工程力學(xué) 第2版 課件 第9、10章 扭轉(zhuǎn)、彎曲內(nèi)力

工程力學(xué)

第九章扭轉(zhuǎn)（torsion）§9.1扭轉(zhuǎn)的實(shí)例和概念主動(dòng)力偶阻抗力偶1、實(shí)例鑰匙，傳動(dòng)軸，水龍頭，絲攻etc2、概念受力特點(diǎn)：桿兩端作用著。。。的力偶，且力偶作用面。。。

變形特點(diǎn)：桿任意兩個(gè)橫截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)。主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿——軸Me主動(dòng)力偶阻抗力偶Me如何度量？等圓截面直軸MeMeABOmm

OBA

兩個(gè)角，有沒有關(guān)系？材力紅線：外力內(nèi)力應(yīng)力強(qiáng)度條件變形剛度條件§9.2外力偶矩的計(jì)算，扭矩和扭矩圖1、外力偶矩的計(jì)算工程實(shí)際中，Me通常未知，知道P和n，需要先確定三者關(guān)系。

如圖示，設(shè)軸的轉(zhuǎn)速n轉(zhuǎn)／分(r／min)，其中某一輪傳輸?shù)墓β蕿椋篜千瓦(kW

）實(shí)際作用于該輪的外力偶矩為Me

(N·m），則切記單位！

TMeMeT取右段為研究對象：內(nèi)力偶矩——扭矩T取左段為研究對象：問題：1-1截面上，扭矩的方向到底如何？從而引出。。。MeMe2、內(nèi)力——扭矩“T”torque怎么求？還記得嗎？扭矩的符號規(guī)定：按右手螺旋法則判斷。

右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向與截面的外法線方向相同，則扭矩規(guī)定為正值，反之為負(fù)值。T+T-設(shè)正法MeMeTTTT3、扭矩圖——反映各橫截面上扭矩變化規(guī)律，直觀！MBTI例9-1已知MA=1170N·mMB=MC=351N·m

MD=468N·m求作扭矩圖解1.計(jì)算各段扭矩

TI=－MB=－351N·mTⅡ=－MB

－MC=－351－351=－702N·mTⅢ=MD=468N·m2.作扭矩圖

T(N·m)351702468MADABCMBMCMDIⅡⅢMBMCTⅡMDTⅢ如果AD輪對調(diào)，結(jié)果有何差異？（m－軸單位長度內(nèi)的扭力偶矩）例9-2試分析圖示軸的扭矩解：1、求約束力2、截面法求扭矩§9.3薄壁筒1、實(shí)驗(yàn)介紹材質(zhì)，畫線，注意事項(xiàng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果扭轉(zhuǎn)（t<<r0）最簡單的扭轉(zhuǎn)問題dxdx變形規(guī)律①周線。。。，厚度。。。②母線。。。，squareschangeintodiamonds③Me小于Mp時(shí)，Me與

呈線性dx∵筒壁上每個(gè)矩形切應(yīng)變均為

，∴每個(gè)矩形受切應(yīng)力相同且均布；進(jìn)而整個(gè)橫截面上

數(shù)值相同，方向相同（切向?。邫M截面上無長度變化，∴無

，自然無

；

怎么求？2、純剪切

薄壁筒軸向、徑向、環(huán)向均無變形，∴用兩個(gè)橫截面，徑向截面，圓柱面切出一個(gè)小單元體如圖示：xydydzzdx

純剪切應(yīng)力狀態(tài)3、切應(yīng)力互等定律左=右上=下口訣？非純剪切狀況仍然適用?。。eMeabOcddxdydzttt't'xyz4、剪切胡克定律Hooke’sLawinShearrecall拉壓胡克定律

γ

γ可將Me~

關(guān)系，變成

~關(guān)系類似得到剪切胡克定律

G：剪切彈性模量shearingmodulusunits？對各向同性材料，三個(gè)彈性常數(shù)之間存在關(guān)系：由，

§9.4圓軸扭轉(zhuǎn)應(yīng)力和強(qiáng)度條件1、應(yīng)力分布規(guī)律

截面各處應(yīng)力相等？∴超靜定∴。。。①實(shí)驗(yàn)觀察法寶？周線。。。母線。。。平截面假設(shè)②幾何關(guān)系取楔形體O1O2ABCD

為研究對象微段扭轉(zhuǎn)變形

dj外表面有距軸線

處有說明

與。。?！?。。。，同截面上各點(diǎn)都一樣。③物理關(guān)系剪切胡克定律：代入上式得：方向如何？ρρ記：稱：極慣性矩Polarmomentofinertiaforcrosssection

單位:m4

T④平衡關(guān)系扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力最大切應(yīng)力當(dāng)式中抗扭截面系數(shù);單位m3

ρ

max時(shí)適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的圓截面直桿Ip和Wt的計(jì)算a.對于實(shí)心圓截面：D

d

Ob.對于空心圓截面：dDO

d

2、強(qiáng)度條件[

]=（0.55～0.6）[

]——塑性材料[

]=（0.8～1.0）[

l]——脆性材料Why?Ch13解決三方面問題{強(qiáng)度校核（checkthestrength）設(shè)計(jì)截面（determinetherequireddimensions

）許可載荷（determinetheallowableload

）幾點(diǎn)說明：①用于圓截面，小錐角（＜5°）亦可②線彈性③加載點(diǎn)不適用④階梯軸、變截面軸

max不一定對應(yīng)Tmax例9-3已知:傳動(dòng)軸如圖：MB=MC=320N·m，MA=1270N·m,MD=630N·m，

d=50mm，[

]=70MPa校核強(qiáng)度MDBADCMAMBMC解:（1）作扭矩圖T(N.m)320640630

（2）校核強(qiáng)度=26.09MPa<[

]∴安全例9-4已知：一等截面圓軸，T=1.5kN

.

m，[

]

=

50MPa，試根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)實(shí)心圓軸與

=0.9的空心圓軸。并求兩軸的重量之比。解：1.確定實(shí)心圓軸直徑可取2.確定空心圓軸內(nèi)、外徑3.重量比較空心軸遠(yuǎn)比實(shí)心軸輕可取§9.5圓軸扭轉(zhuǎn)變形和剛度條件1、扭轉(zhuǎn)變形公式由知：長為

l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角

為若l段內(nèi)，T和截面為常，則剪切胡克定律又一形式測G實(shí)驗(yàn)依據(jù)符號？會正確使用2、剛度條件

與l有關(guān)。為了消除l的影響，引入

，叫做。。。orGIp？recallEA；previewEIz解決三方面問題{剛度校核設(shè)計(jì)截面許可載荷會正確使用

和

公式?。?！例9-5長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，G=80GPa，許用切應(yīng)力[

]=30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若[

]=2o/m，試校核此桿的剛度，并求右端面扭轉(zhuǎn)角。解：①設(shè)計(jì)桿的外徑m=20Nm/m2m40N·mxT代入數(shù)值得：D

0.0226m②由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度m=20Nm/m2m40N·mxT③右端面轉(zhuǎn)角為：例9-6某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n=500r/min，輸入功率P1=400kW，輸出功率分別P2=160kW及P3=240kW，已知：G=80GPa，[

]=70MPa，[

]=1o/m，試確定：①AB段直徑d1和BC段直徑d2

？②若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？③主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？解：由外力偶矩關(guān)系，得扭矩如圖：

500400P1P3P2ACBTx–7.64–4.58(kN·m)

按剛度條件

直徑d1的選取

按強(qiáng)度條件

按剛度條件

直徑d2的選取

按強(qiáng)度條件

∴選同一直徑時(shí)將主動(dòng)輪裝在兩從動(dòng)輪之間受力合理由前述分析可知，軸類零件剛度條件比強(qiáng)度條件更為重要。例9-7某等截面圓軸AB，兩端fixed，MC=m，求支反力偶矩。解：分析受力如圖；一次超靜定。怎么解？附錄I平面圖形的幾何性質(zhì)§I.1概述Q：影響力學(xué)響應(yīng)的因素？A：因素包括：載荷、材料、幾何性質(zhì)拉壓桿：

圓軸：

梁的幾何性質(zhì)對變形的影響FF豎放橫放一、靜矩（面積矩）1、定義：dA對y軸的靜矩:2、量綱：［長度］3；單位：m3、cm3、mm3。dA對z軸的靜矩:3、靜矩可以為正、負(fù)或零。§I.2靜矩和形心4、靜矩和形心的關(guān)系

可知靜矩和形心的關(guān)系由平面圖形的形心公式結(jié)論：圖形對過形心的軸的靜矩為零。

若圖形對某軸的靜矩為零，則此軸一定過圖形的形心。例I-1已知：平面圖形-矩形h、b、a，求對y、z軸的靜矩。解：例I-2解由對稱性dyRyz求圖示半圓的Sy,Sz

和形心zc=0,Sy

=0由圖zyCyC二、簡單圖形的形心1、形心坐標(biāo)公式：2、形心確定的規(guī)律：（1）圖形有對稱軸時(shí)，形心必在此對稱軸上。（2）圖形有兩個(gè)對稱軸時(shí)，形心必在此兩對稱軸的交點(diǎn)處。三、組合圖形（由若干個(gè)基本圖形組合而成的圖形）的靜矩：四、組合圖形的形心：

利用基本圖形的結(jié)果，可使組合圖形的形心計(jì)算簡單?；緢D形----指面積、形心位置已知的圖形

二、極慣性矩一、慣性矩所以§I.3慣性矩、極慣性矩和慣性積zyOdAzy

dA對y軸的慣性矩:dA對z軸的慣性矩:dA對O點(diǎn)的極慣性矩:二次矩，正定，單位:m4顯然，圖形分布距離某軸越遠(yuǎn)，對該軸的慣性矩就越大。三、慣性半徑：四、慣性積

1、定義：2、單位：m4、mm4。3、慣性積是對軸而言。4、慣性積的取值可正、負(fù)、零。5、規(guī)律：

兩坐標(biāo)軸中，只要有一個(gè)軸為圖形的對稱軸，則圖形對這一對坐標(biāo)軸的慣性積為零。zyOdAzy

解：bhzyCydy例I-3求矩形截面對其對稱軸z,y軸的慣性矩。

yzd解：因?yàn)榻孛鎸ζ鋱A心O的極慣性矩為例I-4求圓形截面對其對稱軸的慣性矩。所以解：已知：圖形截面積A，形心坐標(biāo)yc、zc

、Izc、Iyc、a、b已知。zc軸平行于z軸；yc軸平行于y軸，求：Iz、Iy?！霫.4平行移軸公式C(b,a)bayCzCzy說明：1、圖形對一軸的慣性矩，等于對平行于此軸的形心軸的慣性矩，加上圖形面積與此二軸距離平方的乘積；2、在一組平行的軸中，圖形對其形心軸的慣性矩最?。?、慣性積公式中a,b為形心坐標(biāo)，注意其正負(fù)號。3、記住圖形對形心軸的慣性矩，便可求出對所有平行于此形心軸的各軸的慣性矩；例I-5已知C為形心，求Izc.2.求IzcIzc=（200×203/12＋200×20×552）＋（20×2003/12＋200×20×552）

=37.67×106mm4

由對稱性，形心位于對稱軸上。解：1.求形心位置

5555zyCⅡⅠz1z2zC工程力學(xué)第十章彎曲內(nèi)力

§10.1

彎曲的概念和實(shí)例第四種基本變形，也是最復(fù)雜最重要的基本變形！??！彎曲:外力（偶矩）垂直于桿軸心線，使得軸心線由直變曲。梁（beams）：承受橫向載荷，以彎曲為主要變形的桿件。彎曲實(shí)例工廠廠房的天車大梁：FF火車的輪軸：FFFF樓房的橫梁：陽臺的挑梁：單杠，雙杠，跳板，跳臺etcAB對稱軸縱向?qū)ΨQ平面梁變形后的軸線與外力在同一平面內(nèi)梁的軸線FRBF1F2FRA§10.2

梁的計(jì)算簡圖（3）支座的類型（1）梁的簡化通常取梁的軸線來代替梁（2）載荷類型集中力集中力偶分布載荷

滾動(dòng)鉸支座

(rollersupport)FRAAAAA固定鉸支座(pinsupport)固定端（fixedend)AAAFRAyAFRAxFRyFRxM

簡支梁simplebeam,simplysupportedbeamABP2P1YAYBXA靜定梁的種類懸臂梁cantileverbeamABP1P2MAYAXAP1P2

外伸梁overhangingbeamABCYAYBXA超靜定？跨，跨度

起重機(jī)大梁為No.25a工字鋼,如圖所示,梁長L=10m,單位長度的重量為38.105kN/m,起吊重物的重量為100kN,試求起重機(jī)大梁的計(jì)算簡圖。q=38.105kN/mF=100kN§10.3

梁的彎曲內(nèi)力（剪力和彎矩）第一個(gè)問題，為什么跟以往不同，是兩個(gè)？看個(gè)例題。例10-1簡支梁如圖，已知F，a，l。

求：距A端m-m截面上內(nèi)力。BAlFaxmmFAyFAxFBABF解：①求外力（支座反力）FAx

=0以后可省略不求。

ABFFAyFAxFBmmx②求任意截面m-m內(nèi)力FsMMFs∴梁的彎曲內(nèi)力：－剪力，－彎矩。FAyACFBFC研究對象：m-m截面的左段：若研究對象取m-m

截面的右段：結(jié)果與前述一致。問題來了，到底？從而引出彎曲內(nèi)力的符號規(guī)定:①剪力Fs:②彎矩M：Fs(+)Fs(+)Fs(-)Fs(-)M(-)M(-)M(+)M(+)設(shè)正法！??！例10-2求梁1-1、2-2截面的內(nèi)力。解:(1)確定支座反力

(2)取1-1截面左半：取2-2截面右半：FA1.2kN/m0.8kNAB1.5m3m2m1.5m11221.5mFAFB解:例10-3求圖示梁中指定截面上的剪力和彎矩。（1）求支座反力FRA=4kNFRB=-4kNC12M（2）求1-1截面的內(nèi)力（3）求2-2截面的內(nèi)力B1m2.5m10kN·mAC12FRAFRB§10.4

剪力、彎矩方程、圖一般地，內(nèi)力與截面位置坐標(biāo)x間，有函數(shù)關(guān)系式：其圖形表示：剪力方程彎矩方程剪力圖的圖線表示彎矩圖的圖線表示現(xiàn)在知道不同截面有不同的剪力和彎矩。那么如何全面表達(dá)任意截面的剪力和彎矩？解:（1）求梁的支反力例10-4

圖示的簡支梁在C點(diǎn)處受集中荷載F作用。試作此梁的剪力圖和彎矩圖。lFABCabFRAFRB

因?yàn)锳C段和CB段的內(nèi)力方程不同，所以必須分段列剪力方程和彎矩方程。將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端A

AC段CB段xxlFABCabFRAFRB

由（1）,（3）兩式可知，AC、CB兩段的剪力圖各是一條平行于

x

軸的直線。xxlFABCabFRAFRB

由（2）,（4）兩式可知，AC、CB兩段的彎矩圖各是一條斜直線。看圖說話。++例10-5圖示的簡支梁，在全梁上受集度為q的均布荷載作用。試作剪力圖和彎矩圖。解：（1）求支反力lqFRAFRBABx（2）列剪力方程和彎矩方程剪力圖為一傾斜直線繪出剪力圖x=0處,x=l

處,BlqFRAAxFRBql/2ql/2+彎矩圖為一條二次拋物線得駐點(diǎn)彎矩的極值繪出彎矩圖lqFRAABxFRB令l/2+

由圖可見，此梁在跨中截面上的彎矩值為最大但此截面上FS=0

兩支座內(nèi)側(cè)橫截面上剪力絕對值為最大lqFRAABxFRBql/2ql/2+l/2+例10-6圖示簡支梁在C點(diǎn)受力矩為M的集中力偶作用，試作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：求梁的支反力將坐標(biāo)原點(diǎn)取在A點(diǎn)。

因?yàn)榱荷蠜]有橫向外力，所以全梁只有一個(gè)剪力方程

由(1)式畫出整個(gè)梁的剪力圖是一條平行于x

軸的直線。lABCabFRAFRBM+AC段CB段AC段和CB

段的彎矩方程不同AC、CB

兩段的彎矩圖各是一條傾斜直線x=l,M=0xxlABCabFRAFRBM+AC段:x=0,M=0

x=a,CB段:x=a,作圖步驟小結(jié)：1、求支反力2、建立坐標(biāo)系3、正確分段，分段原則？4、分段列方程作圖，注意x取值范圍§10.5

梁的內(nèi)力平衡微分方程回憶上節(jié)例子，有偶然？必然？一、方程的推導(dǎo)

受一般載荷作用的簡支梁，建立圖示坐標(biāo)系，規(guī)定分布載荷q(x)向上為正，且

q(x)≠constxyq(x)FMFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)

假想地用坐標(biāo)為x

和x+dx的兩橫截面m-m和n-n從梁中取出dx微段。n-n截面上則分別為

Fs(x)+dFs(x)，M(x)+dM(x)dx段內(nèi)，q(x)視為常數(shù)m-m截面上內(nèi)力為Fs(x),M(x)dx段內(nèi)，無集中力，集中力偶的作用xyq(x)FMnxmmndxmmnnq(x)C∵整體平衡，∴dx亦然寫出微段平衡方程得到略去二階及以上小量即得Fs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C公式的幾何意義（1）剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小;（2）彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小;（3）根據(jù)q(x)＞0或q(x)＜0可以判斷彎矩圖的凹凸性。二、應(yīng)用1、直接積分+B.C.