高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)《指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)》 教案

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

4.2指數(shù)函數(shù)

4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.運(yùn)用描點(diǎn)法畫指數(shù)函數(shù)的圖象，用圖象來研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，達(dá)到直觀想象和數(shù)學(xué)抽象

核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一的層次.

2.結(jié)合實(shí)例，體會(huì)從一般到特殊研究問題的方法，達(dá)到邏輯推理核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平二的

層次.

3.能通過數(shù)形結(jié)合，解決定點(diǎn)、單調(diào)性等問題，達(dá)到直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量

水平二的層次.

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)

指數(shù)形式的函數(shù)的圖象、性質(zhì)的應(yīng)用.

2.教學(xué)難點(diǎn)

指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的歸納、概括及其實(shí)際應(yīng)用.

三、教學(xué)過程

（一）新課導(dǎo)入

復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念.

一般的，函數(shù)y=a*（a>0,且a01）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域?yàn)镽.

思考：指數(shù)函數(shù)對(duì)于底數(shù)的要求是什么?為什么要這樣要求?0<a<1和。>1時(shí)的性質(zhì)有

什么不同呢？

學(xué)生復(fù)習(xí)回顧指數(shù)函數(shù)的概念，明確對(duì)底數(shù)。的限制條件.

下面我們進(jìn)一步研究指數(shù)函數(shù).首先畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，然后借助圖象研究指數(shù)函數(shù)

的性質(zhì).

教師引導(dǎo)學(xué)生畫出y=2*的圖像，請(qǐng)同學(xué)們完成無,y的對(duì)應(yīng)值表4.2-2,并用描點(diǎn)法畫出

函數(shù)y=2工的圖像（圖424）.

X4.22

閨I.2

為了得到指數(shù)函數(shù)y=a*（a>0,且aHl）的性質(zhì)，我們還需要畫出更多的具體指數(shù)函數(shù)

的圖像進(jìn)行觀察.

（二）探索新知

探究一：指數(shù)函數(shù)的圖像

教師提問：畫出函數(shù)'2的圖象，并與函數(shù)丁=2'的圖象進(jìn)行比較，它們有什么

關(guān)系?能否利用函數(shù)丁=2"的圖象，畫出函數(shù)'2的圖象?

學(xué)生思考，教師引導(dǎo)學(xué)生畫出圖像.

y=

因?yàn)?2、點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)（-x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)丁=2'圖象上

任意一點(diǎn)P（x,y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Pl（-X,y）都在函數(shù)2的圖象上，反之亦然.

由此可知，底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,根據(jù)這種對(duì)稱性，就可以

x=

利用一個(gè)函數(shù)的圖象，畫出另一個(gè)函數(shù)的圖象，比如利用函數(shù)丁v一-^2的圖象，畫出y

的圖象（圖4.2-5）.

探究二：指數(shù)函數(shù)的圖像的性質(zhì)

教師提問：選取底數(shù)。(a＞0,且存1)的若干個(gè)不同的值，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出相

應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的圖象.觀察這些圖象的位置、公共點(diǎn)和變化趨勢(shì)，它們有哪些共性?由此你能

概括出指數(shù)函數(shù)丫=2"(。＞0,且a2l)的值域和性質(zhì)嗎?

教師總結(jié)，如圖426,選取底數(shù)。的若干值，用信息技術(shù)畫圖，發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)y=，的圖

象按底數(shù)。的取值，可分為0＜。＜1和。＞1兩種類型.因此，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)也可以分0＜。＜1和。＞1

兩種情況進(jìn)行研究.

一般地，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)如表4.2-3所示.

探究三：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用

例1：比較下列各題中兩個(gè)值的大小.

(1)1.725,1.73;

⑵0.8+0.8一3；

(3)1.703,0.931.

教師讓學(xué)生完成例題，要求盡可能使用多種方法求解，看看哪種方法最簡(jiǎn)便，實(shí)用性最

強(qiáng).

學(xué)生思考討論

教師總結(jié)方法：

分析：對(duì)于(1)(2),要比較的兩個(gè)值可以看作一個(gè)指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，因此可

以直接利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；對(duì)于(3),I，8和°.93」不能看作某一個(gè)指數(shù)函

數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，可以利用函數(shù)y=L7,和y=09'的單調(diào)性，以及“x=0時(shí)，y=l”這條性質(zhì)把

它們聯(lián)系起來.

解：⑴IT，和17可以看作函數(shù)y=17'當(dāng)*分別取2.5和3時(shí)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值,

因?yàn)榈讛?shù)L7大于1,所以指數(shù)函數(shù)y=為增函數(shù)，又因?yàn)?.5小于3,所以L72S<1.73；

(2)同理，因?yàn)?<0.8<1,所以指數(shù)函數(shù)丁=0.8工是減函數(shù).因?yàn)橐?<—G，所以

0.8—點(diǎn)<0.8一曲.

1703>17°=1-?

(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，-'，所以1.7口3<0.93」.

0.931<0.9°=1

例2：如圖4.2-7.某城市人口呈指數(shù)增長(zhǎng).

(1)根據(jù)圖象，估計(jì)該城市人口每翻一番所需的時(shí)間(倍增期)；

(2)該城市人口從80萬人開始，經(jīng)過20年會(huì)增長(zhǎng)到多少萬人？

分析：(1)因?yàn)樵摮鞘腥丝诔手笖?shù)增長(zhǎng)，而同指數(shù)函數(shù)的倍增期是相同的，所以可以

從圖象中選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)計(jì)算倍增期.

(2)要計(jì)算20年后的人口數(shù)，關(guān)鍵是要找到20年與倍增期的數(shù)量關(guān)系.

解：(1)觀察圖4.2-7.發(fā)現(xiàn)該城市人口經(jīng)過20年約為10萬人，經(jīng)過40年約為20萬人，

即由10萬人口增加到20萬人口所用的時(shí)間約為20年，所以該城市人口每翻一-番所需的時(shí)間

約為20年.

(2)因?yàn)楸对銎跒?0年，所以每經(jīng)過20年，人口將翻一番.因此，從80萬人開始，經(jīng)過

20年，該城市人口大約會(huì)增長(zhǎng)到160萬人.

教師講解:例2是針對(duì)指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)與實(shí)際生活緊密結(jié)合的

特點(diǎn)，使學(xué)生學(xué)習(xí)“有用的數(shù)學(xué)”.

(三)課堂練習(xí)

1.在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)丁=3、和'(3)的圖像，并說明它們的關(guān)系.

2.比較下列各題中兩個(gè)值的大小.

(1)6點(diǎn),7點(diǎn);

(2)Ob??！?

(3)1.20-5,0.512.

(四)小結(jié)作業(yè)

小結(jié):