高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用極值與最值課后練習(xí)一新人教版

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——極值與最值

設(shè)f(x)=2x3+ax2+bx+l的導(dǎo)數(shù)為廣(x),若函數(shù)y=f<x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=一^對(duì)稱(chēng)，且f，(l)

=0.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值.

f(x)的導(dǎo)函數(shù)f，(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象最有可能的是圖中的().

設(shè)awR,若函數(shù)y=e'+ax,xeR有大于零的極值點(diǎn)，則().

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a>——a<——

A."TB.?>-1C.eD.E

設(shè)a<l,集合A={xGR|x>0},B={xGR42x2—3(l+a)x+6a>0},D=ADB.

(1)求集合D(用區(qū)間表示)；

(2)求函數(shù)f(x)=2x3—3(l+a)x2+6ax在D內(nèi)的極值點(diǎn).

已知函數(shù)f(x)=x—ln(x+a)的最小值為0,其中a>0.

(1)求a的值；(2)若對(duì)任意的xG[0,+oo),有f(x)Wkx2成立，求實(shí)數(shù)k的最小值;

—x3+ax2+

己知函數(shù)f(x)=的圖象在點(diǎn)(一2,f(—2))處的切線(xiàn)方程為16x+y+

20=0.

⑴求實(shí)數(shù)a、b的值；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［-1,2］上的最大值;

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().

A.-l<a<2B.-3<a<6

C.a<-3或a>6D.a<-l或a>2

課后練習(xí)詳解

答案：⑴a=3,b=-12；(2)極大值21,極小值-6.

詳解：⑴因?yàn)閒(x)=2x3+ax2+bx+L故f'(x)=6x2+2ax+b.

從而f，(x)=6(x+1)+b-f,即丫=廣的的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=*對(duì)稱(chēng)，

從而由題設(shè)條件知一看=得，解得a=3.

又由于f'(1)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12.

(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2—12x+l,廣(x)=6x2+6x-12=6(x-l)(x+2).

令f，(x)=0,即6(x-l)(x+2)=0,解得xl=-2,x2=l.

當(dāng)xG(—8,一2)時(shí)，fl(x)>0,故f(x)在(一8,-2)上為增函數(shù)；

當(dāng)xW(—2,1)時(shí)，廣(x)V0,故f(x)在(一2,1)上為減函數(shù)；

當(dāng)xd(l,+8)時(shí)，r(x)>0,故f(x)在(1,+8)上為增函數(shù).

從而函數(shù)f(x)在xl=-2處取得極大值f(—2)=21,

在x2=l處取得極小值f(l)=-6.

答案：A.

詳解:?.?xG(-oo,-2)U(0,+oo)時(shí)「(x)〈0,

在(一8,—2)和(0,+應(yīng)上f(x)是減函數(shù),排除B、C、D.

答案：A.

詳解：?.?y=/+ax,

又，:函數(shù)丁="+"》有大于零的極值點(diǎn)，即方程''="=°有大于零的解,

即。=一/(x>0).；x>0時(shí)，-e'<一1,二”T.

答案：見(jiàn)詳解.

詳解:(l)xeD=x>0且2x2—3(l+a)x+6a>0.

令h(x)=2x2—3(1+a)x+6a,

△=9(1+a)2-48a=3(3a-l)(a-3).

①當(dāng)g<a<l時(shí)，A<0,/.VxreR,h(x)X),QB=R.于是D=AClB=A=(0,+oo).

②當(dāng)a=g時(shí)，△=(),此時(shí)方程h(x)=0有唯一解，

+3(1+；)

xl=x2=-------------=-----------=1,??B=(-8,1)U(1,+oo).

于是D=ArB=(0,l)U(l,+oo).

③當(dāng)a<§時(shí)，A>0,此時(shí)方程h(x)=O有兩個(gè)不同的解

3+3a-J、3+32+^\/~

x2=4

Vxl<x2Mx2>0,/.B=(—oo,xl)U(x2,+oo).又,.?xl>0Qa>0,所以

i)當(dāng)0<a<1時(shí)，D=AAB=(0,xl)U(x2,+oo)；

ii)當(dāng)a<0時(shí)，D=(x2,+oo).

(2)f4(x)=6x2—6(1+a)x+6a=6(x—l)(x—a).

當(dāng)a<l時(shí)，f(x)在R上的單調(diào)性如下表:

X(—8,a)a(a,l)1(1,+oo)

f'(x)+0—0+

f(x)極大值極小值

①當(dāng)上a<l時(shí)，D=(0,+oo).

由表可得，x=a為f(x)在D內(nèi)的極大值點(diǎn)，x=l為f(x)在D內(nèi)的極小值點(diǎn).

②當(dāng)a=g時(shí)，D=(OJ)U(1,+oo).

由表可得，x=W為f(x)在D內(nèi)的極大值點(diǎn).

③當(dāng)Ovag時(shí)，D=(0,xl)U(x2,+ooj.

3+3a-d——3+3a-{——16a2

=4=4

13+3a

>^[3+3a—(3—5a)]=2a>a且xl<-~<1,

3+3a+^\/二~3+3a+*\/二+二3+3a+-

44>4

=1,

/.aeD,l$D.

由表可得，x=a為f(x)在D內(nèi)的極大值點(diǎn).

④當(dāng)agO時(shí)，D=(x2,+8)且x2>l.由表可得，f(x)在D內(nèi)單調(diào)遞增.

因此f(x)在D內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn).

答案：(』)a=l；(2)5?

|x-I-ri—1

詳解：(l)f(x)的定義域?yàn)?一a,+oo).r(x)=l—-T-=一之一.

XIaX十a(chǎn)

由f，(x)=O,得x=l—a>—a.

當(dāng)x變化時(shí)，「(x),f(x)的變化情況如下表:

X(―a,l—a)1—a(1-a,+oo)

f'(x)—0+

f(x)極小值

因此，f(x)在x=l—a處取得最小值，故由題意f(l—a)=l-a=O,所以a=l.

(2)當(dāng)kWO時(shí)，取x=l,有f(l)=l—ln2>0,故kWO不合題意.

當(dāng)k>0時(shí);令g(x)=f(x)—kx2,即g(x)=x—ln(?x+l)—kx2.

g'(x)=^y_2kx=x［2kx1-----------.令g，(x)=0,得xl=0,x2=^j^>—1.

①當(dāng)W時(shí)，與苦柳，g，⑻<0在(0,+oo)上恒成立，因此g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，從

而對(duì)任意的xG［0,+8),總有g(shù)(x)Sg(O)=O,即f(x)Skx2在［0,+<?)上恒成立,故k弓符合題

意.

②當(dāng)OVkV；時(shí)，，5對(duì)于xW(0,\J),gl(x)>0,故g(x)在(0,、［卜)內(nèi)單調(diào)遞增,

因此當(dāng)取x0W(0,?2J)時(shí)'g(xO)>g(O)=O，即f(xO)Wkx0不成立，故(XkV^不合題意.

綜上，k的最小值為宗

答案：(l)a=l,b=0；(2)當(dāng)cW專(zhuān)時(shí)，f(x)在［―1,2］上的最大值為2：當(dāng)c>專(zhuān)時(shí)，f(x)在［―

1,2］上的最大值為cln2.

詳解：⑴當(dāng)x<l時(shí)，f'(x)=-3x2+2ax+b.因?yàn)楹瘮?shù)圖象在點(diǎn)(一2,f(—2))處的切線(xiàn)方程為

16x+y+20=0.所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,12),

-=8+4a—2b=12,

解得a=l,b=0.

f-=-12-4a+b=-16,

2

(2)由(1)得,當(dāng)x<l時(shí)，f(x)=-x3+x2,令f，(x)=-3x2+2x=0可得x=0或x=§,

f(x)在(一1,0)和(1,1)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

對(duì)于X<1部分：f(x)的最大值為max{—,f(1)j=f