高中數(shù)學(xué)：對數(shù)函數(shù)

第5講對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)

［玩前必備］

1.對數(shù)的概念

如果〃=N(a>0且“W1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=lo￡〃N,其中a叫做對數(shù)的底數(shù),

N叫做真數(shù).

2.對數(shù)的性質(zhì)與運算法則

(1)對數(shù)的運算法則

如果a>0且M>0,N>0,那么

①=log“M+log“N；

M

②log"R=log“M-log“N；

③k>g"M"=Mog〃M(nGR)；④log“,"Mn=凱&".

(2)對數(shù)的性質(zhì)

①a°g"N—N；②log/』N(tf>0且a#1).

(3)對數(shù)的重要公式

①換底公式：log而=臂吟(a,。均大于零且不等于1)；

②log“b=E^,推廣log?/>-log/,c-log<</=logaJ.

3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>l0<4<1

:y=iogax

圖象Na.")

|!y=log衣

(1)定義域：(0，+8)

(2)值域：R

(3)過定點￡!◎，即》=1_時，y=Q

性質(zhì)

(4)當(dāng)x>l時，y>0(5)當(dāng)x>l時，兇｝

當(dāng)0a<1時，兇!當(dāng)0a<1時，y>0

(6)在(0,+8)上是增函數(shù)(7)在(0,+8)上是減函數(shù)

［玩轉(zhuǎn)典例］

題型一指數(shù)式與對數(shù)式的互化

例1將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化:

］-i1

3

(1)2-2=4；(2)102=100；(3)e"=16；(4)64(5)log39=2；(6)log、)，=z.

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是()

￡

3

A.e0=1與logel=0B.8=2與log82=|

C.log24=2與4?=2DJog33=l與才=3

題型二對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用

例2計算下列各式的值：

⑴少靖一小隊用+16國：

2

(2)lg25+］lg8+1g5Xlg20+(1g2)2.

1+153lo5

°g34+Iog2/n§2

(3)3-2+103ig3_|_^-J.

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.計算下列各式的值：

(I)(lg5)2+21g2-(lg2)2；

23

lg3+^lg9+^lg^27—lgV3

⑵Ig81-lg27

1.4..2

l+log

(3)92+55

題型三換底公式的應(yīng)用

例3已知logi89=a,18，=5,用〃、人表示log3645.

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.(D(log29).(log34)等于()

B.g

C.2D.4

題型四對數(shù)函數(shù)的概念

例4指出下列函數(shù)哪些是對數(shù)函數(shù)？

(l)y=31og2X；(2)y=k>g6%;

(3)y=logx3；(4)y=logu+l

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.若某對數(shù)函數(shù)的圖象過點(4,2),則該對數(shù)函數(shù)的解析式為()

A.y=log2XB.y=21ogu

C.y=log2^或y=21og4XD.不確定

題型五對數(shù)函數(shù)的圖象

例5如圖所示，曲線是對數(shù)函數(shù)尸logd的圖象，已知a取小l，43古1，則相應(yīng)于ci、

C2、C3、C4的4值依次為()

431

A--

35、

10

413

G--

B.35

10'

43l

c-/-

35、

io

413

D--

35

10'

［玩轉(zhuǎn)跟蹤］

1.(1)函數(shù)y=log?(x+2)+l的圖象過定點()

A.(l,2)B.(2,l)C.(-2,l)D.(-1,D

(2)如圖，若G，C2分別為函數(shù)y=log融和y=log爐的圖象，則()

A.0<a<h<\

B.O</?<67<1

C.a>b>\

D.h>a>\

題型六對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用

角度一:對數(shù)函數(shù)的定義域

例6(1)函數(shù)yu)=±+ig(i+x)的定義域是()

A.(—8,-1)B.(b+0°)

C.(-l,1)0(1,4-00)D.(—8,+OO)

⑵若則段)的定義域為()

2(NX十1)

A(To)B(T+8)

c(-/0)U(0,+°°)D/-1,2)

角度二:對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

例7求函數(shù)丫=1。81(1一/)的單調(diào)增區(qū)間，并求函數(shù)的最小值.

例8比較下列各組中兩個值的大小:

(l)ln0.3,In2；

(2)loga3.Llog?5.2(a>0,且〃W1)；

(3)log30.2,log40.2；

(4)log37c,logn3.

角度三:對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用

例9已知函數(shù)於）=log〃［二［（〃>0且〃W1）,

⑴求人幻的定義域；

⑵判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.

［玩轉(zhuǎn)練習(xí)］

1.2-3=3化為對數(shù)式為（

O)

A.log]2=—3B.log1(-3)=2

88

C.log2|=—3D.log2(-3)=|

2.若1。&汨=c,則下列關(guān)系式中正確的是（）

A.b=a5cB分=d

C.b=5acD.b=c5a

3.方程2%,=：的解是（

)

A.x=|R一立

B.x-3

C.x=yf3D.x=9

4.已知log.2=m，log”3=〃，則於〃+〃等于()

A.5B.7

C.10D.12

5.log242+log243+log244等于()

A.lB.2

C.24D.1

6.化簡glog612—210g的結(jié)果為()

A.6V2B.126

C.|log63D.1

7.計算Iog916,log881的值為()

A.18B.《

1o

8.計算下列各式的值：

八Jg2+lg5-lg8

1g5—1g4;

⑵lg5(lg8+lg1000)+(lg2V3)2+lg1+lg0.06.

9.下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（）

A

A.y=k)囪(2x)B.y=log22

C.y=log2_r+1D.y=lgx

10.函數(shù)/的=-^=+愴（3戈+1）的定義域是（）

\1-x

A.(-1.+8)

CL*|)D.(-1,1)

11.函數(shù)y=o?，與y=-logrtX（a>0,且aWl）在同一坐標(biāo)系中的圖象形狀可能是（）

12.若“>0且則函數(shù)y=log“（x—1）+1的圖象恒過定點

13.比較下列各組數(shù)的大小：

⑴log2啦log2??；（2）log32