高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測(cè)22函數(shù)的最大小值蘇教版必修第一冊(cè)

函數(shù)的最大(小)值

［A級(jí)基礎(chǔ)鞏固］

1.函數(shù)f(x)=3'7'的最大值為()

、一x+2,1

A.1B.2

11

C--

2D.3

解析：選B當(dāng)時(shí)，函數(shù)F(x)=，為減函數(shù)，此時(shí)F(x)在x=l處取得最大值，最

x

大值為『(1)=1;當(dāng)木1時(shí)，函數(shù)/<x)=一丁+2在x=0處取得最大值，最大值為『(0)=

2.綜上可得，/(x)的最大值為2,故選B.

2.(2021?聊城高一檢測(cè))已知函數(shù)尸3(20)在［3,8］上的最大值為1,則“的值

X-L

為()

A.1B.-6

C.1或一6D.6

解析：選A當(dāng)次〉0時(shí)，函數(shù)在［3,8］上單調(diào)遞減，?.?函數(shù)在［3,8］上的最大

、，k

值為1,???—=1，，4=1;

當(dāng)K0時(shí)，函數(shù)/=占在［3,8］上單調(diào)遞增，?.?函數(shù)在［3,8］上的最大值為1,...上

=1,...4=6(舍去).故選A.

3.某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售一種品牌車，銷售x輛該品牌車的利潤(rùn)(單位：萬元)

分別為￡戶一3+2哀和〃=2*若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤(rùn)為()

A.90萬元B.60萬元

C.120萬元D.120.25萬元

解析：選C設(shè)公司在甲地銷售x輛，則在乙地銷售(15—x)輛，公司獲利為￡=一f

+21x+2(15—x)

(19\2192

——x+19^r+30=—\x—~\+30+-^-,

???當(dāng)x=9或10時(shí)，￡最大為120萬元.

—x-\~a,

4.設(shè)f(x)=,1若H0)是廣(x)的最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

x+一，x〉0,

A.(―0°,2]B.(―°°,2)

C.(2,+8)D.[2,+8)

解析：選A由題意，當(dāng)x〉0時(shí)，f(x)的最小值為/■⑴=2；當(dāng)K0時(shí)，f(x)的最小值

為為0)=a.若為0)是為x)的最小值,則aW2.

5.當(dāng)0WV2時(shí)，a<—f+2x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(―0°,1]B.(―0°,0]

C.(—8,o)D.(0,+8)

解析：選Ca〈一I+2x恒成立，則a小于函數(shù)/'(x)=-x?+2x,xe[0,2]的最小值,

ffl]f{x)=~x+2x,xG[0,2]的最小值為0,故a〈0.

6.函數(shù)y=—Lxe[—3,—1]的最大值與最小值的差是.

X

解析：易證函數(shù)尸」在[-3,—1]上為增函數(shù)，所以%in=],%ax=l,所以％ax—"Tmin

12

-1---

X-33

Fe2

答案：2

7.函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-4,6],若函數(shù)，(㈤在區(qū)間[—4,—2]上單調(diào)遞減，在

區(qū)間(-2,6]上單調(diào)遞增，且A-4XA6),則函數(shù)f(x)的最小值是，最大值是

解析：作出符合條件的函數(shù)的簡(jiǎn)圖(圖略)，可知f(x)a=f(—2),r(x)皿x=f(6).

答案：?(一2)r(6)

8.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),

則其邊長(zhǎng)x為m.

解析：設(shè)矩形花園的寬為乃則4=%=即尸40—x,矩形花園的面積S=x(40—

x)——X+40^=—(^―20)2+400,其中(0,40),故當(dāng)x=20m時(shí)，面積最大.

答案:20

9.(2021?淮安市高一質(zhì)檢)已知函數(shù)f{x}—x—2ax—l+a,a￡R.

⑴若a=2,試求函數(shù)尸」^(x〉0)的最小值；

X

(2)對(duì)于任意的xe{x|0W點(diǎn)2},不等式F(x)Wa恒成立，試求a的取值范圍.

M入F(x)x—4^r+l?1

解：⑴依意忌倚y=^^=—「=x+^—4.

因?yàn)閤>。，所以x+92.

當(dāng)且僅當(dāng)T即x=l時(shí)，等號(hào)成立.

-F(￥)

故當(dāng)x=l時(shí)，尸二^的最小值為一2.

X

(2)因?yàn)閒(x)—a=x?—2ax—1,所以要使得“任意的xe{x|0WH2},不等式f(x)Wa

成立”，只要“f—2ax—1W0在0WA2上恒成立”.

不妨設(shè)g(x)=/—2a^—1,

則只要g(x)WO在0W忘2上恒成立.

b(0)wo,fo-o-i^o,

所以即

[g(2)W0,〔4—4a—1W0,

解得a2]

所以a的取值范圍是*+8).

10.(2021?宿遷市高一月考)已知函數(shù)f(x)=-x?+2ax—2a+6,且f(l)=0.

(1)若f(x)在區(qū)間(2,3)上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)若/Xx)在區(qū)間(2,3)上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若/tx)在[0,3]上的最大值是2,求實(shí)數(shù)a的值.

解：(1)由題意，f(x)圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x=a,

又/<x)在區(qū)間(2,3)上為單調(diào)函數(shù)，

當(dāng)f(x)在區(qū)間(2,3)上為單調(diào)增函數(shù)時(shí)，a》3；

當(dāng)/<x)在區(qū)間(2,3)上為單調(diào)減函數(shù)時(shí)，aW2,

綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是a23或aW2.

⑵由f⑴=0,得b=1.

又/<x)在區(qū)間(2,3)上有零點(diǎn)，且/<x)的一個(gè)零點(diǎn)是1((2,3),

f(2)>0,[2a-3>0,3

所以=4=^>-<a<2.

f(3)<0[4a-8<02

(3)f{x)=-x-\-2ax—2a+l,對(duì)稱軸為才=2.

1

貝na---

①當(dāng)aWO時(shí)，廣(x)max=_f(O)=—2女+1=2,J2

②當(dāng)0〈水3時(shí),f(x)max=f(a)=3—2己+1=2,則司=1+4，或司=1一姆(舍去);

5

③當(dāng)a23時(shí)，f{x)^=f&)=4a—8=2,則a=](舍去);

綜上，a=-]或a=1+^2.

［B級(jí)綜合運(yùn)用］

［/,xRM,

11.(多選)已知函數(shù)f(x)=2其中弘”為非空集合，且滿足加J-R,則下

〔半，x&N,

列結(jié)論中不正確的是()

A.函數(shù)/'(x)一定存在最大值

B.函數(shù)/1(x)一定存在最小值

C.函數(shù)/'(x)一定不存在最大值

D.函數(shù)/1(x)一定不存在最小值

［X,xdM,

解析：選ABD?.?函數(shù)『(x)=.其中弘N為非空集合，且滿足J/ueR,

［*,xGN,

若〃=(0,+8),N=(—8,0］,則/1(x)的最小值為0,故D錯(cuò)誤；若〃=(—8,0),N

=［0,+8),則f(x)無最小值，故B錯(cuò)誤；由機(jī)J4R,可得圖象無限上升，則/Xx)無最

大值，故A錯(cuò)誤，C正確.

12.若函數(shù)f(x)=x?+ax+6在區(qū)間［0,1］上的最大值是弘最小值是加，則也一加()

A.與a有關(guān)，且與6有關(guān)

B.與a有關(guān)，但與6無關(guān)

C.與a無關(guān)，且與6無關(guān)

D.與a無關(guān)，但與6有關(guān)

解析:選Bf(x)=(x+._.+/>,①當(dāng)0W-界1時(shí),f{x)min=/Z7=1^=—4"+b,

r22］

f(x)max=4max{/*(0),_f(l)}=max{6,1+a+b\,故人勿=max，1,l+a+*與a有關(guān)，

與6無關(guān)；②當(dāng)一時(shí)，F(xiàn)(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，故尸0=『(1)—F(0)=l+a,與a

有關(guān)，與6無關(guān)；③當(dāng)一步1時(shí)，F(xiàn)(x)在［0,1］上單調(diào)遞減，故〃一〃=f(0)—f(l)=—1—a,

與a有關(guān)，與6無關(guān).綜上所述，M—m與a有關(guān),但與6無關(guān).

13.已知函數(shù)/?(x)=V+ax+2(a〉0)在區(qū)間［0,2］上的最大值等于8,則a=,

函數(shù)尸F(xiàn)(x)在區(qū)間［—2,1］上的值域?yàn)?

解析：由題知函數(shù)f(角圖象的對(duì)稱軸為直線1<0,故f(x)max=f(2)=6+2片8,

(1、271

所以a=l,貝!Jf(x)=x+x+2=\x+-\+-因?yàn)閒(x)的對(duì)稱軸為直線x=--^[~2f1]

且(一m=:，H—2)=4,rd)=4,所以所求值域?yàn)?,4

"7'

答案：1I，4

14.現(xiàn)有三個(gè)條件：①對(duì)任意的xdR都有f(x+l)—f(x)=2x—2；②不等式f(x)<0

的解集為{x[l<x<2}；③函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(3,2).請(qǐng)你在上述三個(gè)條件中任選兩

個(gè)補(bǔ)充到下面的問題中，并求解.

已知二次函數(shù)f(x)=a/+fe+cWO),且滿足(填所選條件的序號(hào)).

(1)求函數(shù)/<x)的解析式；

(2)設(shè)g(x)=f(x)—/x,若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為3,求實(shí)數(shù)0的值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解：(1)條件①：因?yàn)?1(x)=a/+6x+c(a#0),

所以f(x+l)—f{x)=a(x+l”+6(x+l)+c—{ax+bx-\~c)=2ax-\-a-\-b=2x~2,

即2(a—1)x+a+6+2=0對(duì)任意的x恒成立,

a~1=0,a=l,

所以解得

a+6+2=0,b=—3.

條件②：因?yàn)椴坏仁絝加<0的解集為{引1<^<2},

所以<解得°且a>0,

lxz—二，[c=2a,

a

(a+6+c=0,

條件③：函數(shù)尸Ax)的圖象過點(diǎn)(3,2),所以9a+36+c=2.

若選擇條件①②：則a=l,b=—3,c=2,止匕時(shí)F(x)=x?—3x+2；

若選擇條件①③：貝！Ja=l,b=—3,c=2,止匕時(shí)_f(x)=*—3x+2；

若選擇條件②③：則a=l,b=—3,c=2,止匕時(shí)_f(x)=/—3x+2.

(2)由(1)知g(x)=x—E+3)x+2,其對(duì)稱軸為萬=竺?，

①當(dāng)一^―W1,即/W—1時(shí)，g(x)min=g(l)=3—(勿+3)=—%=3,解得力=一3,

②當(dāng)即/時(shí)，g{x}min=^(2)=6—(2/z?+6)=—3,解得/=一"|(舍),

③當(dāng)1〈甘^〈2,即一1＜勿＜1時(shí)，g(x)min=-9^=一(勿;3)+2=3,無解.

綜上所述，所求實(shí)數(shù)R的值為一3.

[C級(jí)拓展探究]

15.請(qǐng)先閱讀下列材料，然后回答問題：

對(duì)于問題“已知函數(shù)下,問函數(shù)f(x)是否存在最大值或最小值？若存在,

求出最大值或最小值；若不存在，說明理由"，一個(gè)同學(xué)給出了如下解答：令u=3+2x—

X,則〃=一(x—l)?+4,當(dāng)X=1時(shí)，〃有最大值，〃max=4,顯然〃沒有最小值.

故當(dāng)x=l時(shí)，/<x)有最小值沒有最大值.

(1)你認(rèn)為上述解答是否正確？若不正確，說明理由，并給出正確的解答；

2

(2)試研究函數(shù)y=.+x+2的最值情況;

(3)對(duì)于函數(shù)fix)=1^"-(a〉0),試研究其最值情況.

ax十bx~\~c

解:⑴不正確.沒有考慮到〃還可以小于0.正確解答如下：令u=3+2x—總則尸

一(x—1)2+444,易知〃#0,

當(dāng)0〈〃W4時(shí)，上*,即廣(x)*；

u44

當(dāng)z/<0時(shí)，—<0,即f{x)<0.

u

:爪分<0或廣(才)2,,即廣(x)既無最大值，也無最小值.

(1、2778

⑵?.32+才+2=卜+3/.0<j<y,

工函數(shù)P=Y+：+2的最大值為，(當(dāng)工=一%寸取到),而無最小值?

(3)對(duì)于函數(shù)f{x)=~~I_(a>0),令〃=al+bx+c,