高中數(shù)學周末復習習題

高中數(shù)學周末復習習題

I.已知離散型隨機變量X的分布列為

X0123

p84m1

27927

則X的數(shù)學期望七(X)=()

23_

A.—B.1c.D.2

32

2.某校高一學段開設了四門不同的數(shù)學類選修課，甲、乙兩位同學各自選擇其中一門，每位同學選擇每門

數(shù)學類選修課的可能性相同，則這兩位同學所選的課不同的概率為

A.±11B.±2C.AD.23

4234

3.下列命題中正確的是()

A.若pVq為真命題，則p/\g為真命題B.“必>0"是“回十包》2”的充要條件

ab

C.命題“r-3X+2=0,則X=1或X=2”的逆否命題為“若xWl或XW2,則/-3X+2W0”

D.命題p：3xGR,使得/+x?l〈O,則「P：VxGR,使得f+x-lX)

22

4.已知雙曲線C：匕----^―=/(a>0,b>0)?個焦點為F(2,0),且尸到雙曲線C的漸近線的距離

2,2

ab

為1,則雙曲線C的方程為()

33’44'

5.已知F為拋物線C：R=4y的焦點，y=L+l與C相交于4,B兩點，O為坐標原點，貝ljS"M8=()

2

A.^3.B.C.娓D.2A/5

55

22

6.已知雙曲線c：z——Ul(a>0,b>o)-O為坐標原點，過c的右頂點且垂直于X軸的直線交

a2b2

C的漸近線于A,B,過C的右焦點且垂直于X軸的直線交C的漸近線于M,N,若AOAB與△OMN的

面積之比為1：9,則雙曲線C的漸近線方程為()

A.y=±2xB.y=±2A/2XC.y=±2A/3XD.y=±8x

22

7.設Fi,乃是雙曲線C：------J=1(s>0,b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PFi|+|PF2|=4a,

2,2x

ab

且△PFi乃的最小內(nèi)角的正弦值為工，則C的離心率為（）

3

A.2B.3C.圾D.^3

8.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為I,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

A.32B.—C.16D.—

33

9.劉徽《九章算術?商功》中將底面為長方形，兩個三角面與底面垂直的四棱錐體叫做陽馬.如圖，是一

個陽馬的三視圖，則其外接球的體積為（）

A.料兀B.亞.冗C.3nD.4n

2

10.已知兩條不同的直線/,，”和兩個不同的平面a,p,有如下命題：

①若/ua,mca,/〃B，m//p,則a〃B；②若/ua,/〃0,aOp=m,則/〃m；

③若a_L0,/±p,則/ua.其中正確的命題個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

II.如圖，在所有棱長均為2的直三棱柱ABC-A山iG中，￡＞、E分別為BBi、ACi的中點，則異面直線

AD,CE所成角的余弦值為（）

A1RV5p14

A.—b.--------C.—nL）.—

2255

12.函數(shù)/（x）=ax+\nx（?GR）的圖象在點（1,/（1））處的切線在y軸上的截距為（）

A.eB.1C.-1D.0

13.（2-x3）（x+a）$的展開式的各項系數(shù)和為32,則該展開式中/的系數(shù)是（）

A.5B.10C.15D.20

14.（2^-^+1）8的展開式中爐的系數(shù)是（）

A.1288B.1280C.-1288D.-1280

15.某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務，要求是：任務A必須排在前三項執(zhí)行，且執(zhí)行任務

4之后需立即執(zhí)行任務E,任務B、任務C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有（）

A.36種B.44種C.48種D.54種

16.某公司培訓員工某項技能，培訓有如下兩種方式，方式一：周一到周五每天培訓1小時，周日測試;

方式二：周六一天培訓4小時，周日測試.公司有多個班組，每個班組60人，現(xiàn)任選兩組（記為甲組、

乙組）先培訓，甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培訓后測試達標的人數(shù)如下表，其中第一、

二周達標的員工評為優(yōu)秀.

第一周第二周第三周第四周

甲組2025105

乙組8162016

（1）在甲組內(nèi)任選兩人，求恰有一人優(yōu)秀的概率；

（2）每個員工技能測試是否達標相互獨立，以頻率作為概率.

（/）設公司員工在方式一、二下的受訓時間分別為牛、求牛、身的分布列，若選平均受訓時間少的,

則公司應選哪種培訓方式？

（//）按（i）中所選方式從公司任選兩人，求恰有一人優(yōu)秀的概率.

17.某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購進該批產(chǎn)品前先取出3箱，再從每箱中任意出取2件產(chǎn)品

進行檢驗.設取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品.

（1）用f表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求己的分布列及《的數(shù)學期望；

（2）若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品被用戶拒

絕的概率.

18.在平面直角坐標系X。），中，直線/的參數(shù)方程為［x=3+tc°s。（f為參數(shù)），在以坐標原點為極點,

（y=2+tsin中

X軸的正半軸為極軸的極坐標系中，圓。的方程為p=4cos。.

（1）求/的普通方程和圓。的直角坐標方程：

（2）當（PW（0,7T）時，/與C相交于P,。兩點，求IPQI的最小值.

22

19.過點P(l,2)的橢圓C：=+X^i(a>b>0)，其離心率

2a2b22

(1)求橢圓C的方程；

(2)若過橢圓C的右焦點F的直線/與橢圓C交于兩點A(xi,yi),B(必y2),且與y軸交于一點

M(不是原點)，贏二XjAF,MB=X2而，證明：入i+入2為定值一

20.如圖，四棱錐P-A8CO的底面是矩形，側面RW是正三角形，且側面以。1底面ABC。，E為側棱

PD的中點.

(1)求證：PB〃平面E4C；

(2)若AO=AB,試求二面角4-PC-。的正切值.

21.已知函數(shù)/(x)=xex-2ax+a.

(I)當。=4時，求/(X)在(1,/(D)處的切線方程；

(II)設g(x)=2er-ax2,若〃(x)=f(x)-g(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

2019年03月27日136****9374的高中數(shù)學組卷

參考答案與試題解析

一.選擇題(共15小題)

1.已知離散型隨機變量X的分布列為

X0123

P84_m1

27927

則X的數(shù)學期望E(X)=()

A.2B.1C.世D.2

32

【解答】解：由題意可得：_L+&+〃?+L=i.

27927

可得加=2.

9

E(X)=0X-^-+lX-1-+2X-1-+3X^-=l-

z?yyz?

故選：B.

2.某校高一學段開設了四門不同的數(shù)學類選修課，甲、乙兩位同學各自選擇其中一門，每

位同學選擇每門數(shù)學類選修課的可能性相同，則這兩位同學所選的課不同的概率為

()

A.工B.2C.ZD.之

4234

【解答】解：某校高一學段開設了四門不同的數(shù)學類選修課，

甲、乙兩位同學各自選擇其中一門，每位同學選擇每門數(shù)學類選修課的可能性相同，

基本事件總數(shù)〃=4義4=16,

這兩位同學所選的課不同包含的基本事件個數(shù)加=4X3=12,

...這兩位同學所選的課不同的概率為〃=叫二2='.

n164

故選：D.

3.下列命題中正確的是()

A.若pVq為真命題，則p/\q為真命題

B.“必＞0”是“互增32”的充要條件

C.命題-3X+2=0,則X=1或X=2”的逆否命題為“若xWl或XW2,則/-3X+2

wo”

D.命題p：SAGR,使得/+x-l<0,則「p：Vx€R,使得/+x-l>0

【解答】解：A.當p真“假時，滿足pV夕為真命題，但pAq為假命題，故A錯誤.

B.當時，且>0,卜>0,

ba

則目+b》2、但.k=2,成立，即充分性成立

baVba

若2+卜之2,?.?且，與k同號，則旦>0,卜>0,即帥>0成立，即必要性成立，

bababa

則“H>0”是“旦哈〉2”的充要條件，故B正確，

C.命題-3x+2=0,貝！|x=l或x=2”的逆否命題為“若且x#2,則x2-3x+2

WO"，故C錯誤，

D.命題的否定「p：：VxeR,使得/+x-120,故。錯誤，

故選:B.

22

4.己知雙曲線C：Ca>0,b>0)一個焦點為F(2,0),且尸到雙曲線C的

2,2

ab

漸近線的距離為1,則雙曲線C的方程為()

2222

2

A.JC2-^――1B.^__丫2=1C.x-^――1D.—---丫2=1

33y44y

【解答】解：根據(jù)題意，要求雙曲線C的中心為原點，點F(2,0)是雙曲線C的一個

焦點，

即雙曲線的焦點在x軸上，且c=2,

22,

設雙曲線C：工-=/(67>0,/?>0)其漸近線方程為了=土旦r,即砂土fex=0,

_2L2A

若點F到漸近線的距離為1,則有有-丁生一=1,

解可得匕=1,

則a2=c2-廿=3,

2.

則要求雙曲線的方程為：。-『=］；

3

故選：B.

5.已知尸為拋物線C：7=4)，的焦點，直線y=L+l與曲線。相交于A,B兩點,。為坐

2

標原點，則SACMB=()

A.2疾B.c.V5D.275

55

【解答】解：拋物線C：/=4y的焦點（0,1）,設A（XI,yi）,B（X2,"）,

二尸且傾斜角為60°的直線）=上+1,

y——-x+]

，整理得：x2-2x-4=0,

x2=4y

由韋達定理可知：XI+X2—2,yi+*=3

由拋物線的性質可知：|AB|=p+yi+戶=2+3=5,

點。到直線y=L+l的距離d,d=_^.

-2a

...則△Q4B的面積S,S=L?|AB|,d=遂.

2

故選：C.

22

6.已知雙曲線C：--Jl（a>0,b>0），。為坐標原點，過C的右頂點且垂直于x

a2b2

軸的直線交C的漸近線于A,B,過C的右焦點且垂直于x軸的直線交C的漸近線于M,

N,若△OAB與△OMN的面積之比為1：9,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=±2xB.y=±2亞xC.y=±2V3xD.y=±8x

【解答】解：由三角形的面積比等于相似比的平方，

12

則L=J_,

92

PC

2,,2

?a+b=9

2—一，

a

?也=2加，

a

???C的漸近線方程為y=±2心，

故選：B.

22

7.設為，放是雙曲線C：1--J=i（s>0">0）的兩個焦點，P是。上一點，若|尸乃|+|以切

212x

ab

=4”，且△PQF'2的最小內(nèi)角的正弦值為工，則C的離心率為（）

3

A.2B.3C.^2D.A/3

【解答】解：因為F1、放是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上一點，且滿足|PFI|+|PF2|

=4。，

不妨設P是雙曲線右支上的一點，由雙曲線的定義可知|PFi|-|PF2|=2a,

所以|Fi尸2|=2C,\PF\\=3a,\PF2\=a,

△尸尸聲2的最小內(nèi)角的正弦值為工，其余弦值為工返，

33

由余弦定理，可得|PF2|2=|FIF2|2+|PFI|2_2|FIF2||PFI|COSZPFIF2,

即672=4c2+9a2-2X2cX3ax區(qū)但，

3

c2-2y[2ca+2a2—0,

即c=血”，

所以e———y12-

a

故選：C.

8.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體

的體積為（)

圭

A.32B-fC.16D鳴

【解答】解：由題意可知幾何體的直觀圖如圖：下部是三棱柱上部是三棱錐,

所以幾何體的體積為：yX2X2X2-4-XyX2X2X2=4f-

J4J

故選：D.

9.劉徽《九章算術?商功》中將底面為長方形，兩個三角面與底面垂直的四棱錐體叫做陽馬.如

圖，是一個陽馬的三視圖，則其外接球的體積為（）

正被用左視圖

A.料兀B.返兀C.3nD.4TC

2

【解答】解：由題意可知陽馬為四棱錐，且四棱錐的底面為長方體的一個底面,

四棱錐的高為長方體的一棱長，

且陽馬的外接球也是長方體的外接球；

由三視圖可知四棱錐的底面是邊長為1的正方形，四棱錐的高為1,

長方體的一個頂點處的三條棱長分別為1,1,1,

，長方體的對角線為

...外接球的半徑為通，

2

.?.外接球的體積為v=

故選：B.

10.已知兩條不同的直線/,07和兩個不同的平面a,B，有如下命題：

①若/ua,mca,/〃仇機〃口，則a〃供

②若/ua,/〃0,anp=/n,則/〃相；

③若/±p,則/ua.其中正確的命題個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：對于①，若/ua,znca,/〃0,則&〃0；①錯誤，還需/C/n=A,

故①正確，

對于②，若A=a,/〃0,aCB=〃?，由線面平行的性質定理得：/〃機；故②正確，

對于③,若a_L0,/±P，則/ua或/〃a,故③錯誤,

即正確的命題個數(shù)為1,

故選：B.

11.如圖，在所有棱長均為2的直三棱柱ABC-481cl中，力、E分別為8切、AiCi的中點,

則異面直線AD,CE所成角的余弦值為（）

A.1B.返D.A

2255

【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則有：A(0,-1,0),D(A/3-0,1),

C(0,1,0),E(0,0,2),

所以屈=(遂，1,1),CE=(O,-1,2),

設標，逐的夾角為。，

則cose=—".'E=工,

IADIICEI5

則異面直線AD,CE所成角的余弦值為工,

5

故選：C.

12.函數(shù)/(x)=ax+\nx(a€R)的圖象在點(1,/(I))處的切線在y軸上的截距為()

A.eB.1C.-1D.0

【解答】解：由/(x)=ax+\nx,得/(x)=a+—,

X

則/(1)=。+1,

又f(1)=a,

???函數(shù)f(x)=ox+lnr的圖象在點(1,/(I))處的切線方程為y-a=(〃+1)(x-1),

取x=0,可得y=-1.

???函數(shù)/(x)=〃x+lm的圖象在點(1,/(I))處的切線在y軸上的截距為-1.

故選：C.

13.(2-?)(x+a)5的展開式的各項系數(shù)和為32,則該展開式中d的系數(shù)是()

A.5B.10C.15D.20

【解答】解:,:(2-?)(x+a)5的展開式的各項系數(shù)和為32,則(2-1)(1+“)5=32,

該展開式中x4的系數(shù)是2?Q^a-1?Q^a4=]0a-5a4=5,

0u

故選：A.

14.（2/-x+l）8的展開式中/的系數(shù)是（）

A.1288B.1280C.-1288D.-1280

【解答】解：/可能是（-X）5,（廿）（-X）3,（2A2）2（-X）,（-X）5表示在8個式

子中5個選（-x）,其余3個選出1,系數(shù)為（-I）505?13=-56；（2?）（-x）3

表示在8個式子中1個選2?,其余7個中3個選（-x）,其余選1,系數(shù)為c%2?c3（-

87

1）374=-560；

（2?）3（-x）表示在8個式子中2個選2?,其余6個中一個選（-x）,其余選1,系

數(shù)為C『22?c；（-1）"5=-672,所以將（2，-x+l）8展開合并同類項之后的式子中

X5的系數(shù)是-56-560-672=-1288.

故選：C.

15.某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務，要求是：任務4必須排在前三項執(zhí)

行，且執(zhí)行任務A之后需立即執(zhí)行任務E,任務B、任務C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方

案共有（）

A.36種B.44種C.48種D.54種

【解答】解：根據(jù)題意，任務A必須排在前三項執(zhí)行，分3種情況討論：

①，任務A排在第一位，則E排在第二位，將剩下的2項任務全排列，排好后有3個空

位，將&C安排在3個空位中，有A22A3?=12種不同的執(zhí)行方案，

②，任務A排在第二位，則E排在第三位，8c的安排方法有4XA2?=8種，將剩下的2

項任務全排列安排在剩下位置，有A2?=2種安排方法，則有8X2=16種安排方法，

③，任務A排在第三位，則￡排在第四位，BC的安排方法有4X42=8種，將剩下的2

項任務全排列安排在剩下位置，有42=2種安排方法，則有8X2=16種安排方法，

則不同的執(zhí)行方案共有12+16+16=44種；

故選：B.

二.解答題（共6小題）

16.某公司培訓員工某項技能，培訓有如下兩種方式，方式一：周一到周五每天培訓1小時,

周日測試：方式二：周六一天培訓4小時，周日測試.公司有多個班組，每個班組60人,

現(xiàn)任選兩組（記為甲組、乙組）先培訓，甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培

訓后測試達標的人數(shù)如下表，其中第一、二周達標的員工評為優(yōu)秀.

第一周第二周第三周第四周

甲組2025105

乙組8162016

（1）在甲組內(nèi)任選兩人，求恰有一人優(yōu)秀的概率；

（2）每個員工技能測試是否達標相互獨立，以頻率作為概率.

（/）設公司員工在方式一、二下的受訓時間分別為耳、己2,求日、《2的分布列，若選平

均受訓時間少的，則公司應選哪種培訓方式？

（/7）按（力中所選方式從公司任選兩人，求恰有一人優(yōu)秀的概率.

【解答】解：（1）甲組60人中有45人優(yōu)秀，任選兩人，

1?

CC一

45a5

A義

恰有一人優(yōu)秀的概率為2_4515_45

C-30X59~T18'

60

（3分）

口的分布列為

481226

P244

1515~315

E(g2)=4X得+8x-^+12X卜6X

/p>

(&)<￡■(已)，...公司應選培訓方式一.-------------

（9分）

（?）按培訓方式一，從公司任選一人，其優(yōu)秀的概率為

3下4

則從公司任選兩人，恰有一人優(yōu)秀的概率為片心會(T)q.------------

__________________(12分)

17.某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購進該批產(chǎn)品前先取出3箱，再從每箱中任意

出取2件產(chǎn)品進行檢驗.設取出的第一、二、三箱中分別有。件、1件、2件二等品，其

余為一等品.

(1)用*表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求t的分布列及J的數(shù)學期望；

(2)若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品，求這批

產(chǎn)品被用戶拒絕的概率.

【解答】解(1)由題意知抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)？=0,1,2,3

p/faC4c3189.C；C卜C；24

P(g=1)=-7+~7

P(g=0)=標?=而二而ciclci「2-50

55□Ob

c\cl-cCo15Co

?21

景P(&=2)=-^4T+~2

25霏c：Ct50提d5025

“□0□

???t的分布列為

0123

p924152

50505050

.飛的數(shù)學期望E⑴=oxg+ix卷+2X春+3X券L2

50505。50

(2):P(?=2)=生，P聶=3)=2,這兩個事件是互斥的

5050

,1,p2)=P(&=2)+P(&=3)^^17

50

x=3+tcos。c為參數(shù))，在以坐標

18.在平面直角坐標系xO)，中，直線/的參數(shù)方程為

y=2+tsin。

原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的方程為p=4cos。.

(1)求/的普通方程和圓C的直角坐標方程;

(2)當＜pe(0,n)時，/與C相交于P,。兩點，求|PQ|的最小值.

【解答】解：(1)由直線/的參數(shù)方程[x=3+tcos。G為參數(shù))，

[y=l+tsin。

消去參數(shù)心得(x-3)sin(p-(y-1)cos(p=0,

即直線/的普通方程為(sincp)x-(cos(p)y+cos(p-3sin(p=0.

由圓C的極坐標方程p=4cos0得p2-4pcos0=0(*).

'Pcos0—X

將J9代入（*）得，W+y2-4x=0.

,pJ/+yZ

即圓C的直角坐標方程為（X-2）2+y2=

4............................................................................................................（5分）

（2）將直線/的參數(shù)方程代入（%-2）2+y2=4,得尸+2（coscp+sincp）t-2=0.

設P，。兩點對應的參數(shù)分別為八，⑵

貝Ut\+t2=-2（cos<p+sin（p）,t\t2=-2.

???|PQI=Vi-切={+2=243+2sin@cos?=2V3+sin20，

V（pG（0,IT）,.'.2（p6（0,2n）,

.?.當（p=W2L.,即sin2<p=-1時，\PQ\取得最小值為

4

2A/2......................................................................（10分）

22

19.過點P（l,殳）的橢圓C：H+、i（a>b>0），其離心率

2a2b22

（1）求橢圓C的方程；

(2)若過橢圓C的右焦點尸的直線/與橢圓C交于兩點A(xi,yi),8(m，”)，且與

y軸交于一點M(不是原點)，贏=入|屈，MB=X2BF'證明：入i+入2為定值.

91

\+2-

a24b2

【解答】解：(1)解方程組1c1，解得a=2,b=M，

a2-b2=c2

橢圓c的方程是直+武=1.

43

(2)證明：F(1,0),由題意可知直線A8斜率存在且不為0,

設直線AB的方程為x=n?y+l,則M（0,-工），

ID

，MA=（xi，yi+—AF—（1-xi，-yi），MB=（&，y2+—）,BF—（1-X2，-y2）?

inm

VMA=XjAF,MB=入2而，

.?.y[+_L=-入iyi,y2+—=-入2y2,

IDID

.'.Ai-1----,Q=-1----,

my】my2

iiYi+y?

.?.入i+入2=-2---^=-2-—i——幺

my〔rny2107^2

（22

xy__

聯(lián)立方程組與-T,消去x得：⑶層+4）尸+6沖一9=0,

x=my+l

—6m—9

，yi+y2=————,y\y2=------,

3ID2+43ID2+4

.?.入1+入2=-2-%+-2=_2--3..

my1y2m-93

20.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側面以。是正三角形，且側面以底面ABCD,

E為側棱PD的中點.

（1）求證：PB〃平面EAC；

（2）若A￡>=A8,試求二面角A-PC-。的正切值.

【解答】解：（1）證明：如圖建立空間直角坐標系。-孫2,其中。為AQ的中點.設以

=AD=PD=a,AB=b,

則P（0,0,^3,a）,￡>（-且，0,0）,E（-且，0,縣a）,B（旦,b,0）,

22442

連接2。交AC于點凡則F（0,卜，0）.

EF=（且,且-返a）,PB=（—>b,-?z）=2茄

42422

???拜〃瓦，又EFu平面AEC,且平面AEC,

；.尸8〃平面EAC.

(2)設勿=AD=PO=A8=〃，

則P(0,0,旦a),A(且，0,0),C(-旦，a,0),D(-且，0,0).