù)學(xué)中，理解角的概念，能比較角的大小;認(rèn)識(shí)度、分、秒，會(huì)對(duì)度、分、秒進(jìn)行簡單的換算，并會(huì)計(jì)算角的和、差;理解對(duì)頂角、余角、補(bǔ)角等概念，探索并掌握對(duì)頂角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的補(bǔ)角相等的性質(zhì)。————小學(xué)知識(shí)回顧————（1）1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°，1周角=2平角=4直角.（2）銳角：小于90°的角叫做銳角；鈍角：大于90°小于180°的角叫做鈍角.————初中知識(shí)鏈接————1.余角與補(bǔ)角的概念一般情況下,如果兩個(gè)角的和等于90度(直角),我們就說這兩個(gè)角互為余角,即其中每一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.例如,∠1與∠2互為余角,∠1是∠2的余角,∠2也是∠1的余角.同樣,如果兩個(gè)角的和等于180度(平角),就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角,即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角.2.余角與補(bǔ)角的性質(zhì)等角(同角)的余角相等;等角(同角)的補(bǔ)角相等.3.方位角表示方位的角叫做方位角，是由標(biāo)準(zhǔn)方向線北端或者南端開始順時(shí)針方向到某一直線的夾角.方位的表示通常用“北偏東多少度”、“北偏西多少度”或者“南偏東多少度”、“南偏西多少度”來表示.“北偏東45度”、“北偏西45度"、“南偏東45度”、“南偏西45度”,分別稱為“東北方向”、“西北方向”,“東南方向”、“西南方向”.說明:用量角器畫射線要注意兩點(diǎn):一是先從正南或正北方向作角的始邊,二要分清東南西北,理解偏東、偏西的意義.【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型1．一個(gè)角的余角比這個(gè)角的多30°，請(qǐng)你計(jì)算出這個(gè)角的大?。敬鸢浮?8°．【解析】試題分析：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)為度，則余角為度，根據(jù)這個(gè)角的余角比這個(gè)角的還多即可列方程求解．試題解析：設(shè)這個(gè)角為，則其余角為，依題意得：，解方程得：．考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角．2．如圖，∠AOB=35°，∠BOC=90°，OD是∠AOC的平分線，求∠BOD的度數(shù)．【答案】27.5°．【解析】3．如圖，已知OB的方向是南偏東60°，OA、OC分別平分∠NOB和∠NOE，（1）請(qǐng)直接寫出OA的方向是，OC的方向是．（2）求∠AOC的度數(shù)．【答案】（1）OA的方向是北偏東60°；OC的方向是北偏東45°；（2）15°【解析】試題分析：（1）先計(jì)算出∠NOC與∠NOA的度數(shù)，然后得到OC與OA的方向；（2）由OB的方向是南偏東60°得到∠BOE=30°，則∠NOB=120°，根據(jù)OA平分∠NOB得到∠NOA=60°，再由OC分別平分∠NOE得到∠NOC=∠NOE=45°，然后利用∠AOC=∠NOA﹣∠NOC進(jìn)行計(jì)算．解：（1）OA的方向是北偏東60°；OC的方向是北偏東45°；（2）∵OB的方向是南偏東60°，∴∠BOE=30°，∴∠NOB=30°+90°=120°，∵OA平分∠NOB，∴∠NOA=∠NOB=60°，∵OC分別平分∠NOE，∴∠NOC=∠NOE=45°，∴∠AOC=∠NOA﹣∠NOC=60°﹣45°=15°．故答案為北偏東60°；北偏東45°．考點(diǎn)：方位角．【實(shí)戰(zhàn)演練】————再戰(zhàn)初中題——能力提升————1．若∠A=64°，則它的余角等于（）A．116°B．26°C．64°D．50°【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)兩個(gè)角的和為90°，則這兩個(gè)角互余計(jì)算即可．解：∵∠A=64°，∴90°﹣∠A=26°，∴∠A的余角等于26°，故選：B．考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角．2．甲看乙的方向是北偏東30°，那么乙看甲的方向是（）A．南偏東60°B．南偏西60°C．南偏東30°D．南偏西30°【答案】D考點(diǎn)：方位角．3．如果∠α和∠β互補(bǔ)，且∠α＞∠β，則下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正確的有（）A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)角的性質(zhì)，互補(bǔ)兩角之和為180°，互余兩角之和為90°，可將，①②③④中的式子化為含有∠α+∠β的式子，再將∠α+∠β=180°代入即可解出此題．解：∵∠α和∠β互補(bǔ)，∴∠α+∠β=180°．因?yàn)?0°﹣∠β+∠β=90°，所以①正確；又∠α﹣90°+∠β=∠α+∠β﹣90°=180°﹣90°=90°，②也正確；（∠α+∠β）+∠β=×180°+∠β=90°+∠β≠90°，所以③錯(cuò)誤；（∠α﹣∠β）+∠β=（∠α+∠β）=×180°=90°，所以④正確．綜上可知，①②④均正確．故選B．考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角．4．如圖，南偏東15°和北偏東25°的兩條射線組成的角（即∠AOB）等于（）度．A．40°B．80°C．50°D．140°【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)角的和差，可得答案．解：如圖，南偏東15°和北偏東25°，得∠AOC=25°，∠BOD=15°．由角的和差，得∠AOB=180°﹣∠AOC﹣∠BOD=180°﹣25°﹣15°=140°，故選：D．考點(diǎn)：方位角．5．如圖，∠AOB是直角，∠AOC=38°，OD平分∠BOC，則∠AOD的度數(shù)為（）A．52°B．38°C．64°D．26°【答案】C【解析】試題分析：先求得∠BOC的度數(shù)，然后由角平分線的定義可求得∠BOD的度數(shù)，最后根據(jù)∠AOD=∠AOB﹣∠BOD求解即可．解：∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣38°=52°，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD=∠BOC=26°．∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣26°=64°．故選：C．考點(diǎn)：角平分線的定義．6．下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）①銳角的補(bǔ)角一定是鈍角；②一個(gè)角的補(bǔ)角一定大于這個(gè)角；③如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么它們相等；④銳角和鈍角互補(bǔ)：⑤如果互補(bǔ)的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角都是90°．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角．7．已知∠A=75°，則∠A的補(bǔ)角等于（）A．125°B．105°C．15°D．95°【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)補(bǔ)角的定義求解即可．解：∠A的補(bǔ)角=180°﹣∠A=180°﹣75°=105°．故選：B．考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角．8．一個(gè)角的度數(shù)比它的余角的度數(shù)大20°，則這個(gè)角的度數(shù)是（）A．20°B．35°C．45°D．55°【答案】【解析】D試題分析：設(shè)這個(gè)角為x，則它的余角為90°﹣x，根據(jù)題意可得出x的值．解：設(shè)這個(gè)角為x，則它的余角為90°﹣x，由題意得，x﹣（90°﹣x）=20°，解得：x=55°．故選D．考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角．9．如果一個(gè)角的補(bǔ)角是120°，那么這個(gè)角的余角是（）A．150°B．90°C．60°D．30°【答案】D．【解析】試題分析：根據(jù)題意可得這個(gè)角是60°，60°的余角是30°，可得D項(xiàng)．考點(diǎn)：補(bǔ)角和余角的概念．10．∠1的余角是50°，∠2的補(bǔ)角是150°，則∠1與∠2的大小關(guān)系是．【答案】∠1＞∠2【解析】試題分析：根據(jù)余角定義：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角可得∠1的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角可得∠2的度數(shù)，進(jìn)而可得答案．解：∵∠1的余角是50°，∴∠1=90°﹣50°=40°，∵∠2的補(bǔ)角是150°，∴∠2=180°﹣150°=30°，∴∠1＞∠2，故答案為：∠1＞∠2．考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角．11．若一個(gè)角的余角比它的補(bǔ)角的還多1°，則這個(gè)角的大小是．【答案】63°．【解析】試題分析：設(shè)這個(gè)角為x°，則它的余角為（90-x）°，它的的補(bǔ)角為（180-x）°，根據(jù)題意得90-x=（180-x）+1，解得x=63°．故答案為：63°．考點(diǎn)：角度的計(jì)算；補(bǔ)角；余角．12．一個(gè)角的余角是54°38′，則這個(gè)角的補(bǔ)角是．【答案】144°38′【解析】試題分析：根據(jù)余角是兩個(gè)角的和為90°，這兩個(gè)角互為余角，兩個(gè)角的和為180°，這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，可得答案．解：∵一個(gè)角的余角是54°38′∴這個(gè)角為：90°﹣54°38′=35°22′，∴這個(gè)角的補(bǔ)角為：180°﹣35°22′=144°38′．故答案為：144°38′．考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角；度分秒的換算．13．南偏東25°和北偏東35°的兩條射線組成的角等于度．【答案】120【解析】試題分析：根據(jù)方位角的概念和平角的定義解答．解：如圖，南偏東25°和北偏東35°的兩條射線組成的角等于：180°﹣25°﹣35°=120°，故答案為：120．考點(diǎn)：方位角．14．如果一個(gè)角的補(bǔ)角是142°，那么這個(gè)角的余角是．【答案】52°【解析】試題分析：根據(jù)余角和補(bǔ)角的概念列式計(jì)算即可．解：∵一個(gè)角的補(bǔ)角是142°，∴這個(gè)角為：180°﹣142°=38°，∴這個(gè)角的余角是：90°﹣38°=52°．故答案為：52°．考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角．15.若一個(gè)角的余角與這個(gè)角的補(bǔ)角之比是2：7，求這個(gè)角的鄰補(bǔ)角．【答案】126°【解析】考點(diǎn)：余角和補(bǔ)角；一元一次方程的應(yīng)用．16．如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OC為任意一條射線，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．OOABCDE（1）指出圖中∠AOD與∠BOE的補(bǔ)角；（2）試判斷∠COD與∠COE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系．并說明理由．【答案】（1）∠AOD的補(bǔ)角為∠BOD，∠COD；∠BOE的補(bǔ)角為∠AOE，∠COE；（2）∠COD+∠COE=90o，理由參見解析．【解析】試題分析：（1）兩個(gè)角相加等于180度即為互為補(bǔ)角，由互為補(bǔ)角意義，和已知的角平分線即可得出結(jié)論；（2）利用平角是180度和角平分線意義即可得出結(jié)論．試題解析：（1）因?yàn)椤螦OD+∠BOD=180o，所以∠AOD的補(bǔ)角為∠BOD，又因?yàn)镺D平分∠BOC，所以∠COD=∠BOD，所以∠AOD的補(bǔ)角為∠BOD，∠COD；同理因?yàn)椤螦OE+∠BOE=180o，所以∠BOE的補(bǔ)角為∠AOE，又因?yàn)镺E平分∠AOC，所以∠COE=∠AOE，所以∠BOE的補(bǔ)角為∠AOE，∠COE；（2）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOC，∠COD=∠BOC，∴∠COD+∠COE=∠BOC+∠AOC=∠AOB=90o，即∠COD與∠COE的數(shù)量關(guān)系是∠COD+∠COE=90o．考點(diǎn)：1．互為補(bǔ)角意義；2．互余的意義．17．如圖，貨輪O在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上，同時(shí)，在它北偏東30°、西北（即北偏西45°）方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B和海島C．（1）仿照表示燈塔方位的方法，分別畫出表示客輪B和海島C方向的射線OB，OC（不寫作法）；（2）若圖中有一艘漁船D，且∠AOD的補(bǔ)角是它的余角的3倍，畫出表示漁船