高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)、微積分測試題

導(dǎo)數(shù)、微積分

1、(2012德州二模)如圖，在邊長為兀的正方形內(nèi)的正弦曲線y=sinx與x軸圍成的區(qū)域

記為M(圖中陰影部分)，隨機往正方形內(nèi)投一個點P,則點P落在區(qū)域M內(nèi)的概率

是

答案：B一安1

解析：區(qū)域M的面積為：SM=/sinra=-cosx|j=2,而正方形的面積為S=/,所以,

2

所求概率為P=-y,選B。

2、(2012濟南三模)已知函數(shù)/G)=3尤2+2X+1,若//(無心=2/(。)(a>0)成立，

貝！Ja=.

答案：\

O

解析：因為「f(x)(&=「(3X2+2X+1)dx=(x3+x2+x)|-i=4,所以2(3a?+2a+l)=4

=>a=-1或a=§.

f尤2o<r<1

3、(2012萊蕪3月模擬)函數(shù)/(x)=一~的圖像與x軸所圍成的封閉圖形

2-x1<x<2

的面積為.

【答案】-

(解析】￡f(x)dx=[產(chǎn)2公+1(2—x)dx=gx]]+(2x一g/=g

1,1

4、(2012濟南三模)已知a、夕是三次函數(shù)/(x)=§d+5狽02+2"(a/ER)的兩個極

值點，且aw(0,1),夕e(l,2),則上口的取值范圍是()

a-2

222

A.(-00,—)B.(―,1)C.(l,+oo)D.(—00,—)^(1,+oo)

答案：B

解析：因為函數(shù)有兩個極值，則/'(無)=0有兩個不同的根，即A>0,又

/,(0)>02b>0

f'(x)-x2+ax+2b,又。e(0,1),/7e(1,2),所以有</'(1)<0即<1+a+2匕<0。

r⑵〉()4+2a+2b>0

b—3

——的幾何意義是指動點P(a,b)到定點A(2,3)兩點斜

a-2

率的取值范圍，做出可行域如圖，，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)

1-3

過AB時，斜率最小，此時斜率為A=------=

-3-2

經(jīng)過AD時，斜率最大，此時斜率為&=二0~-j3-

5、(2012臨沂3月模擬)函數(shù)/(x)=x3-x2+x+\在點(1,2)處的切線與函數(shù)g(x)=Y

圍成的圖形的面積等于：

4

【答案】一vvvvw.zxx&.ca??

3

【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為尸(x)=3--2x+l,所以/'(1)=3-2+1=2,即切線方程為

"2

V=X"

>—2=2(x—1),整理得y=2x。由解得交點坐標(biāo)為(0,0),(2,2),所以切線與函

y-2x

數(shù)g(x)=x2圍成的圖形的面積為］：(2無—/a=(/_；*=4_|。

6、(2012臨沂二模)已知。={(x,y)|0?x41,04y〈l},A是由直線y=0,

x=a（O<a?l）和曲線y=Y圍成的曲邊三角形區(qū)域，若向區(qū)域。匕隨機投一點，點落在

區(qū)域A內(nèi)的概率為1則。的值是

(B)-(C)-(D)-

842

【答案】D

【解析】區(qū)邊三角形的面積為虬=%4］：=卜4,區(qū)域C的面積為1,若向區(qū)域。

上隨機投一點，點落在區(qū)域A內(nèi)的概率=,，所以。4=上，所以a=L,選D.

464162

2

7、（2012青島二模）設(shè)。=f（1-3X2）^+4,則二項式（/+@）6展開式中不含丁項的系

數(shù)和是

A.-160B.160C.161D.-161

【答案】C

【解析】￡(l-3x2)i/x=(x-x3)|^=-6,所以a=—6+4=-2,?.項式為(一一2)

2

展開式的通項為幾1=C：（無2）6-*2）?,令12-3左=3,即女=3,所

X

以7；=C；%3（_2）3,所以/的系數(shù)為—23燥=—160,令X=l,得所有項的系數(shù)和為1,

所以不含V項的系數(shù)和為1—（—160）=161,選以

8、（2012青島二模）已知函數(shù)/（X）的定義域為［一1,5］,部分對應(yīng)值如下表，/（X）的導(dǎo)

函數(shù)y=/'（x）的圖象如圖所示.下列關(guān)于“X）的命題:

①函數(shù)〃x)的極大值點為0,4；

②函數(shù)/(力在［0,2］上是減函數(shù)；

③如果當(dāng)用時，/(x)的最大值是2,那么f的最大值為4；

④當(dāng)1<。<2時，函數(shù)y=/(x)-a有4個零點；

⑤函數(shù)y=/(x)—a的零點個數(shù)可能為0、1、2、3、4個.

其中正確命題的序號是.

【答案】①②⑤

【解析】由導(dǎo)數(shù)圖象可知，當(dāng)一l<x<0或2<x<4時，/'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<2或4<x<5,/'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x=0和x=4,函數(shù)取得極大值

/(0)=2,/(4)=2,當(dāng)x=2時，函數(shù)取得極小值，(2),所以①正確；②正確；因為在

當(dāng)x=0和x=4,函數(shù)取得極大值/(0)=2,/(4)=2,要使當(dāng)函數(shù)/(x)的

最大值是4,當(dāng)24f<5,所以/的最大值為5,所以③不正確；由，(無)=a知，因為極小

值/(2)未知，所以無法判斷函數(shù)y=/(x)-a有幾個零點，所以④不正確，根據(jù)函數(shù)的單

調(diào)性和極值，做出函數(shù)的圖象如圖,(線段只代表單調(diào)性),

根據(jù)題意函數(shù)的極小值不確定，分/(2)<1或1?/(2)<2兩種情況，由圖象知，函數(shù)

y=/(x)和y=a的交點個數(shù)有0,1,2,3,4等不同情形，所以⑤正確，綜上正確的命題序

號為①②⑤。

9、(2012青島3月模擬)直線y=2x+4與拋物線y=V+l所圍成封閉圖形的面積是

101603235

A.—Bn.—C.—D.—

3333

答案：C

【解析】聯(lián)立方程求得交點分別為(-1,2),(3,10).

所以陰影部分的面積為S=gx4x(2+10)-￡(/+1)右=2廣與=弓.

3

10、(2012日照5月模擬)如圖,由曲線y=sinx,直線不二萬少”舞1成的陰影部分

的面積是

(A)1

(B)2

(C)2V2

(D)3

答案：D

【解析】由定積分的幾何意義，陰影部分的面積等于

3N34江汗

￡sinAzir-J2sinAIZT=-cos+cos=3.(或3￡$^^^=-3cos=3)選D.

11、(2012泰安一模)已知。=卜,"卜上1,341},A是曲線y=f與>圍成的區(qū)

域，若向區(qū)域。上隨機投一點P,則點P落入?yún)^(qū)域A的概率為

1111

A.-B.-C.-D.—

34812

【答案】D

【解析】本題為幾何概率.區(qū)域。的面積為2x2=4.區(qū)域A的面積為

1

1o21?211弓]

[(x2-x2)dx=(-x2一一x3)k=-------=一，所以點P落入?yún)^(qū)域A的概率為尸=上=一，

J。3310333412

選D.

12>(2012濱州二模)已知函數(shù)f(x)=—x2,g(x)=elnxo

2

(I)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)—g(x),求F(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若存在常數(shù)k,m,使得f(x)2kx+m,對x￡R恒成立，且g(x)Wkx+m,

對xe(0,+8)恒成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”，試

問：f(x)與g(x)是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程，若不存在，

請說明理由。

解析：(I)由于函數(shù)f(x)=—x2,g(x)=elnx,

2

1

因此，F(xiàn)(x)=f(x)—g(x)=一廠?一elnx,

2

則尸(x)=x——=--------=-~上2~(0,+oo)，

XXX

當(dāng)0Vxe&時，F(xiàn)'(x)<0,所以F(x)在(0,4e)上是減函數(shù)；

當(dāng)x>及時，F(xiàn)\x)>0,所以F(x)在(&，+oo)上是增函數(shù)；

因此，函數(shù)F(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,&),單調(diào)增區(qū)間是(8,+oo)?

(II)由(I)可知，當(dāng)*=&時,F(x)取得最小值F(y/e)=0,

則f(x)與g(x)的圖象在x=&處有公共點(五，—)o

2

假設(shè)f(X)與g(X)存在“分界線”，則其必過點(五，1)o

故設(shè)其方程為：y_]=k(x_0即y="+]—左五，

由f(x)N"+且一%五對x￡R恒成立，

2

則d-2kx-e+2k&NU對x￡R恒成立，

所以，△=〃？-4(2k>/e-e)=4k2-Sk\/e+4e=e{k-4e)2WO成立，

因此k=&,“分界線”的方程為：y=^x--

2

下面證明g(x)〈小一片對x￡(0,+8)恒成立，

2

設(shè)G(x)=e\nx-x>/e+—f則G3=g-&二血(&

2xx

所以當(dāng)0<xV加時，G'(x)>0,當(dāng)x>&時，G'(x)<0,

當(dāng)*=&時，G(x)取得最大值0,則g(x)對xG(0,+8)恒成立，

2

故所求“分界線”的方程為：y=&x-3

2

13、(2012德州二模)設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx(x>0),g(x)=-x+2.

(I)求函數(shù)f(x)在點M(e,/(e))處的切線方程；

(H)設(shè)F(x)=ax2-(a+2)x+f\x){a>0),討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性；

(III)設(shè)函數(shù)H(x)=/(x)+g(x),是否同時存在實數(shù)m和M(機<M),使得對每一

個直線丁=『與曲線,="(幻*6己,。])都有公共點？若存在，求出最

小的實數(shù)m和最大的實數(shù)M；若不存在，說明理由。

解析：(D解：/(%)=lnx+l(x>0),則函數(shù)尸(幻在點M(e"(e))處的斜率為r(e)

=2,f(e)=e,所以，所求切線方程為y—e=2(x—e),即y=2x—e

(II)尸(x)=+-(a+2)x+lnx+l(%>0),

口“、cz-12ax2-(a+2)x+\(2x-l)(ar-l)

F(%)=2ar-(Q+2)+—=--------------=-------------(x>0,4Z>0),

XXX

令尸(%)=0,則*=—或一，

2a

①當(dāng)0VQV2,即！>工時，令/'(X)>0,解得OVxV，或x>，

a22a

令尸(x)V0,解得LvxV，

2a

所以，F(xiàn)(x)在(0,一),(一，+oo)上單調(diào)遞增，在(一，一)單調(diào)遞減。

2a2a

②當(dāng)a=2,即,="1時，尸(幻\0恒成立，

a2

所以，F(xiàn)(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增。

③當(dāng)。>2,即一<一時，

a2

所以，F(xiàn)(x)在(0,一)，(一，+oo)上單調(diào)遞增，在(一，一)單調(diào)遞減

a2a2

(III)H(x)=—x+24-xlnx,H,(x)=lnx,令”'(x)=0,則x=L

當(dāng)X在區(qū)間d,e)內(nèi)變化時，〃'(x),H(x)的變化情況如下表：

e

X1e

(-,1)(l,e)

ee

—0+

H\x)

2二單調(diào)遞減極小值1單調(diào)遞增2

H(x)

e

?1

又2--<2,所以函數(shù)H5)=(xw[-,可)的值域為[1，2]o

ee

J72=]I

據(jù)經(jīng)可得，若4—',則對每一個/直線y=t與曲線y="(x)(xe[—,e])

M-2e

都有公共點。

并且對每一個，e(T?,利)(M,+oo),直線y=f與曲線y="(x)(xe[Le])都沒有

e

公共點。

綜上，存在實數(shù)m=l和M=2,使得對每一個,直線y=t與曲線

y=//(jc)(xe[-,e])都有公共點。

e

14、(2012德州一模)己知函數(shù)=+

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)g(X)=f-2x+l,若對任意X|W(0,+8),總存在A2G[0,1],

使得求實數(shù)a的取值范圍.

解析：⑴/'(x)=a+L=^^(x>0)。

XX

①當(dāng)。20時，由于x>0,故ax+l>0,/(幻>0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,

+oo)。

②當(dāng)〃<()時，由尸(x)=0,得》=一,，在區(qū)間(0,-1)上，/(幻>0,

aa

在區(qū)間(一,，4-00)±,f\x)<0,

a

所以，當(dāng)。2()時，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+oo)o

當(dāng)4<0時，f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,--),f(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一工,+00)

aa

(H)由已知,轉(zhuǎn)化為了(幻儂*<g(X)2，又gCO1rax=g<0>=1

由(I)知，當(dāng)。上0時，f(x)在(0,+oo)遞增，值域為R,故不符合題意。

當(dāng)。<()時，f(x)在(0,--)遞增，在(一,，+oo)遞減，

aa

故f(X)的極大值即為最大值，/(--)=-1+ln(--)=-1-ln(-?),

aa

所以1>—1—In(—a),解得：a<-^-

15、(2012濟南3月模擬)已知函數(shù)F(x)=ax+lnx,其中。為常數(shù)，設(shè)e為自然對數(shù)的底

數(shù).

(1)當(dāng)用-1時，求/(x)的最大值；