2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運算的坐標表示分層作業(yè)新人教A版選擇性必修第一冊

空間向量及其運算的坐標表示A級必備學(xué)問基礎(chǔ)練1.已知平行四邊形ABCD,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),則頂點D的坐標為()A.(1,12,-6) B.(3,7,-5)C.(-1,-12,6) D.(5,13,-3)2.已知空間中兩個點A(-2,0,2),B(-1,1,2),則向量AB的模是()A.2 B.3 C.2 D.13.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,則向量a與b的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.150°4.已知向量a=(1,2,3),b=(0,1,2),則2a-b=()A.(2,3,4) B.(2,3,3)C.(2,5,8) D.(2,4,6)5.(多選題)已知空間三點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)a=AB,b=AC,則下列結(jié)論正確的是()A.若|c|=3,且c∥BC,則c=(2,1,-2)B.a和b的夾角的余弦值為-10C.若ka+b與ka-b相互垂直,則k的值為2D.若λ(a+b)+μ(a-b)與向量(0,0,1)垂直,則λ,μ應(yīng)滿足λ-μ=06.(多選題)下面四個結(jié)論正確的是()A.空間向量a=(1,-1,2)關(guān)于x軸對稱的向量為(1,1,-2)B.若對空間中隨意一點O,有OP=16OA+13OB+C.已知{a,b,c}是空間的一個基底,若m=a+c,則{a,b,m}也是空間的一個基底D.隨意向量a,b,c,滿足(a·b)·c=a·(b·c)7.已知向量a=(2,0,1),b=(0,2,-1),c=(2,4,m),若向量a,b,c共面,則實數(shù)m的值為.

8.已知向量a=(2,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb與2a+3b的夾角為銳角,則實數(shù)k的取值范圍是.

B級關(guān)鍵實力提升練9.(多選題)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,則 ()A.點B1的坐標為(4,5,3)B.點B關(guān)于點D對稱的點為(-4,-5,0)C.CA1=(4,D.點B1關(guān)于x軸對稱的點為(-4,5,3)10.設(shè)O(0,0,0),A(0,1,1),B(1,0,1),點P是線段AB上的一個動點,且滿足AP=λAB,若OP·AB≥PA·11.已知向量a=(2,-1,2),b=(1,4,1).(1)求|2a-b|的值;(2)求向量a+2b與a-b夾角的余弦值.12.已知向量a=(2,-3,-2),b=(-1,5,-3).(1)當(dāng)λa+b與3a+2b平行時,求實數(shù)λ的值;(2)當(dāng)a+μb與3a+b垂直時,求實數(shù)μ的值.13.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,連接A1B,B1C,A1C,建立如圖所示的空間直角坐標系.(1)求A1(2)求向量A1C在平面ABCD參考答案學(xué)習(xí)單元3空間向量及其運算的坐標表示1.D設(shè)D(x,y,z),則AB=(2,-5,1)-(4,1,3)=(-2,-6,-2),DC=(3-x,7-y,-5-z),由題意得AB=DC,即3故頂點D的坐標為(5,13,-3).故選D.2.C因為A(-2,0,2),B(-1,1,2),所以AB=(1,1,0),則|AB|=12+13.A由已知可得a·b=x+2=3,可得x=1,則|a|=2,|b|=1+1+4=所以cos<a,b>=a·因為0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=30°.故選A.4.A因為a=(1,2,3),所以2a=(2,4,6),則2a-b=(2-0,4-1,6-2)=(2,3,4).故選A.5.BD因為A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2),BC=(-2,-1,2).對于A,|BC|=3=|c|,又c∥BC,于是得c=BC=(-2,-1,2)或c=-BC=(2,1,-2),故A不正確;對于B,cos<a,b>=a·b|對于C,由ka+b與ka-b相互垂直得,(ka+b)·(ka-b)=k2a2-b2=2k2-5=0,解得k=±102對于D,λ(a+b)+μ(a-b)=λ(0,1,2)+μ(2,1,-2)=(2μ,λ+μ,2λ-2μ).因為λ(a+b)+μ(a-b)與向量(0,0,1)垂直,所以2λ-2μ=0,即λ-μ=0,故D正確.故選BD.6.ABC對于A,空間向量a=(1,-1,2)關(guān)于x軸對稱的向量為(1,1,-2),故A正確;對于B,若對空間中隨意一點O,有OP=16OA+13OB+12OC對于C,{a,b,c}是空間的一個基底,則a,b,c不共面,若m=a+c,則向量a,c,m共面,所以向量a,b,m不共面,故{a,b,m}也是空間的一個基底,故C正確;對于D,(a·b)·c表示與c共線的向量,a·(b·c)表示與a共線的向量,而a,c的方向不確定,所以不成立,故D錯誤.故選ABC.7.-1因為向量a,b,c共面,所以存在實數(shù)x,y使得c=xa+yb,即(2,4,m)=(2x,2y,x-y).所以2x=28.kk>-411且k≠32因為a=(2,1,0),b=(-1,0,2),所以a+kb=(2-k,1,2k),2a+3b=(1,2,6).因為向量a+kb與2a+3b的夾角為銳角,所以(a+kb)·(2a+3b)=2-k+2+12k=11k+4>0,解得k>-411當(dāng)a+kb∥2a+3b時,2-k1=所以實數(shù)k的取值范圍為kk>-411且k≠32.9.ABC依據(jù)題意知,點B1的坐標為(4,5,3),故選項A正確;點B1關(guān)于x軸對稱的點為(4,-5,-3),故選項D錯誤;點B的坐標為(4,5,0),故點B關(guān)于點D對稱的點為(-4,-5,0),故選項B正確;點C的坐標為(0,5,0),點A1的坐標為(4,0,3),所以CA1=(4,-5,3),故選項C正確.10.1-22,1∵O(0,0,0),A(0,1,1),B(1,0,1),設(shè)P(x,y,z),∴AB=(1,-1,0).∵AP=λAB,∴(x,y-1,z-1)=(λ,-λ,0),∴x=λ,y=1-λ,∴OP=(λ,1-λ,1),PA=(-λ,λ,0),PB=(1-λ,λ-1,0),∴OP·AB=2λ-1,PA·PB=2λ∵OP·AB≥PA·PB,∴2λ-整理可得2λ2-4λ+1≤0,解得1-22≤λ≤1+2又點P是線段AB上的一個動點,且滿足AP=λAB,∴0≤λ≤1,∴1-22≤λ≤111.解(1)∵a=(2,-1,2),b=(1,4,1),∴2a=(4,-2,4),2a-b=(3,-6,3),∴|2a-b|=32+(-6(2)設(shè)a+2b與a-b的夾角為θ,則cosθ=(a由題得a+2b=(4,7,4),|a+2b|=9,a-b=(1,-5,1),|a-b|=33,∴cosθ=4×1+7×(-5)+4×19×33=-272712.解(1)因為向量a=(2,-3,-2),b=(-1,5,-3),所以λa+b=(2λ-1,-3λ+5,-2λ-3),3a+2b=(4,1,-12).因為λa+b與3a+2b平行,所以2λ-14(2)因為向量a=(2,-3,-2),b=(-1,5,-3),所以a+μb=(2-μ,-3+5μ,-2-3μ),3a+b=(5,-4,-9).因為a+μb與3a+b垂直,所以5(2-μ)-4(-3+5μ)-9(-2-3μ)=0,解得μ=-20.13.解(1)由題意得,A1(4,0,3),B(4,4,0),B1(4