高中數(shù)學(xué)講義：數(shù)系的擴(kuò)充

高中數(shù)學(xué)講義：數(shù)系的擴(kuò)充

目錄

1.正文........................................................................1

2.數(shù)系是怎樣擴(kuò)充的？.........................................................3

1.正文

數(shù)系的構(gòu)造與逐步擴(kuò)充：自然數(shù)系一一整數(shù)系和分?jǐn)?shù)系一一實(shí)數(shù)系一一復(fù)

數(shù)系

從自然數(shù)到有理數(shù)，兩個(gè)方向的需求：

（1）作為度量工具的有理數(shù)，度量時(shí)間、長度、面積、體積等能任意細(xì)

分的量：度量單位一一分?jǐn)?shù)單位一一分?jǐn)?shù)。

m

問題1：為什么把“叫做“有理數(shù)”？“有理”在哪里？一一因?yàn)樗募?/p>

法和乘法與自然數(shù)的加法和乘法有同樣的規(guī)律！只要我們按照如下定義行事

acad-^-bcac_acaaca

bdbd'bdbd'a'beb°

在此定義下，就可以證明：自然數(shù)的算術(shù)基本規(guī)律，即交換律、結(jié)合律、

分配律等都成立。

aca+c

問題2：為什么不把加法定義為了+7二訂彳？

邏輯上允許，但從創(chuàng)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)亩攘抗ぞ叩慕嵌瓤?，沒有意義。例如，

112

5+5=公，從度量的角度看是不合適的。

（2）數(shù)學(xué)內(nèi)部的需求：自然數(shù)集中，加法和乘法的“逆運(yùn)算”不能通

行。為此，需要引進(jìn)符號0以及-1,-2,—3,...,并定義aVb時(shí)，a—b

=-（b-a）,以及在“使算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律保持不變”的原則下，定義（一1）義

（—1）=1。

問題3：為什么不是（一1）又（-1）=一1?

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與引入0和負(fù)整數(shù)的數(shù)學(xué)需求類似，分?jǐn)?shù)的引進(jìn)使得除法消除了障礙：定

aa

義符號，稱為分?jǐn)?shù)，它服從bXb=a（bWO）。

這樣，全體有理數(shù)一一整數(shù)和分?jǐn)?shù)、正數(shù)和負(fù)數(shù)一一的純算術(shù)意義就清楚

了。在這一擴(kuò)展了的數(shù)的范圍內(nèi)，不僅形式上的運(yùn)算律成立，而且保證加、

減、乘、除的封閉性一一這個(gè)封閉的數(shù)的范圍叫做域。

上述數(shù)的范圍的擴(kuò)充過程，反映了數(shù)學(xué)推廣過程的一個(gè)重要特性一一使得

在原來范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立。非常幸運(yùn)，從自然數(shù)到有

理數(shù)的這一推廣，完全滿足了用數(shù)來表示度量結(jié)果的實(shí)際需要。

問題4：有理數(shù)有多少個(gè)？

從度量長度中得到啟發(fā)，引進(jìn)數(shù)軸的概念，可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示任意有

理數(shù)。借此可以容易地證明：有理點(diǎn)在數(shù)軸上是稠密的。

從有理數(shù)到無理數(shù)，也可以看成是兩個(gè)方面需求的結(jié)果：

（1）前面已經(jīng)談到的度量線段中發(fā)現(xiàn)的存在著不可公度線段一一每一條

這樣的線段都對應(yīng)著借助于單位長度而給出的一個(gè)數(shù)，這樣的數(shù)就是無理數(shù)。

“這是科學(xué)史上極其重要的事件，它很可能標(biāo)志著數(shù)學(xué)上嚴(yán)格推理的起源?？?/p>

定地說，從希臘人的時(shí)代直到今天，它一直深刻地影響著數(shù)學(xué)和哲學(xué)。”（柯

朗，什么是數(shù)學(xué)，72）

問題1：你能證明J5是無理數(shù)嗎？你能用幾何作圖的方法構(gòu)造出一些無

理數(shù)嗎？

由此可以看到，實(shí)數(shù)是幾何數(shù)（實(shí)數(shù)是大自然給的）。

關(guān)于實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格化，數(shù)學(xué)家們做出了長期堅(jiān)持不懈的努力，直到十九

世紀(jì)末，在戴德金、康托、維爾斯特拉斯那里才真正建立了無理數(shù)的嚴(yán)格理

論。其中有些問題可以讓高中生進(jìn)行研究，例如：

極限與無窮遞縮等比數(shù)列，無限循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化；

用有理數(shù)逼近無理數(shù)；

構(gòu)造一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)；等。

問題2：有理數(shù)多還是無理數(shù)多？

（2）從數(shù)學(xué)內(nèi)部的需求看，與有理數(shù)域的擴(kuò)充類似，為了解像x2=2這樣

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的方程，需要構(gòu)造一個(gè)比有理數(shù)域更廣的實(shí)數(shù)域。

從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)，主要是數(shù)學(xué)內(nèi)部的需求：

最早要求應(yīng)用復(fù)數(shù)的是為了解二次方程。16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在

解三次方程時(shí)使用了復(fù)數(shù)。那時(shí)，數(shù)學(xué)家們對復(fù)數(shù)的意義充滿疑惑，并一直想

要搞清楚復(fù)數(shù)的意義一一尋找?guī)缀伪硎?，使它“看得見”。直到十九世紀(jì)初，

高斯給出了復(fù)數(shù)a+bi（a,b為實(shí)數(shù)）的幾何意義，復(fù)數(shù)才有了合法地位。

引進(jìn)一種新的數(shù)，就要定義它的運(yùn)算；定義一種運(yùn)算，就要研究它的運(yùn)算

律。對于引進(jìn)的“虛數(shù)單位”i,它服從i2=-l,現(xiàn)在有

問題1：根據(jù)已有的數(shù)系擴(kuò)充理論，要使符號i能像對實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加、

乘運(yùn)算，它應(yīng)該有怎樣的一般形式？

對于復(fù)數(shù)a+bi（a,b為實(shí)數(shù)），根據(jù)一以貫之的原則，即“使算術(shù)運(yùn)算

的運(yùn)算律保持不變”，應(yīng)如何定義關(guān)于它的運(yùn)算？

問題2：在復(fù)數(shù)域中，二次方程ax2+bx+c=0的解的情況如何？

問題3：類比用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，如何對復(fù)數(shù)作出幾何解釋（復(fù)數(shù)的

幾何表示）？由復(fù)數(shù)的幾何表示出發(fā)，你能發(fā)現(xiàn)和提出哪些問題？得出哪些有

用的結(jié)論？（復(fù)數(shù)的模，共枕復(fù)數(shù)及其性質(zhì)，復(fù)數(shù)加法的平行四邊形法則，復(fù)

數(shù)的“三角形不等式”，復(fù)數(shù)的三角表示，等。）

問題4：借助于復(fù)數(shù)的三角表示，你能提出哪些問題？得出哪些結(jié)論？

（向量的旋轉(zhuǎn)、伸縮與復(fù)數(shù)乘法，棣莫弗公式等）

問題5：借助單位圓，用棣莫弗公式研究單位根一一“在復(fù)數(shù)域中，1恰

有n個(gè)不同的n次方根，它們可以用單位圓的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的頂點(diǎn)來表

示，z=l是其中一個(gè)?！薄?/p>

問題6：從復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、向量之間的聯(lián)系性出發(fā)，你能發(fā)現(xiàn)和提出哪

些問題？（包括歐拉公式e"+1=0）

2.數(shù)系是怎樣擴(kuò)充的？

19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克說過：“上帝只創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的都是人為

的”。

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數(shù)系的擴(kuò)充

_計(jì)數(shù)的需要_自然數(shù)(正整數(shù)與零)

整數(shù)

解方程r+3=1

有理數(shù)

解方程3x=5

解方程一=2實(shí)數(shù)

自然數(shù)：計(jì)數(shù)的需要

自然數(shù)是什么？

表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)叫自然數(shù)(Naturalnumber),自然數(shù)由0開始，一個(gè)

自然數(shù)的產(chǎn)生幾乎是人類發(fā)展的必然，從古至今，人們在計(jì)算物體個(gè)數(shù)或

是表示物體次序的時(shí)候不可避免的會用到這些數(shù)字。早在五萬年前，我們的先

人就已經(jīng)在使用這些數(shù)字做著一些基本的計(jì)數(shù)和排序了。

所有的自然數(shù)組成了一個(gè)集合：自然數(shù)集N

PS如果再有人問你1+1為什么等于2,千萬別再說“不就是這樣的嗎，

還有理由嗎？”之類的話了，你應(yīng)該這樣說：“因?yàn)橐粋€(gè)物體和另一個(gè)物體加

起來就是兩個(gè)物體”。

分?jǐn)?shù)：分配的需要

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把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或其中幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)。

在歷史上，分?jǐn)?shù)幾乎與自然數(shù)一樣古老。早在人類文化發(fā)明的初期，由于

進(jìn)行測量和均分的需要，引入并使用了分?jǐn)?shù)。比如說，有一家三兄弟要分配財(cái)

產(chǎn)，其中大哥得到二分之一的土地，二哥得到三分之一的土地，老三得到六分

之一的土地。

通過分?jǐn)?shù)，我們就能在頭腦中想象出三兄弟各自得到了多少財(cái)產(chǎn)。如果沒

有分?jǐn)?shù)，事情就遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有這么簡單。

在許多民族的古代文獻(xiàn)中都有關(guān)于分?jǐn)?shù)的記載和各種不同的分?jǐn)?shù)制度。早

在公元前2100多年，古代巴比倫人（現(xiàn)處伊拉克一帶）就是用了分母是60的

分?jǐn)?shù)。公元前1850年左右的埃及算學(xué)文獻(xiàn)中，也開始使用分?jǐn)?shù)。

分?jǐn)?shù)在我國很早就出現(xiàn)了，并且用于社會生產(chǎn)和生活。我國春秋時(shí)代（公

元前770年?前476年）的《左傳》中，規(guī)定了諸侯的都城大?。鹤畲蟛豢沙?/p>

過周文王國都的三分之一，中等的不可超過五分之一，小的不可超過九分之

-o秦始皇時(shí)代的歷法規(guī)定：一年的天數(shù)為三百六十五又四分之一。

插曲：“0”的出現(xiàn)

到了公元5?6世紀(jì)，數(shù)字“0”在印度誕生。這時(shí)的“0”才真正算是一

個(gè)數(shù)字，代表“空，無，什么都沒有”。

PS早在美索不達(dá)米亞文明與瑪雅文明中，就已經(jīng)有了這個(gè)符號的身影，

但那時(shí)“0”并不是一個(gè)數(shù)字，更類似于一個(gè)占位符。

負(fù)數(shù)：相反意義

負(fù)數(shù)與正數(shù)表示意義相反的量，任何正數(shù)前加上負(fù)號便成了負(fù)數(shù)。

這就是負(fù)數(shù)的定義。

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-5-4-2-1015

-5-4-3-2-1012345

數(shù)軸

在歷史上，負(fù)數(shù)應(yīng)該算是欠出來的。在借貸中，逐漸產(chǎn)生了負(fù)債的概念，

人們需要一個(gè)與盈利相反意義的量來表示“負(fù)債”的概念，負(fù)數(shù)就應(yīng)運(yùn)而生。

據(jù)記載，我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽于公元250年前后首先給出了負(fù)數(shù)的

定義，寫法及運(yùn)算法則。到了7世紀(jì)，印度也出現(xiàn)了描述“負(fù)債”數(shù)量的負(fù)

數(shù)，在當(dāng)時(shí)的印度，正數(shù)代表的是“資產(chǎn)”，而負(fù)數(shù)代表的是“負(fù)債，損

失”。

事實(shí)上，A有100元的負(fù)債相當(dāng)于A有-100元的資產(chǎn)。這兩者是等價(jià)的

（雖然這樣表述起來很別扭），當(dāng)你能掌握負(fù)數(shù)的表現(xiàn)形式時(shí)，恭喜你，你已

經(jīng)學(xué)會了從相反的方向看待問題了（-U-），?

至此，一個(gè)新的集合出現(xiàn)了：有理數(shù)集Q

"0"從“空的”引申至U“平衡”：

負(fù)數(shù)的出現(xiàn)，使我們能通過一個(gè)概念看到事物的另一面。譬如，如果不使

用負(fù)數(shù)，做生意的人就必須同時(shí)考慮資產(chǎn)與損失兩個(gè)概念。這樣計(jì)算不僅繁瑣

而且復(fù)雜。但是，如果我們將損失理解成負(fù)的資產(chǎn)，我們就能夠在以盈利為正

方向，收支平衡點(diǎn)為原點(diǎn)的數(shù)軸上，討論銷售額和盈虧狀況。

從以上的例子里大家能夠看到，這時(shí)的“0”已經(jīng)不是“空的”意思了，

現(xiàn)在它代表收支平衡，也就是“正數(shù)和負(fù)數(shù)同時(shí)存在且勢均力敵的狀態(tài)”，即

“平衡”。

事實(shí)上，物理學(xué)中力的平衡和化學(xué)中正負(fù)離子的反應(yīng)等，都與這個(gè)“平

衡”有異曲同工之妙。

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無理數(shù)：無法抓住的數(shù)

無理數(shù)(Irrationalnumber),就是不講道理的數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)。

生活在公元前五世紀(jì)的古希臘人，堅(jiān)信所有的數(shù)都可以用整數(shù)的比來表示

(即所有的數(shù)都是有理數(shù))。尤其是以畢達(dá)哥拉斯為首的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成

員，認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，他們堅(jiān)信萬物的規(guī)律都可以用有理數(shù)來表示。

事實(shí)上，在這個(gè)學(xué)派里，已經(jīng)有人發(fā)現(xiàn)了無法用整數(shù)之比來表示的數(shù)。諷

刺的是，這個(gè)數(shù)恰恰是利用畢達(dá)哥拉斯定理證明出來的。于是我們可以這樣理

解，畢達(dá)哥拉斯自己發(fā)現(xiàn)的定理否決了他自己的學(xué)說。

b

勾:a2+b2=cJ

勾股定理：a2+b2=c2

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)，下面這種直角三角形的斜邊長度無法用

分?jǐn)?shù)表示。

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'.r_克—

據(jù)說，畢達(dá)哥拉斯在聽到這個(gè)說法后十分震驚，要求所有成員不得泄露這

個(gè)數(shù)的存在，甚至殺害了可憐的小哥希帕索斯。這是數(shù)學(xué)史上第一次發(fā)現(xiàn)無理

數(shù)。

自根號二被發(fā)現(xiàn)以后，越來越多的無理數(shù)被發(fā)現(xiàn)，人們逐漸接受了無理

數(shù)，并把無理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)能夠和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)。

那為什么畢達(dá)哥拉斯寧可殺人也不愿承認(rèn)無理數(shù)的存在呢？無理數(shù)像是一

個(gè)只有“大概值”的數(shù)，我們能通過種種方法看到它們，畫出它們，卻終究無

法知道它們的確切值。可能這才是畢達(dá)哥拉斯無法接受無理數(shù)的原因吧。

例：根號二的畫法

至此，有理數(shù)與無理數(shù)構(gòu)成了一個(gè)集合一一實(shí)數(shù)集R

例：根號二的畫法

復(fù)數(shù)：從想象穿越到現(xiàn)實(shí)的數(shù)

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虛數(shù)(Imaginarynumber),直譯過來就是“想象中的數(shù)”。在數(shù)學(xué)史上，

有一段時(shí)間內(nèi)，虛數(shù)不被人們所接受，被認(rèn)為是荒謬的數(shù)字。

1637年，笛卡爾首先給出了"Imaginarynumber”這個(gè)命名，而命名為

虛數(shù)的原因，正是因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)的觀念里這是不存在的數(shù)。

到了1777年，歐拉出現(xiàn)了，他在自己的論文中首次用“i”表示根號下負(fù)

-o這里的“i”就被稱作是“虛數(shù)單位"，i2=-l?

復(fù)數(shù)(Complexnumber),指二元有序?qū)崝?shù)對(a,b),記為z=a+bi,這里a和

b是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位。在復(fù)數(shù)a+bi中，a=Re⑵稱為實(shí)部，b=Im⑵稱為虛

部。當(dāng)虛部等于零時(shí)，這個(gè)復(fù)數(shù)可以視為實(shí)數(shù);當(dāng)z的虛部不等于零時(shí)，實(shí)部等

于零時(shí)，常稱z為純虛數(shù)。

1830年，高斯詳細(xì)論述了用直角坐標(biāo)系復(fù)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)

數(shù)有了立足之地，人們才真正承認(rèn)了復(fù)數(shù)。到今天，復(fù)數(shù)已經(jīng)成為現(xiàn)代科技中

普遍運(yùn)用的數(shù)學(xué)工具之一。