高中數學人教A版必修第一冊《指數函數的圖像和性質》 教案

第四章指數函數與對數函數

4.2指數函數

4.2.2指數函數的圖像和性質

教學設計

一、教學目標

1.運用描點法畫指數函數的圖象，用圖象來研究指數函數的性質，達到直觀想象和數學抽象

核心素養(yǎng)學業(yè)質量水平一的層次.

2.結合實例，體會從一般到特殊研究問題的方法，達到邏輯推理核心素養(yǎng)學業(yè)質量水平二的

層次.

3.能通過數形結合，解決定點、單調性等問題，達到直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng)學業(yè)質量

水平二的層次.

二、教學重難點

1.教學重點

指數形式的函數的圖象、性質的應用.

2.教學難點

指數函數性質的歸納、概括及其實際應用.

三、教學過程

（一）新課導入

復習指數函數的概念.

一般的，函數y=a*（a>0,且a01）叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域為R.

思考：指數函數對于底數的要求是什么?為什么要這樣要求?0<a<1和。>1時的性質有

什么不同呢？

學生復習回顧指數函數的概念，明確對底數。的限制條件.

下面我們進一步研究指數函數.首先畫出指數函數的圖象，然后借助圖象研究指數函數

的性質.

教師引導學生畫出y=2*的圖像，請同學們完成無,y的對應值表4.2-2,并用描點法畫出

函數y=2工的圖像（圖424）.

X4.22

閨I.2

為了得到指數函數y=a*（a>0,且aHl）的性質，我們還需要畫出更多的具體指數函數

的圖像進行觀察.

（二）探索新知

探究一：指數函數的圖像

教師提問：畫出函數'2的圖象，并與函數丁=2'的圖象進行比較，它們有什么

關系?能否利用函數丁=2"的圖象，畫出函數'2的圖象?

學生思考，教師引導學生畫出圖像.

y=

因為=2、點（x,y）與點（-x,y）關于y軸對稱，所以函數丁=2'圖象上

任意一點P（x,y）關于y軸的對稱點Pl（-X,y）都在函數2的圖象上，反之亦然.

由此可知，底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于y軸對稱,根據這種對稱性，就可以

x=

利用一個函數的圖象，畫出另一個函數的圖象，比如利用函數丁v一-^2的圖象，畫出y

的圖象（圖4.2-5）.

探究二：指數函數的圖像的性質

教師提問：選取底數。(a＞0,且存1)的若干個不同的值，在同一直角坐標系內畫出相

應的指數函數的圖象.觀察這些圖象的位置、公共點和變化趨勢，它們有哪些共性?由此你能

概括出指數函數丫=2"(。＞0,且a2l)的值域和性質嗎?

教師總結，如圖426,選取底數。的若干值，用信息技術畫圖，發(fā)現(xiàn)指數函數y=，的圖

象按底數。的取值，可分為0＜。＜1和。＞1兩種類型.因此，指數函數的性質也可以分0＜。＜1和。＞1

兩種情況進行研究.

一般地，指數函數的圖象和性質如表4.2-3所示.

探究三：指數函數的性質應用

例1：比較下列各題中兩個值的大小.

(1)1.725,1.73;

⑵0.8+0.8一3；

(3)1.703,0.931.

教師讓學生完成例題，要求盡可能使用多種方法求解，看看哪種方法最簡便，實用性最

強.

學生思考討論

教師總結方法：

分析：對于(1)(2),要比較的兩個值可以看作一個指數函數的兩個函數值，因此可

以直接利用指數函數的單調性進行比較；對于(3),I，8和°.93」不能看作某一個指數函

數的兩個函數值，可以利用函數y=L7,和y=09'的單調性，以及“x=0時，y=l”這條性質把

它們聯(lián)系起來.

解：⑴IT，和17可以看作函數y=17'當*分別取2.5和3時所對應的兩個函數值,

因為底數L7大于1,所以指數函數y=為增函數，又因為2.5小于3,所以L72S<1.73；

(2)同理，因為0<0.8<1,所以指數函數丁=0.8工是減函數.因為一0<—G，所以

0.8—點<0.8一曲.

1703>17°=1-?

(3)由指數函數的性質可知，-'，所以1.7口3<0.93」.

0.931<0.9°=1

例2：如圖4.2-7.某城市人口呈指數增長.

(1)根據圖象，估計該城市人口每翻一番所需的時間(倍增期)；

(2)該城市人口從80萬人開始，經過20年會增長到多少萬人？

分析：(1)因為該城市人口呈指數增長，而同指數函數的倍增期是相同的，所以可以

從圖象中選取適當的點計算倍增期.

(2)要計算20年后的人口數，關鍵是要找到20年與倍增期的數量關系.

解：(1)觀察圖4.2-7.發(fā)現(xiàn)該城市人口經過20年約為10萬人，經過40年約為20萬人，

即由10萬人口增加到20萬人口所用的時間約為20年，所以該城市人口每翻一-番所需的時間

約為20年.

(2)因為倍增期為20年，所以每經過20年，人口將翻一番.因此，從80萬人開始，經過

20年，該城市人口大約會增長到160萬人.

教師講解:例2是針對指數函數的實際應用題，體現(xiàn)了指數函數與實際生活緊密結合的

特點，使學生學習“有用的數學”.

(三)課堂練習

1.在同一直角坐標系中畫出函數丁=3、和'(3)的圖像，并說明它們的關系.

2.比較下列各題中兩個值的大小.

(1)6點,7點;

(2)Ob?。”.

(3)1.20-5,0.512.

(四)小結作業(yè)

小結: