材料力學(xué)課件：彎曲內(nèi)力

第四章彎曲應(yīng)力2２、梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖1、對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖３、平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖一、彎曲內(nèi)力

3一、平面彎曲§4－１平面彎曲及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖1、彎曲:桿受垂直于軸線的力或力偶矩矢的作用時(shí),

軸

線

變

成了曲

線。3、工程實(shí)例2、梁：以彎曲變形為主的構(gòu)件通常稱為梁。橫向力∶垂直于軸線的力4彎曲變形動(dòng)畫(huà)演示56

對(duì)稱彎曲——外力作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，因而變形后梁的軸線(撓曲線)是在該縱對(duì)稱面內(nèi)的平面曲線。

非對(duì)稱彎曲——梁無(wú)縱對(duì)稱面或外力不作用在縱對(duì)稱面內(nèi)。

對(duì)稱彎曲時(shí)和特定條件下的非對(duì)稱彎曲時(shí)，梁的撓曲線與外力所在平面相重合，這種彎曲稱為平面彎曲。4、平面彎曲：8梁體特點(diǎn)∶梁的橫截面有縱向?qū)ΨQ軸，梁有縱向?qū)ΨQ面。MP2P1q縱向?qū)ΨQ面4、平面彎曲：9MP2P1q縱向?qū)ΨQ面變形特點(diǎn)∶彎曲變形后，彎曲的軸線仍和外力在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。受力特點(diǎn)∶外力、外力矩、支反力均在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。10簡(jiǎn)支梁二、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖

——包括支撐方式和受力形式。

NyRyRx懸臂梁m—分布力偶MRyMRy11超靜定梁外伸梁外伸梁NyRyRxNyRyRxN1yRyRxN2yMP12例1.:貯液罐如圖，罐長(zhǎng)L=5m，內(nèi)徑D=1m，壁厚t=10mm，鋼的密度為：7.8g/cm3，液體的密度為：1g/cm3,液面高0.8m，外伸端長(zhǎng)1m，試求貯液罐的計(jì)算簡(jiǎn)圖。解：1314§4－2梁的剪力和彎矩２、截面法求內(nèi)力：3、內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定:１、彎曲內(nèi)力:

剪力（FS

）彎矩（M）

、求支反力

、求內(nèi)力ＰACBabFS153、內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定:

、剪力FS:

順時(shí)針轉(zhuǎn)為正剪力；反之為負(fù)

、彎矩M：

上凹下凸形的為正FS>0FS<0M

≤0M

≥0或者：左上右下為正、

右上左下為負(fù)下凹上凸形的為負(fù)FS16例2。求下圖示梁1--1、2--2截面處的內(nèi)力。解：截面法求內(nèi)力∶

1--1截面處剪力、彎矩如圖（b）Q1、M1所設(shè)方向?yàn)檎捣较?，所得?fù)值表示實(shí)際方向與所設(shè)方向相反。圖（a）q

Lq1122baqLx1M1FS1

A圖（b)17FS2、M2的實(shí)際方向由X2決定。2--2截面處剪力、彎矩如圖（c）圖（a）q

Lq1122baq

LqbBx2M2FS2

圖（c)18剪力彎矩直接求法：1，自左向右進(jìn)行；2，向上的Pi

產(chǎn)生的剪力為正；向下的Pj

產(chǎn)生的剪力為負(fù)；3，向上的Pi

產(chǎn)生的彎矩為正；向下的Pj

產(chǎn)生的彎矩為負(fù)；4，順時(shí)針的外力矩的的彎矩為正；逆時(shí)針的彎矩為負(fù)。19

RAqaqaaBDCAqa2aRBqaqaaBDCAqa2a例3。求下圖示梁AB、BC、CD段的的內(nèi)力。FS1、M1FS2、M2FS3、M320例4：求下圖示梁任意截面處的內(nèi)力。解：求支反力

求x截面處的內(nèi)力qoABLqoABRARBx21qoABRARBx22§4－3剪力方程、彎矩方程、剪力圖和彎矩圖1、內(nèi)力方程：內(nèi)力與截面位置坐標(biāo)（x）間的函數(shù)關(guān)系式。2、剪力圖和彎矩圖：FS=FS(x)剪力方程FS=FS(x)的圖線表示剪力圖23例5：求下列各圖示梁的內(nèi)力方程并畫(huà)出內(nèi)力圖。解：求支反力

寫(xiě)內(nèi)力方程

依方程畫(huà)內(nèi)力圖PLPYOMOFS(x)M(x)xPFSxMxPL24解：寫(xiě)內(nèi)力方程

依方程畫(huà)內(nèi)力圖LFS(x)M(x)xFSx-q

L-qL2/2Mxq25解：求支反力

寫(xiě)內(nèi)力方程

依方程畫(huà)內(nèi)力圖x=L/43(qL2/8)/4LqqRARBFS(x)M(x)xFSx-q

L/2q

L/2qL2/8Mx26ACqaaaBDqa2qRBBDRDAC解：求支反力

分段寫(xiě)內(nèi)力方程FS(x)M(x)xFS(x)M(x)xqa2qRBBDRDAC

依方程畫(huà)內(nèi)力圖FSx-qa2/2-q

aqa2/4-3qa2/4Mx解：求支反力

內(nèi)力方程

依方程畫(huà)內(nèi)力圖q(x)q

oLABFSxqL2/6-qL2/3Mx29q(x)§4－4剪力、彎矩與載荷間的關(guān)系一、剪力、彎矩與分布力的關(guān)系對(duì)dx段進(jìn)行平衡分析，有：xd

x放大q(x)M(x)FS(x)dxAFS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)30q(x)M(x)FS(x)d

xAFS(x)+d

FS(x)M(x)+d

M(x)二、剪力、彎矩與外力間的關(guān)系1，自左向右進(jìn)行；2，無(wú)分布力(q=0)∶Q圖水平線，M圖斜直線；Q>0，M升；Q<0，M降。3，分布力常數(shù)q=C∶Q圖斜直線，M圖拋物線；

q↑>0∶Q向上斜，M帽形線；q↓<0∶Q向下斜，M碗形線。4，集中力P↓<0∶Q圖突變，突變值=P，M圖角點(diǎn)連續(xù)；

Q右=Q左-P，M右=M左。Q右

M右Q左

M左PQ右

M右Q左

M左M5，集中力矩M(逆時(shí)針)∶Q圖連續(xù)，M圖突變，突變值=M；

Q右=Q左，M右=M左-M以上只是線形，不是正負(fù)數(shù)值！二、剪力、彎矩與外力間的關(guān)系水平直線增函數(shù)(直線)增函數(shù)(直線)自左向右,突變與P同降函數(shù)(直線)盆狀曲線帽狀曲線降函數(shù)(直線)無(wú)變化FS

<0FS>0FS1FS2FS1-FS2=P自左向右,突變與M反自左向右,折向與P反向外力FSM無(wú)外力段均布載荷段集中力點(diǎn)集中力偶q=0q>0ccmccMxcMxMxMxMxMxc圖特征圖特征FSxFSxFSxFSxFSxFSxq<0PM1M2M1-M2=m33簡(jiǎn)易作圖法:2，利用內(nèi)力和外力的微分關(guān)系判定線形；1，計(jì)算特殊點(diǎn)的內(nèi)力值確定圖的起點(diǎn)或中間點(diǎn)或終點(diǎn)；3，計(jì)算特殊點(diǎn)的內(nèi)力值判定圖的正確性，是否封閉；341，梁的端點(diǎn)∶自由端、固定端、外伸端、中間鉸，等等；特殊點(diǎn):2，載荷的端點(diǎn)∶分布力的起終端、集中力(力矩)點(diǎn)，等等；3，梁的支座∶固定端、固定鉸，滾動(dòng)鉸、中間鉸，等等；4，內(nèi)力的特殊點(diǎn)∶FS=0的M有極值點(diǎn)，等等；計(jì)算法∶例6：用簡(jiǎn)易作圖法畫(huà)下列各圖示梁的內(nèi)力圖。解:1，特殊點(diǎn)內(nèi)力值∶自由端∶固定端∶A點(diǎn)∶2，線形∶q=0段，F(xiàn)S

水平線，M斜直線。q↑>0段，F(xiàn)S

向上斜，M為帽子形。3，作圖∶先作三點(diǎn)，再連線。qaAq

aa-q

aFSxMx-qa2-3qa2/236也可∶先作自由點(diǎn)，畫(huà)水平斜直線到A；再畫(huà)斜直拋物線到固定點(diǎn)。4，封閉檢查∶解：求支反力ACq

a2qaaaBDq

aRARDACq

a2qaaaBDq

aFSxMx-q

a/2q

a/2-q

a/2-qa2/2qa2/2-qa2/2-3qa2/838§4－5按疊加原理作剪力圖和彎矩圖※疊加原理：多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力

等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力的代數(shù)和。39※

對(duì)稱性與反對(duì)稱性的應(yīng)用：對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱載荷作用下∶FS

圖反對(duì)稱,M圖對(duì)稱;對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱載荷作用下∶FS

圖對(duì)稱,M圖反對(duì)稱.P1P2P1P2M1M2M11M21M12M22+==+M1=M11+M12M2=M21+M22=+例7按疊加原理作彎矩圖aaPqaaPaaqqa2/2Pa/2Pa/2qa2/2+M1x=+M2xMx0.5PFS2

xFS1xFSx-0.5P-P-0.5PLLPPL=+LLPLLPL0PLLPPL=+LLPLLPL0P-Pa/2Pa/2Pa/2PaM1x=+M2xMx43P=20kN1m1m1m1mABCDEq=30kN/m1mq1m1m1mABCDE=+P=20kNq=30kN/m1mq1m1m1mABCDEFS2

xFS1xFSx-3030-1010-30-10103044P=20kN1m1m1m1mABCDEq=30kN/m1mq1m1m1mABCDE=+P=20kNq=30kN/m1mq1m1m1mABCDEM1x=+M2xMx10-15-15-5解：求支反力ACq

L2qLLLBDq

LMxFSxqa/

2-qa/

2-3qa/

2qL2/23qL2/23qL2/213qL2/8①①②②②②②②①支反力求錯(cuò)，圖與之對(duì)應(yīng)，扣5分46②②②②②①①①47-0.5P-1.5P1.5P0.5P-0.5PaaqP=q

aaa/2ABCDFSx48aaqP=q

aaa/2ABCD-Pa0.25PaxM49改內(nèi)力圖之錯(cuò)Aaa2aqq

a2BFSxqa2/43qa2/4Mx約束力為思考：試指出圖示三根梁各自的剪力圖和彎矩圖中的錯(cuò)誤。qa2/2MxAaaaBqqaqqaqaqa2/2FSx51qa2/2Mxqaqaqa2FSx52q=2kN/m已知FS圖，求外載及M圖（梁上無(wú)集中力偶）。5kN1kNFSx2-31（kN）1m1m2mMx1k

N

m-1.25k

N

m-1k

N

m梁上有分布力偶，會(huì)怎樣？53FSx-10kN10kN20kNm10kN10kNm已知M圖，求外載及FS

圖54P圖（b）P圖（a）

例4－5-2獨(dú)輪車(chē)過(guò)跳板，若跳板支座B不動(dòng)，試從彎矩方面考慮支座A在什么位置（a=?）時(shí)，跳板受力最合理？設(shè)L、P為已知。

解：1、絕對(duì)值最大的彎矩越小越合理；2、各峰值彎矩的絕對(duì)值相等時(shí)合理。即A=L/5時(shí)，跳板受力最合理。PLaA獨(dú)輪車(chē)BM1M2-Pa55I.平面剛架——由同一平面內(nèi)不同取向的桿件相互間剛性連接的結(jié)構(gòu)。內(nèi)力：aBAPaCaDAPx1剪力、彎矩、軸力。(M:畫(huà)于側(cè)受拉)§4-3平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖PaPaBACM圖受力圖中M方向可任意畫(huà)56aBAPaCaDAPx1(M:畫(huà)于側(cè)受拉)BACPaPaM圖57FS58

作剛架內(nèi)力圖的方法和步驟與梁相同，但因剛架是由不同取向的桿件組成，習(xí)慣上按下列約定：彎矩圖，畫(huà)在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號(hào)；剪力圖及軸力圖，可畫(huà)在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫(huà)在剛架外側(cè)），但須注明正負(fù)號(hào)；剪力和軸力的正負(fù)號(hào)仍與前述規(guī)定相同。59F1aF1剛性結(jié)點(diǎn)內(nèi)力規(guī)律根據(jù)平衡條件B剛性結(jié)點(diǎn)B（B兩側(cè)取無(wú)限小段）無(wú)外力時(shí)有集