高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)

第八講概率統(tǒng)計(jì)

【考點(diǎn)透視】

1.了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義.

2.了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率.

3.了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件

的概率.

4.會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率.

5.掌握離散型隨機(jī)變量的分布列.

6.掌握離散型隨機(jī)變量的期望與方差.

7.掌握抽樣方法與總體分布的估計(jì).

8.掌握正態(tài)分布與線性回歸.

【例題解析】

考點(diǎn)1.求等可能性事件、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率

解此類題目常應(yīng)用以下知識(shí)：

(1)等可能性事件(古典概型)的概率：尸5)=cwd(A)=,；

card{I}n

等可能事件概率的計(jì)算步驟：

①計(jì)算一次試驗(yàn)的基本事件總數(shù)n;

②設(shè)所求事件A,并計(jì)算事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)5;

③依公式P(A)=%求值；

n

④答，即給問(wèn)題一個(gè)明確的答復(fù).

(2)互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率：P(A+B)=P(A)+P(B);

特例：對(duì)立事件的概率：尸(A)+尸(幻=尸(A+解=1.

(3)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P(A?B)=P(A)?P(S);

特例：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率:B(k)=c：p*(l-pF.其中P為事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,此式為二項(xiàng)式［(1-P)+P］n

展開的第k+1項(xiàng).

(4)解決概率問(wèn)題要注意“四個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”：

①求概率的步驟是：

■等可能事件

第一步，確定事件性質(zhì)J互斥事件

"獨(dú)立事件

n次獨(dú)、工重復(fù)試驗(yàn)

即所給的問(wèn)題歸結(jié)為四類事件中的某一?種.

第二步，判斷事件的運(yùn)算［和事件

［積事件

1

即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件.

第三步，運(yùn)用公式等可能事件：P(A)=：求解

〈互斥事件：P(A+B)=P(A)+P(B)

獨(dú)立事件:P(AB)=P(A)P(B)

n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)—)=C：(1-…

第四步，答，即給提出的問(wèn)題有一個(gè)明確的答復(fù).

例1.在五個(gè)數(shù)字1,2,3,4,5中，若隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字，則剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率是

(結(jié)果用數(shù)值表示).

［考查目的］本題主要考查概率的概念利等可能性事件的概率求法.

［解答過(guò)程］0.3提示:p=G=_3_=A

C；5x4io'

~2~

例2.一個(gè)總體含有100個(gè)個(gè)體，以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則指定的某個(gè)個(gè)體被抽

到的概率為.

［考查目的］本題主要考查用樣本分析總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式，同時(shí)考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.

用頻率分布估計(jì)總體分布，同時(shí)考查數(shù)的區(qū)間497.5g~501.5的意義和概率的求法.

［解答過(guò)程］J-提示:P==

20,10020

例3從自動(dòng)打包機(jī)包裝的食鹽中，隨機(jī)抽取20袋，測(cè)得各袋的質(zhì)量分別為(單位：g)：

492496494495498497501502504496

497503506508507492496500501499

根據(jù)的原理，該自動(dòng)包裝機(jī)包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在497.5g~501.5g之間的概率約為.

［考查目的］本題主要考查用頻率分布估計(jì)總體分布，同時(shí)考查數(shù)的區(qū)間497.5g~501.5的意義和概率的求法.

［解答過(guò)程］在497.5g~501.5內(nèi)的數(shù)共有5個(gè)，而總數(shù)是20個(gè)，所以有』

204

點(diǎn)評(píng)：首先應(yīng)理解概率的定義，在確定給定區(qū)間的個(gè)體的數(shù)字時(shí)不要出現(xiàn)錯(cuò)誤.

例4.接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80.現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為.

(精確到0.01)

［考查目的］本題主要考查運(yùn)用組合、概率的基本知識(shí)和分類計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的能力，以及推理和運(yùn)算能力.

［解答提示］至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為信

5<?)-

?0.8(/?0.202+C；,0804.0.20+C/0.80=0.94.

故填0.94.

例5.右圖中有一個(gè)信號(hào)源和五個(gè)接收器.接收器與信號(hào)源在同一個(gè)串聯(lián)線路中時(shí)，就能

接收到信號(hào)，否則就不能接收到信號(hào).若將圖中左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組，

將右端的六個(gè)接線點(diǎn)也隨機(jī)地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個(gè)接線點(diǎn)用導(dǎo)線連接，則這五個(gè)接收器能同時(shí)

接收到信號(hào)的概率是

2

(A)±(B)±(C)±(D)1

45361515

［考查目的］本題主要考查運(yùn)用組合、概率知識(shí)，以及分步計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的能力，以及推理和運(yùn)算能力.

［解答提示］由題意，左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組有空G=i5種分法，同理右端的六個(gè)接線點(diǎn)也隨機(jī)地平

均分成三組有”也=15種分法；要五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號(hào)，則需五個(gè)接收器與信號(hào)源串聯(lián)在同一個(gè)線路中，

父

即五個(gè)接收器的一個(gè)全排列，再將排列后的第一個(gè)元素與信號(hào)源左端連接，最后一個(gè)元素與信號(hào)源右端連接，所以符

合條件的連接方式共有發(fā)=120種，所求的概率是P=U&=芻，所以選D.

22515

點(diǎn)評(píng)：本題要求學(xué)生能夠熟練運(yùn)用排列組合知識(shí)解決計(jì)數(shù)問(wèn)題，并進(jìn)一步求得概率問(wèn)題，其中隱含著平均分組問(wèn)題.

例6.從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二

等品”的概率尸(A)=0.96.

(1)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p；

(2)若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，求事件8：“取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率P(8).

［考查目的］本小題主要考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等的概率計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能

力.

［解答過(guò)程］(1)記&表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無(wú)二等品”，

A表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”.

則4,A互斥，且4=4+A，故

P(A)=p(4+AJ=p(4)+P(A)=(I-p)2+c；p(i-p)=1-p2.

于是0.96=1-pL

解得P1=0.2?p2--0.2(舍去).

(2)記綜表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無(wú)二等品”，則8=瓦.

若該批產(chǎn)品共100件，由(1)知其中二等品有100x0.2=20件，故316

P（B0）=

495

尸(8)=在——與)=1-尸(段)=1-黑316==17.9

例7.兩部不同的長(zhǎng)篇小說(shuō)各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本.將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌?，左?本恰

好都屬于同一部小說(shuō)的概率

是(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).

［考查目的］本題主要考查運(yùn)用排列和概率知識(shí)，以及分步計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的能力，以及推理和運(yùn)算能力.

［解答提示］從兩部不同的長(zhǎng)篇小說(shuō)8本書的排列方法有A；種，左邊4本恰好都屬于同一部小說(shuō)的的排列方法有

3

AjVAj種.所以，將符合條件的長(zhǎng)篇小說(shuō)任意地排成一排，左邊4本恰好都屬于同一部小說(shuō)的概率是

P=一二抬=X種.所以，填±.

483535

例8.甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙袋裝有2個(gè)紅球，n個(gè)白球.由甲，

乙兩袋中各任取2個(gè)球.

(1)若加3,求取到的4個(gè)球全是紅球的概率；(H)若取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為3,求n.

4

［考查目的］本題主要考查排列組合、概率等基本知識(shí)，同時(shí)考察邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

［標(biāo)準(zhǔn)解答］(錯(cuò)誤!未找到引用源。)記“取到的4個(gè)球全是紅球”為事件A.

p,..C；111

P(A)=—;---r=----=---.

C；C；61060

(錯(cuò)誤!未找到引用源。)記”取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球”為事件8,“取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球”為事件用，取

到的4個(gè)球全是白球”為事件.

由題意，得P(B)=I-3=L

44,

2

尸⑻”工42n

C：C2C;*3(〃+2)(w+l)'

c2c2n(n—l)

p(層)6(〃+2)(〃+l)'

V4Cw+2

所以，％8)=皎)+缺)=拓"+就就―

化簡(jiǎn)，得7"2-ll"-6=0,解得"=2,或"=_3(舍去)，

7

故71=2.

例9.某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購(gòu)買.根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用次性付款的概率是

0.6,經(jīng)銷一件該商品，若顧客采用一次性付款，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)200元；若顧客采用分期付款，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)250元.

(I)求3位購(gòu)買該商品的顧客中至少有1位采用一次性付款的概率；

(H)求3位顧客每人購(gòu)買1件該商品，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不超過(guò)650元的概率.

［考查目的］本小題主要考查相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等的概率計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)

算能力.

［解答過(guò)程］(I)記A表示事件：“3位顧客中至少1位采用一次性付款”，則,表示事件：“3位顧客中無(wú)人采用一次

性付款”.

P(A)=(1-0.6)2=0.064，P(A)=1-P(A)=1-0.064=0.936?

(II)記8表示事件：“3位顧客每人購(gòu)買1件該商品，商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不超過(guò)650元.

Bo表示事件：“購(gòu)買該商品的3位顧客中無(wú)人采用分期付款”.

月表示事件：“購(gòu)買該商品的3位顧客中恰有1位采用分期付款

4

則B=B0+Bt-

產(chǎn)(綜)=0.63=0.216'P(S,)=C］XO.62XO.4=0.432?

P(B)=P(B°+幻=P(B°)+P(4)=0.216+0.432=0.648.

例10.某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.

方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過(guò)；

方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過(guò).

假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別是a,h,C,且三門課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響.

(I)分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過(guò)的概率；

(II)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小.(說(shuō)明理由)

［考查目的］本題主要考查互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率和對(duì)立事件的概率，以及不等式等基本知識(shí)，同時(shí)考查邏輯思維能

力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

［標(biāo)準(zhǔn)解答］記該應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的事件分別為A,B,C,

則尸(A)=a,尸(B)=b,P(C)=c.

(1)應(yīng)聘者用方案一考試通過(guò)的概率

Pi=P(A.B.c)+P(A.B.C)+P(A.B.C)+P(A?B?C)

=axbx(i-c)+(1-a)xbxc+ax(l-b)xc+axbxc=ab+bc+ca-2abc.

應(yīng)聘者用方案二考試通過(guò)的概率

P2=LP(A-B)+LP(B?C)+1P(A-C)=lx(axb+bxc+cxa)=1(ab+bc+ca)

33333

(II)pi.p2=ab+bc+ca-2abc-l(ab+bc+ca)=2(ab+bc+ca-3abc)

33

’-1［3^(abc)2-3abc］=(1—Nabc)>0-

.：Pi2P2

例11.

某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回

答第一、二、三、四輪的問(wèn)題的概率分別為9、3、2、1,且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響.

5555

(I)求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率；

(H)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率.(注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示)

［考查目的］本小題主要考查相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算

能力.

［解答過(guò)程］(I)記"該選手能正確回答第i輪的問(wèn)題”的事件為4(』,234)，則尸(4)=5,P(4)TP(4)=|，P(4)=g，

5

,該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率舄=尸（444%）=尸（4）尸（為"（4）尸用）=±x3x2x9=2」.

5555625

（II）該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率

A=p（1+6+44無(wú)）=P（A）+P（AJM）+P（A）P（A,）嗝）=l+lx-+-x-x-=--

555555125

考點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的分布列

1.隨機(jī)變量及相關(guān)概念

①隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，這樣的變量叫做隨機(jī)變量，常用希肥字母&、n等表示.

②隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.

③隨機(jī)變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.

2.離散型隨機(jī)變量的分布列

①離散型隨機(jī)變量的分布列的概念和性質(zhì)

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量S可能取的值為x2,……，X,.,……，4取每一個(gè)值玉（i=1,2,……）的概率P

（J=々）=E，則稱下表.

??????

專X2Xi

P???p,???

Plp2

為隨機(jī)變量j的概率分布，簡(jiǎn)稱4的分布列.

由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下述兩個(gè)性質(zhì)：

（1）P,>0>z=1，2,??-;（2）耳+鳥+…=1.

②常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布列：

（1）二項(xiàng)分布

〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)§是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能的取值為0,1,2,…n,并且

Pk=p4=k）=C：P*q"*，其中0W"，q=\-p,隨機(jī)變量彳的分布列如下：

J01…k.??n

n.??

pCPWC'nP'q-'C；p『C：p"q。

稱這樣隨機(jī)變量/服從二項(xiàng)分布，記作g~B（",p），其中“、p為參數(shù)，并記：C：p*q"T=b（k;n,p）■

（2）幾何分布

在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)所作的試驗(yàn)的次數(shù)4是一個(gè)取值為正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量，?”表示

在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生.

隨機(jī)變量§的概率分布為：

自123???k???

6

.?????

PPqpq-pqjp

例12.

廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí),商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做

檢驗(yàn),以決定是否接收這批產(chǎn)品.

(I)若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8,從中任意取出4件進(jìn)行檢驗(yàn)，求至少有1件是合格的概率；

(II)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品中,其中有3件不合格,按合同規(guī)定該商家從中任取2件.都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都

合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品.否則拒收，求出該商家檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù)4的分布列及期望并求出該商家拒收這批產(chǎn)品

的概率.

［考查目的］本題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等的概率計(jì)算，考察隨機(jī)事件的分布列，數(shù)學(xué)期望等，考察運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

與方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

［解答過(guò)程］(I)記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗(yàn)，其中至少有1件是合格品”為事件A

用對(duì)立事件A來(lái)算，有p(A)=l-P(A)=l-0.24=0.9984

(IDg可能的取值為0,1,2.

P《=0)=冬=感，

v'%190

"-G-190

士=2)噌襦

012

136513

r

190190190

?八136,51c33

E^=0x---+lx---+2x---=

19019019010

記”商家任取2件產(chǎn)品檢驗(yàn)，都合格”為事件B,則商家拒收這批產(chǎn)品的概率

所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為3Z.

95

例13.

某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回

答第??、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為3、3、2,且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響.

555

(I)求該選手被淘汰的概率；

(II)該選手在選拔中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)記為求隨機(jī)變量4的分布列與數(shù)學(xué)期望.

7

（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）

［考查目的］本題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等的概率計(jì)算，考察隨機(jī)事件的分布列，數(shù)學(xué)期望等，考察運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

與方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

［解答過(guò)程］解法一：（I）記“該選手能正確回答第，?輪的問(wèn)題”的事件為4（i=l,23），則尸⑷P（A）=|，P（A3）=|>

該選手被淘汰的概率

p=p（無(wú)+4A2%）=P（Q+P（AJPW）+P（A）P（&）P（4）

142433101

=-4--x—+—x—x—=-

555555125

（II）J的可能值為1,23,p?=i）=p（Q=（,

——428

PC=2=9（4&）=P（A）P（AI=WF=石，

4312

,

p（^=3）=p（AA2）=m）/（^）=-x-=—?

的分布列為

123

2812

P

52525

解法二：（I）記”該選手能正確回答第，?輪的問(wèn)題”的事件為A,（i=l,23），則尸（4）=5&&）=|，尸（4）=|?

該選手被淘汰的概率P=I-尸（A|44）=I-P（4）P（4）P（A3）=I_&X3X2=%.

555125

（II）同解法一.

考點(diǎn)3離散型隨機(jī)變量的期望與方差

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差

⑴離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：￡€=>仍+為小+…；期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平.

⑵離散型隨機(jī)變量的方差：￡>g=（X1-EJ）2Pl+5-E§）2P2+…+（x“-Eg）2p,+…；

方差反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.

⑶基本性質(zhì)：E（ag+b）=aEg+b；D（a<^+b）=a2.

（4）若自?B（n,p）,則E4=np1,DJ=npq（這里q=1-p）;

如果隨機(jī)變量§服從兒何分布，p（&=k）=g（k,p），則E：=_L，D4=幺其中q=1-p.

PP2

例14.甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為八n,e和n的分布列如下:

e012n012

8

P613P532

101010101010

則比較兩名工人的技術(shù)水平的高低為.

思路啟迪：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動(dòng)情況，

即方差值的大小.

解答過(guò)程：工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)e的期望和方差分別為：

E^=Ox—+lx—+2x—=0.7?

101010

,61o3

DE=(0-0.7)2x—+(1-0.7)2x—+(2-0.7)2x—=0.891；

101010

工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)n的期望和方差分別為：

53,532

￡,,=0x—+lx—+2X—=0.7'D/7=(0-0.7)2X—+(l-0.7)2x—+(2-0.7)2x—=0.664

,101010101010

由Ee=En知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但De>Dn,可見(jiàn)乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.

小結(jié)：期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平；方差反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.

例15.

某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)&的分布列為

。12345

P0.40.20.20.10.1

商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款,

其利潤(rùn)為300元.〃表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn).

(I)求事件A：“購(gòu)買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)：

(II)求〃的分布列及期望

［考查目的］本小題主要考查概率利離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

［解答過(guò)程］(I)由A表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”.

知N表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款”

P(a=(1-04)2=0216,P(A)=1-P(N)=1-0.216=0.784.

(II)〃的可能取值為200元，250元，300元.

PS=200)==1)=04,

P⑦=250)=P記=2)+PC=3)=0.2+0.2=0.4,

P(〃=300)=1—尸(〃=200)-P⑦=250)=1-0.4-0.4=0.2.

〃的分布列為

9

n200250300

p0.40.40.2

Erj=200x0.4+250x0.4+300x0.2=240(元).

小結(jié)：離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.本題考查離散型隨機(jī)變量分布列和

數(shù)學(xué)期望等概念，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

例16.某班有48名學(xué)生，在一次考試中統(tǒng)計(jì)出平均分為70分，方差為75,后來(lái)發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績(jī)有誤，甲實(shí)得

80分卻記為50分，乙實(shí)得70分卻記為100分，更正后平均分和方差分別是

A.70,25B.70,50C.70,1.04D.65,25

解答過(guò)程：易得[沒(méi)有改變，x=70,

22222

而s2=-l[(X1+X2+-+50+100+-+X48)-48/]=75,

48

222222

s'=—[(X1+X2+-+80+70+-+X48)-481]

48

=—E(75X48+48x2-12500+11300)—4811

48

=75-U22=75—25=50

48

答案：B

考點(diǎn)4抽樣方法與總體分布的估計(jì)

抽樣方法

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N,如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的

概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.常用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.

2.系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí);可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個(gè)個(gè)

體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣(也稱為機(jī)械抽樣).

3.分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽

樣叫做分層抽樣.

總體分布的估計(jì)

由于總體分布通常不易知道，我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布，一般地，樣本容量越大，這種估計(jì)就越

精確.

總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布.

當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少時(shí)，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及相應(yīng)的頻率表示，幾何表示就是相應(yīng)的條

形圖.

當(dāng)總體中的個(gè)體取值在某個(gè)區(qū)間上時(shí)用頻率分布直方圖來(lái)表示相應(yīng)樣本的頻率分布.

總體密度曲線：當(dāng)樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線，即

總體密度曲線.

10

典型例題

例17.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5.現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，下

中A種型號(hào)產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量n=L

解答過(guò)程：A種型號(hào)的總體是2,則樣本容量n=16x3=80.

102

例18.一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)0,1,2,…，99,依編號(hào)順序平均分成10個(gè)小組，組號(hào)依次為1,2,3,…，

10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為加，那么在第女組中抽取的號(hào)碼個(gè)

位數(shù)字與機(jī)+4的個(gè)位數(shù)字相同，若"=6,則在第7組中抽取的號(hào)碼是.

解答過(guò)程：第K組的號(hào)碼為,依-1）10+1，…，（k-1）10+9,當(dāng)m=6時(shí)，第k組抽取的號(hào)的個(gè)位數(shù)字為m+k的個(gè)位數(shù)與

所以第7組中抽取的號(hào)碼的個(gè)位數(shù)字為3,所以抽取號(hào)碼為63.

例19.考查某校高三年級(jí)男生的身高，隨機(jī)抽取40名高三男生，實(shí)測(cè)身高數(shù)據(jù)（單位：cm）如下：

171163163166166168168160168165

171169167169151168170160168174

165168174159167156157164169180

176157162161158164163163167161

⑴作出頻率分布表；⑵畫出頻率分布直方圖.

思路啟迪：確定組距與組數(shù)是解決“總體中的個(gè)體取不同值較多”這類問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn).

解答過(guò)程：⑴最低身高為151,最高身高180,其差為180-151=29。確定組距為3,組數(shù)為10,列表如下:

驚率（?身屑（E》Ntt的本t，）

150.—i2.5165.5768.5n27.5

15J.5-156.5?2.51限5771.5615.0

1沐3739.3?10.0171.5-171.525.0

159.5?-162.35心174.5-177.S1t.5

152.5-165.3?20.0177.5-18a312.5

⑵頻率分布直方圖如下:

小結(jié)：合理、科學(xué)地確定組距和組數(shù)，才能準(zhǔn)確地制表及繪圖，這是用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的基本功.

估計(jì)總體分布的基本功。

考點(diǎn)5正態(tài)分布與線性回歸

1.正態(tài)分布的概念及主要性質(zhì)

（1）正態(tài)分布的概念

(")2

如果連續(xù)型隨機(jī)變量g的概率密度函數(shù)為f(x)=—f^=e，xeR其中外〃為常數(shù)，并且。＞0,則稱J服從

，2和

正態(tài)分布，記為4~N（〃，er2）.

11

(2)期望Ej=N,方連=

(3)正態(tài)分布的性質(zhì)

正態(tài)曲線具有下列性質(zhì)：

①曲線在X軸上方，并且關(guān)于直線x=u對(duì)稱.

②曲線在X=N時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低.

③曲線的對(duì)稱軸位置由U確定；曲線的形狀由。確定，CT越大，曲線越“矮胖”；反之越“高瘦”.

(4)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

當(dāng)〃=0,0=1時(shí)g服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，記作(0,1)

(5)兩個(gè)重要的公式

①。(-x)=1-0(x),②P(a<^<b)="(b)—0(a).

(6)NGu,/)與N(0,1)二者聯(lián)系.

①若4~，貝％=N(o』)；

a

②若。~N(〃,，)，則P(a<^<b)=。(空與-。二二4?

aa

2.線性回歸

簡(jiǎn)單的說(shuō)，線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.

變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定的函數(shù)關(guān)系.不確定性的兩個(gè)變量之間往往仍

有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計(jì)方法.它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式.

具體說(shuō)來(lái)，對(duì)n個(gè)樣本數(shù)據(jù)(占,)‘,)，(x2；>2),(x”,y,)，其回歸直線方程，或經(jīng)驗(yàn)公式為：$=云+或其中

「鏟—只，其中工分分別為1訃舊|的平均數(shù).

⑴2

1=1

例20.如果隨機(jī)變量￡?N(〃，M),且Ef=3,Df=1,則尸(一1<SW1=等于()

A.20(1)-1B.0(4)-①(2)

C.0(2)-0(4)D.0(-4)-O(-2)

解答過(guò)程：對(duì)正態(tài)分布，H=E8=3,。2=。§=1,故尸(一1<=。(1—3)一。(-1-3)=。(-2)一。(一

4)=(P(4)一①(2).

答案：B

例21.將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器設(shè)定在d℃,液體的溫度f(wàn)(單位：℃)是一-個(gè)隨機(jī)變

量，且SNCd,0.52).

(1)若d=90°,則f<89的概率為；

(2)若要保持液體的溫度至少為80°C的概率不低于0.99,則d至少是?(其中若"?N(0,1),則0(2)

=P(77<2)=0,9772,①(-2.327)=P(〃〈一2.327)=0.01).

12

思路啟迪：(1)要求尸(f<89)=F(89),

?:《?N(d,0.5)不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而給出的是0(2),①(-2.327),故需轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)值.

(2)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的數(shù)值求概率p,再利用pN0.99,解d.

解答過(guò)程：(1)P(￡<89)=F(89)=0(89-90)(-2)=1-0(2)=1-0.9772=0,0228.

0.5

(2)由已知d滿足0.99W尸(￡280),

即1-P(f<80)>1-0.01,：.P(fv80)<0.01.

:.①(80-J)W0.01=。(-2.327).

0.5

.-.80-rf<-2.327.

0.5

，dW81.1635.

故d至少為81.1635.

小結(jié)：(1)若f?N(0,1),則〃=J?N(0,1).(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，x<0時(shí)，f(x)

<7

為增函數(shù)，%>0時(shí);f(x)為減函數(shù).

例22.設(shè)X~N(M02)，且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為：小).1J"xeR.

2&

(1)則U,。是;(2)貝JIp(lx-lkVI)及p(i-&<x<i+2后)的O.

思路啟迪：根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)照已知函數(shù)求出U和。.利用一般正態(tài)總體NT，/)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N

(0,1)概率間的關(guān)系，將一?般正態(tài)總體劃歸為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體來(lái)解決.

,x2-2.r+l1(XT-—

解答過(guò)程：(D由于/(幻=,I?一一「=___!___e2(&9，根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達(dá)形式，可知口=1，0=6,故*~

yflTV

N(1,2).

(2)尸(Ix-ll<72)=P(1-V2<x<l+V2)

1+

=F(1+V2)-F(1-V2)=^(^1—

12yj2,

=。⑴-。(-1)

=2。⑴-1=2x0.8413-1=0.6826■

Xp(l-V2<x<1+272)=F(1+2V2)-F(1-V2)

“1+2收一1、,1-V2-11c,、

=0(---忑--)-M—忑-)=4(2-猴-1)

=。(2)+。⑴-1=0.9772+0.8413-1=0.8185

小結(jié)：通過(guò)本例可以看出一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).

例23.公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子的身高e?

N(173,7)(單位：cm),則車門應(yīng)設(shè)計(jì)的高度是(精確到1cm)?

思路啟迪：由題意可知，求的是車門的最低高度，可設(shè)其為xcm,使其總體在不低于x的概率小于1%.

13

解答過(guò)程：設(shè)該地區(qū)公共汽車車門的最低高度應(yīng)設(shè)為xcm,由題意，需使p（e

?N（173,7）,.??%￡vx）=°（t!Z2）>099。查表得上1”>233,解得X>179.16,即公共汽車門的高度至少應(yīng)

V7"

設(shè)計(jì)為180cm,可確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞.

【專題訓(xùn)練】

一.選擇題

1.下面關(guān)于離散型隨機(jī)變量的期望與方差的結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映隨機(jī)變量取值集中與離散的程度.

B.期望與方差都是一個(gè)數(shù)值，它們不隨試驗(yàn)的結(jié)果而變化

C.方差是一個(gè)非負(fù)數(shù)

D.期望是區(qū)間［0,1］上的一個(gè)數(shù).

2.要了解一批產(chǎn)品的質(zhì)量，從中抽取200個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，則這200個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量是（）

A.總體B.總體的一個(gè)樣本C.個(gè)體D.樣本容量

3.已知〃的分布列為：

7-101

設(shè)4=3"-2則?！兜闹禐椋ǎ?/p>

P

A.5B.1C.D.-3236

33

4.設(shè)q~B（",p），Eg=12,。彳=4，則n,p的值分別為（）

A.18,1B.36,1C.Z,36D.18,2

3333

5.已知隨機(jī)變量4服從二項(xiàng)分布，A~B（63,則P&=2）等于（）

，3

A.AB.C,旦D.他

16243243243

6.設(shè)隨機(jī)變量的分布列為p（g=&）=3淇中k=1,2,3,4,5,則嗎<g<|）等于（）

A1B11

5-2-9-D.1

6

7.設(shè)15000件產(chǎn)品中有1000件廢品，從中抽取150件進(jìn)行檢查，則查得廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為（）

A.15B.10C.5D.都不對(duì)

8.某市政府在人大會(huì)上，要從農(nóng)業(yè)、工業(yè)、教育系統(tǒng)的代表中抽查對(duì)政府工作報(bào)告的意見(jiàn).為了更具有代表性，抽取應(yīng)采用

（）

A.抽簽法B.隨機(jī)數(shù)表法C.系統(tǒng)抽樣法D.分層抽樣

9.一臺(tái)X型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不需要人照看的概為0.8000,有四臺(tái)這種型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床各自獨(dú)立工作，則在一小時(shí)內(nèi)

至多有2臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概率是（）

A.0.1536B,0.1808C.0.5632D.0.9728

10.某校高三年級(jí)195名學(xué)生已編號(hào)為1,2,3,-195,為了解高三學(xué)生的飲食情況，要按1：5的比例抽取一個(gè)樣本，若

14

采用系統(tǒng)抽樣方法進(jìn)行抽取，其中抽取3名學(xué)生的編號(hào)可能是（）

A.3,24,33B.31,47,147C.133,153,193D.102,132,159

11.同時(shí)拋擲4枚均勻硬幣80次，設(shè)4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上,2枚反面向上的次數(shù)為則J的數(shù)學(xué)期望是（）

A.20B.25C.30D.40

12.已知N（0Q2）,且p（-2VJV0）=0.4,則P（g>2）等于（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

13.某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，

需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽

取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②.則完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是

A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法

C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法

14.某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用時(shí)間的數(shù)據(jù)，結(jié)

果用下面的條形圖表示，根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為（）

二.填空題

15.某工廠規(guī)定:工人只要生產(chǎn)出一件甲級(jí)產(chǎn)品發(fā)獎(jiǎng)金50元,生產(chǎn)出一件乙級(jí)產(chǎn)品發(fā)獎(jiǎng)金30元，若生產(chǎn)出一件次品則扣獎(jiǎng)金20

元,某工人生產(chǎn)甲級(jí)品的概率為0.6,乙級(jí)品的概率為0.3,次品的概率為0.1,則此人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均獎(jiǎng)金為