滬教版七年級數(shù)學(xué)下冊滿分沖刺卷專題08全等三角形(難點(diǎn))(原卷版+解析)

專題08全等三角形（難點(diǎn)）一、單選題1．下列說法中正確的是（

）A．兩個面積相等的圖形，一定是全等圖形 B．兩個等邊三角形是全等圖形C．兩個全等圖形的面積一定相等 D．若兩個圖形周長相等，則它們一定是全等圖形2．一塊三角形玻璃樣板不慎被小強(qiáng)同學(xué)碰破，成了四片完整四碎片（如圖所示），聰明的小強(qiáng)經(jīng)過仔細(xì)的考慮認(rèn)為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅畫一塊與以前一樣的玻璃樣板．你認(rèn)為下列四個答案中考慮最全面的是（

）.A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、2或2、3去就可以了 C．帶1、4或3、4去就可以了 D．帶1、4或2、4或3、4去均可3．如圖，已知∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，還需條件()A．AB＝AD，BC＝DE B．BC＝DE，AC＝AE C．∠B＝∠D，∠C＝∠E D．AC＝AE，AB＝AD4．在和中，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，能判斷這兩個三角形全等的條件有（

）A．①②④ B．①③⑤ C．④⑤ D．①③5．如圖，在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．如圖，，點(diǎn)B和點(diǎn)C是對應(yīng)頂點(diǎn)，，記，當(dāng)時，與之間的數(shù)量關(guān)系為（

）A． B． C． D．7．在和中，，，，，則這兩個三角形的關(guān)系是（

）A．不一定全等 B．不全等 C．根據(jù)“ASA”全等 D．根據(jù)“SAS”全等8．如圖所示，設(shè)甲、乙、丙、丁分別表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，則敘述正確的是（

）A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等9．如圖，將一根筆直的竹竿斜放在豎直墻角AOB中，初始位量為CD，當(dāng)一端C下滑至?xí)r，另一端D向右滑到，則下列說法正確的是（

）A．下滑過程中，始終有B．下滑過程中，始終有C．若，則下滑過程中，一定存在某個位置使得D．若，則下滑過程中，一定存在某個位置使得10．如圖1，已知AB=AC，D為∠BAC的平分線上一點(diǎn)，連接BD、CD；如圖2，已知AB=AC，D、E為∠BAC的平分線上兩點(diǎn)，連接BD、CD、BE、CE；如圖3，已知AB=AC，D、E、F為∠BAC的平分線上三點(diǎn)，連接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次規(guī)律，第n個圖形中全等三角形的對數(shù)是（

）A．n B．2n-1 C． D．3（n+1）二、填空題11．如圖是由6個邊長相等的正方形組合成的圖形，__．12．如圖所示，，，，，，則___________．13．如圖，小虎用10塊高度都是3cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為_____cm．14．如圖，，連結(jié)交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連結(jié)，，則圖中的全等三角形共有_________對．15．如圖．已知中，厘米，，厘米，D為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段上以2厘米/秒的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動．若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為a厘米/秒，則當(dāng)與全等時，a的值為______．16．在中，已知，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)O，的平分線交于F，則：（1）的度數(shù)是______．（2）若，，則的長是______．17．在和中，交于點(diǎn)D，連接，下列結(jié)論中：①；②；③；④；其中正確的是_____．18．如圖，正三角形△ABC和△CDE，A，C，E在同一直線上，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．成立的結(jié)論有_____．（填序號）三、解答題19．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AO平分∠BAC，交CD于點(diǎn)O，E為AB上一點(diǎn)，且AE=AC．（1）求證：△AOC≌△AOE；（2）求證：OE∥BC．20．如圖，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，E是邊AB上的一點(diǎn)，AE＝AC，F(xiàn)是邊AC上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE、CE、FE，當(dāng)EC平分∠DEF時，猜測EF、BC的位置關(guān)系，并說明理由．解：EF、BC的位置關(guān)系是．說理如下：因?yàn)锳D是∠BAC的角平分線（已知）所以∠1＝∠2在△AED和△ACD中，所以△AED≌△ACD（SAS）．得（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．（完成以下說理過程）21．如圖，在中，，，是邊上的中線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，求的面積．22．如圖，已知，，，當(dāng)不動，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，連接，交于點(diǎn)，試判斷與的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．23．如圖，分別是的邊上的高，且，．求證：(1)；(2)．24．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，，且，連，．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．25．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1所示位置時，求證：DE=AD-BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2、圖3所示位置時，補(bǔ)全圖形，并探索線段DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出答案）．26．已知：等邊△ABC邊長為3，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在射線AB、射線BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），將直線DE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到直線EF交直線AC于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC上時，說明BD+CF＝3的理由．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC的延長線上時，請判斷線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．(3)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時，線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系又如何？請?jiān)趥溆脠D中畫圖探究，并直接寫出線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系．27．問題提出，如圖（1），在和中，，，，點(diǎn)E在內(nèi)部，直線與交于點(diǎn)F，線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？問題探究(1)先將問題特殊化.如圖（2），當(dāng)點(diǎn)D，F(xiàn)重合時，直接寫出一個等式，表示之間的數(shù)量關(guān)系；(2)再探究一般情形.如圖（1），當(dāng)點(diǎn)D，F(xiàn)不重合時，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.問題拓展(3)如圖（3），在和中，，，，點(diǎn)E在內(nèi)部，直線與交于點(diǎn)F，直線與交于點(diǎn)G，點(diǎn)H為線段上一點(diǎn)，，與交于點(diǎn)I，若，，則___________（用含m，n的式子表示）專題08全等三角形（難點(diǎn)）一、單選題1．下列說法中正確的是（

）A．兩個面積相等的圖形，一定是全等圖形 B．兩個等邊三角形是全等圖形C．兩個全等圖形的面積一定相等 D．若兩個圖形周長相等，則它們一定是全等圖形【答案】C【分析】根據(jù)全等圖形的判定和性質(zhì)，對每個選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到答案．【解析】解：A、兩個面積相等的圖形不一定是全等圖形，故A錯誤；B、兩個等邊三角形不一定是全等圖形，故B錯誤；C、兩個全等圖形的面積一定相等，正確；D、若兩個圖形的周長相等，則它們不一定是全等形，故D錯誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記全等圖形的判定和性質(zhì)進(jìn)行判斷．2．一塊三角形玻璃樣板不慎被小強(qiáng)同學(xué)碰破，成了四片完整四碎片（如圖所示），聰明的小強(qiáng)經(jīng)過仔細(xì)的考慮認(rèn)為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅畫一塊與以前一樣的玻璃樣板．你認(rèn)為下列四個答案中考慮最全面的是（

）.A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、2或2、3去就可以了 C．帶1、4或3、4去就可以了 D．帶1、4或2、4或3、4去均可【答案】D【分析】②④雖沒有原三角形完整的邊，又沒有角，但延長可得出原三角形的形狀；帶①、④可以用“角邊角”確定三角形；帶③、④也可以用“角邊角”確定三角形．【解析】解：帶③、④可以用“角邊角”確定三角形，帶①、④可以用“角邊角”確定三角形，帶②④可以延長還原出原三角形，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形判定的應(yīng)用；確定一個三角形的大小、形狀，可以用全等三角形的幾種判定方法．做題時要根據(jù)實(shí)際問題找條件．3．如圖，已知∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，還需條件()A．AB＝AD，BC＝DE B．BC＝DE，AC＝AE C．∠B＝∠D，∠C＝∠E D．AC＝AE，AB＝AD【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法進(jìn)行分析即可.根據(jù)：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【解析】只有選項(xiàng)D.AC＝AE，AB＝AD，根據(jù)SAS，能使△ABC≌△ADE.其他是AAA、SSA,不能判定兩個三角形全等.故選D【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．4．在和中，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，能判斷這兩個三角形全等的條件有（

）A．①②④ B．①③⑤ C．④⑤ D．①③【答案】B【分析】依據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【解析】解：第①組滿足AAS，能證明△ABC≌△EFD．第②組不是兩角及一邊對應(yīng)相等，不能證明△ABC和△DEF全等．第③組滿足ASA，能證明△ABC≌△FDE．第④組只是SSA，不能證明△ABC≌△FED．第⑤組滿足AAS，能證明△ABC≌△DEF．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．5．如圖，在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長AD至點(diǎn)E，使得DE＝AD，可證△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得AE的取值范圍，從而得到的取值范圍．【解析】如圖，延長AD至點(diǎn)E，使得DE＝AD，∵是邊上的中線，∴，在△ABD和△CDE中，，∴△ABD△CDE（SAS），∴AB＝CE=5，AD＝DE，∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，∴4＜AE＜14，∴2＜AD＜7．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查倍長中線法解題，能夠做出輔助線證出三角形全等再結(jié)合三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．如圖，，點(diǎn)B和點(diǎn)C是對應(yīng)頂點(diǎn)，，記，當(dāng)時，與之間的數(shù)量關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=AC，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAO=∠CAD，然后求出∠BAC=α，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)表示出∠OBC，整理即可．【解析】∵，∴，∴，在中，∵，∴，∵，∴，∴，整理得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．在和中，，，，，則這兩個三角形的關(guān)系是（

）A．不一定全等 B．不全等 C．根據(jù)“ASA”全等 D．根據(jù)“SAS”全等【答案】D【分析】由角度數(shù)量關(guān)系與三角形內(nèi)角和定理可得，，由線段的數(shù)量關(guān)系可得，，進(jìn)而可證明三角形全等．【解析】解：∵，∴，∵①+②得②-①得∴在和中，∵∴故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定．解題的關(guān)鍵在于找出三角形全等的條件．8．如圖所示，設(shè)甲、乙、丙、丁分別表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，則敘述正確的是（

）A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等【答案】B【分析】根據(jù)題意即是判斷甲、乙是否全等，丙丁是否全等．運(yùn)用判定定理解答．【解析】解：∵∠ACB=CAD=70°，∠BAC=∠ACD=50°，AC為公共邊，∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等；△EHG中，∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG，雖∠EFG=∠EGH=70°，∠EGF=∠EHG=50°，∴△EFG不全等于△EGH，即丙、丁不全等．綜上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空間想象能力．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．找著∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG是正確解決本題的關(guān)鍵．9．如圖，將一根筆直的竹竿斜放在豎直墻角AOB中，初始位量為CD，當(dāng)一端C下滑至?xí)r，另一端D向右滑到，則下列說法正確的是（

）A．下滑過程中，始終有B．下滑過程中，始終有C．若，則下滑過程中，一定存在某個位置使得D．若，則下滑過程中，一定存在某個位置使得【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解析】將一根筆直的竹竿斜放在豎直墻角AOB中，初始位置為CD，當(dāng)一端C下滑至?xí)r，另端D向右滑到，當(dāng)△OCD與全等時，，A、下過程中，與不一定相等，說法錯誤；B、下滑過程中，當(dāng)△OCD與△ODC全等時，，說法錯誤；C、若OC＜OD，則下過程中，不存在某個位置使得，說法錯誤；D、若OC＞OD，則下過程中，當(dāng)△OCD與△ODC全等時，一定存在某個位置使得，說法正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等解答．10．如圖1，已知AB=AC，D為∠BAC的平分線上一點(diǎn)，連接BD、CD；如圖2，已知AB=AC，D、E為∠BAC的平分線上兩點(diǎn)，連接BD、CD、BE、CE；如圖3，已知AB=AC，D、E、F為∠BAC的平分線上三點(diǎn)，連接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次規(guī)律，第n個圖形中全等三角形的對數(shù)是（

）A．n B．2n-1 C． D．3（n+1）【答案】C【分析】根據(jù)條件可得圖1中△ABD≌△ACD有1對三角形全等；圖2中可證出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3對三角形全等；圖3中有6對三角形全等，根據(jù)數(shù)據(jù)可分析出第n個圖形中全等三角形的對數(shù)．【解析】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD與△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴圖1中有1對三角形全等；同理圖2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴圖2中有3對三角形全等；同理：圖3中有6對三角形全等；由此發(fā)現(xiàn)：第n個圖形中全等三角形的對數(shù)是．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定以及規(guī)律的歸納，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件證出圖形中有幾對三角形全等，然后尋找規(guī)律．二、填空題11．如圖是由6個邊長相等的正方形組合成的圖形，__．【答案】/【分析】根據(jù)已知先證明，得到，再根據(jù)求出結(jié)果．【解析】解：如圖，根據(jù)題意得，，，，為等腰直角三角形，，在和中，，∴，，，，．故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理并進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．12．如圖所示，，，，，，則___________．【答案】/56度【分析】根據(jù)，得出，即可證明，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得，最后利用可求解．【解析】解：，，，在和中，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，小虎用10塊高度都是3cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為_____cm．【答案】30【分析】根據(jù)題意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【解析】解：由題意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由題意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm，∴DE=DC+CE=30（cm），答：兩堵木墻之間的距離為30cm．故答案為：30．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．14．如圖，，連結(jié)交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連結(jié)，，則圖中的全等三角形共有_________對．【答案】6【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．【解析】解：解：在△ACB和ADB中，，∴△ACB≌ADB，∴∠CAB=∠DAB，∠CBA=∠DBA，∵AC＝AD，∠CAB=∠DAB，AF=AF∴△CAF≌△DAF，CF=DF，∵AC＝AD，∠CAB=∠DAB，AE=AE∴△ACE≌△ADE，CE=DE，∵BC＝BD，∠CBA=∠DBA，BE=BE∴△CBE≌△DBE，∵BC＝BD，∠CBA=∠DBA，BF=BF∴△FCB≌△FDB，∵CF=DF，CE=DE，EF=EF，∴△CEF≌△DEF，∴圖中全等的三角形有6對，圖中全等三角形有△ACB≌△ADB，△ACF≌△ADF，△ACE≌△ADE，△BCE≌△BDE，△BCF≌△BDF，△FCE≌△FDE，共6對，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了對全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．15．如圖．已知中，厘米，，厘米，D為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段上以2厘米/秒的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動．若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為a厘米/秒，則當(dāng)與全等時，a的值為______．【答案】2或3/3或2【分析】此題要分兩種情況：①當(dāng)BD=PC時，△BPD與△CQP全等，計(jì)算出BP的長，進(jìn)而可得運(yùn)動時間，然后再求a；②當(dāng)BD=CQ時，△BDP≌△CQP，計(jì)算出BP的長，進(jìn)而可得運(yùn)動時間，然后再求a．【解析】解：當(dāng)BD=PC時，△BPD與△CQP全等，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=AB=6cm，∵BD=PC，∴BP=8-6=2（cm），∵點(diǎn)P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，∴運(yùn)動時間時1s，∵△DBP≌△PCQ，∴BP=CQ=2cm，∴a=2÷1=2；當(dāng)BD=CQ時，△BDP≌△CQP，∵BD=6cm，PB=PC，∴QC=6cm，∵BC=8cm，∴BP=4cm，∴運(yùn)動時間為4÷2=2（s），∴a=6÷2=3（m/s），故答案為：2或3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是要分情況討論，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．16．在中，已知，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)O，的平分線交于F，則：（1）的度數(shù)是______．（2）若，，則的長是______．【答案】/60度9【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出的度數(shù)即可利用平角的定義求出的度數(shù)；（2）利用證明，得到，同理，利用線段和差關(guān)系得到即可得到答案．【解析】解：（1）∵在中，，∴，∵的平分線與的平分線相交于點(diǎn)O，∴，∴，∴，故答案為：；（2）∵平分，∴，又∵，∴，∴，同理，∵，，∴，即，∴，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，全等三角形的性質(zhì)與判定，線段的和差，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．17．在和中，交于點(diǎn)D，連接，下列結(jié)論中：①；②；③；④；其中正確的是_____．【答案】①②④【分析】由“”可證，由全等三角形的性質(zhì)依次判斷可求解．【解析】解：在和中，，∴，∴故②正確，∴，故①正確，∵，∴，故④正確，無法證明，故③錯誤，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，證明三角形全等是解題關(guān)鍵．18．如圖，正三角形△ABC和△CDE，A，C，E在同一直線上，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．成立的結(jié)論有_____．（填序號）【答案】①②③⑤【分析】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD＝BE；③由△ACD≌△BCE得∠CBE＝∠DAC，加之∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP＝BQ；故③正確；②根據(jù)③△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ＝60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC＝∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可知②正確；④根據(jù)∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④錯誤；⑤利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE＝∠DEO，于是∠AOB＝∠DAC+∠BEC＝∠BEC+∠DEO＝∠DEC＝60°，可知⑤正確．【解析】解：①∵等邊△ABC和等邊△DCE，∴BC＝AC，DE＝DC＝CE，∠DEC＝∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；故①正確；③∵△ACD≌△BCE（已證），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已證），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，在△ACP與△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ；故③正確；②∵△ACP≌△BCQ，∴PC＝QC，∴△PCQ是等邊三角形，∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE；故②正確；④∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，∴DE≠Q(mào)E，∴DP≠DE；故④錯誤；⑤∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°，∵等邊△DCE，∠EDC＝60°＝∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE＝∠DEO，∴∠AOB＝∠DAC+∠BEC＝∠BEC+∠DEO＝∠DEC＝60°．故⑤正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③⑤．故答案為：①②③⑤．【點(diǎn)睛】本題綜合考查等邊三角形判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)的運(yùn)用．要求學(xué)生具備運(yùn)用這些定理進(jìn)行推理的能力．三、解答題19．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AO平分∠BAC，交CD于點(diǎn)O，E為AB上一點(diǎn)，且AE=AC．（1）求證：△AOC≌△AOE；（2）求證：OE∥BC．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】試題分析：（1）由AO平分∠BAC，可得∠CAO=∠EAO結(jié)合AO=AO，AE=AC即可由“SAS”證得：△AOC≌△AOE；（2）由△AOC≌△AOE可得∠ACO=∠AEO，由∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，易得∠ACO+∠DCB=90°，∠AEO+∠EOD=90°，從而可得∠DCB=∠DOE，即可得到：OE∥BC.試題解析：（1）∵AO平分∠BAC，∴∠CAO=∠EAO．在△ACO和△AEO中：，∴△AOC≌△AOE．（2）∵△AOC≌△AOE，∴∠ACO=∠AEO，∵CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠ODE=∠ACB=90°，∴∠ACO+∠DCB=90°，∠AEO+∠EOD=90°，∴∠DCB=∠DOE，∴OE∥BC.20．如圖，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，E是邊AB上的一點(diǎn)，AE＝AC，F(xiàn)是邊AC上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE、CE、FE，當(dāng)EC平分∠DEF時，猜測EF、BC的位置關(guān)系，并說明理由．解：EF、BC的位置關(guān)系是．說理如下：因?yàn)锳D是∠BAC的角平分線（已知）所以∠1＝∠2在△AED和△ACD中，所以△AED≌△ACD（SAS）．得（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．（完成以下說理過程）【答案】EF∥BC；；DE＝DC；說理過程見解析．【分析】由AD是∠BAC的角平分線，可得∠1=∠2，利用SAS可證出△AED≌△ACD，從而得出DE=DC，所以∠3=∠4．結(jié)合EC平分∠DEF，可得出∠3=∠5．利用等量代換得∠4=∠5，即可得出EF∥BC．【解析】解：EF、BC的位置關(guān)系是EF∥BC．理由如下：如圖，∵AD是∠BAC的角平分線（已知）∴∠1＝∠2．在△AED和△ACD中，∴△AED≌△ACD（SAS）．∴DE＝DC（全等三角形的對應(yīng)邊相等），∴∠3＝∠4．∵EC平分∠DEF（已知），∴∠3＝∠5．∴∠4＝∠5．所以EF∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：EF∥BC；；DE＝DC；說理過程見解析．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出△AED≌△ACD．21．如圖，在中，，，是邊上的中線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)“”進(jìn)行證明即可；（2）先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得的長，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形面積公式求解即可．【解析】（1）證明：∵在中，，，∴，∴，又∵，∴，在和中，∵，∴；（2）解：∵是邊上的中線，∴，由（1）知，∴，

∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．如圖，已知，，，當(dāng)不動，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時，連接，交于點(diǎn)，試判斷與的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】，，證明見解析【分析】先利用定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得，從而可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，由此即可證出．【解析】解：，，證明如下：，，即，在和中，，，，，又，，，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23．如圖，分別是的邊上的高，且，．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意得，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明，然后證明，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）由可得，根據(jù)，可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而結(jié)論得證．【解析】（1）證明：由題意得，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴．（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識．解題的關(guān)鍵在于找出證明三角形全等的條件．24．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，，且，連，．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證明，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出，再根據(jù)即可得出答案．【解析】（1）證明：∵，∴，即，在和中，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．25．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1所示位置時，求證：DE=AD-BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2、圖3所示位置時，補(bǔ)全圖形，并探索線段DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出答案）．【答案】(1)見解析；(2)如圖2所示：DE=BE-AD；如圖3所示：DE=BE+AD【分析】（1）根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN，有∠ADC=∠CEB=90，在Rt△CEB中，∠CBE+∠BCE=90，又∠ACB=90°，則有∠ACD+∠BCE=90，即有∠CBE=∠ACD，結(jié)合，，可△ADC≌△CEB(AAS)，即可得DE=CE-CD=AD-BE；（2）按要求補(bǔ)全圖形，圖2、圖3的證明方法與（1）相同，均是通過證明△ADC≌△CEB(AAS)可得解．（1）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90，在Rt△CEB中，∠CBE+∠BCE=90，又∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC與△CEB中，，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CE-CD=AD-BE；（2）如圖2所示：DE=BE-AD；如圖3所示：DE=BE+AD，理由：如圖2，∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90，在Rt△CEB中，∠CBE+∠BCE=90，又∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC與△CEB中，，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CD-CE=BE-AD；圖3的證明方法與圖2相同，均是通過證明△ADC≌△CEB(AAS)來得到結(jié)論．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△ADC≌△CEB(AAS)是解答本題的關(guān)鍵．26．已知：等邊△ABC邊長為3，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在射線AB、射線BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），將直線DE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到直線EF交直線AC于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC上時，說明BD+CF＝3的理由．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC的延長線上時，請判斷線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．(3)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時，線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系又如何？請?jiān)趥溆脠D中畫圖探究，并直接寫出線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2