高中數(shù)學(xué)向量-中檔難度題目

高中數(shù)學(xué)向量專題

一.選擇題（共27小題）

1.如圖，在平面四邊形ABCD中,AB±BC,AD±CD,ZBAD=120°,AB=AD=1.若

點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則標(biāo)?麗的最小值為（）

A-iB-7cftD-3

2.已知W，b.1是平面向量，彘單位向量.若非零向量W與彳的夾角為工，向

3

量由施足E2-4e?b+3=0,則.a-bl的最小值是（）

A.V3-1B.折1C.2D.2-73

3.已知點(diǎn)G是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足前+族+說=6，若NBAC=2L,AB*AC=11則

3

IMl的最小值是（）

A.返B.返C.￡D,返

3232

4.已知^ABC中，/Ah〉A(chǔ)B=AC=1,點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是AC邊上

的動(dòng)點(diǎn)，則而?而的最小值為（）

A.-4B.-2C.-1D.0

5.已知向量W，詼角為2L,Ibl=2,對(duì)任意XGR,有則ItE

3

-al+|tb-l|（teR）的最小值是（）

2_

A.B.AC.D.VZ

22T2

點(diǎn)D,E是線段BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且無+語(yǔ)x族；，則

6.如圖，在aABC中,+yAC

工法的最小值為（

Xy

D-f

7.已知aABC中,ZA=120°,且AB=3,AC=4,若薪=九屈+而，且疝1祝，貝U

實(shí)數(shù)人的值為（)

6D-f

8.已知之、己是兩個(gè)單位向量，那么下列命題中的真命題是（）

A.a=bB.a*b=OC.值毋|<1D-鏟幾?

9.已知：I丞|=1,I0B：=V3，丞?辰0,點(diǎn)C在NAOB內(nèi)，且友與丞的夾角為

30°,設(shè)正m亦n35(m,nGR),則期的值為()

n

A.2B.AC.3D.4

2

10.已知w，E為單位向量，且之_1石，向量力甫足兀-W-El=2,則的范圍為

()

A.[1,1+aB.[2-&,2+721C.[&，273D.[3-2&,3+2板

11.已知平面內(nèi)任意不共線三點(diǎn)A,B,C,則標(biāo),它+江,取+取?標(biāo)的值為（）

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)

C.0D.以上說法都有可能

13.在aABC中，0為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=4,則贏,（而+正）的最

小值是（）

A.-4B.-8C.-10D.-12

14.已知。是正方形ABCD的中心.若而=入屁+?標(biāo)，其中入，(1GR,則上=

()

A.B.-2C.-/^D.yf2

2

15.AABC所在平面上一點(diǎn)P滿足包+而+品筋，則aPAB的面積與4ABC的面

積比為（）

A.2：3B.1：3C.1：4D.1：6

16.在AABC中，若BC=8,BC邊上中線長(zhǎng)為3,則瓦?法()

A.-7B.7C.-28D.28

17.已知。是正^ABC的中心.?rco=XAB+I1AC?其中入，蚱R，則上-的值為

()

A._XB._XC._XD.2

432

18.設(shè)aABC的面積為S,若標(biāo)?正=1，tanA=2,則S=()

A.1B.2C.返D.工

55

19.已知向量w，E，W為平面向量，［!=芯=27?ML且3使得3-2^與3-己所

成夾角為2L,則的最大值為（）

3

A.5/3+1B.73C.1D.JV+1

20.已知。為4ABC內(nèi)一點(diǎn)，且有水+2誣+3左=1，記^ABC,ABCO,AACO

的面積分別為SI，S2,S3,則Si：S2：S3等于（）

A.3：2：IB.3：1：2C.6：1：2D.6：2：1

21.已知aABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則包,（而+同）

的最小值是（）

A.,XB.衛(wèi)C.-AD.-1

883

--

22.已知向量彳，E,Z滿足lal=2,bl=a*b=3,若(c2a)?(c-|b)

=0,則的最小值是（）

A.2-V3B.2+MC.1D.2

23.如圖，在^ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在AD上，且是aABC的重

心，則用向量存，正表示前為（）

c.立即《正口.正奈食正

24.設(shè)。是平面ABC內(nèi)一定點(diǎn)，P為平面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若

(PB-PC)-(05+00)=(PC-PA)?(0C+0A)=(PA-PB)-(0A+0B)=則。為^ABC

的()

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

25.已知平面向量W，b，3茜足Ia.=bl=lcl=l，若a，b=L則（2a+c）（b~C）

2

的最小值為（）

A.-2B.-A/3C.-1D.0

26.已知0是aABC內(nèi)部一點(diǎn)，且3而+2靛+西=3，則△OBC的面積與4ABC的

面積之比為（）

A.上B.1C.3D.2

22

27?已知向量立3滿足：日=1,(a-c)l(b-c),al(a-2b)^若

|b|X|L|c|的最大值和最小值分別為m,n,則m+n等于()

A.3B.返C.V37D-

222

二.填空題（共3小題）

28.已知直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZBAD=90°,ZADC=45°,AD=2,BC=1,P

是腰CD上的動(dòng)點(diǎn)，則3冠+而|的最小值為.

29.已知向量2(2,3),b=(m,-6),若之中則「春訃

30.已知在4ABC所在平面內(nèi)有兩點(diǎn)P、Q,滿足血+記=0，QA+QB+QC=BC-若

IAB=4,IACl=2,S"PQ=Z，則標(biāo)?正的值為.

3

2018年09月30日186****1015的高中數(shù)學(xué)組卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共27小題）

1.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB±BC,AD±CD,ZBAD=120°,AB=AD=1.若

點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則亞?箴的最小值為（）

A.生B.aC.空D.3

16216

【分析】如圖所示，以D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線

為y軸，求出A,B,C的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.

【解答】解：如圖所示，以D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，

以DC所在的直線為y軸，

過點(diǎn)B做BN_Lx軸，過點(diǎn)B做BM，y軸，

VAB±BC,AD±CD,ZBAD=120°,AB=AD=1,

，AN=ABCOS60°=L,BN=ABsin60°=后，

22

DN=1+—

22

BM=W,

2_

，CM=MBtan30°=返，

2

ADC=DM+MC=A/3，

AA(1,0),B(3,返)，C(0,?),

22

設(shè)E(0,m),

/.AE=(-1，m),BE=(->m-亞_),0WmW?，

22

AE*BE=—+m2-返m=(m-V2.)2+A-_J_=(m-zZ^.)2+2L,

224216416

當(dāng)m=運(yùn)時(shí)，取得最小值為z_.

416

2.已知W，K靛平面向量，彘單位向量.若非零向量W與％的夾角為工，向

3

量9茜足$-4e?b+3=0,則a-bl的最小值是（）

A.V3-1B.V3+IC.2D.2-73

【分析】把等式E2-4e?b+3=0變形，可得得（b-e）■（b-3e）=0，即（b-e）-L

（b-3e）.設(shè)％=（1,0），則E的終點(diǎn)在以（2,0）為圓心，以1為半徑的圓周上,

再由已知得到W的終點(diǎn)在不含端點(diǎn)。的兩條射線y=±病x（x>0）上，畫出圖形,

數(shù)形結(jié)合得答案.

【解答】解：由E,-4b+3=0,得（b-e）"（b-3e）=0，

（b-e）-L（b-3e）>

如圖，不妨設(shè)彳=（1,0），

則工的終點(diǎn)在以（2,0）為圓心，以1為半徑的圓周上，

又非零向量之與彳的夾角為工，則之的終點(diǎn)在不含端點(diǎn)0的兩條射線y=±V3x（x

3

>0）上.

不妨以y=J5x為例，則仁-豆的最小值是（2,0）到直線FxzO的距離減1.

故選：A.

3.已知點(diǎn)G是aABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足度+而+反='6，若NBAC=2L,AB*AC=1-則

3

I記I的最小值是（）

A.返B.返C.返D.返

3232

【分析】用標(biāo)，正表示出正，利用基本不等式得出IAB/+|AC」的最小值即可.

【解答】解：,?,點(diǎn)G是AABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足盛+福+而=6，；.G是AABC的重心,

AG=^（AB+AC）?

3

.*.7?2=—（冠+記+2薪?M）=!（|AB|2+|AC|2）+Z,

、999

VAB*AC=—iAB|?|AC|=l,/.AB-AC=2,

2

.\AB2+AC2^2AB?AC=4,

記“32

993

|AGl2返.

3

故選：C.

4.已知^ABC中，NA-＞，AB=AC=1,點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是AC邊上

的動(dòng)點(diǎn)，則而?日的最小值為()

A.-4B.-2C.-1D.0

【分析】根據(jù)題意，以A為原點(diǎn)，以AB所在對(duì)的直線為x軸，以AC所在的直

線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量

積即可求出

【解答】解：:△ABC中，/A工-，AB=AC=1,

以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸，建立如圖所

示的平面直角坐標(biāo)系，

貝UB(1,0),C(0,1)

設(shè)P的坐標(biāo)為(m,0)OWmWl,Q的坐標(biāo)為(0,n),OWnWl,

/.BQ=(-1，n),CP=(m,-1),

BQ*CP=-m-n=-(m+n)2-2,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=l時(shí)取等號(hào),

故而?而的最小值為-2,

5.已知向量W，詼角為工，Ibl=2,對(duì)任意XGR,有則血

3

-al+|tb-l|（teR）的最小值是（）

2_

A.B.3C.D.VZ

22T2

【分析】由題意對(duì)任意xGR,有|E+xW|>NG|，兩邊平方整理.由判別式小

于等于0,可得G-b）±a?運(yùn)用數(shù)量積的定義可得即有G=1，畫出M=W，亞總

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出A,B的坐標(biāo)，求得|tE-鼻+ltg-旦|的坐標(biāo)表示，

2

運(yùn)用配方和兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合三點(diǎn)共線，即可得到所求最小值.

【解答】解：向量a，b夾角為|b|=2,對(duì)任意xdR,有|b+xa|》|a-bI，

3

兩邊平方整理可得x2募+2XW?E-（藍(lán)-2禽E）20,

則Z\=4（a*b）2+4?（?-2a*b）WO,

即有~a*b）2^0>即為￡=a?b，

則（a-b）-La,

由向量W，E夾角為生，Ibl=2,

3

由al,Ibl*cos—,

3

即有G=l,

則C-訃機(jī)*后存倔

畫出赤W，AB=b>建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；

則A（1,0）,B（0,b），

sr（-1-0）,b=（-l，J§）；

y.

''11b-a|+11b-y|=V（l-t）2+（V3t）^（y-t）+（V3t）2

4t2-2t+l+J4t2-t==2（J）2+（0_3^_）1+J6得）2+（計(jì)2^]

表示P（t,0）與M（1,返），N（1,-返）的距離之和的2倍，

4488

當(dāng)M,P,N共線時(shí)，取得最小值2|MN|.

即有2|MN|=2｛（L_X）2+-

故選：D.

6.如圖，在aABC中，點(diǎn)D,E是線段BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且無+密x族+y正，則

上建的最小值為（）

xy

【分析】設(shè)標(biāo):皿族+病，AE=XAB+klAC?由B,D,E,C共線可得x+y=2,

可得上且當(dāng)包建）（x+y）=1-（5+工+至）旺餅2也生）最

xy2xy2xy2yxy2

【解答】解：?AD=mAB+nAC.AE=XAB+|1AC?

VB,D,E,C共線，，m+n=l,X+[x=l.

,

AD+AE=xAE+yAC則x+y=2,

?,---4^^-（工啟（x+y）q（5+Z+ix）葉餅2區(qū)3￡）4

xy2xy2xy2yxy2

則上建的最小值為包.

xy2

故選：D.

7.已知aABC中，ZA=120°,且AB=3,AC=4,若薪=入標(biāo)+記且蒜1前，貝U

實(shí)數(shù)人的值為（）

A.絲B.獨(dú)C.6D.11

1537

【分析】根據(jù)題意，由向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系分析可得屈?前=（AAB+AC）

?（AC-AB）=0,整理變形可得（入-1）3X4Xcosl20。-9入+16=0,解可得入的

值，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，AABC中，ZA=120",且AB=3,AC=4,

若標(biāo)二入標(biāo)+正，且右1前，

則有屈?前=（AAB+AC）?（AC-AB）=入屈?正一入屈2+記-AB*AC=（入-1）AB.AC

-入屈^記二。，

整理可得:（A-1）3X4Xcosl20°-9X+16=0,

解可得：入=絲

15

故選:A.

8.已知34是兩個(gè)單位向量，那么下列命題中的真命題是（）

?22

A.a=bB.ab=0C.D.Q=B

【分析】根據(jù)題意，設(shè)。為W、芯的夾角，據(jù)此依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)。為W、4的夾角，據(jù)此依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A、4、4是兩個(gè)單位向量，則W、E的方向不一定相同，則不一定成立,

A錯(cuò)誤；

對(duì)于B、a*tFabcos0,當(dāng)a、b不垂直時(shí)，a*bW0,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C、a?b=a|bcos0=cos0<l,C錯(cuò)誤;

對(duì)于D、W、E是兩個(gè)單位向量，即以|=后|，則有募=百，D正確；

故選：D.

9.已知：I贏|=1,I0B=V3-忝辰0，點(diǎn)C在NAOB內(nèi)，且玩與贏的夾角為

30°,設(shè)6歲m贏+n35（m,n《R）,則典的值為（）

n

A.2B.i.C.3D.4

2

【分析】由已知建立平面直角坐標(biāo)系，得到水、根的坐標(biāo)，結(jié)合^m^+n布求

得前的坐標(biāo)，再由友與丞的夾角為30。求解.

【解答】解：:I麗=1,1通=百,0A*0B=0,

,建立平面直角坐標(biāo)系如圖：

則贏=（1,0），OB=（0,炳），

，0C=m0A+n0B=（m,我n）,

又無與贏的夾角為30°,

.?.逗tan30。巫,則典的值為3.

m3n

故選：C.

io.已知w,5為單位向量，且Ziv向量力施足1-1-引=2,則q的范圍為

)

A.[1,1+V2]B.[2-a,2+V2]C.[&，2V2]D.[3-242,3+2V2]

【分析】由W，E是單位向量，a*b=O.可設(shè)N(1,0),b=(0,1),1(x,y).由

向量&防足Ic_a-b=2?可得(x-1)2+(y-1)2=4.其圓心C(1,1),半徑

r=2.利用|OC|-rWqi='x2+y2W|OC|+r即可得出.

【解答】解：由a,b是單位向量，a*b=。,

可設(shè)aF(1,0),fcF(0，1)，CF(x,y),

由向量c滿足Ic-a-bl=2,

I(x-1,y-1)|=2,

?e?7(x-l)2+(y-l)2=2J即(x-1)2+(y-l)2=4,

其圓心C(1,1),半徑r=2,

A|OC|=V2

2-后Icl=7A/^2+V2.

故選:B.

11.已知平面內(nèi)任意不共線三點(diǎn)A,B,C,則標(biāo)?前+前?取+取?疝的值為()

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)

C.0D.以上說法都有可能

【分析】當(dāng)不共線三點(diǎn)A,B,C構(gòu)成銳角三角形或直角三角形時(shí)，顯然有

AB-BC+BC-CA+CA-AB<0：當(dāng)三點(diǎn)A，B,C構(gòu)成鈍角三角形，可設(shè)C為鈍角，

角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,則有c>a,c>b,并可得出標(biāo)-BC+BC-CA+CA-AB=

-accosB-abcosC-bccosA<-ab(cosA+cosB+cosC)=ab[cosA+cosB-cos(A+B)],

說明cosA+cosB+cos(A+B)>0即可.

【解答】解：如果三點(diǎn)A,B,C構(gòu)成的三角形為銳角三角形或直角三角形，

顯然屈-BC+BC-CA+CA?AB<0:

如果三點(diǎn)A,B,C構(gòu)成鈍角三角形，可設(shè)C為鈍角，

角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,貝ij：c>a,c>b；

則瓦,筋+前?樂+&?瓦

=accos(n-B)+abcos(n-C)+bccos(n-A)

<-abcosB-abcosC-abcosA

=-ab(cosB+cosC+cosA)

=-ab[cosA+cosB-cos(A+B)]

=-ab(cosA+cosB-cosAcosB+sinAsinB)

=-ab[cosA+cosB(1-cosA)+sinAsinB1

A,B是銳角；

?*.cosA>0,cosB>0,Hl-cosA>0,sinAsinB>0；

AB-BC+BC-CA+CA-AB<O'

故選:B.

12.已知拋物線C：y2=x,過點(diǎn)P(a,0)的直線與C相交于A,B兩點(diǎn)，。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，若丞?屈<0,則a的取值范圍是()

A.(…，o)B.(0,1)C.(1,+8)D.[1]

【分析】設(shè)過點(diǎn)P(a,0)的直線方程為my=x-a,由直線與拋物線方程聯(lián)立，

消去x得關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和平面向量的數(shù)量積列不

等式求出a的取值范圍.

【解答】解：設(shè)過點(diǎn)P(a,0)的直線方程為my=x-a,

且該直線與拋物線C：y2=x相交于A,B兩點(diǎn)，

(2

則V=x,

jny=x-a

/.y2-my-a=0,

ir|2+4a〉0

y1+y2=n>

22

*"?OA,0B=x1x2+yiy2=(y.y)+yiy2=a-a<0,解得OVaVl；

12

Aa的取值范圍是(0,1).

故選:B.

13.在AABC中，0為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=4,則贏?(而+無)的最

小值是()

A.-4B.-8C.-10D.-12

【分析】如圖所示，延長(zhǎng)OM到點(diǎn)E,使得ME=OM.又點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn),

則四邊形OBEC是平行四邊形.利用向量的平行四邊形法則、共線定理、數(shù)量積

運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

【解答】解：如圖所示，延長(zhǎng)OM到點(diǎn)E,使得ME=OM.

又點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，則四邊形OBEC是平行四邊形.

?,.?+0C=0E=20M-

??.0A'(0B+0C)=0A-20M

=2QA?(AM-A0)

=20A-AM-20A-A0

=2|0A|2-8|0A|

=2(|0A|-2)2-8,

當(dāng)且僅當(dāng)|也|=2，即點(diǎn)。為線段AM的中點(diǎn)時(shí)，贏?(而+正)取得最小值-8.

故選：B.

A

/0\\

B

E

14.已知。是正方形ABCD的中心.若而=入屈+乩筱，其中入，（1WR，則▲上

.

（）

A.一^B.-2C.-V^D.\/~2

2

【分析】根據(jù)平面向量加減運(yùn)算的三角形法則求出入，口即可得出答案.

【解答】解：D0=DA+A0=CB+A0=AB-AC+^AC=ABAC*

15.AABC所在平面上一點(diǎn)P滿足包+而+品靛，則4PAB的面積與4ABC的面

積比為（）

A.2：3B.1：3C.1：4D.1：6

【分析】如圖所示，由于點(diǎn)P滿足而■而+品標(biāo)，可得冠+同=標(biāo)-而=屈，化為

PC=2AP.即可得到4PAB的面積與AABC的面積比=AP：AB.

【解答】解：如圖所示，：點(diǎn)P滿足而■而+由=標(biāo)，

??.PA+PC=AB-PB=AP?

??.PC=2AP.

.?.△PAB的面積與AABC的面積比=AP：AC=1：3.

故選：B.

16.在AABC中，若BC=8,BC邊上中線長(zhǎng)為3,則標(biāo)?/()

A.-7B.7C.-28D.28

【分析】利用已知條件推出BC=8,BC邊上中線長(zhǎng)為3,通過向量的模的平方，

轉(zhuǎn)化求解瓦?正即可.

【解答】解：在^ABC中，若BC=8,BC邊上中線長(zhǎng)為3,

可得：|屈+16|=6，IAB-AC|=8?

Tn*7目—*2—?—?—?2-*2—?—?—?2

口J得AB+2AB-AC+AC=36，AB-2AB-AC+AC=64，

兩式作差可得：4AB*AC=-28,所以薪?正=-7.

故選：A.

17.已知。是正aABC的中心.^C0=XAE+HAC?其中入，n￡R，則上■的值為

同

()

A.,XB._XC.-1D.2

432

【分析】0是正4ABC的中心，可得江+水+而=萬，由而=入靛+|1同，可得

醇X(OB-OA)+|I(OC-OA)=O>

可得1+X=H=-X-pi=>2X=-n即可得上的值.

.

【解答】解：Y0是正^ABC的中心，.?.羽+贏+而二萬，

由而=入靛+|1位，可得逐入(而-水)+|1(祈-丞)=另，

(1+p)oc^x0B+(-入-[1)0A=0.

1+入=p=一入一|1=>2入=-[1

則上的值為-L

以2

故選：C.

18.設(shè)aABC的面積為S,若標(biāo)?正=1，tanA=2,則S=()

A.1B.2C.返D.工

55

【分析】利用向量的數(shù)量積，以及三角函數(shù)，化簡(jiǎn)求解即可.

【解答】解：tanA=2,可得cosA=/1：=,叵=2^,sinA=2在一,

AB-AC=b

可得bccosA=l,可得bc=遙，

△ABC的面積為S=lbcsinA=lx巡X型豆L

225

故選：A.

19.已知向量a，b,j平面向量，Ia=b=2g?b=l,且c使得c-2占c-b所

成夾角為？L,則|黨的最大值為()

3

A.V3+1B.V3c-1D.V7+1

【分析】由向量的數(shù)量積的定義可得<W，b>=—?設(shè)二(x,y),星(1,0),

3

b=(cos-ZL,sin2L)=(1,1)，判斷四點(diǎn)A、B、C、D共圓，設(shè)圓心為E,C

6622

在圓E上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合圖象可得所求最大值.

【解答】解：設(shè)贏W=，0B=b>0C=c，

,平面向量a，b>cf薄足Ial=Ibl=2\ovrrightarrowe?b=l,

cos<^,b>==—>

Ia|x|b|2

b>=—

3

設(shè)CF(x,y),ai=(1，0),

b=(cos—L,sin——)=(—,2ZZ),

6622

c-2a與c-b的夾角為工~，即為2a-c-^b-c的夾角為

33

可得NBCD+NBAD=180°,

則四點(diǎn)A、B、C、D共圓，

設(shè)圓心為E,C在圓E上運(yùn)動(dòng)，

可得E的橫坐標(biāo)為3,

2_

由BD=百，可得2r=半、2,

解得r=l,由A(1,0),可得E(W,返)，

____22

即有|0E|=心_

則I的最大值為1+V3.

故選:A.

20.已知0為4ABC內(nèi)一點(diǎn)，且有水+2連+3京=1，記△ABC,△BCO,AACO

的面積分別為SI，S2,S3,則Si：S2：S3等于()

A.3：2：IB.3：1：2C.6：1：2D.6：2：1

【分析】如圖所示，延長(zhǎng)0B到點(diǎn)E,使得瓦=2而，分別以水，正為鄰邊作平行

四邊形OAFE.則丞+2諉=丞+羽=而，由于贏+2麗+3_56='6，可得-而=3友.又

AF=20B>可得而=2而.于是歷歷，得至ISAABC=2SAAOB.同理可得：SAABC=3SAAOC?

SAABC=6SABOC-即可得出.

【解答】解：如圖所示，

延長(zhǎng)0B到點(diǎn)E,使得禰=2而，分別以水，,鄰邊作平行四邊形OAFE.

則丞+2礫而+福而，

V0A+20B+30C=0>-0F=30C.

又屈=2而，可得而=2而.

于是⑻而，

??SAABC=2SAAOB-

同理可得：SAABC=3SAAOC，SAABC=6SABOC-

AABC,ABOC,△ACO的面積比=6：1：2.

故選：C.

21.已知^ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則瓦?（而+同）

的最小值是（）

A._XB.C.,AD.-1

883

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出忌、而和云，計(jì)算且?（而+&）

的最小值即可.

【解答】解：以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則A（0,返），B（-工0）,C（工，0）,

222

設(shè)P（x,y）,則而=（-x,返-y）,而=（-工-x,-y）,正=（L-x,

222

所以總，（PB+PC）=-x*（-2x）+（返-y）?（-2y）=2x2--/^+2y2

=2X2+2（y-^2--；

48

所以當(dāng)x=0,丫=乎時(shí)，笆?（而+玩）取得最小值是-日

故選：B.

22.已知向量；T力滿足二|=2,己=之后3,若（c-2a）?（2笈）

a,M,V3

=0,則的最小值是（）

A.2-V3B.2+yJsC.1D.2

【分析】由題意設(shè)短（1,J5）,良（3,0），再設(shè)3=（x,y），這樣根據(jù)

6-2：）?金等）=0即可得出1終點(diǎn)的軌跡，而數(shù)形結(jié)合即可求出另二|的最小

3

值.

【解答】解：根據(jù)條件，設(shè)4=（1,炳）,b=（3,0）,設(shè)岸：（x,y）?則：

（c-2a）*（c-|b）=（x-2>y-哂）“x-2,y）=0；

o

A（x-2）2+（y-V3）=3;

.?.W的終點(diǎn)在以（2,近）為圓心，我為半徑的圓上，如圖所示：

ib-c1的最小值為：?2-3）2+（a-0）2-a=2飛后

故選：A.

23.如圖，在aABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在AD上，且是aABC的重

心，則用向量標(biāo)正表示前為()

BDC

A-BG=-yAB+yACB-前■菽片正

C前號(hào)屈舒D.前《族育正

【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則及數(shù)乘的幾何意義，菽q(Q+位)，

再根據(jù)三角形重心的性質(zhì)便可得出正』(Q+位)，這樣根據(jù)向量加法的幾何意

3

義及向量的數(shù)乘運(yùn)算即可表示出向量配.

【解答】解：根據(jù)題意，AG-1(AB+AC)；

-'-BG=-AB+AG

=-AB+y(AB+AC)

=會(huì)4記.

故選：A.

24.設(shè)0是平面ABC內(nèi)一定點(diǎn)，P為平面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若

(PB-PC)?(OB+0C)=(PC-PA)?(0C+0A)=(PA-PB)?(0A+0B)=0-則。為AABC

的（）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【分析】運(yùn)用向量的加減運(yùn)算，以及向量數(shù)量積的性質(zhì)，結(jié)合三角形的外心，可

得所求.

【解答】解：若（PB-PC）-（05+00）=（PC-PA）?（0C+0A）=（PA-PB）-（0A+0B）=0?

可得連?（OB+OC）=正?（OC+OA）=BA*（OA+OB）=0，

即為（瓦-沃）?（OB+OC）=（0C-0A）?（OC+OA）=（0A-0B）?（OA+OB）

即有I而2=|而2=|反|2,

WOIOAI=IOBI=IOCI,

故。為AABC的外心，

故選:B.

25.已知平面向量a，b，@兩足Ia=bl=Icl=1，a*tF—>則（2a+c）（t?-C）

2

的最小值為（）

A.-2B.-5/3C.-1D.0

【分析】推導(dǎo)出<4,1>=60。，設(shè)贏=W=（1，0）,0B=tF（l,冬，三（x,

y）,貝！］x2+y2=l,則（2a+c）（b-c）=（2+x,y）（1-x，y）=^Ay-

22222

-1-cose=V3sin（0+150°）,由此能求出（2a+c）（b-c）的最小值.

【解答】解：,?,平面向量a，b，d蕭足lal=lb=cl=1>a*b=—?

2

____1_

cos<'aZ，K>~=—>

°|a|.|b|1X12

E>=60。，

，設(shè)0A=a=（1，0），0B=b=

22

c=（x,y）,則x2+y2=l,

**.(2a+c)(t>-C)=(2+x,y)(__,-y)

2x2

=(2+x)(L_Q+(近^-y)y

2x2

-Vs.p_3a

-cosf

=V3sin(9+150°),

:.(2a+c)(b-c)的最小值為一我.

26.已知。是aABC內(nèi)部一點(diǎn)，且3示+2在+反=6,則△OBC的面積與aABC的

面積之比為（）

A.2B.1C..1D.2

22

【分析】由向量式可得。為三角形ABC中位線FE的三等分點(diǎn)（靠近E）,從而可

得兩三角形面積和aABC的關(guān)系，可從而得答案.

【解答】解：5+2江+比'6，，2（丞+連）--（OA+OC）

如圖E,F分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，

B

E

由平行四邊形法則知：2而=-5?,

...0為三角形ABC中位線FE的三等分點(diǎn)(靠近E),

：.0到CB的距離是三角形ABC高的一半，...則aOBC的面積與aABC的面積之

比為1：2.

故選:A.

27.已知向量￡Rq滿足：口口，(a-c)l(b-c),al(a-2b)^若

|3|的最大值和最小值分別為m,n,則m+n等于()

A.AB.返C.V37D-

222

【分析】由已知可得親了專設(shè)￡(1,0),最⑶，yp，則:二X*，結(jié)合

|\^~-J可得丫1=土3,不妨取i(L3),設(shè)3(x,y),結(jié)合(a-^)?(b-c)

22

=0,可得x,y所滿足的關(guān)系式，數(shù)形結(jié)合得答案.

【解答】解：由d=1,al(a-2b)?

a,("a-2b)=^2-2a,^=0,即l-2a?b=0，

設(shè)￡(1,0),E=(